Об одном классе функционалов Ляпунова для гиперболической системы на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 32-36.

УДК 517.9

РГТЭУ

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

Исследуется прямым методом Ляпунова устойчивость в 1*2 - норме решений задачи Коши для указанного в названии статьи класса гиперболических систем. Предложен подход к построению класса функционалов Ляпунова. Приведён иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: задача Коши, экспоненциальная устойчивость.

1. За последние три десятилетия существенно продвинута теория устойчивости для подкласса динамических систем, описываемого системами уравнений с частными производными гиперболического типа с двумя независимыми переменными (см. статьи [1] - [17] и книги [18],

[19]). В частности, в вышедшем в последние годы цикле работ [12] -

[17] построен вариант прямого метода Ляпунова для таких систем. Этим методом доказаны достаточные признаки экспоненциальной устойчивости в ^2" норме решений задачи Коши и смешанной задачи. Получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах ([13], [20], [21]).

Основная трудность, возникающая при применении результатов работ [13] - [16] к конкретным динамическим системам этого типа состоит в эффективном построении функционала Ляпунова, отвечающего за устойчивость. Данная работа посвящена этой проблематике. Предложен подход к построению класса таких функционалов, приведен иллюстрирующий пример.

Далее | • | - эрмитова норма в , так же обозначается согласованная с ней матричная норма.

2. Обозначим через Н гильбертово пространство функций

Л —> СМ со скалярным произведением

Рассмотрим задачу Коши для гладкой линейной гиперболической системы с кратными характеристиками, записанной в инвариантах:

^,к) г* (s)g(s)ds,

© М.В. Мендзие, А.М. Романовская, 2010

Lu =

- + A( x)— + B( x)

ot os

u = 0, x = (s, t )еП = Rx [0,oc),

U\t-Q = h(s) e H-

Здесь u : П —> CN - функция A = diag(aj/j,...,anIn), сц(x) >... > an (x),

11- - единичная матрица порядка , TNk=N, В: П —>Mat(N,C), A, A's , A}, В ограничены, |ад-| > const > 0 . При этих

условиях, в частности, проходящие через каждую точку х = (л,/) е 11 характеристики

(х) = {(сг,г) : сг = st (г, х), s'1T =

= at (si, г), s* (t; s, t) = s}, i = 1, n,

определены глобально и пересекают каждую горизонталь и вертикаль один раз.

В частном случае h е Hq задача Коши

(1) однозначно разрешима в классе С [(П), при этом ограничение u{t) решения на каждую горизонталь t = const - элемент Н0, и оператор Коши U(t):h—>u(t) ограничен. В случае произвольной функции h еН под решением понимается функция u(t) = U(t)h, где U(t) - продолжение

по непрерывности оператора Коши из Hq в Я.

Будем говорить, что решение U = 0 системы Lu = 0 экспоненциально устойчиво, если при некоторых jU , V > 0 выполняется оценка

\\U(t)\\<jue-u (t> 0).

Обозначим через J класс матриц вида

F = diag(Fi(x),...,Fn(x)) (хеП)

с диагональными блоками порядков N\,...,Nn со свойствами:

F*=F,, ЦеС1, тх1г <Ft< т21г (mk = тк (F) > 0) .

Построим по матрице F eJ функционал, полагая: // * |(). / ) > ;\

00

V(h, t) = (Fh, /2) = \h (s)F(s, t)h(s)ds . (2)

Производная функционала V вдоль траекторий динамической системы (1), лежащих в Hq , дается формулой (см. [16])

(1)

V(h,t) = (Gh,h), G(x)=Ft'+(FA)'s-FB-B*F. (3)

Будем говорить, что эрмитова матрица (3) равномерно отрицательна, и писать G «; 0 , если при некотором т > О равномерно по х е П выполняется неравенство G < —ml (I - единичная матрица соответствующего порядка). Имеет место Теорема 1 (см. [16]). Для экспоненциальной устойчивости точки покоя и = О динамической системы (1) достаточно, чтобы при некоторой матрице F eJ функция G(x) была равномерно отрицательна:

G(x) = Ft' + (FA)'s-FB-B*F<K0. (4)

Будем называть функционал (2) функционалом Ляпунова для динамической системы (1), если матрица F удовлетворяет (4). Далее предложен подход к построению класса решений F eJ неравенства (4) при дополнительных условиях на коэффициенты А, В оператора L .

3. Представим матрицу В в блочном виде в соответствии с диагональными

блоками матрицы А: В =| В у I” , где By -блок размера А', х Nj .

Будем предполагать:

1°. Выполняются соотношения

Re Вц (х) > /?/г (у3 = const >0, / = 1 ,п). (5)

В частном случае строго гиперболической системы (1) все А', = 1, блоки Вп -числа, и требование (3) проверяется непосредственно.

