CC BY
116
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл№ФС77- 30569. Государственная регистрация №0421100025.ISSN 1994-04OS_
Ансамбли последовательностей GMW для систем с кодовым разделением каналов
77-30569/293828
# 01, январь 2012
Юдачев С. С., Калмыков В. В.
УДК 621.396.4
МГТУ им. Н.Э. Баумана j udachev@ gmail.com
В настоящее время технология многостанционного доступа с кодовым разделением каналов (CDMA), признана наиболее перспективной для использования в будущих поколениях сетей мобильной связи. Эта технология основана на расширении спектра за счет использования псевдослучайных последовательностей (ПСП). Расширение спектра производится путем модуляции несущего колебания по закону псевдослучайной последовательности. При этом используют либо прямой метод модуляции (системы DS-CDMA), либо модуляцию скачкообразным переключением частоты (FH-CDMA).
Известно достаточно много ансамблей бинарных ПСП, используемых при построении систем связи - последовательности максимальной длины регистра сдвига (М-последовательности), последовательности Голда, Касами, ,Камалетдинова, Баркера, Лежандра, Гордона-Милза-Уэлча (GMW) и др. [1].
Разделение каналов в системе с CDMA осуществляется за счет присвоения каждому абонентскому каналу кодовой ПСП, корреляция которой с последовательностями других каналов минимальна. Центральный пик автокорреляционной функции (АКФ) кодовых последовательностей, используемых в асинхронных системах связи должен существенно превышать боковые лепестки АКФ, а максимальные выбросы взаимнокорреляционных функций (ВКФ) этих последовательностей при всех сдвигах должны быть по возможности минимальны. Для синхронных систем требования к ВКФ не такие жесткие - достаточно обеспечить малую взаимную корреляцию последовательностей в одной точке. Очевидно, что чем более представительный ансамбль последовательностей с минимальной взаимной корреляцией тем больше может быть абонентов в системе. Важным требованием, предъявляемым к современным системам с CDMA, является обеспечение конфиденциальности передачи. С этой целью необходимо.применять ПСП с
большим периодом и высоким показателем неопределенности, т.е. с большой линейной сложностью [2].
Широко используемые в настоящее время М-последовательности, коды Г олда и Касами поддаются легкой расшифровке. Этого недостатка лишены последовательности, функция формирования которых нелинейна, в частности, последовательности, предложенные Гордоном, Милзом и Уэлчем (GMW).[1] Несомненными их достоинствами являются представительный ансамбль, при больших длинах значительно превосходящий ансамбль М-последовательностей, и достаточно хорошие корреляционные свойства. Однако свойства ансамблей последовательностей GMW, ввиду сложности их формирования, изучены еще недостаточно, методы практической генерации исследованы также мало.
Известные способы генерации GMW последовательностей основаны на том, что любую М-последовательность длины 2N - 1, где N = mk, т> 2, к > 3, можно представить в виде двумерной матрицы из z = 2к-1 столбцов и v=(2n-1)/z строк. При этом каждая строка является либо некоторым сдвигом более короткой М -последовательности длины 2к~1, либо строкой из одних нулей. Это свойство получило название декомпозиционного свойства М - последовательности, а матрица - декомпозиционной матрицы [3]. Для построения последовательностей GMW длины 2N-1(N = mk, т>2, к >3) в декомпозиционной матрице М-последовательности с параметрами z и v необходимо все ненулевые строки, являющиеся сдвигами некоторой более короткой М-последовательности длины z, заменить на строки с теми же сдвигами, но уже другой М -последовательности длины z, не являющейся сдвигом заменяемой М -последовательности. Общее число получаемых GMW-последовательностей при разложении N = mk будет равно числу различных базисных последовательностей [4].
Все описанные в литературе способы формирования GMW последовательностей основаны на принципе декомпозиции и отличаются только сложностью реализации. Для получения конкретных образцов последовательностей, которые могут быть полезны при исследовании возможностей практического применения в системах с CDMA, а также их изучения были составлены алгоритм и программа. Структурная схема алгоритма представлена на рисунке 1
Последовательность GMW периода L=2N -1 где N = mk, т>2 ,к >3 формируется путем декомпозиции P символов различных сдвигов базисной М-последовательности периода L1=2k~1, где P выбирается из условия P=(L+1)/(L1+1), S=L/L1, P<S, и (S-P) символов нуль-последовательностей, состоящих из L1 нулей. При этом
каждый сдвиг М-последовательности является целым числом (0, L1), которое берут из декомпозиционного правила Ip.
Для реализации алгоритма была выбрана среда C++Builder 2009, заданы переменные начальные условия и две функции - сдвига строки и собственно реализации алгоритма. Программное воплощение полностью соответствует структурной схеме, приведенной на рис. 1.
