CC BY
145
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 4 8211. Государственная регистрация №042 1200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Об одном классе оптимальных нелинейных двоичных последовательностей # 04, апрель 2014
DOI: 10.7463/0414.0704644 Юдачев С. С.
УДК 621.396.4
Россия, МГТУ им. Баумана judachev а gmail.com
Введение
Одной из существенных тенденций современной беспроводной радиоэлектроники новых поколений является применение принципов широкополосной передачи, обладающей целым рядом общепризнанных достоинств [1,2]. Эти принципы используют при построении современных и перспективных связных, радиолокационных, радионавигационных и измерительных систем. Проектирование таких систем невозможно без поиска новых методов синтеза широкополосных сигналов, основанных, в частности, на использовании кодовых двоичных последовательностей со специфическими корреляционными свойствами. При этом наряду с задачей исследования теоретических аспектов существования новых семейств сигналов, важна также и проработка технологических вопросов их практического генерирования и обработки.
Работа посвящена исследованию одного из классов нелинейных кодовых двоичных последовательностей, оптимальных в смысле границ упаковки, идея создания которых впервые предложена Б.Ж. Камалетдиновым [3] . Эти последовательности выгодно отличаются от известных большим разнообразием способов формирования тонкой структуры кода и представительным набором длин. Математическая теория синтеза таких последовательностей проработана достаточно глубоко [3,4], но вопросам разработки алгоритмов практического формирования и исследованию свойств на основе современного программного обеспечения внимания уделено недостаточно, что затрудняет оценку возможностей их практического использования и те преимущества, которые они могут обеспечить при проектировании перспективных широкополосных систем.
Целью работы являлась разработка практических алгоритмов и программ на их основе, позволяющих формировать два подкласса ансамблей бинарных последовательно-
стей Камалетдинова различных длин и оценивать их основные свойства.
1. Метод построения последовательностей
Взаимокорреляционные функции последовательностей Камалетдинова удовлетворяют нижней границе Велча для семейств бинарных последовательностей [5]:
У-тах — игр —
где ] х ^ - ближайшее к х целое, не превышающее х и совпадающее по четности с Ь , итах - модуль максимального бокового выброса корреляционной функции, игр - граничное значение модуля максимального бокового выброса корреляционной функции, -объем ансамбля последовательностей, Ь - длина последовательности. Выражение (1) применимо к последовательностям с объемом ансамбля меньшим . Длина последовательности - это составное число вида
Ь = р ■ (р - 1), (2)
где - любое простое целое число, удовлетворяющее условиям и
р > 3.
Пусть ( г - множество натуральных чисел от 0 до г — 1. Положим, что { Ьп у : ] £ (р _ х £ ( у} - совокупность V последовательностей символов р-ичного алфавита, , представляющих каждому из уравнений
Ъ^у = Ъу+п + I (ш о й р ) (3)
не более двух решений относительно при любой комбинации параметров
, , , за исключением случая , ,
О (ш о й р ) .
Наконец, пусть бинарная последовательность { ( ( /) : / £ } периода р удовлетворяет соотношению
... . л (—1,г ф 0 (той р), 2Г= 0 ( ( 1 ) ( ( ' + г) 1р ,г = О (ш о й р ) .. (4)
Новое множество последовательностей для удовле-
творяющего (2), определяется как
<4 I = ( ( / + Ъл, ¿) , (5)
где последовательности {Ъ ¿} и ( ( ■ ) , удовлетворяют выражениям (3) и (4), соответственно. Можно показать, что при р + 1 + 2<р ( р— 1 ) максимальный корреляционный пик итах семейства (5) достигает величины
итах = р + 1 + 2 = р + 3 . (6)
Данное выражение можно использовать для проверки сформированных последовательностей.
Уравнение (5) открывает новые возможности для построения ансамблей бинарных
1/2
последовательностей, обладающих параметром порядка ( )1/2. Для его реализации необходимы последовательности и , наделенные вышеперечисленными свой-
ствами. Последовательности { <р ( i ) } в соответствии с (4) можно построить на основе разностных множеств Адамара. Известно достаточно много таких последовательностей - это M-последовательности, последовательности GMW, Якоби, Холла и ряд других [1]. Замена последовательностей приводит к изменению тонкой структуры кода, не оказывая влияния на параметры множеств (5). Более сложна процедура выбора семейства {Ь hJ} , удовлетворяющего (3), успех построения ансамблей множества (5) в основном и определяется умением формировать { Ь h, у}. При этом необходимо максимизировать количество последовательностей { bftj} , что и определит мощность семейства (5). Данный подход достаточно эффективен и позволяет получить множества бинарных последовательностей, оптимальных по критерию минимума корреляционного параметра .
