Об одном методе приближенного решения первой краевой задачи для уравнения дробной диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.581,517.954

И. И. Захаров, Т. С. Алероев НИУ МГСУ

Об одном методе приближенного решения первой краевой задачи для уравнения дробной диффузии

Данная работа содержит аналитическое и приближенное решение одномерного уравнения дробной адвекции-диффузии в пространстве. Решение производится методом разделения переменных (метод Фурье), определяется базис собственных функций системы и биортогональной задачи, вычисляются собственные значения для основного уравнения. Рассмотрен метод оценки точности приближенного решения. Приведены результаты вычислений для конкретных примеров.

Ключевые слова: приближенные вычисления, дробное исчисление, дробное уравнение адвекции-диффузии, дробная производная Римана - Лиувилля, собственное значение, собственная функция, функция Миттага - Леффлера

1.1. Zakharov, Т. S. Aleroev Moscow State University of Civil Engineering

About one method of approximate solution of the first boundary value problem for the fractional diffusion

equation

This paper contains analytical and approximate solution of the one-dimensional fractional advection-diffusion equation in space. The solution is carried out by the method of separation of variables (Fourier method), the basis of the eigenfunctions of the system and of the biorthogonal problem is determined, and the eigenvalues for the basic equation are calculated. The method of estimating the accuracy of the approximate solution is considered. The results of calculations for concrete examples are given.

Key words: approximate calculations, fractional calculus, fractional advection-diffusion equation, fractional Riemann - Liouville derivative, eigenvalue, eigenfunction, Mittag -Leffler function

1. Введение

Дробное исчисление — это раздел прикладной математики, который фокусируется на производных и интегралах произвольного порядка (включая комплексные порядки). Он также известен как обобщенное интегральное и дифференциальное исчисление произвольного порядка. Р. Горенфло и Ф. Мейнарди определили дробное исчисление как раздел математики, связанный с изучением и применением интегралов и производных произвольного порядка [1]. В этом исследовании предлагается разработать аналитические методы разделения переменных (метод Фурье) для решения пространственно-временного дробного адвекции-диффузионного уравнения с постоянными и переменными коэффициентами, зависящими от пространства времени, и начального члена. Производная Римана -Лиувилля рассматривается в пространственном направлении. Поскольку аналитическое решение некоторых моделей уравнений дробной диффузии трудно получить, в частности,

© Захаров И. И., Алероев Т. С., 2024

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

очень популярным стали методы конечных разностей, и совсем недавно было опубликовано большое количество схем. Были выбраны две разные схемы с возрастающим порядком точности для временной, пространственной и пространственно-временной дробной диффузии с возрастающим порядком точности для уравнения дробной диффузии во времени, пространстве-времени. Так как эти две схемы достаточно сложны, в данной работе приводится достаточно продуктивный и простой в реализации приближенный метод, позволяющий моделировать различные физические процессы.

2. Первая краевая задача для неоднородного уравнения дробной дисперсии

Рассмотрим первую краевую задачу для неоднородного уравнения дробной дисперсии:

^+^ «

с граничными и начальными условиями

и(0, Ь)=и(1, Ь) = 0, (2)

и(х, 0)=<р(х), (3)

где д ^а'^ = г{2-о) Ш1 /о (Г^-! _ дробная производная (в смысле Римана - Лиувилля), 1 < а < 2 [2]. " ЖТ

Будем искать нетривиальное решение, непрерывное в замкнутой области 0(0 < х < 1,0 < Ь < 1), однородного дробного дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2) и начальному условию (3). Для решения этой задачи рассмотрим, как это принято в методе разделения переменных, сначала основную вспомогательную задачу: найти не тождественно нулевое решение уравнения (1), удовлетворяющее однородным граничным условиям (2) в виде

и(х, t)=X(х)Т(t). (4)

Подставляя (4) в (1), получаем

D • «Т + kXT = X'V

dxa dt

D daX т'

dx^ + k = Т = " (5)

где ^ = const, так как левая часть уравнения (5) зависит только от t, а правая только от х. Граничные условия (2) дают:

X (0) = 0,X (1) = 0. (6)

X( х)

¡D • £X = (/х - k)X(х), X(0) = 0, X(1) = 0.

Данная задача (7) была подробно изучена в [1-13].

М. Джрбашяном и А. Нерсесяном был предложен метод построения собственных и присоединенных функций, порожденных краевыми задачами для дифференциальных уравнений дробного порядка [7]. В данной работе мы существенно опираемся на этот метод. Введём основные понятия и предложения, используемые в этой методике.