Для получения последовательностей GMW достаточно задать базисную М-последовательность и правило декомпозиции - строку чисел длины L1+1 со значениями от 0 до L1-1.
Полученные результаты приведены в таблице 1. Из-за сложности получения декомпозиционных правил и для наглядности был выбран ансамбль GMW последовательностей длиной L= 6 3 символа.
Существуют две базисных М-последовательностей длины 7, каждая из них порождает полуансамбль ПСП GMW периода 63.
Для исследования корреляционных свойств полученного ансамбля GMW последовательностей (Таблица 1) была составлена программа и вычислены периодические автокорреляционные функции (ПАКФ ) и апериодические автокорреляционные функции (ААКФ) каждой ПСП из ансамбля, периодические взаимокорреляционные функции (ПВКФ) и апериодические взаимокорреляционные функции (АВКФ) для всех возможных пар ПСП для каждого из двух полуансамблей, а также ПВКФ и АВКФ для пар ПСП, принадлежащих разным полуансамблям, т.е. полученным на основе различных базисных ПСП.
Результаты подтвердили правильность составленной программы и алгоритма:
1) В каждом полуансамбле выделены 3 базовые последовательности. Все остальные ПСП из полуансамбля являются последовательными сдвигами базовых на период кратный 9-ти символам (Таблицы 2 и 3). Например, последовательность 14 является циклическим сдвигом последовательности 4 на 36 символов. Таким образом, существует только 6 образцов полностью уникальных последовательностей GMW периода 63 (Таблица 4).
N
Построение ПСП Є/Ш/Удлины 1. = 2ы-1
М = тк; т£2; к£3
У
Выбор базисной М-последовательсности
11=2к-1
і
Нахождение коэффициентов
Ь,+1’ 5=—; Р<Б А
и, 4. ^
Формируем матрицу Ц х Ц сдвигов базисной /^-последовательности
Л
</<
^,-1
Формируем матрицу (Б-Р) * Ц
нуль-последовательностей
(5 -Р)
0
0
0
ц 0
0
0
0
К каждой строке матрицы применяем оператор перестановок 1р. Получаем матрицу Р*Ц, где Р - количество символов оператора перестановок.
Р
*11 4р па с1Р . мі . <іР *1(М> (ір гнп
4Р ГЧ а. *« йР . Гп (іРип
<*? ОІ СІр гы Лр . г» .
^Р41 ар г» Аг . •О .. <іР Г«(М»
ар ПХ»И с!р . мч» .. <ір М<|ИМ) с1Р М1|Я« ,
По горизонтали в матрице - р-тые символы соответсвующих строк матрицы сдвигов
Чередуем строки матрицы 1Р - тых символов и строки матрицы нулей.
Получаем вМШ последовательность.
Рис. 1. Структурная схема алгоритма формирования GMW последовательностей
№ Последовательности GMW Правило декомпозиции Базисная М-последовательность
1 2 3 4
1 1110111101101101101000111100110000001011101100 01101000010101000 01430200 1110100
2 1011001101011000101110110100101111001110111100 00000100010111000 05015540 1110100
3 1001110101110100101110001100111111001001011100 11101000000010100 06641450 1110100
4 1110100101110001100111111001001011100111010000 00010100100111010 10052561 1110100
5 1101101101000111100110000001011101100011010000 10101000111011110 12541311 1110100
6 1011000101110110100101111001110111100000001000 10111000101100110 16126651 1110100
7 1110110100101111001110111100000001000101110001 01100110101100010 20230062 1110100
8 1110001100111111001001011100111010000000101001 00111010111010010 21163602 1110100
9 1000111100110000001011101100011010000101010001 11011110110110110 23652422 1110100
10 0101111001110111100000001000101110001011001101 01100010111011010 31341103 1110100
11 0111111001001011100111010000000101001001110101 11010010111000110 32204013 1110100
12 0110000001011101100011010000101010001110111101 10110110100011110 34063533 1110100
13 1110111100000001000101110001011001101011000101 11011010010111100 42452214 1110100
14 1001011100111010000000101001001110101110100101 11000110011111100 43315124 1110100
15 1011101100011010000101010001110111101101101101 00011110011000000 45104644 1110100
16 0000001000101110001011001101011000101110110100 10111100111011110 53563325 1110100
17 0111010000000101001001110101110100101110001100 11111100100101110 54426235 1110100
18 0011010000101010001110111101101101101000111100 11000000101110110 56215055 1110100
19 0101010001110111101101101101000111100110000001 01110110001101000 60326166 1110100
20 0101110001011001101011000101110110100101111001 11011110000000100 64604436 1110100
21 0000101001001110101110100101110001100111111001 00101110011101000 65530346 1110100
1 2 3
1’ 11110111000101010000101100011011101000000110011 1100010110110110 00504360 1001011