Пусть р простое целое число, удовлетворяющее условию (2) и пусть а - примитивный элемент поля Галуа G F ( р ) . Два подкласса последовательностей - N и Di-последовательности формируются следующим образом:
N-последовательности. Пусть V = р + 1 последовательностей { Ь h, у} , р > 3 , периода строятся согласно алгоритму:
Ь ftJ- = ау+h + а _у, j е Qp _ ! , h е Qp _ ! ,
Ьр,у = ау , j е Qp _ ь (7)
Ьр+1 , у = а_у, у е Qp_ !. Семейство (5), правило кодирования которого имеет вид
<4i = <Р (i + аi+h + а _ f), i е Qp (р _ i) , h е Qp _ 1,
аР, i = <Р (i + а1), i е Qp (р _ i), (8)
<р+1, i = <Р (i + а_i), i е Qp (р _ i),
будет иметь показатели
L = р (р - 1) , V = р + 1, итах = р + 3 . (9)
Di-последовательности. В этом случае V = р последовательностей {Ь^у}, р > 3 , длины формируются как
Ь hj = а2 у+h + ау, у е Qp _ i , h е Qp _ i,
Ьр,у = ау, у е Qp _ ь (10)
а правило построения выглядит следующим образом:
<h, i = <P ( i + а2 i+h + а i), i е Qp (p _ i), h е Qp _ i,
<p, i = <P ( i + аi), i е Qp (p _ i). (11)
Основные показатели семейства последовательностей (11) определяются выражениями
L = р (р - 1) , V = р , umax = р + 3 . (12)
2. Алгоритм и программа
Разрабатываемая программа основана на следующем алгоритме формирования N и Di-последовательностей.
1) Выбор положительного простого целого р > 3 и р = 3 ( то й 4 ) ; .
2) нахождение примитивного элемента поля ;
3) позиция символа трактуется как элемент поля ;
4) формирование последовательностей { а 1} , { а_ 1} , необходимых для построения N последовательностей, а также последовательности , необходимой для построения Di-последовательностей. Возведение в степень {а1} , {а_ 1}, {а2 1} производится по модулю
5) суммирование по модулю циклически повторяющихся копий последовательностей {/}, {а1и { а _ 1} в соответствии с (7) для ^последовательностей, где
представляет собой циклический сдвиг на элементов, и - номер последовательности в ансамбле. Длина всех участвующих в суммировании последовательностей равна
6) суммирование по модулю циклически повторяющихся копий последовательностей {/}, {а2 1и {а1} в соответствии с (10) для Di-последовaтельностей, где
представляет собой циклический сдвиг на элементов, и - номер
последовательности в ансамбле. Длина всех участвующих в суммировании последовательностей равна длине последовательности Камалетдинова, то есть
7) полученные ансамбли р-ичных N и Di-последовaтельностей отображаются на бинарный алфавит. с помощью двузначного характера функции представляющей собой отображение поля на пару вещественных чисел , преобразующей ненулевой элемент х в +1, если его логарифм четен, и в -1 в противном случае. Необходимо отметить, что .
Двузначный характер ненулевого элемента для полей нечетного по-
рядка
(р > 2 ) определяется как
В качестве примера рассмотрим формирование первых ( ) N и Di-последовaтельностей при р = 7. Длина последовательностей составит Ь = р ■ элемента, а примитивный элемент поля равен . Необходимые
для формирования ^последовательности вспомогательные последовательности имеют вид
При поэлементном сложении по модулю 7 этих вспомогательных последовательностей получим искомую ^последовательность
(Р -1);
(13)
/ = { 0,1,2 ,3,4,5,6,0 ,1,2 . . .} ,
а1+1 = { 3 ,2,6,4,5,1,3 ,2 ,6. . .} , а_* = { 1,5,4,6,2 ,3 ,1,5, 4,. . .}.
¿+1 _
Кы п = {4,1, 5, 6,4, 2, 3,0,4, 5, 3,1,2, 6, 3,4, 2, 0,1, 5, 2, 3,1, 6,0 ,4,1,2 ,0 ,5 ,6, 3 ,0 ,1,6,4,5 ,2 ,6,0 ,5 , 3 } . ^лт 1 1 отображается на бинарный алфавит по правилу (13). Так как V ( 0) = V ( 1) = V ( 2 ) = V ( 4) = 1 и V ( 3 ) = V ( 5 ) = V ( 6) = - 1 , получим
! = {1,1, -1, -1,1,1, -1,1,1, -1, -1,1,1, -1, -1,1,1,1,1, -1,1, -1,1, - 1,1,1,1,1,1, - 1, - 1, - 1,1,1, - 1,1, - 1,1, - 1,1, - 1, - 1 } . В конечном итоге, в результате замены «-1» на «1» и «1» на «0» получим искомую бинарную последовательность
КЫ1 = 0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1, 0,1, 0,1,0, 0, 0,0,0,1,1,1, 0, 0,1,0,1, 0,1,0,1, 1}. Формирование Бьпоследовательности:
* = {0,1,2,3,4,5,6,0 ,1, 2,. . .}, а* = { 1,3 ,2,6,4,5,1, 3 ,2 ,. . .} , а2 *+1 = { 3,6,5,3,6,5,3 ,6,5 . . .}. При поэлементном сложении этих вспомогательных последовательностей после преобразования получим искомую Бьпоследовательность
и = Н 3,2, 5, 0,1, 3, 2,1,4, 6, 0,2,1, 0, 3, 5, 6,1, 0 , 6,2 , 4,5 , 0,6,5 , 1, 3 , 4,6, 5,4,0 , 2 , 3 , 5 , 4, 3 , 6, 1, 2 }. Кы 1 = {0,1,0,1, 0, 0,1,0, 0, 0,1, 0, 0,0,0,1,1,1,0, 0,1, о, 0,1,0,1,1,0,1, 0,1,1,0, 0, 0,1,1, 0,1,1, 0, 0} . Были сформированы последовательности длиной до 2162 элементов и исследованы их свойства, (I = 1 1 0 ;342;506; 9 30,1806,2 162) . В табл.1 приведена краткая сводка параметров этих последовательностей.
