ОБ ОДНОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ СО СЖАТИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика & Физика, 2022, том 54, № 4. С. 219-241.

УДК 539.421 DOI 10.52575/2687-0959-2022-54-4-219-241

MSC74R10, 74R20 оригинальное исследование

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ СО СЖАТИЯМИ

A. JI. Тасевич

(Статья представлена членом редакционной коллегии В. Б. Васильевым)

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, Москва, 119333, Россия Российский университет дружбы народов, Москва, 117198, Россия

E-mail: atasevich@gmail.com

Аннотация. Статья посвящена исследованию функционально-дифференциального уравнения эллиптического типа, содержащего в старшей части преобразование сжатия аргументов искомой функции, причем по разным переменным сжатие различается. Представлен ряд необходимых и достаточных условий выполнения неравенства типа Гординга, аналога условия сильной эллиптичности, в явном виде. Исследована фредгольмова разрешимость и структура спектра первой краевой задачи в пространствах Соболева. Даны достаточные условия разрешимости уравнения в весовых пространствах Кондратьева на плоскости. В ходе доказательства получены достаточные условия обратимости конечно-разностного оператора с переменными коэффициентами на прямой. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Ключевые слова: эллиптические уравнения, весовые пространства, функционально-дифференциальные уравнения, оператор взвешенного сдвига

Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 20-01-00288.

Для цитирования: Тасевич А. Л. 2022. Об одном эллиптическом функционально-дифференциальном уравнении со сжатием. Прикладная математика & Физика, 54(4): 219-241. D0I 10.52575/2687-0959-2022-54-4-219-241

ON A CLASS OF ELLIPTIC FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH CONTRACTIONS

Alla Tasevich

{Article submitted by a member of the editorial board V. B. Vasilyev)

Federal research center «Computer Science and Control» of Russian Academy of Sciences,

Moscow, 119333, Russia

RUDN University, Moscow, 117198, Russia E-mail: atasevich@gmail.com Received November, 26, 2022

Abstract. The article is devoted to the study of one elliptic-type functional differential equation that contains in its upper part the contraction transformation of unknown function arguments herewith contractions are different for every argument, i.e. contractions are orthotropic. Some necessary and sufficient conditions of strong ellipticity in the terms of the Garding-type inequality fulfilment were presented in explicit form. Thus, a new class of equations satisfying the Kato square root problem was obtained. The first boundary valued problem for the strongly elliptic functional differential equation with contractions was considered in the domain containing the origin — the fixed point of contraction transformation, and star-shaped regarding it. The Fredholm solvability and spectrum structure in the Sobolev spaces were studied. Further the sufficient conditions for solvability of the equation considered in the Kondratiev weighted spaces on the plane were obtained. It is remarkable that the conditions depend on the weight parameter. In the course of the proof, sufficient conditions for the invertibility of a finite-difference operator with variable coefficients on a line are obtained. Some concrete examples illustrating the obtained results were presented.

Key words: Elliptic Equations, Weighted Spaces, Functional Differential Equations, Weighted Shift Operator

Acknowledgements: The work is supported by Russian Foundation of Basic Research, project No. 20-01-00288.

For citation: Tasevich A. 2022. On an elliptic functional differential equation with contractions. Applied Mathematics & Physics, 54(4): 219-241 {in Russian). DOI 10.52575/2687-0959-2022-54-4-219-241

1. Введение. Первая часть работы посвящена первой краевой задаче

2

Aru = - ^ (RijuXi)XJ = f (хъхг), x = (xi,x2) е В, и|Зв = 0 (1)

ij=i

в ограниченной области В с R2. Здесь

Rij v (xi,x2) = aijov (xi,x2) + a^ iv (q-1Xi,pX2) + ai]t-iv (qxi,p -ix2),

параметры сжатия p,q > i, коэффициенты aij0, a.ij,±i е C (i,j = i, 2), а комплекснозначная функция f (x) принадлежит пространству Лебега L2(В).

Освещается исследование известного неравенства

Re(AKu,u)ь2(в) > сi\\и(в)- С2\\и\\\г(в} (Wu е С™(В)), (2)

называемого неравенством типа Гординга, а также условие коэрцитивности оператора Ar . Если положить aij,±i = 0, то оператор Ar становится линейным дифференциальным оператором второго порядка с постоянными коэффициентами, и в этом случае оценка (2) равносильна хорошо известному условию сильной эллиптичности:

2

Re ^ aijо£^ > сi|£|2.

У=i

Вопрос, связанный с выполнением неравенства (2) для дифференциальных операторов, включая уравнения высокого порядка, системы уравнений и переменные коэффициенты, был решен в работах [4, 22], а для дифференциально-разностных операторов в ограниченных областях, а также в цилиндре — в работе [25, 5, 6]. Функционально-дифференциальные уравнения, содержащие в старшей части сжатия и растяжения аргументов неизвестной функции, рассматривались в работах [10,11,12,13], где предполагалось, что коэффициент сжатия (растяжения) по всем переменным одинаков,

v(xi,x2)-—> v(qxi,qx2). (3)

Для такого класса уравнений были получены при постоянных коэффициентах необходимые и достаточные условия в алгебраической форме выполнения неравенства типа Гординга, а при переменных коэффициентах — ряд необходимых условий и достаточных условий.

Хорошо известно, что свойства краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения во многом определяются структурой орбит точек области под действием группы, порожденной присутствующими в уравнении преобразованиями. Для преобразований вида (3) орбиты располагаются на лучах, выходящих из начала координат. Объективная трудность в изучении уравнений со сжатиями (растяжениями), не позволяющая в полной мере воспользоваться существующей теорией нелокальных эллиптических задач, состоит в том, что все орбиты сгущаются в одной точке — начале координат.

У функционально-дифференциальных уравнений, содержащих сжатия по одним переменным и растяжения по другим,

v(xi,x2)-—> v(q-iXi,pX2), (4)

орбиты лежат на "гиперболах" lxi |lnр lx2|lnq = const, что определяет основное отличие задач с ортотроп-ными сжатиями вида (4) от задач с изотропными сжатиями вида (3).

Показано, что неравенство типа Гординга в случае уравнения (1) сводится к проверке положительной определенности действующего в L2 (R) самосопряженного разностного оператора

z(t) ^ z(t) + g(t)z(t - i) + g(t + i)z(t + i)

с гладким коэффициентом g(t), имеющим конечные пределы на ±™. В то же время, доказательство однозначной разрешимости задачи (1), дискретности, полуограниченности и секториальной структуры ее спектра в L2(В) при условии выполнения (2) абсолютно стандартно.

Более того, рассматриваемая задача дополняет класс задач, для которых справедлива известная гипотеза Т. Като о квадратном корне из максимально аккретивного оператора, см. [23], где было показано, что эта гипотеза справедлива для сильно эллиптических дифференциальных операторов в ограниченной области, если коэффициенты операторов и граница области достаточно гладкие. После построения в [24] примера регулярно аккретивного оператора, для которого гипотеза Като не выполняется, дальнейшие исследования были посвящены расширению множества операторов, для которых она верна. Важным шагом стало доказательство гипотезы Като для сильно эллиптических дифференциальных операторов с измеримыми ограниченными коэффициентами [21]. Одновременно и независимо от этой работы

для некоторого класса сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов было доказано утверждение, эквивалентное гипотезе Като [20]. В дальнейшем выполнение данной гипотезы для более широких классов сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов было доказано в [1,18]. В [19] была изучена проблема Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов второго порядка с вырождением в ограниченной области.

Во второй половине статьи приведены результаты о разрешимости уравнения из (1) в весовых пространствах Щ (К2) (/ € Щ (К2)) на всей плоскости. Согласно определению В. А. Кондратьева [7], весовым пространством Щ (К2) при целом неотрицательном 5 называется пополнение множества С^°(К.2 \ {0})

по норме

\1/2

II"IIЩ(R2) = X J 1 * 1 2(-S+M)| D"U(X)!2dX ■

\|«I<SR2

В [8, Глава 2, параграф 1] показано, как при помощи преобразования Меллина по радиальной переменной и разложения в тригонометрический ряд Фурье по угловой координате это определение можно распространить на произвольный показатель 5 € К.

В. А. Кондратьевым весовые пространства такого типа были предложены для исследования разрешимости эллиптических задач в областях с угловыми или коническими особенностями. Позже оказалось удобным использовать те же пространства и при решении краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Это вызвано существованием обобщенных решений, имеющих степенные особенности как на границе, так и внутри области. Наличие таких решений с особенностями в случае дифференциально-разностных уравнений продемонстрировано в [17, 26]. Для функционально-дифференциальных уравнений со сжатием эффект появления особенностей дополнительно связан с наличием в области неподвижной точки преобразования сжатия — начала координат. В [ ] установлена разрешимость в шкале весовых пространств функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями, т. е. одинаковыми сжатиями по всем переменным, и показано, как за счет выбора показателей пространства добиться однозначной разрешимости.

Исследование разрешимости в весовом пространстве состоит из трех частей. В первой части исходное уравнение приводится при помощи ряда преобразований к разностному уравнению на прямой

^(т) + уг (т)о(т - К) + у2(т)п(т - 2К) = д(т), х € К, (5)

которое решается в пространстве Ь2 (К).

Разрешимость уравнений вида (5), содержащих операторы взвешенного сдвига, исследовалась в работах многих авторов, в том числе [2, 3]. Однако необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения вида (5), напрямую выраженные через коэффициенты у0, у1 и у2, не были получены. Исследованию разрешимости разностных уравнений с переменными коэффициентами на прямой посвящена вторая часть работы. В ней показано, что основное влияние на разрешимость оказывают значения коэффициентов у0, у1 и у2 на ±го.