2’ 10111001001010000000101110011101001001111110011 0001110100101110 02363110 1001011
3’ 11001101000111010001000000011110111001111010010 1101110100011010 03226020 1001011
4’ 00101010000101100011011101000000110011110001011 0110110111101110 11615401 1001011
5’ 01010000000101110011101001001111110011000111010 0101110101110010 13404221 1001011
6’ 00111010001000000011110111001111010010110111010 0011010110011010 14330131 1001011
7’ 00101100011011101000000110011110001011011011011 1101110001010100 22026512 1001011
8’ 00101110011101001001111110011000111010010111010 1110010010100000 24515332 1001011
9’ 01000000011110111001111010010110111010001101011 0011010001110100 25441242 1001011
10’ 11011101000000110011110001011011011011110111000 1010100001011000 33130623 1001011
11’ 11101001001111110011000111010010111010111001001 0100000001011100 35626443 1001011
12’ ПП0Ш00Ш1010010П0Ш01000П010П00П01000 1110100010000000 36552353 1001011
13’ 01111010010110111010001101011001101000111010001 0000000111101110 40663464 1001011
14’ 00000110011110001011011011011110111000101010000 1011000110111010 44241034 1001011
15’ 01111110011000111010010111010111001001010000000 1011100111010010 46030554 1001011
16’ 11000111010010111010111001001010000000101110011 1010010011111100 50141665 1001011
17’ 10110111010001101011001101000111010001000000011 1101110011110100 51004505 1001011
18’ 11110001011011011011110111000101010000101100011 0111010000001100 55352145 1001011
19’ 10010111010111001001010000000101110011101001001 1111100110001110 61252006 1001011
20’ 10001101011001101000111010001000000011110111001 1110100101101110 62115616 1001011
21’ 11011011011110111000101010000101100011011101000 0001100111100010 66463256 1001011
№ Последовательности GMW Правило декомпозиции
1 11101111011011011010001111001100000010111011000110100001 0101000 01430200
2 10110011010110001011101101001011110011101111000000010001 0111000 05015540
3 10011101011101001011100011001111110010010111001110100000 0010100 06641450
4 11101001011100011001111110010010111001110100000001010010 0111010 10052561
5 11011011010001111001100000010111011000110100001010100011 1011110 12541311
6 10110001011101101001011110011101111000000010001011100010 1100110 16126651
7 11101101001011110011101111000000010001011100010110011010 1100010 20230062
8 11100011001111110010010111001110100000001010010011101011 1010010 21163602
9 10001111001100000010111011000110100001010100011101111011 0110110 23652422
1 0 01011110011101111000000010001011100010110011010110001011 1011010 31341103
1 1 01111110010010111001110100000001010010011101011101001011 1000110 32204013
1 2 01100000010111011000110100001010100011101111011011011010 0011110 34063533
1 3 11101111000000010001011100010110011010110001011101101001 0111100 42452214
1 4 10010111001110100000001010010011101011101001011100011001 1111100 43315124
1 5 10111011000110100001010100011101111011011011010001111001 1000000 45104644
1 6 00000010001011100010110011010110001011101101001011110011 1011110 53563325
1 7 01110100000001010010011101011101001011100011001111110010 0101110 54426235
1 8 00110100001010100011101111011011011010001111001100000010 1110110 56215055
1 9 01010100011101111011011011010001111001100000010111011000 1101000 60326166
20 01011100010110011010110001011101101001011110011101111000 0000100 64604436
2 1 00001010010011101011101001011100011001111110010010111001 1101000 65530346
№ Последовательности GMW Правило декомпозиции
1 1111011100010101000010110001101110100000011001111000101 10110110 00504360
2 1011100100101000000010111001110100100111111001100011101 00101110 02363110
3 1100110100011101000100000001111011100111101001011011101 00011010 03226020
4 0010101000010110001101110100000011001111000101101101101 11101110 11615401
5 0101000000010111001110100100111111001100011101001011101 01110010 13404221
6 0011101000100000001111011100111101001011011101000110101 10011010 14330131
7 0010110001101110100000011001111000101101101101111011100 01010100 22026512
8 0010111001110100100111111001100011101001011101011100100 10100000 24515332
9 0100000001111011100111101001011011101000110101100110100 01110100 25441242
10 1101110100000011001111000101101101101111011100010101000 01011000 33130623
11 1110100100111111001100011101001011101011100100101000000 01011100 35626443
12 1111011100111101001011011101000110101100110100011101000 10000000 36552353