Следуя [7], введём функции

У (ж, Л) = £ (Лха),

i=1

2

Z(х, Л) = £ Ьг(1 - х)щ-1Еа,v.(Л(1 - х)а), 1

2

ш(Л) =Л y1 (Л)),

г, 3=1

где Еа,ц(г) = ^^=0 ^(ак+р) ~ ФункДия Миттаг - Леффлера, х е [0,1], 0 < а < 2, >

1У\ > а2 + а2 = + ^2 = 1- Заметим, что ш(Л) — целая функция порядка а со счетным числом нулей (Лп}^о (которые пронумерованы в порядки неубывания их модулей). Как и в [7], отнесем нулю Лп кратности 8п > 1 две системы функций

& У (х, Л)

дЛг

s п—г-1

А—Ап

bSn-i-k-1 дкZ(х, Л)

где

^ Г(к + 1)Г(г + 1) дЛк

1 dk ( Л -Лп)^

bk =

,i = 0,1, 2,..., Sn - 1,

А=Ап

Г( к + 1) (1Лк ш(Л)

,к = 0,1,2,...,Sn - 1.

А=АП

Пронумеруем все функции, входящие в эти системы, в порядке неубывания чисел |Лп|, при котором для каждого числа Лп(п = 1, 2,...) соответсвующим г-м функциям из этих групп будут придавать одинаковые номера.

Таким образом, системы {Уп}^= 1 = {X] 2=1 агх^-1 Ea¡IH (Лпха 1 и {Zn}^= 1 = {^2=1Ьг(1 - х)щ-1Еа,щ(Лп(1 - х)а)}~= 1 биортоганальны в L2(0,1), то есть

1 (

1 п = к,

Уп2к"х Но п = к. о ^

Приведённая выше биортогональная система является системой собственных и присоединенных функций краевой задачи для дробного дифференциального уравнения, поэтому доказана равносходимость биортогонального разложения с тригонометрическим рядом Фурье.

Так как присоединенные функции если и есть, то их всего лишь конечное число. Поэтому на сходимость разложения по собственным и присоединенным функциям это никак не влияет. Поэтому, когда речь идёт о сходимости таких разложений, оценивают только слагаемые с собственным функциями, не обращая внимания на слагаемые, содержащие присоединенные функции.

В некоторых случаях (в частности, когда а1 = b 1 = 1, 0,2 = b2 = 1, = = а, 1 < а < 2) присоединенных функций вообще нет.

Как и в работах [3, 5, 9], решение данной краевой задачи представим в виде суммы двух функций. Первая функция состоит из членов ряда, порождаемых из собственных функций, а вторая из членов ряда, порождаемых присоединенными функциями. Очевидно, что когда задача не порождает присоединенных функций, то второе слагаемое равняется нулю. В данной работе исследование решения задачи сводится к изучению первой функции.

Показано, что число Лп = является собственным значением (7) только в том

случае, когда оно является нулем функции Миттаг - Леффлера Еа,а(Лп):

Еа,а(Хп) = / ") л . (8)

г( а + а])

Для таких \п существуют собственные функции задачи, равные

Хп(\п,х)=ха-1Еа,а(\пХа). (9)

Эти собственные значения Хп, очевидно, соответствуют решениям уравнения

Т'(Ь) = ХТ (Ь),

Тп(Хп, 1)=?пе (ш"+к)\

где <^п — ещё не определённые коэффициенты. Таким образом, функции

ип(х, Ь) = Хп(Хп,х) • Тп(Хп, Ь) = <Рпе(Ш"+к)1Ха-1Еа,а(ХпХа)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям (2).

Перейдем теперь к решению задачи (1) - (3). Составим ряд:

те

и(х, 1) = £ (ВК+к)*ха-1Еа,а(Хпха). (10)

п=1

и( х, )

члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем

те

ф) = ^ упха-1Еа,а (Хпха). (11)

п=1

В [6] показано, что система функций {Хп(Хп, х)} = {ха-1 Еа,а(Хпх")^^ образует базис в Ь2(0,1^. Так как базис {Хп(Хп, х)}сте=1 те ортогонален, то вместе с системой {Хп(Хп,х)} будем рассматривать систему

{гп( Хп,х)} = {(1 -х)а-1Еа,а(Хп(1 -х)")}те=1,

которая биортогональная {Хп( Хп, х)} [6]. Вообще говоря, система {zп(Хп,х)} — система собственных функций сопряженной задачи [8]:

( ^ = ху (х)

(0) = 0,Г (1) = 0.