2°. Выполняется соотношение

а = max sup e.l (z, x) < 00 при et =e*

\aL

.dr

(6)

x, z

где [х,г]е£^ (см. рис.). В частном случае А = А(я) оценка (6) следует из указанных выше (п.2) условий на матрицу А. В са-

ёсг

a

мом деле, подставляя в (6) dт =

о,-(o')

по-

лучим

z

\a\dT= J —^———dcr — In

x

с2

где С1 = зир|аг (5)|, С2 = ^|аг (5)|, откуда г,5 г=5

следует требуемое.

Лемма 1. При условии 1° для матриц Римана первого рода (/, (г. х) гиперболической системы (1) имеют место оценки е-2Ь(т~% < и* (г, х)иг (г, х) < е~Шт-%

(г > ґ; і = 1, п), где і, т - ординаты точек х, г, Ь = тахзіір|/і,,|.

(7)

(8)

Доказательство. Зафиксируем на плоскости характеристику ( ■1 с уравнением сг = 5г (г). Обозначим В(т) = 5гг (5г (г),г) . Из (5), (8) следует:

/Зїї < Яе В(т) < Ъ її . (9)

Из определения матрицы Римана первого рода (см. [1]) следует, что матрица = иі(г,х), где г , х - точки на Iг-

с ординатами г, /, является разрешающей матрицей системы обыкновенных линейных уравнений с матрицей В (г):

+ад

dz

и = о, и\ =ІІ.

Требуемые оценки (7) непосредственно следуют из оценок Винтнера для решений линейной системы с матрицей (9) (см.[22, с. 182]).

Построим эрмитовы матрицы.

Лг(х) = х)и1(г, х)с1т

(х є П; і = 1, п),

(10)

где (/, - матрица Римана первого рода, ег

- функция, определённая в (6), £* - часть характеристики ^г(х), лежащая выше точки х (рис.). Из требования (6) и правой оценки (7) следует оценка сверху для матриц (10):

Aj (х) <-----------/г-.

2 р 1

(11)

Лемма 2. Равномерно по х е П, 7 = 1 ,п Лг(х)>га0/г- (щ>0). (12)

Доказательство. Зафиксируем на кривой £* точку х'о с ординатой / +1 и обозначим для краткости IV(г. х) подынтегральную матрицу - функцию в (10). С учетом Ж >0 имеем

x0

ЛДх) > \W(z,x)dt, [x,xq]s

(13)

Ввиду

требования

И;| < const

«о = inf a'is > _G0 • С Злетом выбора точки

х'о нетрудно получить:

Єо = inf Єі (z, x) >

ze[x,x q]

1,

если «о ^ 0, если «q < 0.

(14)

Из (13), (14) и левой оценки (7) следует требуемая оценка (12) при

щ =5:(1_е~26)-

2Ь

Поставим в соответствие набору чисел

Є = (£Ъ.£г>0 (15)

эрмитову индефинитную блок-матрицу

Г(х, е) = [Гу]”,

е,Л, Д, + є,В*Л

гУ =

Г„ = 0 (16) нуль-матрицы по-

(диагональные блоки рядков Ы\,...,Ып).

Теорема 2. Пусть коэффициенты А, В гиперболического оператора (1) удовлетворяют условиям, указанным в п.2 и п. 3, и пусть при некотором наборе (15) равномерно по хе П

Г(х,е)>-ё1 (0<3 < 1). (17)

Тогда матрица

^ = diag(slAl (х),..., £пАп (х)) (18)

является решением класса ./ неравенства (4); тем самым функционал (2) с матрицей (18) - функционал Ляпунова для динамической системы (1).

Доказательство. Включение р е./ следует из оценок (11), (12) и легко прове-

x

X

ряемой гладкости матриц Лг (х). Построим матрицы

С1(х) = -Е(Т + 1)Е,

С2 (х) = Ц + СК4); - га - вУ,

где Е = diag(лJs\,...,^Js^), Г, /■ -матрицы

(16), (18). Из (17) следует оценка С1(х)<-т1 (т = (1 - £) • пип , хеП), тем самым матрица (7| равномерно отрицательна: «: 0 . Для доказательства теоремы достаточно показать ()2 = ■ Про-

стые вычисления дают:

=[%]”, 02=[02у$,

где

*

<''1// = ('2 и = -(е,Л-5у + 8]Вр Л/) (' * У)

°1п =

4

dt

Giu = -tAi +а'іАі ~А~в«К

г гг гг г

di

— - производная по t вдоль характери-

dt

п , \ 5 / ч 5

стики 1,(х): — =-----------Ьа,(х)—

г dt dt 1 ds

Покажем,

что

di_

dt

Л* + aiAi ~ АІВІІ ~ ВІІАІ = -1, • (19)

Из формулы (6) для ег- (г, х),

X = е 11 (г) и двойственных соотноше-

ний для матриц Римана первого рода и-^2. х) (см. [1]) следуют равенства

di -----<

dt

^-и{=и{Вц, Ui(x,x)=Ii. dt

С зачетом этого, обозначая, как выше, матрицу под знаком интеграла в (10) Т¥(г,х), найдем:

И [•

= -Щх, х) - а? Шт +

Ж г “ !

it it

- -Іі - a'is^i + Л Дг

- В*А,-

откуда следует (19). Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполняется оценка

А) = maxsupl/i, I < ^ , (20)

i*j X 1 1 (n-\)a

где Р, а - постоянные (5), (6). Тогда матрица F = diag(Al,...,An) - решение класса J неравенства (4).