В третьей части получены достаточные условия разрешимости в весовых пространствах рассматриваемого уравнения в явном виде. При этом в условиях фигурирует показатель веса, чье изменение имеет существенное влияние. Более подробные доказательства приведенных в статье утверждений можно найти в работах [15, 16, 27].

2. Сильная эллиптичность функционально-дифференциального оператора с ортотропными сжатиями. В работе через Н1 (В) обозначается пространство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих Ь2(В) вместе с обобщенными производными первого порядка, а через Н1 (В) — замыкание множества С^(В) финитных бесконечно дифференцируемых функций в Н1 (В). Пространство Н1 (В) - гильбертово со скалярным произведением

(и, V)Н1 (В) = ^ (иВ + иХ1 ВХ1 + иХ2ВХ2) йх. в

Пространство Н1 (В) можно отождествлять с подпространством функций из Н1 (К2), равных нулю вне В.

Зафиксировав числа р > 1, д > 1, введем ограниченный линейный оператор Р в пространстве 12(К2) по формуле

Ри (Х1,Х2) = и (ц-1хърх2).

Если же оператор Р применяется к функциям, заданным в ограниченной области В, то считаем, что последние продолжены нулем вне В. Легко вычислить, что

Р-1и (Х1,Х2) = и (дх1,р-1Х2), Р* = цр-1Р-1, Рх1 = д-1Х1Р, РХ2 = РХ2Р,

а в образах Фурье оператор Р заменяется на Р*,

й= е-\(хг,х2) йх^х2, Ри& = Р*и&.

к2

Спектр а(Р) оператора Р : Ь2(К2) ^ Ь2(К2) лежит на окружности {X е С : IX| = л/ц/р}. Можно показать аналогично [10], что а(Р) совпадает с указанной окружностью.

Если есть оператор Р = а01 + а\Р + а-1Р-1 с комплексными коэффициентами а0,а±1, то, обозначив через Р оператор с комплексно-сопряженными коэффициентами, Р = а01 + йгР + а-1Р-1, получаем, что Р при преобразовании Фурье переходит в сопряженный оператор Р*.

Неравенство (2) после интегрирования слева по частям и замены переменных у = 1х, t > 1, переходит в неравенство

2

(Яц а

у/уз)и(¡в) > С1II^\\\2Ь2((В) (с2 с^ 2Уо\\2Ь2((В), (6)

У=1

справедливое уже для произвольной функции V е С^^В), где 1В есть исходная область в новых координатах.

Из (6) следует, что для произвольной функции и е С^(К.2) выполнено неравенство

2

^^ (КЧЫх1,Ых] (К2 ) ^ °1 \\\^и \\\12 (Е2 ) .

У=1

В силу плотности С^(К.2) в Н1 (К2) оно распространяется на все функции и из пространства Н1 (К2). Кроме того, заменяя в этом неравенстве функцию и е Н1 (К2) на комплексно-сопряженную функцию и, приходим к

2

Ие ^(^ К(К) > С1 ти\\Ц2(К2) (Уи е Н1 (К2)). (7)

У=1

Применив в (7) преобразование Фурье, по теореме Планшереля получаем эквивалентное неравенство

2

и,%]й )Ь2 (К2 ) > С1 Ц\£\й\\212 (К2 ) ,

У=1

справедливое уже для всех функций и(%) из пространства Ь2(К2), для которых конечен интеграл справа. В левой части полученного неравенства введем новые обозначения:

2Ие(К*И Ьъ&й )ь2 (К2) = {Я'^й^й )12 (К2),

где самосопряженные операторы Р' и Р'2 определены по формулам

Р1 = Я11 + Я*11 = 2а101 + ра11Р + -1,

Я" = Р22 + Я*22 = 2а2о1 + Я-1а21Р + р-1а21Р-1 (8)

с коэффициентами

а.1 о = Ие ацо (I = 1, 2), аи = р-1аш + q-1аП-1, а.21 = ца221 + р&22,-1. (9)

Обозначая через

Р = 2Ро1 + Р1Р + Р1Р-1 (10)

оператор с коэффициентами

= Ие(а12о + й21о), 01 = дат + q-1аК-1 + р-1й2п + рй21,-ъ (11)

будем иметь окончательно

2

2 (Яги\(К2) = ((^1^1 Ь + ^Я'",& + Щ1&)й, й)12(К2).

и=1

Далее все условия будут выражаться через коэффициенты а;0, а^, и

Замечание 2.1. Отметим, что функции, обращающиеся в ноль во всех четвертях плоскости , кроме одной, образуют инвариантное подпространство для функциональных операторов рассматриваемого класса. Поэтому достаточно проверить два неравенства

((^к?1 + ?2 ± ЯШй,й)ь2(в) > 2С1 Щ\й\\1 (0)

лишь на функциях и с носителями в первой четверти Q = {£ € К2 : > 0,%2 > 0}. Сформулируем промежуточный результат.

Лемма 2.1. Пусть область В содержит начало координат. Тогда неравенство (2) равносильно двум неравенствам

((&%£ + & ± ЯШй,й)ь2ш) > 2С1 Щ\й\\1 ш) (12)

на классе всех функций й € Ь2^), для которых сходится стоящий справа в (12) интеграл, а операторы Я', Е2 и Я заданы формулами (8)—(11).

Далее, основываясь на структуре орбит точек области под действием оператора ортотропного сжатия, введем новые координаты таким образом, что действие оператора будет проводиться вдоль новой координатной оси. Положим,

21п а 21п р ,

Sl = ;--, 52 = ,—- (¡1 + ¡2 = 2), (13)

1п ря 1п ря

сделаем в интегралах из неравенства (12) замену переменных

£ = Р^1, Ь = рг , (14)

р = ЛIf = 4Ш~2, (15)

диффеоморфно отбражающую первую четверть Q на себя. Якобиан такой замены равен

dt;i/dt д&/др afr/at д^/др

Si ptsi-1 tsi

-s2pt-S2-1 t-S2

= 2pt:

Si-S2-1

Если

то

й (&, &) = й(рг31, рг-) = V(Р, t) = ,

Ри(&,&) = й(Я-%,р&) = V (л1(ч-1№Ш*1, ^(ч~Ч1)/Ш) = V(Р, (рЧ)-1!2г),

поскольку рч!2ц= 1. Таким образом, оператор Р в новых переменных есть оператор сжатия (растяжения) по t, I > 0. Положим, t = еТ (-ж < т < +ж) и V(р, £) = V(р, ет) = гу(р, т) = м(р, 1п t). Тогда Л!t = с1т и

Ри(р^) = V(р, (рц)-1!21) = V(р, 1п((рц)-1!21)) = V(р,т - 1п /рц), т. е. в результате сделанных преобразований оператор Р превращается в оператор сдвига Т на прямой,

Тм>(р,т) = м(р,т - 1п л/ря), Т(р,т) = м(р,т + 1п //рс[)

(переменная р > 0 в данном случае является параметром). Введя обозначения

1 1 И + И

Ы = ^(з^ - ъ), и.2 = ^(^ - ^2), И = 1 2 = $1 - $2 (И2 < и < И.1),

перепишем ( )

,^^гЧ = е^тект!2 (2аы1 + ро,цТ + дйиТ-1) е^ф^т =

= ек1Т (2аю1 + (рц)1!2апТ + (рЧ)1!2сспТ-1) еЫт = еЫт, ^-252В!21= екгтект!2 (2а2й1 + ц-1а21Т + р-1а21Т-1) е-кт!2екгТ = = ек2Т ¡2а201 + (рЧ)-1!2а21Т + (РЧ)-1!2а21Т-1) е^ = е^е^,

IН-эг Х^1 = екТКекТ,

где теперь Л1, Р2 и Р представляют собой самосопряженные разностные операторы

Р1 = 2аю1 + (рц)1!2ацТ + (рЧ)1!2аиТ-1, Я2 = 2а201 + (рц)-1!2а2{Т + (рЧ)-1!2сс21Т-1,

Я = 2^1 + Р1Т + (¡{Г-1, (16)

а коэффициенты по-прежнему задаются формулами (9), (11). Итак, неравенства (12) заменяются неравенствами

+ж +ж +ж +ж

У рЧр! (еЫтЯхгк1Т + екгТВ.2е}ггТ ± ектЯект) И > рЧр ^ (е2к1Т + е2кгТ) к\2йХ. (17)

о —ж о — ж

где (р,т) пробегает множество всех измеримых в полуплоскости {(р,т) е К2 : р > 0} функций, для которых конечен интеграл

+ж +ж

„кт , Ъ/ 2к1Т , 2кгт

J J (pehr + р3(е2hlT + e2hlT))|w(р, т)12 drdp.

Для выполнения (17) необходимо и достаточно, чтобы для внутреннего интеграла имела место соответствующая оценка

+ж

у ^ehirRieh1T + гк2^ггк2Т ± ehTRehT) w(т) w(т) dt > 2ciJ [t2hlT + г2к2Т) lw(r)l2dt

± ehTRehT)w(T)M>(T) dt > 2ci e2hlT + e2h24 lw(r)l2dt (18)

— CO

на множестве всех функций ^(т) на прямой, для которых конечен интеграл в правой части (18). Достаточность очевидна, а чтобы показать необходимость, предположим, что для некоторой функции м>0 из указанного класса выполняется противоположное неравенство

+ж +ж

у (ек1тК1 ек1т + екгтК2ек2т + ектКект^ щ0(т) ¡0(т) dt < 2с1! (е2к1Т + е2кгТ) ^(т)\2dt

—ж —ж

(со знаком + перед Я для определенности). Рассмотрим тогда функцию

м>0(т), 0 < р < 1,

™(р,Т) =' 0, р> 1.