Для определения неизвестных коэффициентов обе части равенства (11) умножаем на систему функций хп(Хп, Ь) :

(р(х)гп(Хп, х) = ^2<рпХп(Хп,х)г,п(Х,п, х), (12)

п=1

равенство (12) можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1]:

1

(р(х)гп(х) = I Хп(х)гп(х)(1х. (13)

п=1

о

Полученное (13) перепишем в виде

1

о

те

1 ) — п

п=1

где

(р, Zn) = ^2 Pn(Xn, Zn), (14)

1

(P, Zn) = j p(x)Zn(x)dx, 0

1

(Xn, Zn) = j Xn(x)Zn(x)dx. 0

В силу биортогональности систем функций |Xn} и {zn} из (14) следует, что (р, Zn) = Pn(Xn, Zn)- Отсюда

р (р,Zn) . ,

pn = (X n ) . ( ^

( Xn , n )

Таким образом, решение задачи (1) - (3) записывается в виде

u(x, t) = Е e(DX"+k)txa-1Ea,a(\nxa). (16)

n=1 (Xn, Z n)

В работах [1,8] были изучены вопросы сходимости ряда (16) и его производных. Для приближенного решения сначала найдем несколько собственных значений \n из уравнения

= t Г^Г) ("I

В табл. 1 приведены результаты вычислений нескольких первых собственных значений при различных значениях 1 < a < 2.

Таблица1

Первые собственные значения для 1 < a < 2

a 1.1 1.2 1.3 1.4

-5.101 -4.567 -4.518 -4.708

-10.795 ± 7.989i -14.139 ± 6.9214i -17.920 ± 3.920i -16.726

An -14.338 ± 16.876г -21.916 ± 18.035г -32.274 ± 17.144г -26.220

-17.273 ± 26.049i —28.880 ± 30.344г -45.830 ± 32.677г -45.424 ± 12.811г

-19.920 ± 35у.456i -35.547 ± 43.497i -59.425 ± 50.079г -69176 ± 30.809г

-22.400 ± 45.06П -42.078 ± 57.328i -73.206 ± 68.999i -94.023 ± 52.268i

1< a<2

a 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

-5.075 -5.610 -6.322 -7.240 -8.404

-17.472 -19.513 -22.570 -26.737 -32.253

An -32.129 -38.158 -45.945 -56.345 -70.247

-55.834 -62.410 -76.129 -95.440 -121.869

-64.586 -88.220 -111.768 -143.271 -186.675

-99.718±21.304i -123.879 -153.696 -199.672 -264.408

Таким образом, для приближенного решения достаточно взять несколько первых членов ряда (16):

и(х, ¿) « £ е(вх-+к)'ха-1Еа>а(Хпха). (18)

N

п=1 (Хп, %п) Приближенное решение обозначим

N

п)

и0 (х, *) = £ Т^^Г6 (ШП+к) ха-1Еа,а(.Лп х"). (19)

п=1

3. Точность приближенного решения

Для оценки точности приближенного решения (18) согласно [11] рассмотрим величину

(х, ¿)|

= " , , ,л, ' 100%, (20)

ша*мх,

где П(0 < х < 1,0 < £ < 1) — замкнутая область, UN(х, ¿) = е(ПХм+к)ха-1 Еa,a(ЛNXa) — последний член суммы (19).

Результаты расчета для различных начальных условий <^(х) приведены в табл. 2-4:

Т а б л и ц а 2

Результат расчета еа при <^(х) = х — х2

а 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

еа, % 0.063 0.055 0.048 0.037 0.033 0.029 0.025 0.023 0.022

ТаблицаЗ

Результат расчета еа при <^(х) = 8т та

а 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

еа, % 0.039 0.034 0.029 0.026 0.023 0.020 0.017 0.015 0.014

Таблица!

Результат расчета еа при <^(х) = 8т2^х

а 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

еа, % 0.055 0.049 0.042 0.036 0.031 0.027 0.024 0.021 0.019

Определим невязку, подставив приближенное решение (19) в (1):

дио(х, ¿) даьо(х, ¿)

*> = —0^ — °х— + Ыо(х,г),

шах|5о(х, £)|

6а = ° . , ,„ ■ 100%. шах|ио(х, £ )|

Результаты расчета для различных начальных условий <^(х) приведены в табл. 5-7: Полученные результаты демонстрируют высокую точность аппроксимации решения исходной задачи функцией (19).

Таблицаб

Результат расчета 6а при (р(х) = х — х2

a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

8а, % 0.081 0.068 0.058 0.052 0.048 0.043 0.039 0.034 0.035

Таблицаб

Результат расчета 6а при (р(х) = sin та

a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

8а, % 0.096 0.086 0.074 0.054 0.048 0.039 0.031 0.027 0.023

Таблица7

Результат расчета 6а при (р(х) = sin2nx

a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

8а, % 0.113 0.095 0.083 0.071 0.059 0.047 0.039 0.034 0.031

4. Заключение

Представленные результаты демонстрируют возможности разработанной методики приближенного решения краевой задачи для уравнения дробной диффузии. Уравнение решается на основе аналитического метода разделения переменных (метода Фурье). Производная Римана - Лиувилля рассматривается в пространственном направлении. Результаты вычислительного эксперимента демонстрируют высокую точность приближенного решения задачи.