13 0111101001011011101000110101100110100011101000100000001 11101110 40663464
14 0000011001111000101101101101111011100010101000010110001 10111010 44241034
15 0111111001100011101001011101011100100101000000010111001 11010010 46030554
16 1100011101001011101011100100101000000010111001110100100 11111100 50141665
17 1011011101000110101100110100011101000100000001111011100 11110100 51004505
18 1111000101101101101111011100010101000010110001101110100 00001100 55352145
19 1001011101011100100101000000010111001110100100111111001 10001110 61252006
20 1000110101100110100011101000100000001111011100111101001 01101110 62115616
21 1101101101111011100010101000010110001101110100000011001 11100010 66463256
Последовательности GMW и максимальный уровень боковых лепестков их ААКФ
№ Последовательности GMW Правило декомпозиции Максимальный уровень боковых лепестков ААКФ
Базисная последовательность - М-последовательность 111G1GG
1 111G1111G11G11G11G1GGG1111GG11GGGGGG1G 111G11GGG11G1GGGG1G1G1GGG G143G2GG 7
2 1G11GG11G1G11GGG1G111G11G1GG1G1111GG11 1G1111GGGGGGG1GGG1G111GGG G5G1554G 7
3 1GG111G1G111G1GG1G111GGG11GG111111GG1G G1G111GG111G1GGGGGGG1G1GG G664145G 7
Базисная последовательность - М-последовательность 1GG1G11
4 1111G111GGG1G1G1GGGG1G11GGG11G111G1GGG GGG11GG1111GGG1G11G11G11G GG5G436G 9
5 1G111GG1GG1G1GGGGGGG1G111GG111G1GG1GG1 11111GG11GGG111G1GG1G111G G236311G 8
6 11GG11G1GGG111G1GGG1GGGGGGG1111G111GG1 111G1GG1G11G111G1GGG11G1G G3226G2G 9
2) ПАКФ базовых последовательностей из таблицы 4 являются такими же, как у М— последовательностей [5].
3) Максимальный уровень боковых лепестков ААКФ последовательностей GMW соизмерим с максимальным уровнем для М-последовательностей.
4) Максимальные выбросы ПВКФ возможных комбинаций пар последовательностей GMW также не превышают уровня максимальных выбросов ПВКФ М-последовательностей.
5) Максимальные выбросы ПВКФ между любыми парами GMW и М-последовательностей не превышают уровней ПВКФ для М-последовательностей
Заключение
Предложенные в статье алгоритм и программа формирования последовательностей могут быть полезны при исследовании свойств класса нелинейных последовательностей GMW для перспективных систем с кодовым разделением каналов.
Список литературы
1. Golomb S.W., Gong. G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Criptography and Radar . Cambridge University Press , 2005.- 438 P.
2. Системы сотовой и спутниковой связи / В.В.Калмыков, И.Б.Федоров, С.С.Юдачев. Изд.-во «Рудомино», 2010. 280 с.
3. Стельмашенко Б.Г., Тараненко П..Г. Нелинейные псевдослучайные последовательности в широкополосных системах передачи информации. -Зарубежная радиоэлектроника 1988. №9. С. 76-82.
4. Мешковский К.А., Кренгель Е.И. Генерация псевдослучайных последовательностей Гордона, Милза, Велча.. Радиотехника.1998.№5. С. 25-28.
5. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации / В.Б.Пестряков, В.П. Афанасьев, В.Л.Гурвиц и др. ; Под. ред. В.Б.Пестрякова. Сов. Радио, 1973. 424 с.
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
Ensembles of GMW sequences for systems with code channel separation
77-30569/293828 # 01, January 2012
Yudachev S.S., Kalmykov V.V.
Bauman Moscow State Technical University
j udachev@ gmail.com
The article considers software implementation and evaluation of properties of one of the classs of nonlinear sequences - GMW sequences for use in CDMA communication systems with code division multiplexing.
Publications with keywords: pseudorandom binary sequences, correlation properties, multiple access
Publications with words: pseudorandom binary sequences. correlation properties. multiple access
Reference
1. Golomb S.W., Gong. G., Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication. Criptography and Radar, Cambridge University Press, 2005, 438 p.
2. V.V.Kalmykov, I.B.Fedorov, S.S.Iudachev, Systems of Cellular and satellite communications, Izd.-vo «Rudomino», 2010, 280 p.
3. Stel'mashenko B.G., Taranenko P.G., Nonlinear pseudorandom sequences in a broadband information transmission systems, Zarubezhnaia radioelektronika 9 (1988) 76-82.
4. Meshkovskii K.A., Krengel' E.I., Generation of pseudorandom sequences Gordon, Maraa, Welch, Radiotekhnika 5 (1998) 25-28.
5. V.B.Pestriakov, V.P. Afanas'ev, V.L.Gurvits, et al., in: V.B. Pestriakov (Ed.), Noise-like signals in the systems of information transmission, Sov. Radio, 1973, 424 p.