Она принадлежит нужному пространству, поскольку 2И1 < И < 2И2, и для нее неравенство (17) нарушено. После введения обозначения ( ) = ект™ (т) оценка (18) принимает более удобный вид

J (eTR1 ет + e-TR2e-т ±R)z(r) z(r) dt> 2Cl J (e2т + е-2т) lz(r)l2dt

(19)

(заметим, что (И1 — И2)/2 = 1). Доказана

Лемма 2.2. Пусть область В содержит начало координат. Тогда неравенство (2) равносильно двум неравенствам (19) на множестве всех функций г(т) таких, что функции ^(т) принадлежат Ь2(К). Операторы Я1, Я2 и Я заданы формулами (16) и (9), (11).

Следствие 2.1. Если выполнено неравенство (2), а В содержит начало координат, то разностные операторы Яи Я2 : Ь2 (К) ^ Ь2 (К) положительно определены, или, что тоже самое, а10 > (рд)1/2\а11 \ и а20 > (рч)—1/2 \ СС21 \.

Подставим в (19) вместо функции г) функцию г(т)/сЪ г, где теперь г(т) пробегает все пространство Ь2 (К):

+ж

(сь-г^сь-г + СЬт^сЬ-т ± СЫт*Сь^ 2(г)> 4°1 (К). (20)

Таким образом, стоящий в скобках разностный оператор положительно определен. Приводя в нем подобные члены, видим, что он равен

д±( д±( ^ | —1 &±(т)

ch2r chrch(т- In^Jpq) ch ich( т- ln^/pq)'

где

g±(т) = 2(awе2т + a20е-2т ± ß0), д±(т) = апе2т + a2ie-2т ± ßi.

На функциях, носитель которых лежит на отрезке длины неравенство (20) превращается в

i

± (т)

0 ( j\z(т)\2 dt > 4Cl\\zУ2

— \Ь(Ч\ Ul Г 1И \\±\\L2 (R)

ch2 т

откуда немедленно следует положительность функций д±(т), т. е. ffi < а10а20. Но тогда рассматриваемый разностный оператор можно представить в виде

"dTT V +д (т)т +т д (г)] ~chr

(см. формулу (22)).

Сформулируем основную теорему о выполнении неравенства Гординга.

Теорема 2.1. Пусть область В содержит начало координат. Неравенство (2) выполнено тогда и только тогда, когда ffi < а10а20 и самосопряженные разностные операторы

I + g±(r)T + Т-1д±(т) : L2(R) ^ L2(R), (21)

где

д±(т) = ^" + ^± А (22)

2л/(awe2т + а2ое-2т ± p0)((pq)-1awe2T + pqa2oe-2т ± fa)

положительно определены.

Итак, вопрос о выполнении неравенства типа Гординга сведен к вопросу о положительной определенности самосопряженного разностного оператора (21) на прямой с гладким стабилизирующимся на бесконечности коэффициентом д±(т).

При получении следующих ниже достаточных условий положительной определенности операторов (21) использован подход, предложенный в работе [13].

Лемма 2.3. Если существуют такие положительные числа е1,е2 и такая измеримая вещественная функция 8(т), что при почти всех т е R выполнены условия

S (т) > Е1, \д±(т)\2 < 5 (т - ln Vpq)[1 - 8 (т)- €2], (23)

то разностные операторы (21) положительно определены. Доказательство леммы см. в [15]. Легко проверяется, что условие

\g±(r)\< 1 (т е R)

является необходимым для положительной определенности оператора (21). Очевидное достаточное условие

sup \ д±(т)\ < 1/2 (24)

г eR

получается, если положить 8(т) = 1/2 в лемме 2.3.

Приведем сейчас еще одно, более тонкое, нежели (24), достаточное условие, основанное на применении леммы 2.3.

Следствие 2.2. Пусть

я = sup (\д±(т)\ + \д±(т + lnvfpq)\) < 1. (25)

г eR

Тогда разностные операторы (21) положительно определены. Пример 2.1. Рассмотрим уравнение

-Аи + аиХ1Х2 (q-1х1,рх2) + buX1X2 (qxbp-1х2) = f.

Выпишем условия на коэффициенты a,b е C, гарантирующие выполнение неравенства (2). В исходных обозначениях имеем а110 = а220 = 1,

^111 = ^11,-1 = 0.221 = О22,-1 = О120 = &210 = 0.

Можно считать, чтоа121 = а/р,а12,-1 = pb,втовремякака211 = а21>-1 = 0. Тогдаа11 = а21 = 0, а10 = а20 = 1, = 0 и, таким образом,

9±(Т) = —, ,

2^Jch2гЩ2т—:npqj

где р1 = qa/p + pb/q.

При т = (\прц)/4 знаменатель этой дроби достигает своего минимума, равного (рц+ 1)1^рц. Поэтому наибольшее значение функции \д±(г)| равно |р1 \^р(Ц(рд + 1), и (24) в данном случае означает, что

т. е.

| ц2а + р2Ь\ < (рд + 1)^рсЦ2. Чтобы воспользоваться следствием 2.2, нужно найти наибольшее значение функции

\д±( т)1 + \д±( т + 1п ф~ч)\ = = + = =

2^сЪ.2тсЪ(2т - 1прф 2^сЪ.2тсЪ(2т + 1прд)

\Рг\ , \Рг\

^2(сЪ(4т - 1прд) + сЫпрд) ^2(сЪ(4т + 1прд) + сЬ1прд)

3. Разрешимость первой краевой задачи для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями. Будем рассматривать задачу (1) в предположении выполнения неравенства (2). Уравнение тогда принято называть сильно эллиптическим. При этом из рассуждений предыдущего пункта видно, что неравенство (2) выполняется для рассматриваемого уравнения при постоянной с2, равной нулю. Будем считать также область В ограниченной.

С задачей (1) свяжем непрерывную на пространстве Н1 (В) полуторалинейную форму

2

aR[и,и] = ^(RijUXi,üXj)l2(в) (u,v е Н1 (В)). ij=1

Очевидно, существует постоянная М > 0 такая, что

\ ак [и, о]\ <М\\и\\Н1 (в)И\Н1 (в) (и, о еН1 (В)). (26)

Кроме того, неравенство (2), левая часть которого совпадает на гладких финитных функциях с Ие ак [и, и], обеспечивает оценку

Иеак[и,и] > сг\\и\\2Н1 (в) (и е Н1 (В)) (27)

на всем пространстве Н1 (В).

Функция и е Н1 (В) называется обобщенным решением задачи (1), если интегральное тождество

ак [и, и] = (/, и)и (В)

выполнено для любой функции V е Н1 (В).

Будем рассматривать также неограниченный оператор

Як : Ю(ЯК)с 12(В)^ 12(В),

область определения Ю(Як) которого состоит из всевозможных обобщенных решений задачи (1), когда f пробегает все пространство Ь2 (В). Если и — обобщенное решение, отвечающее правой части /, то полагаем Як и = / (оператор Як, очевидно, корректно определен на Ю(Як)). Понятно, что С™(В) с Ю(ЯК) с ¡к1 (В) и Яки = Аки, еслим е С^(В).

Рассуждения этого пункта хорошо известны, они носят достаточно общий характер и опираются на неравенство (2), позволяющее ввести в пространстве Н1 (В) связанное с оператором в уравнении эквивалентное скалярное произведение. Лемма 3.1. Формула

(и, °)'н1 (в) = 2 (ак [и, ^ + ак [и]) (28)

задает эквивалентное скалярное произведение на пространстве Н1 (В).

Лемма 3.2. Существует (единственный) линейный ограниченный оператор

К : Н1 (В) ^Н1 (В)

такой, что

(и, КV) = — (зд [и, и] - ак [V, и]) (29)

для всех и,® € Н1 (В). При этом оператор К является самосопряженным,

(Ки, V)'.,, ч = (и,Ки)'■,, ч,

4 'Н1 (В) У 'Н1 (В)

и \\К\\' < М!с1, где М и с 1 — постоянные из неравенств (26) и (27), а \\.\\' обозначает операторную норму, отвечающую норме \\.\\^£у

Теорема 3.1. Для любой функции / € Ь2 (В) задача (1) имеет единственное обобщенное решение и € Н1 (В), причем \\и^(в) < (17/01)»/\к(в).

Спектр а(Як) оператора Як дискретный и содержится во множестве

а(Як) с {Я € С : ИеX > 0, \ ащX\ < аг^(М!с.

Для любого числа X € С оператор XI -Як : Ь2 (В) ^ Ь2 (В) фредгольмов. Если X £ а (Як), то резольвента (XI - Як)-1 есть компактный оператор вЬ2(В). Доказательство. Рассмотрим уравнение

Яки = /, и € Ю(Як), / € и (В).

По определению, ак [и,ю] = (/,ю)ь2 (в), или

1 ^[и,ю] + ак[ю,и]^ + I 2. (ад [и,ю] - ак[ю,и]) = (/,ю)Ьг(В)

для всех V € Н1 (В). В силу лемм 3.1. и 3.2. последнее соотношение можно переписать следующим образом:

(и,ю )ГН1 (В) + 1 (Ки,и )ГН1 (В) = ()1г (в). (30)

Правая часть этого равенства является непрерывным антилинейным функционалом относительно V на пространстве Н1 (В) и по теореме Рисса порождает ограниченный линейный оператор Л : Ь2 (В) ^ Н1 (В) такой, что

)& (в) = ((Б), а € н1 (В).

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению (I + Ж)и = ¥ в Н1 (В) с правой частью Р = Л/. Поскольку оператор IК кососимметрический, его спектр лежит на мнимой оси, и существует ограниченный обратный оператор

(I + Ж)-1 : Н1 (В) ^ Н1 (В), т. е. уравнение имеет единственное решение

и = (I + Ж)-1Р = (I + Ж)-1 Л/. Чтобы оценить норму этого решения, подставим в (30) V = и. Будем иметь

\\и(В)+ 1 (Ки,и УН1 (В) = (?,и)ь2 (В),

откуда с учетом вещественности (Ки, иполучаем оценку

Поскольку

IIй II (В) *I( f'u ^ (-в II f ^ (Я )IIU IIb (Я) ■

IIu^Hi(В) = ReaR[u'u]+ °2IIu^(В) ^ c 1IIu^Hi(в) > c 1IIuh2(B)>

выводим \\и\\'Й1 (в) < (^/с^У/\\ь2(в).