Доказательство. Обозначим

£■() = (1,•••,!) • Из (16) с учетом оценки (11) нетрудно усмотреть: при условии (20)

верно неравенство

max

Х!|Гу Є0)| - 5 = (" “ 1)“у < 1

(хеП). (21)

Число в левой части (21) - одна из норм матрицы Г(х. £()). Так как спектр матрицы лежит в круге радиуса «норма» с центром /1 = 0, то из (21) имеем для минимального собственного числа индефинитной матрицы Г (х. £()) оценку

Лщц! > —8 , равносильную оценке Г(х,£0) > —81. Применяя теорему 2, получим требуемое.

Пример. Рассмотрим задачу Коши для гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Гv”t - v"s + 2bv't + 2cv’s +dv = 0, (s, t) e П,

r’U=^>

(22)

b, с , rfeR, пара (q>, у/) финитна и достаточно гладкая. Замена

и =

щ

и2

= [(b-c)v + v's+v't]

приводит (22) к виду (1), где

А =

"1 0" b-c -1

, B =

0 -1 -q b + c

q = b2-c2-d, heH0.

Здесь требование (5) означает: b > |с|, требование (6) выполняется очевидным образом. Легко получить: t,(z. х) = 1 ,

Ui(z,x) = e-(b+c*T-t'>

ь > Ы

, поэтому при условии

00 1 Л fe-2(b+c)(T-t)dT =--------1---_

; 2 (Ь + сУ

и матрица (16) принимает вид

/ = 1, 2.

г = 4)

0 1 1 о

Л) --

1

2-J

Є1Є2

s2(l

b-c b+c

тем самым имеет место оценка Г > —^ |/ .

Подстановка £\ =-

1

£2 =■

1

и при-

Ь+с Ъ-с

менение теорем 1 и 2 даёт: для экспоненциальной устойчивости точки покоя и = (0,0) динамической системы (22) достаточно выполнения соотношения Ь > |с| и какого-либо из двойных неравенств:

ф2 -с2 -I)2 <ё<Ъ2-с2 +1,

Ъ2-с2 +\<ё <ф2-с2 +1)2.

Функционал Ляпунова, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость, имеет вид:

У(И) =

ЛИТЕРАТУРА

1

+00

2(ь2- с2)_;

[ (й2+ н2^.

[1]

Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода //ДАН СССР. 1982. Т. 267. № 3. С. 577-580.

Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // Математический сборник. 1985. Т. 127. № 4. С. 494-501.

Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Математический сборник. 1987. Т. 133. № 3. С. 341-355. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. Киев, 1987. С. 47-52. Романовский Р. К. Усреднение гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т. 306. № 2. С. 286-289.

Елтышева Н. А. К вопросу об устойчивости решений некоторых гиперболических систем // ДАН СССР. 1986. Т. 289. № 1. С. 30-32. Елтышева Н. А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости // Математический сборник. 1988. Т. 135. № 2. С. 186-209.

Романовская А. М. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы второго порядка с периодическими коэффициентами // Известия вузов. Сер.: мат. 1987. № 7. С. 44—48.

Романовская А. М. Об одном применении разностных уравнений / ОмТИ. Омск, 1983. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.83, № 4873.

[10] Романовская А. М. Устойчивость периодических режимов квазилинейной гиперболической

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

системы второго порядка / ОмТИ. Омск, 1986. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03.86, № 2181/В.

[11 ] Лаврентьев М. М. (мл.), Люлько Н. А. Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38. № 1. С. 109-124.

[12] Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39. № 6. С. 1290-1292.

[13] Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Макарова И. Д. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. VI. №1(13). С. 118-124.

[14] Романовский Р. К., Мендзив М. В. Устойчивость решений смешанной задачи для гиперболических систем с периодическими по времени коэффициентами // Доклады АН ВШ РФ. 2006. № 1(6). С. 78-85.

[15] Мендзив М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами // Омский научный вестник. 2006. № 3(36). С. 75-78.

[16] Романовский Р. К., Мендзив М. В. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 5. С. 1134-1141.

[17] Мендзив М. В., Романовский Р. К. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими по времени коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 2. С. 257-262.

[18] Романовская А. М. Исследование устойчивости задачи Коши для гиперболической системы второго порядка с периодическими коэффициентами. Омск : С-Принт, 2006. 100 с.

[19] Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Страти-латова Е. Н. Метод Римана для гиперболических систем. Новосибирск: Наука, 2007. 170 с.

[20] Макарова И. Д. О - устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка // Докл. АН ВШ РФ. 2004. № 1. С. 20-27.

[21] Мендзив М. В. Устойчивость системы управления химическим реактором с кипящим слоем катализатора // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 1-3 ноября 2006): тез. докл. Красноярск : Институт вычислительных технологий СО РАН, 2006. С. 60-61.

[22] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 534 с.