Таблица 1. Параметры изучаемых ансамблей N и последовательностей
^последовательности Б1-последовательности
V I V V I V
11 110 12 11 110 11
19 342 20 19 342 19
23 506 24 23 506 23
31 930 32 31 930 31
43 1806 44 43 1806 43
47 2162 48 47 2162 47
Исследуемые последовательности предназначены для широкополосных систем, которые могут работать как в синхронном, так и в асинхронном режимах при воздействии структурных (внутрисистемных и внешних) помех. Для вывода о возможности их практического использования в этих режимах и оценки помехоустойчивости систем необходимо знание корреляционных функций и следующих характеристик [1,6].
1) Периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ), определяемая ем Rпакф ( к) = 2¿= 1 я i " я i- fc, сдвиг к является циклическим.
2) Апериодическая автокорреляционная функция (ААКФ), определяемая также, как ПАКФ, за исключением того, что сдвиг к - ациклический.
3) Периодическая взаимокорреляционная функция (ПВКФ), определяемая выражением , сдвиг - циклический.
4) Апериодическая взаимокорреляционная функция (АВКФ), определяемая также как ПВКФ, но сдвиг к - ациклический.
Здесь а = { я 1 , я2 ,..., aL} и Ъ = { Ъ 1 , Ъ2 ,..., Ъ/} — двоичные последовательности символов, L- длина последовательности, к - значение текущего сдвига.
Удобным инструментом для точной оценки корреляционных свойств является вычисление следующих статистических характеристик корреляционных функций [6].
1) Значение максимального положительного бокового выброса КФ Ug max;
2) количество максимальных положительных боковых выбросов iVg maXj5;
3) значение максимального отрицательного бокового выброса КФ ;
4) количество максимальных отрицательных боковых выбросов ; .
5) математическое ожидание модуля боковых выбросов т ( | u g | ) ;
6) математическое ожидание боковых выбросов т ( и g) ;
7) среднеквадратическое отклонение модуля боковых выбросов a ( | Ug | ) ;
8) среднеквадратическое отклонение боковых выбросов a (ug ) ;
9) максимальный нормированный уровень выбросов (боковых для АКФ)
max minY)max -1 ппп/
/max =-1--1 U U %% ,
где запись (х, у) max означает выбор наибольшего значения из х и у;
10) средний нормированный уровень выбросов (боковых для АКФ)
^=^"1 0 0 %;
11) сбалансированность.
Исследование характеристик двоичных последовательностей носит весьма трудоемкий характер. К примеру, для вычисления одного элемента N или Di последовательностей, согласно приведенному алгоритму, необходимо выполнить 7 операций. Построение графиков корреляционных функций является также достаточно трудоемкой и рутинной задачей. Поэтому, когда требуется формировать ансамбли из нескольких последовательностей, имеющих длину несколько сотен и более элементов, а также наглядно оценить их основные характеристики, очевидной становится необходимость использования специального программного обеспечения для упрощения решения данной задачи.
Для этого была разработана программа, названная «Generator PRS», на языке высокого уровня С#. В качестве среды разработки программного обеспечения был выбран Microsoft Visual Studio 2010 Professional, предоставляющий широкие функциональные возможности. Выбор языка программирования С# в качестве базисного обусловлен необходимостью разработки не только программного алгоритма, но и пользовательского графи-
ческого интерфейса для работы с программой. Для этой задачи хорошо подходит интерфейс программирования приложений под названием «Windows Forms», в котором наиболее удобно работать с языком С#. В программном проекте выделяют следующие основные компоненты:
1) «Program.cs»;
2) «Form1.cs»;
3) «Form3.cs»;
4) «Form5.cs».
Файл «Program.cs» содержит два основных класса: Galois, и Program. В классе Galois содержится код для методов и членов класса, с помощью которых реализуется работа с N и Di-последовательностями. Процедуры «WriteArrayKamaletdinov» и «WriteArrayKamaletdinov_Di» используются для нахождения и записи в массив N-последовательностей и Di-последовательностей, соответственно. Процедуры «CalcPAKF», «CalcPVKF», «CalcAAKF» и «CalcAVKF» используются для расчета корреляционных функций N-последовательностей. Процедуры с аналогичными названиями, только с приставкой «D», применяются для вычисления корреляционных функций Di-последовательностей «CalcAAKF_B» и «CalcAVKF_B». Разумеется, здесь описывается только часть используемых в программе функций и процедур.