Итак, точка X = 0 является резольвентной точкой оператора Як, и оператор Я-1 компактен в силу компактного вложения Н1 (В) в Ь2(В). Отсюда следует, что оператор Як имеет дискретный спектр, т. е. спектр, состоящий из изолированных собственных значений конечной кратности. Чтобы в этом убедиться, достаточно записать оператор XI - Як для произвольного X € С в виде

XI -Як = - (I - ХЯ--1) Як,

сводящем вопрос о разрешимости к уравнению с оператором „тождественный плюс компактный". Из этого представления очевидным образом вытекает и фредгольмовость оператора XI - Як.

Убедимся теперь, что все собственные значения лежат в угле, охватывающем положительную вещественную полуось. Пусть Яки = Хи при ненулевой функции и € Ю(Як), которую можно нормировать:

\\и= 1. Имеем

11 "н1 (В)

(и, V)'.,, + 1 (Ки, V )'■,, = X (Ли, V )'■,, ч (и € Н1 (В)).

у 'Н1 (В) У 'Н1 (В) 'Н1 (В) у у "

Полагая теперь V = и, будем иметь

1 + I(Ки, и)'. ч = ц(Ли, и)'. + ¿V(Ли, и)'■,, (31)

4 'Н1 (В) Н1 (В) 'Н1 (В) 4 '

где ^ и V обозначают действительную и мнимую части числа X.

Отметим, что сужение оператора Л на пространство Н1 (В) (будем обозначать это сужение Л0) является положительным и компактным оператором в Н1 (В). Действительно, по определению,

(Аои,и)'Й1 (в) = \\и\\12(В) > 0, и ф О,

а компактность Л0 следует из компактности вложения Н1 (В) в Ъ2 (В). Приравняем действительные и мнимые части равенства (31):

1 = ц(Л0и,и)'., ч, (Ки,и)'•,, ч = V(Л0и,и)'.,, ..

ГУ 'н1 (В)> У 'н1 (В) У 'н1 (В)

Отсюда следует, что действительная и мнимая части собственного значения удовлетворяют соотношениям

и > 0, - = (Ки, и)'. ,, ч.

И р ( )н1 (в)

(Ки, и)'.

У 'Н1 (В)

< ЦК У'. Из леммы 3.2. выводим\v\/р < М/с1.

Поскольку и лежит на единичной сфере, имеем Теорема доказана.

4. Функционально-дифференциальное уравнение с ортотропными сжатиями в весовых пространствах. Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение на всей плоскости

Аки(Х1,Х2) = - 2 (RUU*1 )XJ = f (X1,X2), X e R2. (32)

i,j=1 J

Проведем преобразования, переводящие исходное уравнение (32) в разностное уравнение вида (5) с переменными коэффициентами на прямой.

Замечание 4.1. Обратим внимание на орбиты точек плоскости под действием оператора Р. Если точка не лежит на координатных осях, то ее орбита лежит на одной из линий

\X1 \ln р\Х2\ln q = const.

При этом точка не покидает "свою" координатную четверть. Таким образом, функции, обращающиеся в нуль во всех четвертях плоскости R2, кроме одной, образуют инвариантное подпространство для оператора Р. Координатные оси и начало координат являются, соответственно, неподвижными прямыми и неподвижной точкой преобразования ортотропного сжатия. Применим преобразование Фурье к уравнению (32):

(а110й + a111q2p-1Р-1й + a11,-1pq-2Рй) (33)

((а120 + а2ю)й + (a121q + й2ир-1)qp-1Р-1й + (au,-1q-1 + a2i,-1p)pq-1Рй) (а220й + a221qp-2P-1й + a22,-1p2q-1Pu) ^ = f.

Поскольку преобразование Фурье, как известно [8, Глава 2, параграф 2], продолжается до изоморфизма

Fs : Щ (R2) ^ H0S (R2), s i Z,

функция / = Б[/] принадлежит весовому пространству Н° (К2), определенному, в свою очередь, как

ж 0

/ \1!2

пополнение множества C^(R2 \ {0}) по норме

\\f \\

НО

У \t;\2s\f(t;)\2dt;

\r2 /

В силу замечания 4.1., уравнение (33) на всей плоскости распадается на четыре независимых уравнения в каждой из четвертей. Заменой ¿¡\ (¿¡2) на -¿¡\ (-¿¡2) можно свести каждое из этих уравнений к уравнениям в первой четверти = { е К2 : ^ > 0> 0}:

(а110й + а111 ц2р-1 Р-1 й + ап-1рц~2Рй) £;1± (35)

((а120 + а21о)й + (0-121Ч + 0.211Р-1)яр-1 Р-1 й + (а.12-1 я-1 + а.21,~1р)р4-1 Рй) ^2+ (а.220й + 0-221 ЧР-2Р-1 й + а22,-1р2ч-1Рй) ¿¡2. = /. Проведем замены переменных (13)-(15). Переобозначая функцию в правой части

Л & & =/(р Л р Г52) = Яр , V

и сохраняя для оператора сжатия прежнее обозначение, перепишем уравнение (33)

(а110й + а111 ц2р-1 Р-1 й + ап-1рц-2Рй) р2^1 + ((а.120 + а21о)й + (а.121 4 + й2Пр-1) др-1 Р-1 й + (<212-1Ч-1 + 0.21,-1р)рЧ-1 Рй) р2Г4-"2+ (й220й + 0.221 ЧР-2Р-1 й + а-22,-1р24-1 Рй) р2Г2"2 = /. Перепишем норму весового пространства (34)

1/2

J J 2p2s+1 tS1 -S2-1 (t2si + t-2s2 )s | и (p, t)l2 dp dt

\ 0 0 /

(36)

Перейдем к операторам сдвига Т по переменной те К, I = ет, повторяя рассуждения пункта 2. Определение 4.1. Через К$ обозначим множество измеримых в = {(р, т) е К2 : р > 0} функций, для которых конечен интеграл

1/2

\\9\\к> :=

J f2^', - -' (е+ УМ, .Шг

\-те 0

(37)

Замечание 4.2. Норма (37) получена в результате логарифмической замены из (36), т. е. имеет место равенство ||/Цно{щ) = \\ д\\к*.

Далее для краткости будем использовать обозначения I = ln /щ, е(т) = e2siT + e-2s2T, а также

в-t( т) = ашq2p-1 e2siT ± (а 121 q + ü2Up-1) ЧР-1 e(si-S2)т + 0221 ЧР-2e-2s2T, во( т) = anoe2s1T ± (а12о + а21о) e(s1 -S2)т + a.220e-2S2T, 61 ( т) = au¡-1pq-2e2s1T ± ( a 12,-14-1 + a21,-1p) p4-1 e(s1 -S2)т + ü22,-1p24-1 e-2¡2T.

Сформулируем промежуточный результат.

Лемма 4.1. Уравнение (32) имеет единственное решение и е Н^+2 (R2) при любой функции f е Щ (R^ , s £ Z, тогда и только тогда, когда уравнение

р2 (в0 ( т)w(р, т) + 9-1 ( т)Т-1 w(р, т) + 91 ( т)Tw(р, т)) = д(р, т) (38)

имеет единственное решение w е Ks+2 при любой функции g е Ks. Можно переписать уравнение (38) следующим образом

[Го ( т)1 + п(т)Т + Г2(т)Т2] ((s1 -S2)/2 (е(r))s/2+1 w(р, т)) =

р-2 er (S1 -S2 )/2 ( е( т)у/2+1 9(Р >Т 0 , е(т -1)

где

9-1 (т-1) 9о (т-1)л/д/р е^1 (т) 91 (т-1)( д/р) е*'2+1 (т)

¥0(Т) е(т-1) , П(Т) е*'2+2( т-1) , Г2( Т) е(т-1)е*/2+1 ( г- 21) '

Обратим внимание на то, что принадлежность функций ^(р, т) и д(р, т) пространствам К^2 и К, соответственно, означает, что при почти всех > 0 функции

етЫМ2 ( е(т)у/2+1 (р, т), р-2егЫ)12 (е(т)У'2+1 (е(т - I))-1 д(р, т - I)

являются элементами пространства L2(R) как функции переменного т■

Учитывая, что коэффициенты yi, i = 0,1, 2, зависят только от т, вопрос о разрешимости уравнения (38) сводится к вопросу об обратимости оператора

Во = YoI + YiT + Y2T2 : L2(R)^ L2(R)■

Обратим внимание на то, что получившиеся коэффициенты уь i = 0,1, 2, стабилизируются на бесконечности, т. е. существуют конечные пределы

q2 Га

lim уо(т) = аш—, lim yi(т) = аПоЛ -qs+2, lim Y2(т) = an-iq2s+3,

т^+ж р г^+ж V р г^+ж

lim Уо (г) = Ü221 4" lim Yi М = &22оЛ ~р- s-2, lm уг (т) = a2z-ip-2s-3,

т^-ж р^ т^-ж У р т^-ж

причем сходимость к этим пределам экспоненциальная.

Условие 4.1. Одним из основных условий на коэффициенты рассматриваемого уравнения является условие отделимости от нуля коэффициента при операторе Т или при Т-1 в (38) Для этих двух случаев нет никаких принципиальных различий в дальнейших рассуждениях, поэтому будем считать, что в -1 (т) Ф 0, Ут е R = R и{±ж}.