Список литературы

1. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order. Carpinteri A. and Mainardi F. / Eds. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. New York : Springer-Verlag, 1997. P. 223-276.

2. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Applied Mathematics Letters. 1996. V. 9, I. 6. P. 23-28.

3. Wyss W. The fractional diffusion equation // Journal of Mathematical Physics. 1986. V. 27, N 11. P. 2782-2785.

4. Agrawal O. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain 11 Nonlinear Dynamics. 2002. 29:145-155.

5. Aleroev Т., Kirane M., Tang. The boundary-value problem for a differential operator of fractional order //J. Math. Sci. 2013. V. 194. P. 499-512.

6. Нахушев А. Дробное исчисление и его применение. Москва : Физматлит, 2003. 271 с.

7. Джрбалияп М., Нерсесян А. Разложения по некоторым биортогональным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка // Труды ММО. 1961. Т. 10. Р. 89-179.

8. Luchko Y Some uniqueness and existence results for the initial-boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications. 2010. V 59, N 5. P. 1766-1772.

9. Aleroev Т., Aleroeva H. Problems of Sturm-Liouville type for differential equations with fractional derivatives. Kochubei A., Luchko Y. / Eds. Handbook of Fractional Calculus with Applications. V 2: Fractional Differential Equations. Berlin, Boston : De Gruvter, 2019.

10. Aleroev T. Solving the boundary value problems for differential equations with fractional derivatives by the method of separation of variables // Mathematics. 2020. V. 8, N 11. P. 1877.

11. Aleroev T., Aleroeva H., Huang J., Tamm M., Tang Y., Zhao Y. Boundary value problems of fractional Fokker-Planck equations // Computers and Mathetics with Applications. 2017. V. 73, N 6. P. 959-969.

12. Mahmoud E.I., Aleroev T.S. Boundary Value Problem of Space-Time Fractional Adverction Diffuion Equation 11 Mathematics. 2022. V. 10, I. 3160. P. 1-12.

13. Tfayli A. Sur quelques equations aux derivees partielles fractionnaires, theorie et applications // Mecanique des fluides. Francais, Universite de La Rochelle. 2020. theses.hal.science/2020TFAYLI168756.

References

1. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order. Carpinteri A. and Mainardi F. Eds. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. New York : Springer-Verlag, 1997. P. 223-276.

2. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation. Applied Mathematics Letters. 1996. V. 9, I. 6. P. 23-28.

3. Wyss W. The fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Physics. 1986. V. 27, N 11. P. 2782-2785.

4. Agrawal O. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain. Nonlinear Dynamics. 2002. 29:145-155.

5. Aleroev T., Kirane M., Tang. The boundary-value problem for a differential operator of fractional order. J. Math. Sci. 2013. V. 194. P. 499-512.

6. Nakhushev A. Fractional calculus and its applications. Moscow : Fizmatlit, 2003. 271 p. (in Russian).

7. Dzhrbashyan M., Nersesyan A. Decompositions on some biorthogonal systems and boundary value problems for fractional order differential equations. Trudy MMO. 1961. V. 10, P. 89179. (In Russian).

8. Luchko Y Some uniqueness and existence results for the initial-boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation. Computers and Mathematics with Applications. 2010. V 59, N 5. P. 1766-1772.

9. Aleroev T., Aleroeva H. Problems of Sturm-Liouville type for differential equations with fractional derivatives. Kochubei A., Luchko Y. Eds. Handbook of Fractional Calculus with Applications. V 2: Fractional Differential Equations. Berlin, Boston : De Gruvter, 2019.

10. Aleroev T. Solving the boundary value problems for differential equations with fractional derivatives by the method of separation of variables. Mathematics. 2020. V. 8, N 11. P. 1877.

11. Aleroev T., Aleroeva H., Huang J., Tamm M., Tang Y., Zhao Y. Boundary value problems of fractional Fokker-Planck equations. Computers and Mathetics with Applications. 2017. V. 73, N 6. P. 959-969.

12. Mahmoud E.I., Aleroev T.S. Boundary Value Problem of Space-Time Fractional Adverction Diffuion Equation. Mathematics. 2022. V. 10, I. 3160. P. 1-12.

13. Tfayli A. Sur quelques equations aux derivees partielles fractionnaires, theorie et applications. Mecanique des fluides. Francais, Universite de La Rochelle. 2020. theses.hal.science/2020TFAYLI168756.

Поступим в редакцию 11.01.2024