На рис. 1 приведено основное окно программы «Generator PRS» В верхней части окна находятся две основные вкладки: «N-последовательности Камалетдинова», «Di-последовательности Камалетдинова». Каждая вкладка содержит одинаковый набор кнопок и полей ввода данных. Рассмотрим работу с программой на примере вкладки «N-последовательности» (рис. 1). Самое крупное верхнее поле используется для вывода требуемой информации, например, конкретной последовательности из ансамбля. В блоке «Вывод последовательностей» содержатся два поля для ввода цифр. Верхнее необходимо для ввода параметра, определяющего длину формируемой последовательности (в данном случае - число ), нижнее предназначено для ввода номера последовательности из ансамбля, которую мы желаем получить. При нажатии кнопки «Вывести последовательность» при корректно введенных числовых данных в верхнем поле получаем искомую последовательность, а также количество нулей и единиц в последовательности (на рис. 1 показан пример вывода 3-ей последовательности из ансамбля N-последовательностей при р = 7). Чтобы вывести полный ансамбль последовательностей какой-либо длины, надо ввести параметр и нажать кнопку «Вывести все последовательности». При этом для отображения последовательностей появляется дополнительное окно, программный код которого содержится в «Form3.cs».
Рис. 1. Основное окно программы «Generator PRS»
В блоке «Корреляционный анализ» расположены два поля для ввода номеров последовательностей, для которых необходимо вычислить взаимокорреляционные функции, а также следующие 4 кнопки:
1) «Рассчитать ПАКФ» - вывод графика периодической автокорреляционной функции той последовательности, номер которой вводится в блоке «Вывод последовательностей»;
2) «Рассчитать ААКФ» - вывод графика апериодической функции автокорреляции той последовательности, номер которой вводится в блоке «Вывод последовательностей»;
3) «Рассчитать ПВКФ» - вывод графика периодической функции взаимной корреляции. 4) «Рассчитать АВКФ» - вывод графика апериодической функции.
При нажатии на любую из указанных кнопок в поле вывода появляются значения КФ, а также статистические характеристики данной КФ. График исследуемой корреляционной функции появляется в дополнительном окне, за оформление которого отвечает форма «Form5.cs». Для построения графиков используется достаточно удобная библиотека «ZedGraph.dll».
В блоке «Статистические характеристики» расположены четыре кнопки: «ПАКФ», «ААКФ», «ПВКФ» и «АВКФ». Если ввести необходимые исходные данные и нажать на
какую-либо из этих кнопок, появится таблица статистических характеристик, описывающая поведение соответствующих корреляционных функций всего ансамбля рассматриваемой длины. Код программы здесь полностью соответствует алгоритмам формирования N и Di-последовательностей приведенным выше.
3. Корреляционные свойства и статистические характеристики N и Di последовательностей
Рассматривались алгоритмы формирования и были подробно рассчитаны статистические характеристики двух семейств N и Di-последовательностей. По три первых образца последовательностей из каждого исследуемого ансамбля длины L=342 приведены в Приложении. Далее в тексте нумерация последовательностей совпадает с нумерацией в программе «Generator PRS». В качестве иллюстраций во избежание чрезмерного возрастания объема работы приводятся только некоторые наиболее характерные корреляционные функции и рассматриваются наиболее примечательные характеристики N и Di-последовательностей.
Среди ансамбля N-последовательностей для L = 110 выделяются последовательности с номерами 11 и 12. Они имеют наилучшие характеристики ПАКФ среди всего ансамбля, причем ПАКФ принимает два значения (помимо основного выброса) - 2 и -10. Математическое ожидание модуля боковых выбросов т ( | Uq | ) равно 10,7 или 10,9 для последовательностей с 1-ой по 10-ую, а для 11-ой и 12-ой т ( | щ | ) = 3,4; СКО модуля боковых выбросов а ( | иб | ) = 3,1; 3,3 для последовательностей с 1-ой по 10-ую, а для 11-ой и 12-ой а ( | Щ | ) = 3,0. Математическое ожидание боковых выбросов т ( | Uq | ) = - 0,1 для всех последовательностей; СКО а (щ) = 11,2; 11,4. Для 11-ой и 12-ой последовательностей а (щ) = 9,1. Максимальный уровень боковых лепестков Хтах = 12,7 % от центрального пика (Хтах = 9,1 - для 11-ой и 12-ой). Средний уровень боковых лепестков хср = 9,8; 9,9 % от центрального пика (хср = 3,1% - для 11-ой и 12-ой последовательностей).
Периодические взаимокорреляционные функции ансамбля имеют следующие характеристики: т ( | иб | ) = (8,9 -10,9), а ( | иб | ) = (3,4 -4,7), т (иб) = 0,8; 1,0 и а (иб) = (10,0 -11,4). Максимальный уровень выбросов составляет Хтах = 12,7 % от L, а средний уровень ограничен величинами Хср = (8,1 — 9,9) % от L. Максимальное значение (за исключением основного пика) выбросов периодических АКФ и ВКФ ограничивается числом р + 3 = 14, что согласуется с приведенными ранее утверждениями.
Нижняя и верхняя границы упаковки апериодических АКФ N-последовательностей длины 110 элементов принимают значения - 24 и 22, соответственно. Каждая ААКФ ансамбля содержит 2—6 максимальных положительных неосновных выбросов и 2—6 максимальных отрицательных. Математическое ожидание выбросов равно нулю, а СКО выбросов лежит в пределах а (иб) = (4,8 — 8,8). Модули боковых выбросов в ААКФ характеризуются разбросом а ( | иб | ) = (3,2 — 5,2) и математическим ожиданием т ( | иб |) = (3,6 — 7,1). Величины нормированных уровней определяются значениями = (12,7
21,8) % и хср = (3,2 — 6,5) % от величины центрального пика. Наилучшими харак-
теристиками ААКФ также обладают 11-ая и 12-ая последовательности.