5. Обратимость оператора взвешенного сдвига. Построим обратный оператор к оператору взвешенного сдвига

2

Во = ^ Yj(T)Tj : L2(R)^ L2(R)■ (39)

]=о

Коэффициенты у¡(т), j = о, 2, являются непрерывными функциями, имеющими на бесконечности конечные пределы и сходящимися к ним экспоненциально. Здесь мы предполагаем выполненным условие 4.1., что позволяет считать уо(т) = 1 (в противном случае на уо следует разделить).

Спектр оператора взвешенного сдвига достаточно подробно изучался в работах [2, 3]. Из результатов [2] вытекают необходимые и достаточные условия обратимости двучленного оператора вида (39) на прямой. В этом пункте мы получим достаточные условия для трех слагаемых в разностном операторе, легко обобщаемые и на произвольное количество слагаемых в (39).

Для произвольного вещественного N обозначим I = (-ж, N] и рассмотрим С(I)— банахово пространство непрерывных ограниченных функций на I (с супремум-нормой), а также Hd(С(I))— пространство всех аналитических в круге {А е C : | AI < d} функций со значениями в С(I).

Введем алгебру Ad операторов В(т,Т) с переменными коэффициентами. Опираясь на интегральную формулу Коши, легко показать, что функции Ъ(т,Х) из Hd(С(I)) есть суммы степенных рядов 2ж=о ^k(r)Äk с коэффициентами bk е С(I), удовлетворяющими условию: для любого d' < d найдется постоянная М(d') > о такая, что

IIbkIIc(i)< М(d')d'-k (k = о, 1,■■■)■ (40)

Более того, Ьк(т) = (11к\х, 0), а в качестве постоянной Мможно взять величину М^') = тах \\Ь(-,Л)\\с(I).

\А | =а'

Каждой функции Ь(т,А) из Нс(С(!)) сопоставим (пока формальный) операторный ряд 2™=0 Ьк(т)Тк. Лемма 5.1. Пусть Ъ € Нсс (С(I)), где й > 1. Тогда формулой

ж

В (т,Т )и (т) = 1!к\)(ЬУ[к\х, 0)и (т - к1) (41)

к=0

определен ограниченный оператор В(т,Т) : Ь2(I) ^ Ь2(I). Доказательство леммы см. в [16].

Операторы, соответствующие функциям из На (С (I)), образуют некоммутативную алгебру Яс1. Чтобы получить формулу композиции, перемножим соответствующие ряды. Если

жж

В1 (т,Т) = 2 Кк(т)Тк, В2(т,Т) = 2 Ъ2,к(т)Тк,

к=0 к=0

где Ъъ Ъ2 € Нс(С(I)), то композиция В1В2 представляет собой оператор

ж к

В3(т,Т) = ^ Ьз,к(т)Тк, Ьхк(т) = ^ Кк(Ф2,к-}(т - Д). к=0 }=1

Легко видеть, что соответствующий символ Ь3 (т, Л) =2™=0 Ь^к (т)Хк также принадлежит классу Н (С (I)). Теорема 5.1. Пусть для оператора В0 выполнено условие

2

Ь0 (-И, Я) := 2 п (-™и} * 0 (1X1 < ¿).

]=0

Тогда существует обратный оператор В--1 (т, Т) е А. удем строить обраг

приводит к системе

Доказательство. Будем строить обратный оператор в виде ряда 2™=0 Гк (т)Тк. Равенство В0В-1 = I

Г0 ( т) = 1,

Гк( т) = -у1 ( т)Гк-1 ( т-1) - Y2( т)Гк-2( т- 2I), для определения коэффициентов Гк(т), в то время как В-1В0 = I дает

keN,

Го ( т) = 1,

Гк ( т) = - п (Т -(к- 1) I) Гк-1 ( т) - У2 ( г - ( к- 22) I) Гк-2 ( т),

к е N.

(42)

(43)

Можно показать, что системы (42) и (43) определяют одну и ту же последовательность коэффициентов гк( т),к е N.

А именно, функции Гк ( т), к = 1, 2,..., из (42) и (43) можно вычислить по формуле

Гк( т) = (-1)к detMk(т), где матрицы Mk(т) имеют порядок к X к,к е N и задаются формулой

(44)

Mk (т) =

( П ( т) Y2 ( т) 0

1 П ( т-1) Y2 ( т-1) 0 1 П( г- 21)

0

0

0

Y1 ( т-(к- 1) I) /

Докажем равенство (44) и, следовательно, эквивалентность формул (42) и (43) по индукции. При к = 1 равенство очевидно. Предположим, что равенство (44) выполняется вплоть до некоторого к. Докажем, что оно справедливо и для к + 1. Раскрыв определитель АеХМк+1 (т) по первому столбцу, получаем уравнение из (42), а раскрыв его по последней строке, получаем уравнение из системы (43).

Теперь введем 2 X 2-матрицы

Gk (т) =

- Y1 ( т-( к+ 1) 1) - Y2 ( т-к I)

и вектор-столбцы Бк(т) = (Гк+1 (т), Гк(т))т ,к = 0,1, 2,.... Тогда будут справедливы рекуррентные соотношения Бк = вк-1 Бк-1 и формула общего члена

= вк-1 ...воБо (к = 0,1, 2,...).

Оценка (40), которую нам осталось установить для коэффициентов Гк( г), сводится к проверке неравенств

sup \\( Gk-1 ...Go)(t)\\ < c(d')d' т el

-к

(к = 1, 2,...)

(здесь \\ .\\ есть матричная норма).

Обозначим I = I U {-ж} одноточечную компактификацию I. Тогда функции из С(I), сходящиеся на -ж, можно отождествить с непрерывными функциями на компакте I. Пусть B есть банахова алгебра непрерывных на компакте I матричных функций порядка 2X2. Понятно, что последовательность §к = Gk принадлежит B. При этом она сходится в B к элементу g = G(-ж) так, что выполняется оценка

\\gk - д\\е < cN( qp)-k.

Это непосредственным образом вытекает из вида функций у12 ( т). Воспользуемся следующей леммой

Лемма 5.2. ([ ]) Пусть B — банахова алгебра и последовательность gn е B,n = 0,1,2,..., экспоненциально сходится к элементу g е B : \\дп - д\\в < cd" для некоторых постоянных с > 0,0 < d < 1. Тогда

lim sup \\gn-1... g0\\1J.n < d( g),

0

n—>co

где d(g) обозначает спектральный радиус элемента g в B.

По этой лемме для всякого d > d(g) найдется постоянная М = M(d) такая, что

, _ __k

\\gn-i ...g0\\Bп < м (d)d (к = 0,1,2,...). (45)

Оценим спектральный радиус d(g) элемента g е B. Он совпадает с большим по модулю собственным значением постоянной матрицы G(-ж). Характеристическое уравнение для определения этих собственных значений имеет вид

^ + Yi (-^)z + Y2 (-ж) = 0. (46)

Делая замену z-1 = X, мы получаем уравнение Ъ0 (-ж, Я) = 0. Условие теоремы 5.1. означает, что все корни уравнения (46) не превосходят d-1, а значит и спектральный радиус d(g) < d-1. Поскольку в условии (40) d' < d, имеем d'-1 > d-1 > d(g). Положив в (45) d = d'-1, получим

sup \\(Gk-1 ...Go)(r)\\ = \\gk-1 ...go\\s < cN (d')d'-k (k = 0,1, 2,...)

T£l

Теорема доказана.

Из леммы 5.1. и теоремы 5.1. вытекает

Следствие 5.1. Пусть для оператора В0 выполнено условие

Ъо(-ж,Х) := £ * 0 (Щ< 1).

}=0

Тогда оператор В0 (т, Т) есть изоморфизм пространства Ь2(I). Было показано, что уравнение

и(т) + Г1 (т)и(т - I) + У2(т)и(т - 21) = /(т) (47)

имеет единственное решение

и(т) = 2 Гк(т)/(т - к1), (48)

к=0

причем ряд в правой части (48) сходится в Ь2(I) для любого Ы, а коэффициенты Гк(т),к = 0,1, 2,..., определяются системой (42) или (43). При этом справедлива оценка

\\и(1)< с\\Г(!). (49)

Покажем, что на самом деле функция, задаваемая формулой (48), принадлежит Ь2(К) и непрерывно зависит от f е Ь2(К). Для этого нам понадобится другое представление функции и. Рассмотрим уравнение (47) на полуинтервале [М, +ж) с начальными условиями

и(т) = ф0(т), при т е [М - 21, N - I], и(т) = ф1 (т), при т е [М - Ы,Ы].

Введем обозначения 5 = ^ - 21, N -1] и ик(т) = и(т + к1), /к(т) = /(т + к1), у1,к(т) = у1 (т + к1), у2кк (т) = у2(т + к1) при т е Б, где к = 0,1, 2,.... Заметим, что элементы с индексом к = 0,1 рассматриваются далее только для последовательности {ик}£=0. Учитывая введенные обозначения, перепишем исходное уравнение и начальные условия

ик+2 (т) + У1,к+2 (т)ик+1 (т) + У2,к+2 (т)ик (т) = /к+2 (т), (50)

Щ (т) = ф0 (т), Щ (т) = ф1 (т + I) .

Здесь т е Б, к = 0,1, 2,....

Определим пространство Ь™(8) последовательностей функций {ик}£=0 со скалярным произведением

N -к ж -

(и,ю )Ьж(3) ик (Фк (т)dт.

к=0N -2к

С задачей (50) связывается ограниченный оператор

^ : ) ^ )х Ь2(Б)х Ь2(Б), действующий по формуле ^ {ик}ж=0 = {{ик+2 + к+2ик+1 + У2,к+2ик}™=0, Щ, и^ .

Учитывая то, что функции у ¡(т), I = 1, 2, стабилизируются на бесконечности, используем для них представление

п,к ( г) = Уг(+ж) + емхк (г), 1 = 1, 2; к = 0,1,22,...; г € 5. При этом по любому наперед заданному е > 0 выберем N так, чтобы иметь

I еы, ик (г)1 < £ при 1 = 1, 2; к = 0,1, 2,...; те Б.

