О МНОГООБРАЗИИ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ ДЕСКРИПЦИИ СОВЕМЕСТНЫХ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 501.1

И. Е. Бондаренко, Д. А. Бредихин

О МНОГООБРАЗИИ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ ДЕСКРИПЦИИ СОВМЕСТНЫХ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК

Настоящая работа представляет собой продолжение исследований, предпринятых в ряде статей [1-5], автором которых является Д. А. Бредихин (в том числе и в статье, представленной в этом сборнике), посвященных изучению различных классов группоидов бинарных отношений.

Алгебры, элементами которых являются бинарные отношения, называются алгебрами отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения. Основы алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены А. Тарским [6]. В настоящее время теория алгебр отношений является существенной составной частью алгебраической логики и современной общей алгебры. При рассмотрении алгебр отношений одной из важных задач является изучения их свойств, выразимых с помощью тождеств, что естественно приводит к рассмотрению многообразий, порожденных различными их классами.

Как правило, операции алгебр отношений задаются с помощью формул логики предикатов 1-го порядка. Такие операции называются логическими. Это позволяет классифицировать операции над отношениями по виду задающих их формул. Важным классом операция над отношениями является класс диофантовых операций. Операция называется ди-офаптовой [7, 8] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [9]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают описание с помощью графов специального вида - двухполюсников (см. [1, 9]).

В алгебре преимущественно рассматриваются бинарные операции. Это естественно приводит к необходимости изучения алгебр отношений с одной бинарной операцией, то есть группоидов отношений. Мотивацию подобного рода исследований, а также некоторые результаты в этом направлении можно найти в [1-5].

Классификация двухполюсников, задающих бинарные диофантовые операции, приведена в [1]. Они представляют собой двух рёберные графы с двумя выделенными точками - входом и выходом двухполюсника.

Отметим, что изучение свойств этих операций в логике предикатов играют роль, в чём-то схожую с ролью двухместных булевых функций в логике высказываний.

Предметом нашего рассмотрения будет следующая бинарная операция * над отпошениями р, а С и х и, определяемая следующей формулой:

р * а = {(п,у) Е и х и : (Зи)(и,и) Е р Л (и), и)) Е а}.

Интерес к этой операции, в частности, объясняется и тем, что её результат р * а равен универсальному отношению, если отношения р и а имеют общую неподвижную точку, и равен пустому множеству 0, в противном случае. По этой причине назовём эту операцию дескриптором совместных неподвижных точек отношений.

Обозначим Я{О} (Я{и, С}) класс алгебр (упорядоченных алгебр) изоморфных алгебрам (упорядоченным теоретико-множественным включением С алгебрам) отношений с операциями из О.

Пусть Уат{О} (Уат{О, С}) - многообразие, порожденное классом Я{П} (Я{П, с}).

Теорема 1. Группоид (А, •) принадлежит, многообразиюУат{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам: (1) ху = yx, (2) (ху)2 = ху, (3) (ху)у = ху, (4) х2у = ху, (5) (ху2)х = х(у2г).

Теорема 2. Упорядоченный группоид (А, •, <) принадлежит, многообразию Уат{*, С} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1)-(5), тождеству

(6) ху < х2.

Доказательство теорем основывается на описании эквациональных теорий алгебр отношений с диофантовыми операциями [10].

При этом следует отметить, что нахождение конечного базиса тождеств для конкретных классов группоидов бинарных является самостоятельной задачей, решение которой существенным образом использует индивидуальные свойства рассматриваемых операций и не сводится к стандартной проверке некоторых условий.

Доказательство разбито на ряд лемм. Некоторые из этих лемм формулируются ниже.

Пусть X = {х1,..., хп,... } - множество индивидуальных переменных и £ - множество всех термов группоида над алфавитом X.

Лемма 1. Для любого терма р Е £ либо р Е X, либо р представим

в виде (. . . (х^1 х<12 )(х'13 х'14 )) . . .)(х«2т-1 х«2 т )'

Всякому терму р может быть сопоставлен двухполюсник О(р) (см. [10]). В работе находится строение двухполюсников соответствующих

термам группоида отношений с рассматриваемой операцией. На основании этого описания доказываются следующие леммы.

Лемма 2. Предположим, что существует гомоморфизм двухполюсника G(q) в двухполюсник G(p), где p,q ф X. Тогда тождество p < pq принадлежит, эквациональнои, теории класса R{*, С}.

Лемма 3. Предположим, что существует гомоморфизмы двухполюсника G(q) в двухполюсник G(p) и двухполюсника G(p) в двухполюсник G(q), где p,q ф X. Тогда тождество p = pq принадлежит, эквациональнои, теории класса R{*}.

Далее с использованием основного результата из [10] показывается, что всякое тождество, принадлежащее эквациональной теории класса R{*} (R{*, С}, является следствием тождеств (1) - (5), (1) - (6), что завершает доказательство достаточности условий теорем. Необходимость условий устанавливается непосредственными вычислениями.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bredikhin D. A On relation algebras with general superpositions // Colloq, Math. Soe. J. Bolyai. 1994. Vol. 54. P. 11-124.

2. Bredikhin D. A On Varieties of Groupoids assosiated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-92.

3. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 93-98.

4. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений диофантовыми операциями // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 28-34.

5. Bredikhin D. A On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cvlindrifieation // Algebra Univers, 2015. Vol. 73. P. 73-89.

6. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4. P. 73-89.

7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. жури, 1997. JV2 1. С. 29-41.

8. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

9. Boner F., Po-schel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

10.Bredikhin D. A The equational theory of algebras of relations with positive operations // Eus. Math. (Izv. Vuzov. Matem.). 1993. № 3. C. 23-30.