Для ансамбля N-последовательностей длины L = 342 р = 19 и V = 20. При такой длине последовательности уже можно наглядно оценить основные закономерности и сравнить их с теоретическими. Исследования последовательностей большей длины показали, что указанные закономерности сохраняются, поэтому результаты здесь не приводятся.
Вид трехуровневых периодических АКФ и ВКФ определяют значения - 18; 2 и 22.
ПАКФ восемнадцати последовательностей ансамбля имеют следующие статистические характеристики:
ш ( I щ| ) = (18,9 -19,0); а ( | щ| ) = (4,2 —4,4); ш (щ) = -0,1; а (щ) = 19,4; /тах = 6,4% от L; ХсР=5,5 % от L.
Две оставшиеся последовательности под номерами 19 и 20, выделяются на фоне общей картины. Последовательности под номерами 19 и 20 имеют двухуровневую структуру со значениями -18 и 2 и обладают следующими характеристиками:
ш ( 1 иб 1 ) = 3,6; а ( 1 иб 1 ) = 4,9; а ( 1 щ 1 ) = 4,9; ш (иб) = -0,1; а (иб) = 6,1; Хтах = 5,3% от L; хср = 1,1% от L.
Трехуровневые периодические взаимокорреляционные функции имеют низкие значения уровней Хтах = 6,4 % и хср = (4,9—5,5)% от длины последовательности. Модули выбросов обладают параметрами: ш ( | иб | ) = (16,7 —18,9) и а ( | иб | ) = (4,4 -н 7,0). Математическое ожидание выбросов для большинства последовательностей равно ш ( иб) = 1,0, СКО выбросов а ( иб) = (18,1 — 19,4). На рис. 2 представлена ПВКФ 2-ой и 17-ой последовательностей, у которой хср = 4,9%.
Т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-г
I I I I I I
300 -200 -100 0 100 200 300
к
Рис. 2. ПВКФ 2-ой и 17-ой N-последовательностей при L = 342
Боковые выбросы апериодических автокорреляционных функций рассматриваемого ансамбля лежат в пределах от -41 до 41. Каждая ААКФ содержит от 2 до 4 максимальных положительных выбросов и столько же максимальных отрицательных. Математическое ожидание побочных выбросов равно нулю, СКО выбросов < (иб) = (8,5 — 14,9). Модуль выбросов характеризуется величинами ш ( | иб| ) = 6,5 — 12,1 и < ( | иб| ) = 5,6—8,7. Максимальный и средний нормированные уровни боковых выбросов соответственно равны /тах = (7,9 —12,0) % от Ь и = (1,9—3,5) % от Ь. ^последовательности 19 и 20 имеют наилучшие ААКФ с точки зрения статистических характеристик.
Значения апериодических взаимокорреляционных функций снизу ограничены величиной - 48, а сверху 47. Каждая АВКФ содержит от 1 до 3 максимальных положительных выбросов и от 1 до 3 максимальных отрицательных. Математическое ожидание выбросов ш ( иб) = 0,5; СКО выбросов < (иб) = (12,5 — 13,8). Математическое ожидание модуля выбросов ш ( | иб| ) = (10,0 —11,1), их СКО - < ( | иб| ) = (7,1—8,4). Значения нормированных уровней равны /тах = (8,8 — 14,0) % от Ь и хср = (2,9—3,3) % от Ь. На рис. 3 приведена АВКФ 4-ой и 9-ой последовательностей, обладающая минимальным параметром /тах = 8,8 % от Ь в ансамбле.
Рис. 2. АВКФ 4-ой и 9-ой N-последовательностей при L = 342
В табл. 2 приводится сводка характеристик по всему ансамблю N-последовательностей для L = 342
Для периодических автокорреляционных функций
^б тах ^б тт т(\иб\) т(иб) <г(|иб1) <г(иб) Хт ах Хср,%
2 ; 22 -18 3,6 —19,0 -0,1 4,2-4,9 6,1; 19,4 5,3; 6,4 1,1; 5,5
Для апериодических автокорреляционных функций
' > тах 14 6 тах ^б тт 14 6 тт т(\иб\) т(иб) а(\иб\) а(иб) Х т ах Хср,%
23 - 41 2 -4 (-41) - (-24) 2 -4 6,5 -12,1 0 5,6 - 8,7 8,5 -14,9 7,9 -12,0 1,9 -3,5
Для периодических взаимокорреляционных функций
' > тах ^б тт т(\иб\) т(иб) а(\иб\) а(иб) Хт ах Хср,%
22 -18 16,7-18,9 0,9; 1,0 4,4-7,0 18,1 -19,4 6,4 4,9 - 5,5
Для апериодических взаимокорреляционных функций
' > тах 111 б тах ^б тт 111 б тт т(\иб\) т(иб) <г(|иб1) <т(иб) X т ах Хср,%
29-47 1- 3 (-48)—(-27) 1- 3 10,0 -11,1 0,5 7,1- 8,4 12,5 -13,8 8,8 -14,0 2,9 -3,3
Результаты исследования ^последовательностей.
