CC BY
5
4, Bondarenko N. P. An inverse problem for the integro-differential Dirae system with partial information given on the convolution kernel, Cornell University Library, 2018, URL: https://arxiv.org/abs/1802.04761 (дата обращения: 28.05.2018).
УДК 501.1
Д. А. Бредихин
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГРУППОИДОВ БИНАРНЫХ
ОТНОШЕНИЙ
Поступила в редакцию 80.05.2018 г.
Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из обозначим Основы алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены Тарским [1]. При изучении различных классов алгебр отношений одной из естественным образом возникающей проблем является следующая: найти базис тождеств для многообразия Var{Q}, порождённого классомЯ{й}, и выяснить вопрос о конечной базируемости этого многообразия.
Операции над отношениями, как правило, задаются с помощью формул исчисления предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими [2]. Операция над отношениями называется диофанто-вой [3,4] (в другой терминологии примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей префиксной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. Предметом нашего рассмотрения будут классы алгебр отношений с одной бинарной дифантовой операцией, то есть группоиды отношений. К указанным классам, в частности, относятся полугруппы и рестриктивные полугруппы отношений (см. [6]). Однако далеко не всякая бинарная диофантовая операция над отношениями является ассоциативной. Это приводит к необходимости рассмотрения неассоциативных группоидов. Интерес к неассоциативным группоидам стимулируется также возможностью применения их в криптографии [7]. Более подробную мотивацию подобного рода исследований, а также ряд полученных результатов в этом направлении можно найти в работах [8-12].
Сосредоточим внимание на следующей бинарной диофантовой операции * над отношениями р, а С U х U, определяемой формулой р * а = {(u,v) Е U х U : (3w)(u, w) Е р Л (w,u) Е а}.
Рассмотрим счетное множество символов переменных А, в качестве которых будем использовать малые буквы латинского алфавита (возможно с индексами). Множество 2 термов группоида может быть определено как наименьшее подмножество слов алфавита Л и {(,)}, удовлетворяющее следующим условиям: Л С 2 и р,д € 2 ^ (рд) € Определим подмножество в множества термов 2 как наименьшее подмножество, удовлетворяющее условиям: Л С 2 и х € Л, р € 2 ^ (хр), (рх) € 2 Вхождение сим вола х € Л в запись те рмар € в назовем регулярным справа, если слева и справа от этого символа стоит закрывающая скобка. Терм д, полученный из терма р посредством удаления из его записи
х € Л
справа от него закрывающей скобки, назовем правым редуктом терма р
опускаться.
Теорема. Многообразие Уат{*} не является конечно базируемым. Группоид (А, •) принадлежит многообразию Уат{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам:
(ху)у = хУ-. (1)
(ху)2 = xy, (2)
х(у х) = ху , (3)
(х у)г = (х г)у, (4)
х2(уг) = х (гу), (5)
(ху2)г2 = х(у2г2). (6)
и для каждого терма р € в и его правого редукта д тождеству
рд = р. (7)
Доказательство необходимости тождеств (1) - (7) осуществляется непосредственной проверкой. Доказательство достаточности основывается на описании эквациональных теорий алгебр отношений с диофантовыми операциями с помощью аппарата помеченных графов [13]. Предварительно устанавливается структура термов группоидов, входящих в многообразие, задаваемое указанными в теореме тождествами.
Согласно описанию эквациональных теорий алгебр отношений с ди-
р
ставлен некоторый граф специального вида О(р). Находится описание
строения графов, соответствующих термам группоидов отношений с рассматриваемой операцией *. На основании этого описания доказывается следующая лемма.
Лемма. Предположим, что существует гомоморфизм графа G(q) в граф G(p), где термы p и q не являются индивидуальными переменными. Тогда, тождество p = pq принадлежит, эквациональнои, теории класса Д{*}. Далее с использованием этой леммы и основного результата из [13] показывается, что всякое тождество, принадлежащее эквациональной теории класса Д{*}, является следствием тождеств (1) - (7), что означает, что указанная система тождеств образует базис многообразия Var{*}. Доказательство бесконечной базируемо-сти рассматриваемого многообразия сводится к построению счетной последовательности группоидов, не принадлежащих Var{*}7 ультро-произведение которых по ультрофильтру Фреше принадлежит этому многообразию.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Tar ski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 3. P. 73-89.
2. Jonsson B. The theory of binary relations // Algebraic Logic. 1991. Vol. 54. P. 245292.
3. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирский матем, журн, 1997. JV2 1. С. 29-41.
4. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594 - 595.
5. Boner F., Po-schel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.
6. Schein В. M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. Vol. 1. P. 1-62.
7. Катышев С. Ю., Марков В. Т., Нечаев А. А. Использование неассоциативных группоидов для реализации процедуры открытого распределения ключей // Дискрет. матем. 1914. Т. 26, JV2 3. С. 45-64.
8. Bredikhin D. A On relation algebras with general superpositions // Colloq, Math. Soc. J. Bolvai, 1994. Vol. 54. P. 11-124.
9. Bredikhin D. A On Varieties of Groupoids assosiated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-92.
10. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 93-98.
11. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений диофантовыми операциями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 28-34.
12. Bredikhin D. A On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrifieation // Algebra Univers, 2015. Vol. 73. P. 73 -89.
13. Бредихин Д. A. The equational theory of algebras of relations with positive operations // Rus. Math. 1993. № 3. C. 23-30. "