В соответствии с этим представлением, разложим оператор ^ в сумму двух операторов

^ = Ш + ,

где оператор Ш является оператором с постоянными коэффициентами,

Ш {ик}к=0 = {{ик+2 + П(+ж)ик+1 + У2(+ж)ик}™=0 ,щ,щ} , а коэффициенты оператора малы равномерно по к,

{ик= {{емхк+2(т)ик+1 + емАк+2(т)ик}™=0, 0, 0} . Оценим норму оператора . Поскольку

/ . \ 1 £N,1,k+2 ( т) Uk+1 + £N,2,k+2 (т)ик\2d,T

k=0 Vs /

то I

2 (/

1.--Л "

ТО л

< 2(\ Uk+1 \2 + \ Uk\2)dт,

к=0 s

(51)

то || У < 2е.

Теперь перейдем к решению неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами, отвечающего оператору Ш,

Uk+2 + Yl (+TO)Uk+1 + У2 (+TO)Uk = fk+2,

(52)

где и0 = ф0, щ = ф1 (. + К). Его характеристическое уравнение имеет вид, аналогичный уравнению (46):

Л2 + У1 (+ж)Л + у2 (+ж) = 0.

Пусть А1 и А2 — корни этого уравнения.

Хорошо известно [9], что если А1 Ф А2, т. е. у2(+«>) Ф (у1 (+ж)/2)2, то решение соответственного однородного разностного уравнения имеет вид

ик = С Ак + С2 Ак, а решение уравнения (52) находится по формуле

fk+2-i

1 i-1 1 i-1 A1 — A2

ik ik lk-1 i k-1 k

Л1 — Л2 Л1 — Л2

Uk =Ф1~.,-Г —ФоУ2 -;-+ /,Jk+2—i , з •

1 — 2 1 — 2 =2 1 — 2

Если же А1 = А2 =: А, т. е. у2(+«>) = (у1 (+то)12)2, то решение имеет вид

Uk = ф1kAk—1 — фоУ2 (+то)(к — 1)Ak—2 + £ fk+2—i А1

=2

Тогда в обоих случаях имеем оценку

. k

-\Uk(т)\2 < k2\A\2(k—1)\ф1 (т + h)\2 + (к— 1)2\ у 2(+ж)\2\Л \ 2(k—2)\фо(т)\2 + Х\(i—2)\fk+2— i(т)\

=2

Здесь \А\ = max{\А1 \, \А2\}. Нетрудно убедиться в том, что для последнего слагаемого выполняется оценка

k k

Л\( i—2)\fk+2—i( т)\ < 2^J]\A\2k—( (r)\\fj( т)\.

=2 =2 =

2

2

2

Просуммируем по к

3 £ I ик(т)12 < | фг(т + h)l2 £ к21 Х\2(к-1) + | ф0(т)121У2(+ж)\2 £(к - 1)2\ X\2(к-2) + (53)

к=2 к=2 к=2 ж к к

2 ZZE^2*-(i+i)\fi- (*)\\Ш\.

=2 =2 =

Условием сходимости рядов в правой части неравенства (53) является оценка | X \ < 1. Рассмотрим отдельно последний ряд

ж к к ж ж ж ж ж

XXX \ я \ 2к - = X \ я \- ;\ Ы X \ я \-'\ Л\X \ я \ 2к = X \ я \ - ;\ Ы X \ я \ }\Л\ =

к=2 =2 = =2 = = - =2 = ж ж ж ж

^цш ^ \ Ы X \ я\ т\= ^йр X \ я \ тX \ <

\ \ 1=2 т=0 \ \ т=0 1=2

I ж ж \1/2 1 __ _

> \ л \ t \ I ■ \2

т=0 i=2

.00 /оо со .00 со

T^W Z \ ^ т I Z \ fi\2 Z \ fi+m\2 < Y^-2 Z \А \т £ \ fi\

т=0 "

\ ./ 1+т

=2 =2

Таким образом, правую часть (53) можно оценить через

,\к\2(\М4 - 3\ Х\2 + 4).,1(_и2 \Х\2 + 1_ _

)3 + (1 - \),\2\(1 - |;п

=2

Проинтегрируем (53) по отрезку

N71 ж +ж N+(к+1)l

, , , , ,„М2\ Л \ (\Д\ - J\A\ +4) , / \ 12 \ Л\ + 1 , _^_ Vl^|2

\ф1 (г+h) —(j-m*— + \ ф0(Т)\ ä-iW + d-\im-\х\).

/ж +ж Л

ик (т)\2 dr = £ / \ и (т)\2 dr= II и ||22 ш+ж)

I--1 I--Л J

N-21 к=2 к=0 N+kl

N-1 N-1

3 (\М 4 - 3\Я\2 + 4) Г f .. ( ^

-(1-^1- J \ ф1( г + 0\ dT+ -W2)3 J \ф0( T)\dT+

N- 2 N- 2

N-1

ж

II .. . _ , IIJ. II .. . ... , II -£Ч|2

6 С ж---

(Г^^ууГ^Щ) J Z \ f(Т+ ih)\2dT < С (11ф1 IIl>([N-l-N]) + 11ф0 ^2([N-21,N-I]) + Mf^([N+ж)) .

N-21 =

Получаем, что при тах{\А1\, \Х2\} < 1 выполняется оценка

\\и\\12 ([N,+ж)) < с(\\ф1 \\1г ([-^-тк ]) + \\ф0\\ь2 (^-2к^-к ]) + \\fWl2 ([N,+ж)^ , (54)

причем константа не зависит от N. Таким образом, мы убедились в том, что норма оператора W-1 не зависит от N.

В силу этого мы можем взять такое N, что норма оператора W£ будет достаточно мала для обратимости оператора W + W£. Действительно,

( W + МТ£)-1 = ^ (/ + W-1Wf))-1 = (/ + W-1Wf)-1 W-1,

значит для обратимости оператора W + We достаточно выполнения оценки \\^^-1W£\\ < 1, или \\Ш£\ < 1/\\W-1 \\. В силу (51), выбираем N так, чтобы е < 1/(2\^-1 \). Таким образом, из (49) и (54) получаем

\\и\\ь2(К) < с\\/\\ь2(К). (55)

Тогда сформулируем достаточные условия обратимости оператора В0. Теорема 5.2. Пусть для оператора В0 выполнено условие

Ъ0(±ж,Я) := ^У}(±ж)Л} * 0 (\*\< 1).

=0

Тогда существует ограниченный обратный оператор В--1 (т, Т).

Замечание 5.1. Условия обратимости оператора В0, полученные в этом пункте, легко обобщаются на случай М + 1-членного оператора

м Во =

]=о

с коэффициентами, экспоненциально сходящимися на ±то, и имеют аналогичный вид, а именно, требуется,

чтобы ^М=о У](±то)Х' * 0 при Щ < 1.

6. Разрешимость в весовом пространстве. Сформулируем основной результат о разрешимости функционально-дифференциального уравнения в весовых пространствах.

Теорема 6.1. Пусть для оператора Ая : Щ+2(К2) ^ Щ (К2) в (32) выполнены условия

ашрде231Т ±(а^р4 + а2п) е(51 - 52) т + й221 е-2"2т * 0 (г € К); (56)

аш + ашХ + аП-1А2 * 0 (1X1 < ^¡рТцц5+1); (57)

0221 + й22оЛ + Я22.-1Х2 * 0 (1X1 < л/р/яр-5-1). (58)

Тогда существует ограниченный обратный оператор А-1.

Доказательство. Действительно, условие (56) позволяет при исследовании исходного уравнения рассматривать оператор

1+гЛ£1Т+ Г2У1Т 2

У0 (г) П (т) .

Его обратимость гарантируется теоремой 5.2. при условии, что корни уравнений

1+2=0 У0 (±то) У0 (±то)

лежат вне круга единичного радиуса. Подставляя значения пределов }/;(±то), [ = 0,1, 2, мы получаем два уравнения

^ о2 (5 + 1)Р Л2 + е™ п5 + \11х+1 =

- q ( ' —А +--q

йш q аш

^р-2(s+!)PX2 + ^220р-(*+!) fiLx + 1 = 0,

-р "У + Ч _^ + -р

221 221

После замен X = qs+1^fpJqX и X = р-(^ л[р/с[Х мы получаем условия (57), (58). Теперь в (55) используем функции и(т) = ет(331 -332(е(т)У/2+1 w(р, т) и

пт) = р~2е<51 -52)/2 (е(т)У/2+1 (е(т - И.))-1 д(р, т - И)

(они принадлежат пространству Ь2(К) при почти всех р > 0):

то то

У еф1 -52) ( е(т))5+21 w(р, т)12с1т< с ^ р-4ет(н-52](е(т))5+2 ( е(т-1))-21д(р, т - 1)12¿т.

-то -то

Умножим обе части последнего неравенства на 2р2+3 и проинтегрируем по р от 0 до +то. Получаем оценку

II 112,+2 < с\\д\\2к,,

равносильную оценке

\\и \н0+2(К2) < с|(К2).

Теорема доказана.

Замечание 6.1. Интересным является наличие параметра $ в условиях теоремы 6.1. Увеличение этого параметра позволяет нам ослабить условие на коэффициенты а22к, к = 0, ±1 : уменьшается круг, куда не должны попасть корни выражения в (58). Но в то же время ужесточаются условия на коэффициенты а11 к, к = 0, ±1, т. к. увеличивается круг, где выражение из (57) не должно обращаться в ноль.

Замечание 6.2. Обратим внимание на то, что коэффициенты при смешанных производных входят лишь в условие (56), которое является значительно менее ограничительным по сравнению с (57) и (58).