1) ^последовательности не являются сбалансированными. При Ь = 42 количество нулей в последовательности равно 24, а количество единиц равно 18. Для последовательностей длины 110 эти значения составляют 60 и 50, а при Ь = 342 - 180 и 162;
2) в каждом ансамбле ^последовательностей существуют по две последовательности (предпоследняя и последняя согласно принятой нумерации в данной работе), обладающие лучшими характеристиками по сравнению с остальными последовательностями в данном ансамбле. Правило формирования этих двух последовательностей отличаются от правила формирования остальных последовательностей ансамбля;
3) периодические автокорреляционные функции ^последовательностей имеют трехуровневую структуру, за исключением двух последних в ансамбле, ПАКФ которых двухуровневые. Верхний предел математического ожидания модуля боковых выбросов у всех ПАКФ стремиться к значению т ( | щ | ) — л/Г. Математическое ожидание значения боковых выбросов для исследуемых семейств составляет т (щ) = -0,1. Амплитуда максимальных положительных боковых выбросов определяется выражением щ тах = р + 3 . Максимальный и средний уровни боковых лепестков при увеличении Г значительно уменьшаются. Для ^последовательностей длины 342 элемента Хтах ^ 6,4 и ХсР ^ 5,5;
4) апериодические автокорреляционные функции ^последовательностей имеют не менее 2 максимальных положительных боковых выбросов, а также не менее двух максимальных отрицательных боковых выбросов. Математическое ожидание боковых выбросов составляет т (иб) = 0 при Г = 110; 342, и т (иб) = -0,1 при Г = 42. С увеличением длины последовательностей максимальный и средний уровень боко-
вых выбросов уменьшается. Для ^последовательностей при I=342 Хтах <12,0% и Хср < 3,5% от величины центрального пика;
5) периодические взаимокорреляционные функции ^последовательностей имеют трехуровневую структуру, причем значения выбросов соответствуют значениям выбросов ПАКФ. Верхняя граница математического ожидания модуля боковых выбросов у всех ПВКФ стремится к значению т( | щ | ) — VI. Математическое ожидание выбросов т (щ) не превышает 1,0 для всех ансамблей. Амплитуда максимальных положительных выбросов определяется выражением щ тах = р + 3 . Нормированные значения выбросов Хтах и Хср уменьшаются с ростом длины последовательностей, причем Хтах для ПВКФ совпадает с верхним пределом Хтах для ПАКФ, а Хср для ПВКФ совпадает с верхним пределом значения хср для ПАКФ;
6) апериодические взаимокорреляционные функции исследуемых ансамблей имеют от одного до трех максимальных положительных выбросов, а также от одного до трех максимальных отрицательных выбросов (исключение составляет лишь одна АВКФ 4-ой и 6-ой ^последовательности при I = 110, которая имеет 8 максимальных отрицательных выбросов). Математическое ожидание выбросов т ( щ) АВКФ не превышает значения 0,5. Максимальный и средний уровни боковых лепестков при увеличении I уменьшаются. Для ^последовательностей длины 342 они не превышают значений 14,0 % и 3,3 % от I , соответственно.
Исследование характеристик семейства Di-последовательностей дало близкие результаты, вид корреляционных функций также практически тот же. Номенклатура длин Di-последовательностей I = 42; 110; 342. Периодические корреляционные функции Di-последовательностей также являются трехуровневыми, причем щ тах = р + 3. Отличительной особенностью Di-последовaтельностей является то, что объем их ансамбля на единицу меньше объема ансамбля ^последовательностей.
Далее приводятся сводка статистических характеристик (табл. 3) и наиболее характерные отличия характеристик N и Di-последовaтельностей.
