ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 501.1

Д. А. Бредихин

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Основы алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены А. Тарским [1].

Операции над отношениями, как правило, задаются формулами логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операция является класс диофан-товых операций. Операция называется диофантовой [2, 3] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [4]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования.

Предметом нашего рассмотрения будут алгебры отношений с одной бинарной диофантовой операцией, то есть группоиды отношений. Мотивация подобного рода исследований, а также некоторые результаты в этом направлении можно найти в статьях [5-9].

Обозначим (R{Q, С}) как класс алгебр (упорядоченных ал-

гебр) изоморфных алгебрам (упорядоченным теоретико-множественным включением С алгебрам) отношений с операциями из Q.

Пусть Var{ü} (Var{ü, С}) - многообразие, порожденное классом R{ü} (R{ü, с}).

Сосредоточим внимание на следующих бинарных операциях * и • над отношениями р, а С U х U, определяемых формулами:

р * а = {(u, v) Е U х U : (3w)(u, u) Е р Л (u, w) Е а},

р • а = {(u,v) Е U х U : (3w)(w,v) Е р Л (v,v) Е а},

а также теоретико-множественных операций пересечения П и объединения U отношений.

Группоидом, (A, •) назовают универсальную алгебру с одной бинарной операцией.

Упорядоченным группоидом (A, •, <) назовем группоид (A, •) с заданным на множестве A отношением порядка <, согласованным с операцией группоида. Это означает, что x < y влечет xz < yz и zx < zy. Основные результаты работы сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 1. Класс Я{*} образует многообразие. Группоид (А, •) принадлежит классу Я{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам:

(1) х(ху) = ху, (2) (ху)у = ху, (3) х2у = ху, (4) ху2 = ух2,

(5) (ху)г = (хг)у, (6) х(уг) = у(хг), (7) (ху2)г = х(у2г).

Теорема 2. Класс Я{*, С} образует квазимногообразие и не является многообразием. Упорядоченный группоид (А, •, <) принадлежит, многообразию Уат{*, С} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1)-(7), тождеству

(8) ху < х2.

Упорядоченный группоид (А, •, <) принадлежит классу Я{*, С}тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1)-(8), квазитождеству

(9) х < у2 ^ х < ух.

Теорема 3. Класс Я{*, Г\} образует многообразие. Алгебра (А, •, Л) типа (2, 2) принадлежит классу Я{*, П} тогда и только тогда, когда (А, Л) - полу решетка и (А, •, Л) удовлетворяет тождествам (1)-(7) и тождествам

(10) (хЛу)2 = х2Лу2 = х2у2, (11) х(у2Лг) = (ху2)г, (12) хЛху2х = хЛу2,

(13) (ху)(у Л г) = х(у Л г), (14) (х Л у)(уг) = (х Л у)г.

Теорема 4. Алгебра (А, •, V) типа (2, 2) принадлежит, многообразию Уат{*, и} тогда и только тогда, когда (А, V) - полурешетка и (А, •, V) удовлетворяет тождествам (1)-(8) и тождествам

(15) х(у V г) = ху V хг, (16) (х V у)г = хг V уг, (17) ху V х2 = ху.

Теорема 5. Алгебра (А, •, V, Л) типа принадлежит, многообразию Уат{*, и, П} тогда и только тогда, когда (А, V, Л) - дистрибутивная

решетка и (A, •, V, Л) удовлетворяет тождествам (1)-(7), (10)-(14) и (15)-(16).

Результаты для операции • формулируются двойственным образом.

Доказательство теорем основывается на описании эквациональных и квазиэквациональных теорий алгебр отношений с диофантовыми операциями (см. [2]).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tar ski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4. P. 73 -89.

2. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн, 1997. JV2 1. С. 29-41.

3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

4. Boner F., Po-schel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

5. Bredikhin D. A On Varieties of Groupoids assosiated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-92.

6. Bredikhin D. A On relation algebras with general superpositions // Colloq, Math. Soc. J. Bolvai. 1994. Vol. 54. P. 11-124.

7. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 93-98.

8. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений диофантовыми операциями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 28-34.

9. Bredikhin D. A On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrifieation // Algebra Univers, 2015. Vol. 73. P. 73 -89.

УДК 514.76

А. В. Букушева

ПРОДОЛЖЕННЫЕ ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ С МЕТРИКОЙ ЧИГЕРА^ГРОМОЛА

На распределении D многообразия M с почти контактной метрической структурой (M, £, г/, ф, g, D) с помощью ассоциированной связности определяется и исследуется почти контактная метрическая структура, называемая продолженной почти контактной метрической структурой с метрикой Чигера-Громола.

В 1972 году Чигер и Громол [1] предложили конструкцию метрического тензора, определяемого на касательном расслоении ри.ми-нови многообразия. Нечетным аналогом касательного расслоения яв-

D