Симметричные достаточные условия разрешимости получаются, если потребовать, чтобы 1 ( ) * 0 на К. Тогда можно свести вопрос об обратимости оператора Ая к вопросу об обратимости оператора

В0 = 80! + 81Т-1 + 82Т-2 :12 (К) ^ 12 (К),

где

<50 ( т)

er ( т + l) Ö0 ( т + 1)л!рТд еs'2+1 ( т)

e(т + l) ' 1 ( Т) esl2+2( т + l)

2( )

е(т + h)es/2+1 (т + 21.96 * +968/)'

в-1 (т + 1)(р/q) es/2+1 (т)

Аналогично убеждаемся, что для существования ограниченного обратного оператора В0 в этом случае достаточно выполнения условий

Подставляя предельные значения, получаем следующий результат. Теорема 6.2. Пусть для оператора Ая : Щ+2(К2) ^ НЦ (К2) выполнены условия

аи,-1 e2s1 Т ± (Ü12-1 + й21,-1р q) е( S1 - S2) г + й22,-1р qe-2s2 т * 0 (те R ; am + a1WÄ + аи,-1А2 * 0 (\Х\ >^fpjqqs+1); Ü221 + Ü220А + 022,-1^ * 0 (\М > yfpjqp~S-1) .

2 1

2 2

Тогда существует ограниченный обратный оператор А-1.

Комбинируя теоремы 6.1. и 6.2., приходим к такому утверждению.

Следствие 6.1. Пусть для оператора Ая : Щ+2(К2) ^ Щ (К2) из (32) одновременно выполняются условия

существует ограниченный обратный оператор А-1.

В заключение остановимся на ситуации, когда в исходном уравнении либо все коэффициенты 1 одновременно обращаются в ноль, либо все коэффициенты а^,-1 одновременно обращаются в ноль, т. е. когда одна из функций в1 или в-1 тождественно равна нулю. Без ограничения общности будем считать, что в1 ( т) = 0. Тогда решение уравнения сводится к обращению двучленного оператора

Следующий результат доказан в [2, теорема 11.1, параграф 11].

Теорема 6.3. Пусть коэффициенты у0, у1 принадлежат Ьж(Ж) и существуют пределы lim у01 ( т) =

у0,1 (±ж). Тогда оператор (59) обратим в пространстве Lp(R), 1 < р < ж, в том и только в том случае, если выполнены следующие условия:

1. существует номер к0 такой, что\ ук0 (±ж)\ > \ у1-к0 (±ж)\;

2. существует число 8 > 0 такое, что почти всюду \yk0 \ > 8.

Замечание 6.3. Поскольку условия теоремы 6.3. совпадают с условиями теоремы 5.2. в случае вырождения коэффициентов при одном из сдвигов, то мы можем говорить о близости полученных в статье достаточных условий обратимости разностного оператора В0 к необходимым. Теперь рассмотрим решения уравнения (33), записанного в виде

атр qe2S1Т ± (Ü121P q + Ü211) e(s 1 - s 2) г + Ü221 e-2S2 т * 0 ( те R , аи,-1 e2s1 т ± (Ü12-1 + a2i,-1p q) e(s 1 - S2) г + й22,-1р q e-2s2 т * 0 (те R ,

ßw( т) = У0 ( т) w( т) + у 1 ( т) w( г - h) : L2(R) ^ L2(R).

(59)

Aü = f,

из пространства Нк+2(К2), к е N. В этом случае, f е Нк (К2) . Получим ниже алгебраические условия, при которых решения удовлетворяют априорной оценке

\\й\\н12(К) < с\\Л\н£(К).

Эквивалентное утверждение состоит в наличии у оператора А : Нк+ 2(К2) ^ (К2) тривиального ядра и замкнутого образа. Начнем со случая, когда к = 1,

\H (R2) = f m2(s-1)\f( tj

Таким образом, f e H0-1 (R2) и —— € H0 (R2) . Заменяя параметр s на (s - 1) в Теореме 6.1., получим

dgi

10

оценка

условие, при котором существует единственное решение и е Н0+1 (К2), и выполняется следующая

У й\\н0+1 (R2) <С0 ^^ (R2) . (60)

Предполагая, что и e H0+2 (R2), продифференцируем уравнение (33) по ^ и по ¿f2. Используя предыдущие краткие обозначения, перепишем данные уравнения в следующем виде:

А1щ1 = + В1й, (61)

А2Щг = fa + B2U. (62)

Поскольку и e H0+1 (R2), члены ¡¡¡й, i = 1, 2, также принадлежат H0 (R2) , а операторы В1, В2 непрерывно отображают H0+1 (R2) в H0 (R2) . Отсюда функции правой части уравнений (61), (62) принадлежат пространству H0 (R2) .

Предположим, что для операторов А1,А2 : H0+2 (R2) ^ H0 (R2) выполняются условия, аналогичные условиям Теоремы 6.1. Тогда данные операторы непрерывно обратимы, и мы имеем

1 й & 11 Н°+2 (R2) < С1 У & +Вй Ун» (R2) < С1 (У Ун0 (R2) + IIBi U Ун0 (R2 )) <

С2 (У .4 Ун](R2) + У йУн0+1 (R2)) < С2 (У f^ Ун»(R2) + С0 У/УН°-1 (R2)) < С3 УЯн] (R2). Совместно с (60) это дает, что

У йУЩ+2(R2) < СУЯн] (R2). (63)

Выразим вышеупомянутые условия на А, А1 и А2 в явном виде. Если мы начнем с выражения ашр qe2S1 т ± (amp q + CI211) e( s 1 - S2) г + CI221 е-2"2 т Ф 0 ( те R) общего для всех трех операторов, то необходимо дополнительно потребовать

аш + alwÄ + а11-1А2 Ф 0 [\А\<Л¡рqs j, а.221 + 0220^ + 022,,-1Ä2 Ф 0 ^ ^^Р s

для А,

аш + аПоЛ + an-iÄ2 Ф 0 |\Я\ < ^Я* j, a22i + a220^ + d22,-iÄ2 Ф 0 |\Я\ < ^Р ( s+1)4 ^

lp„S

ч

для А1 и

аш + а1юХ + ап,-1Л2 Ф 0 < у ^ qs+1pj, 0,221 + 0-220Я + 022,-1^ Ф 0 < у^р sj

для А2. Поскольку рq > 1, пересечение данных условий выражается последними двумя выражениями. Альтернативные условия, связанные с выражением

ап,-1 e2s1 т ± (012,-1 + 021,-1р q) е( S1 - S2) г + 022,-1р qe-2S2 т Ф 0 (те R),

формулируются аналогично. Запишем ниже полученный результат. Теорема 6.3. Априорная оценка

У и УЩ+2 (R2) < С Шщ (R2)

выполняется для решений уравнения (32), если выполняется один из следующих двух блоков условий: (i)

ошр qe2S1Т ± (0121Р q + 0211) e(s 1 - S2) г + 0221 e-2s2 т Ф 0 ( те R),

р „s+1^ I -\2 , п Ш ^ Р „- S | .

От + 0110Ä + an,-1Ä2 Ф 0 \\A\<J- qs+1Р |, 0221 + 0220^ + 022-1Ä2 Ф 0 \\\\<л\-р

2

(ii)

ацe2si Т ± (а12-г + a2i-ip q) е( S1 - S2) т + a22-ip qe-2S2 т Ф 0 ( те R), аП1 + aUoÄ + aii-iA2 Ф 0 W>J ~ Я], a22i + a22oÄ + a22,-iÄ2 Ф 0 \Х\> -p-(s+1)q-1

Сформулируем очевидное обобщение для натурального к. Теорема 6.4. Априорная оценка

У и\\щ+2 (R2) ^ С\\/\\щ (R2)

выполняется для решений уравнения (32), если выполняется один из следующих двух блоков условий: (i)

ашр qe2S1Т ± (amp q + aZn) e(s 1 - 52) r + a22i e-2s2 т Ф 0 ( те R),

Ini^ IP ns+l „Л „ ; Л 2 ± 0 ii ii < ft„-(s+1-k Л .

аш + аиоХ + аП-1\ 2Ф 0 ^\ X\< у -qs+pkj, а221 + й220X + а.22,-1Х Ф 0 ^\ Х\<^-р

(11)

аП-1 е2'1 т ± (а12,-1 + а21,-1р q) е( 11 - 12) г + а22,-1р qe-22 т Ф 0 (те К),

аш + апоХ + ап-1Х2 Ф 0 |\X\ > к| , й221 + 0220* + а2%-Х\2 Ф 0 |\X\ > л^}Р-(3+Г)к).

Пример 6.1. Исследуем разрешимость уравнения

аиХ1Х1 (Х1, Х2) + иХ1Х1 (Х1/2, 2x2) + ЪиХ1Хг (Х1/2, 2x2) + иХгХг (Х1/2, 2x2) + сиХ2Х2 (2x1, Х2/2) = /(хъ х2). (64)

Здесь р = q = 2, а,Ъ,с е К, / е Н1 (К2), $ £ Z. Тогда а110 = а, а111 = 2, 2а121 + а211/2 = Ь, а221 = 1/2, а22-1 = 2 с, остальные коэффициенты нулевые. Воспользуемся теоремой 6.1. Условие (56) имеет вид

4е2т + 1 е-2т Ф ±Ь, Ут е К, 4

что возможно лишь когда \Ь\ < 2. Условия (57) и (58) выглядят следующим образом:

2 + аХ = 0 только при \X \ > 21+1,

1 + 2сХ2 = 0 только при \X\ > 2-1-1. Это значит, что при \а\ < 2-1, \с\ < 22 и\Ь\ < 2 уравнение (64) имеет единственное решение в НЦ+2(К2).

Благодарность. Автор выражают благодарность А. Л. Скубачевскому и Л. Е. Россовскому за поддержку, внимание к работе, ценные замечания и советы.