Таблица 3. Статистические характеристики Di-последовaтельностей периода I=342
Для периодических автокорреляционных функций
М-б гпах М-б тт т(\иб\) т(иб) <Г(|Иб1) а(иб) Хтах,% Хср,%
2, 22 -18 3.6, 17.2 -0.1 4.9, 6.5 6.1, 18.4 5.3, 6.4 1.1, 5.0
Для апериодических автокорреляционных функций
и тах 111 б тах ^б тт 111 б тт т(\иб\) т(иб) <г(\иб\) а(иб) Хт ах Хср,%
28 — 44 2 -4 (-42)—(-27) 2—4 6,5—10,9 0 5,6—8,0 8,5—13,4 9,1 — 12,9 1,9—3,2
Для периодических взаимокорреляционных ( >ункций
и тах М-б тт т(\иб\) т(иб) <Г(|Иб1) а(иб) Хт ах Х ср,%
22 -18 16,4; 18,1 1,0 5,7; 7,3 17,9; 19,0 6,4 4,8; 5,3
Для апериодических взаимокорреляционных функций
М-б гпах б тах М-б шт 14 б пип т(\иб\) т(иб) <К|Иб1) а(иб) Хт ш: Х ср,%
30 - 49 1-4 -45 - -27 1-4 9.9 - 11.3 0.5 7.4 - 8.3 12.4 -13.9 9,1-14,3 2,9 - 3,3
Сравнение характеристик Di-последовательностей и ^последовательностей:
1) Di-последовательности так же, как и ^последовательности, не обладают свойством сбалансированности;
2) в каждом ансамбле Di-последовательностей существует 1 последовательность (последняя согласно принятой нумерации в данной работе), обладающая лучшими характеристиками по сравнению с остальными последовательностями в данном ансамбле. Правило формирования этой последовательности отличается от правила формирования остальных последовательностей ансамбля. В каждом ансамбле N последовательностей таких две;
3) периодические автокорреляционные функции Di-последовательностей, как и у ^последовательностей, имеют трехуровневую структуру, за исключением одной в ансамбле, ПАКФ которой двухуровневая. Математическое ожидание значения боковых выбросов для ^последовательностей составляет т ( и д) = - 0,1, что справедливо и для Di-последовательностей. Максимальный и средний уровни боковых лепестков при увеличении Ь у обоих ансамблей снижаются. Также отметим, что нижние границы значений параметров , , и характеризующих ПАКФ, для обоих семейств последовательностей совпадают, верхние границы значений данных параметров несколько меньше у Di-последовательностей. Параметры /тах ПАКФ у ансамблей одинаковой длины обоих семейств равны;
4) границы упаковки апериодических автокорреляционных функций у ^последовательностей и Di-последовательностей мало различаются от ансамбля к ансамблю, при Ь = 42 или Ь = 110 с точки зрения величины боковых выбросов предпочтительнее Di-последовательности, при Ь = 342 ^последовательности обладают меньшим разбросом значений амплитуд максимальных выбросов. Математические ожидания боковых выбросов также совпадают для ансамблей одинаковой длины обоих семейств. Общей является и тенденция к уменьшению нормированных уровней боковых выбросов с ростом Ь. В целом характеристики ААКФ для подмножеств последовательностей одинаковой длины у сравниваемых семейств эквивалентны, однако параметры < (ид) и /ср у Di-последовательностей несколько предпочтительнее;
5) периодические взаимокорреляционные функции Di-последовательностей, как и у ^последовательностей, имеют трехуровневую структуру, причем значения выбросов соответствуют значениям выбросов ПАКФ. Математическое ожидание выбросов т (ид) ПВКФ Di-последовательностей равно верхней границе значений
ш (щ) ПВКФ ^последовательностей для ансамблей одинаковых длин. Параметры т ( | щ | ) , а ( | щ | ) , а (щ) и /ср несколько лучше у Бьпоследовательностей;
6) границы упаковки апериодических взаимокорреляционных функций у ^последовательностей и Бьпоследовательностей также различаются от ансамбля к ансамблю на малую величину; при Ь = 42 и Ь = 342 АВКФ Бьпоследовательности имеют меньший разброс значений, при Ь = 110 - АВКФ ансамбля N последовательностей предпочтительнее. Математическое ожидание выбросов т (щ) совпадает для ансамблей одинаковой длины обоих семейств. С увеличением длины последовательностей, нормированные уровни выбросов для обоих семейств снижаются, причем для Ь = 342 параметры /ф АВКФ у ^-последовательностей и Бьпоследовательностей равны. Остальные статистические характеристики АВКФ у рассматриваемых семейств практически одинаковы.
Из сравнения характеристик N и Бьпоследовательностей следует, что эти семейства обладают сходными статистическими параметрами. Главным отличием является размер объема ансамбля К, который для каждой длины Ь на единицу больше у N последовательностей.
Естественным является вопрос об объединении семейств N и Бьпоследовательностей для увеличения общего объема формируемых ансамблей. В табл. 4 представлены статистические характеристики для периодических и апериодических взаимокорреляционных функций такого объединенного семейства.
Таблица 4. Статистические характеристики объединенного семейства N и последовательностей для Ь =342
Для периодических взаимокорреляционных функций
Иб тах ^ б тт т(\иб\) т(иб) <т(ие) Хт Хср,%
2; 22; 42 -18 3,6 н-18,9 (-0,1)н-1,0 4,4 н-13,7 6,1 н 20,5 5,3 н-12,3 1,1н5,5
Для апериодических взаимокорреляционных функций
и тах 111 б тах ^б тт 111 б тт т(\иб\) т(иб) <Г(\Щ\) <т(ие) Хт Хср,%>
30 н 58 1 н 4 (-49) н (-26) 1 н 5 6,5 н-11,1 0 н 0,5 5,6 н 9,8 8,5 н-14,5 9,4 н-17,0 1,9 н 3,2
Как следует из табл. 4, периодические взаимокорреляционные функции объединенного ансамбля являются четырехуровневыми. Верхние границы значений параметров ш ( | Щ |) , а ( | щ | ) и а (щ) для ПВКФ расширенного ансамбля несколько выше, чем у каждого из семейств и N последовательностей. Верхняя граница значений такого важного параметра, как максимальный нормированный уровень выбросов , у большинства ПВКФ почти вдвое превышает аналогичный показатель у рассмотренных по отдельности семейств. Для апериодических взаимокорреляционных функций в отношении /тах наблюдается схожая картина. Следовательно, использовать объединенный ансамбль нецелесообразно.
Заключение
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.