Список литературы

1. Агранович М. С., Селицкий А. М. 2013. Дробные степени операторов, отвечающих коэрцитивным задачам в липшицевых областях. Функциональный анализ и его приложения, 47(2): 2-17.

Б01: 10.4213Яаа3109

2. Антоневич А. Б. 1988. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Мн.: Университетское, 232.

3. Антоневич А. Б., Ахматова А. А. 2012. Спектральные свойства дискретного оператора взвешенного сдвига. Труды Института математики, 20(1): 14-21.

4. Вишик М. И. 1951. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Математический сборник, 29(71), 3: 615-676.

5. Лийко В. В., Скубачевский А. Л. 2019. Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения со смешанными краевыми условиями в цилиндрической области. Современная математика. Фундаментальные направления, 65(4): 635-654. Б01: 10.22363/2413-3639-2019-65-4-635-654

6. Лийко В. В., Скубачевский А. Л. 2020. Смешанные задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностныхуравнений в цилиндре. Математические заметки, 107(5): 693-716. Б01:10.4213/mzm12597

7. Кондратьев В. А. 1967. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды Московского математического общества, 16: 209-292.

8. Пламеневский Б. А. 1986. Алгебры псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 256.

9. Полянин А. Д., Манжиров А. В. 1998. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 432.

10. Россовский Л. Е. 1996. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений. Математические заметки, 59(1): 103-113. DOI: 10.4213/mzm1698

11. Россовский Л. Е. 2001. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов. Труды Московского математического общества, 62: 199-228.

12. Россовский Л. Е. 2011. О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Математические заметки, 90(6): 885-901. DOI: 10.4213/mzm8753

13. Россовский Л. Е. 2012. К вопросу о коэрцитивности функционально-дифференциальных уравнений. Современная математика. Фундаментальные направления, 45: 122-131. DOI: 10.1007/s10958-014-2018-5

14. Россовский Л. Е. 2014. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции. Современная математика. Фундаментальные направления. 54: 3-138. DOI: 10.1007/s10958-017-3360-1

15. Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. 2015. Первая краевая задача для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями. Математические заметки, 97(5): 733-748. DOI: 10.4213/mzm10654

16. Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. 2017. Об однозначной разрешимости функционально-диффернциаль-ного уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах. Дифференциальные уравнения, 53(12): 1631-1644. DOI: 10.1134/S037406411712010X

17. Скубачевский А. Л. 1986. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. Математический сборник, 129(171), 2: 279-302. DOI: 10.1070/SM1987v057n01ABEH003070

18. Скубачевский А. Л. 2016. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения. Успехи математических наук, 71, 5(431): 3-112. DOI: 10.4213/rm9739

19. Скубачевский А. Л. 2018. Гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением в цилиндре. Доклады Российской академии наук, 478(2): 145-147.

DOI: 10.7868/S0869565218020056

20. Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. 2001. Параболические дифференциально-разностные уравнения второго порядка. Доклады Российской академии наук, 379(5): 595-598.

21. Auscher P., Hofmann S., McIntosh A., Tchamitchian P. 2001. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on Rn .Journal of Evolution Equations, 1: 361-385. DOI: 10.1007/PL00001377

22. Garding L. 1953. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations. Mathematica Scandinavi-ca, 1: 55-72. DOI: 10.7146/math.scand.a-10364

23. Kato T. 1961. Fractional powers of dissipative operators. The Journal of Mathematical Society of Japan, 13(3): 264-274. DOI: 10.2969/jmsj/01330246

24. McIntosh A. 1972. On the comparability of A1/2 and A*1/2. Proceedings of the American Mathematical Society, 32(2): 430-434. DOI: 10.2307/2037834

25. Skubachevskii A. L. 1986. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations. Journal of Differential Equations. 63: 332-361. DOI: 10.1016/0022-0396(86)90060-4

26. Skubachevskii A. L. 1997. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhäuser, BaselBoston-Berlin, 1997. 294. DOI: 10.1007/978-3-0348-9033-5.

27. Tasevich A.L. 2017. Analysis of functional-differential equation with orthotropic contraction. Mathematical modelling of natural phenomena, 12(6): 240-248. DOI: 10.1051/mmnp/2017076

References

1. Agranovich M. S., Selitskii A. M. 2013. Fractional powers of operators corresponding to coercive problems in Lipschitz domains. Functional Analysis and Its Applications, 47(2): 83-95 (in Russian).

DOI: 10.1007/s10688-013-0013-0

2. Antonevich A. B. 1996. Linear functional equations. Operator approach. Birkh, user, 183 (in Russian).

3. Antonevich A. B., Akhmatova A. A. 2012. Spectral properties of discrete weighted shift operators. Trudy Instituta Matematiki, 20(1): 14-21 (in Russian).

4. Vishik M. I. 1951. On strongly elliptic systems of differential equations. Matematicheskii Sbornik, 29(71), 3: 615-676 (in Russian).

5. Liiko V. V., Skubachevskii A. L. 2019. Strongly elliptic differential-difference equations with mixed boundary conditions in a cylindric domain. Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 65(4): 635-654 (in Russian). DOI: 10.22363/2413-3639-2019-65-4-635-654

6. Liiko V. V., Skubachevskii A. L. 2020. Mixed Problems for strongly elliptic differential-difference equations in a cylinder. Mathematical Notes, 107(5): 770-790 (in Russian). DOI: 10.1134/S0001434620050065

7. Kondrat'ev V. A. 1967. Boundary value problems for elliptic equations in domains with conical or angular points. Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva, 16: 209-292 (in Russian).

8. Plamenevskii B. A. 1989. Algebras of pseudodifferential operators. Springer Dordrecht, 292 (in Russian). DOI: 10.1007/978-94-009-2364-5

9. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. 1998. Handbook of integral equations.CRC Press LLC, 796 (in Russian).

10. Rossovskii L. E. 1996. Coerciveness of functional-differential equations. Mathematical Notes, 59(1): 75-82 (in Russian). DOI: 10.1007/BF02312468

11. Rossovskii L. E. 2001. Boundary vakue problems for elliptic functional-differential equations with extension and contraction of arguments. Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva, 62: 199-228 (in Russian).

12. Rossovskii L. E. 2011. On the spectral stability of functional-differential equations. Mathematical Notes, 90: 867-881 (in Russian). DOI: 10.1134/S0001434611110265

13. Rossovskii L. E. 2014. The coercivity of functional differential equations. Journal of Mathematical Sciences, 201: 663-672 (in Russian). DOI: 10.1007/s10958-014-2018-5

14. Rossovskii L. E. 2017. Elliptic functional differential equations with contractions and extensions of independent variables of the unknown function. Journal of Mathematical Sciences. 223: 351-493 (in Russian). DOI: 10.1007/s10958-017-3360-1

15. Rossovskii L. E., Tasevich A.L. 2015. he first boundary-value problem for strongly elliptic functional-differential equations with orthotropic contractions. Mathematical Notes, 97: 745-758 (in Russian). DOI: 10.1134/S0001434615050090

16. Rossovskii L. E., Tasevich A.L. 2018. Unique solvability of a functional-differential equation with orthotropic contractions in weighted spaces. Differential Equations, 53: 1631-1644 (in Russian).

DOI: 10.1134/S0012266117120102

17. Skubachevskii A. L. 1987. Elliptic problems with nonlocal conditions near the boundary. Math. USSR-Sb, 57(1): 293-316 (in Russian). DOI: 10.1070/SM1987v057n01ABEH003070

18. Skubachevskii A. L. 2016. Boundary-value problems for elliptic functional-differential equations and their applications. Russian Mathematical Surveys, 71(5): 801-906 (in Russian). DOI: 10.1070/RM9739

19. Skubachevskii A. L. 2018. The Kato conjecture for elliptic differential-difference operators with degeneration in a cylinder. Doklady Mathematics , 97(1): 32-34 (in Russian). DOI: 10.1134/S1064562418010106

20. Skubachevskii A. L., Shamin R. V. 2001. Second-order parabolic differential-difference equations. Doklady Mathematics, 64(1): 98-101 (in Russian).

21. Auscher P., Hofmann S., McIntosh A., Tchamitchian P. 2001. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on R" .Journal of Evolution Equations, 1: 361-385. DOI: 10.1007/PL00001377

22. Garding L. 1953. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations. Mathematica Scandinavi-ca, 1: 55-72. DOI: 10.7146/math.scand.a-10364

23. Kato T. 1961. Fractional powers of dissipative operators. The Journal of Mathematical Society of Japan, 13(3): 264-274. DOI: 10.2969/jmsj/01330246

24. McIntosh A. 1972. On the comparability of A1/2 and A*1/2. Proceedings of the American Mathematical Society, 32(2): 430-434. DOI: 10.2307/2037834

25. Skubachevskii A. L. 1986. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations. Journal of Differential Equations. 63: 332-361. DOI: 10.1016/0022-0396(86)90060-4

26. Skubachevskii A. L. 1997. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhäuser, BaselBoston-Berlin, 1997. 294. DOI: 10.1007/978-3-0348-9033-5.

27. Tasevich A.L. 2017. Analysis of functional-differential equation with orthotropic contraction. Mathematical modelling of natural phenomena, 12(6): 240-248. DOI: 10.1051/mmnp/2017076

Конфликт интересов: о потенциальном конфликте интересов не сообщалось.

Conflict of interest: no potential conflict of interest related to this article was reported.

Поступила в редакцию 10.10.2022 Поступила после рецензирования 21.11.2022 Принята к публикации 26.11.2022

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ Тасевич Алла Львовна - кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН, ассистент, Российский университет дружбы народов

ул. Вавилова, д. 40, Москва, 119333, Россия, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Alla Tasevich - PhD, junior researcher, Federal research center "Computer Science and Control" of RAS, Moscow, Russia, assistant professor, RUDN University, Moscow, Russia