1) Изученные последовательности имеют лучшие характеристики по сравнению широко известными двоичными последовательностями с точки зрения их взаимокорреляционных свойств [1,6], что позволит уменьшить внутрисистемную помеху;
2) в основе формирования исследуемых нелинейных последовательностей лежат сравнительно простые алгоритмы, что характеризует достаточно умеренную сложность возможной аппаратной реализации.
Таким образом, анализ N и Di-последовательностей с помощью разработанного программного обеспечения позволяет оценить возможности использования сигналов на их основе в широкополосных системах.
Список литературы
1. Golomb S.W., Gong G. Signal design for good correlation for wireless communication, cryptography, and radar. New York: Cambridge University Press, 2005. 438 p.
2. Калмыков В.В., Федоров И.Б., Юдачев С.С. Системы сотовой и спутниковой связи. М.: Изд-во «Рудомино», 2010. 280 с.
3. Камалетдинов Б.Ж. Оптимальные множества бинарных последовательностей // Проблемы передачи информации. 1996. Т. 32, № 2. С. 39-44.
4. Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения: пер. с англ./ под ред. В.П. Ипатова. М.: Техносфера, 2007. 488 с. [Valery P. Ipatov. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications. New York: John Wiley and Sons Ltd, 2005.].
5. Welch L.R. Lower Bounds on the Maximum Cross Correlation of Signals // IEEE Trans. Inform. Theory. 1974. Vol. 20, no. 3. P. 397-399.
6. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации / В.Б. Пестряков, В.П. Афанасьев, В.Л. Гурвиц, Д.Л.Зайцев, Л.И.Зеликман, А.В .Пестряков, А.Л.Сенявский, Н.И.Смирнов; под ред. В.Б. Пестрякова. М.: Советское радио, 1973. 424 с.
SCIENCE and EDUCATION
EL №FS77- 48211. N»0421200025. ISSN 1994-0408
On a class of optimal nonlinear binary sequences
# 04, April 2014
DOI: 10.7463/0414.0704644
S.S. Yudachev
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
Investigated class of binary sequences is designed for use in advanced spread spectrum radio systems for various purposes, based on the application of code sequences. The paper considers the class of nonlinear binary sequences that are optimal in the sense of the boundaries of packaging. The idea of such sequences development and mathematical method of their construction first were proposed by B.J. Kamaletdinov. These sequences differ favorably from those widely used now by large variety of ways of forming the fine structure of the code, representative set of lengths, and difficulty of deciphering. However, the properties of these sequences and methods of their generating insufficiently investigated.
The paper presents a practical algorithm for the formation of ensembles of two subclasses of Kamaletdinov N and Di-sequences. Based on this algorithm and its software implementation in C #, ensemble samples of various lengths are obtained and their periodic and aperiodic correlation functions and statistical characteristics are thoroughly investigated. Some of the most significant correlation functions are provided as illustrations and the most notable characteristics of the ensemble sequences are considered. Boundaries of package for ensembles of various lengths are given. The statistical characteristics of N and Di-sequences are compared and specific differences of characteristics are highlighted. Based on the study of cross correlation characteristics of combined ensemble and Di-N sequences it was concluded that application of such an ensemble is unreasonable. The annex contains the three first samples of sequences from each test ensemble of the length L = 342.
On the basis of the calculations performed the conclusion can be made about the prospects of studied classes of sequences application which allows to reduce intersystem interference in the projected spread spectrum systems with code division multiple channels.
Publications with keywords: correlation properties, spread spectrum systems, nonlinear binary sequences, Galois fields, primitive field element
Publications with words: correlation properties, spread spectrum systems, nonlinear binary sequences, Galois fields, primitive field element
References
1. Golomb S.W., Gong G. Signal design for good correlation for wireless communication, cryptography, and radar. New York, Cambridge University Press, 2005. 438 p.
2. Kalmykov V.V., Fedorov I.B., Yudachev S.S. Sistemy sotovoy i sputnikovoy svyazi [Systems of cellular and satellite communications]. Moscow, Rudomino Publ., 2010. 280 p. (in Russian).
3. Kamaletdinov B.Zh. [Optimal sets of binary sequences]. Problemyperedachi informatsii, 1996, vol. 32, no. 2, pp. 39-44. (English translation: Problems of Information Transmission, 1996, vol.32, no.2, pp. 171-175).
4. Ipatov V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications. New York, John Wiley and Sons Ltd, 2005. (Russ. ed.: Ipatov V.P. Shirokopolosnye sistemy i kodovoe razdelenie signalov. Printsipy iprilozheniya. Moscow, Tekhnosfera Publ., 2007. 488 p.).
5. Welch L.R. Lower Bounds on the Maximum Cross Correlation of Signals. IEEE Trans. Inform. Theory, 1974, vol. 20, no. 3, pp. 397-399. DOI: 10.1109/TIT.1974.1055219
6. Pestryakov V.B., Afanas'ev V.P., Gurvits V.L., Zaytsev D.L., Zelikman L.I., Pestryakov A.V., Senyavskiy A.L., Smirnov N.I. Shumopodobnye signaly v sistemakhperedachi informatsii [Noise-like signals in data transmission systems]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1973. 424 p. (in Russian).
