Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

metical equivalent of analytic property of Dirichlet L-series on Res = 1 line]. Izbrannye trudy [Selectas], Moscow, Nauka, 1973. pp. 310-328 (in Russian). 4. Matveev V. A., Matveeva O. A. On behavior in critical

strip of Dirichlet series with finite-valued coefficients and bounded summatory function. Chebyshevskii sbornik [Chebyshev collection], 2012, vol. 13, iss. 2, pp. 106-116 (in Russian).

УДК 511.3

ОБ ОДНОМ ЭКВИВАЛЕНТЕ РАСШИРЕННОЙ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА ДЛЯ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

В. А. Матвеев1, O. А. Матвеева2

1 Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

2Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Для ¿-функций Дирихле числовых полей получено условие на сумматорную функцию, рассматриваемую на множестве простых идеалов, эквивалентное расширенной гипотезе Римана. Изучаются аналитические свойства эйлеровых произведений, связанных с этим эквивалентом.

Ключевые слова: расширенная гипотеза Римана, ¿-функции Дирихле, числовые поля.

ВВЕДЕНИЕ

Харди и Литлвуд в [1] высказали предположение о том, что нетривиальные нули ¿-функций Дирихле в случае числовых характеров лежат на критической прямой. Это предположение получило название расширенной гипотезы Римана. Соответствующее предположение о нетривиальных нулях ¿-функций числовых полей также называют расширенной гипотезой Римана.

В данной работе будет доказано утверждение о том, что расширенная гипотеза Римана для ¿-функций числового поля эквивалентна определённой асимптотике для сумматорной функции характера Дирихле, рассматриваемой на множестве простых идеалов данного поля, и будут рассмотрены аналитические свойства эйлеровых произведений, связанных с этим эквивалентом.

1. УСЛОВИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ НУЛЕЙ ¿-ФУНКЦИИ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Пусть х — неглавный первообразный характер Дирихле по модулю т числового поля К, и х, К), 5 = а + И — соответствующая ¿-функция, определённая при а > 1 следующим образом:

= п (1 - ^Г = Е (1)

где произведение берётся по всем простым, а сумма — по всем целым идеалам поля К. В данной работе приведём доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Расширенная гипотеза Римана для ¿-функции Дирихле (1) эквивалентна оценке вида

^ Х(Р) = 0(х1/2+е), (2)

р,

N (р)<Х

где суммирование рассматривается по всем простым идеалам, норма которых не превосходит х, е — произвольное положительное число, а константа в оценке не зависит от х. Доказательству теоремы 1 предпошлём доказательства двух лемм.

© Матвеев В. А, Матвеева О. А., 2013

Лемма 1. Пусть ряд Дирихле

ж

f (s) = У^ , s = a + it, lim пТаЩ = 1, (3)

z—' ns и^ж

n=1

таков, что соответствующий степенной ряд

ж

n

9(г) = апг

п=1

при подходе к точке г = 1 вдоль вещественной оси ведёт себя следующим образом:

те

д(х) = 5] апхп = О ((1 - х)1/2+е) , (4)

n

n=1

где е — произвольное положительное число.

Тогда ряд Дирихле (3) аналитически продолжим в полуплоскость а > 1/2. Доказательство. Запишем известное преобразование Меллина:

ж / „ 1 „/ ж

!(в) = — 0 ут; апе~пх J х*"1 ¿х, а > 1, (5)

где Г(в) — гамма-функция Эйлера.

В силу оценки (4) интеграл, стоящий в правой части этого равенства, абсолютно сходится при любом в, если а > 1/2. Действительно, оценка (4) равносильна оценке

J2ane-nx = O(x1/2+e), x ^ 0.

Следовательно, интеграл

n

n=1

о

абсолютно сходится при а > 1/2, а интеграл

/(£ ane-nx)xs-1 dx

о n=1

абсолютно сходится при любом в, что и доказывает утверждение леммы. □

Лемма 2. Следующие оценки эквивалентны:

1. £ х(р) = О(х1/2+е);

N (р)<х

2. £ х(р)1п N (р) = О(х1/2+е). (6)

N (р)<х

Доказательство. Применяя метод суммирования Абеля, получим эквивалентность вида

^ х(р) 1пN(р) - 1пх ^ х(р),

N (р)<х N (р) <х

что и доказывает утверждение леммы. □

Доказательство основной теоремы. Пусть имеет место расширенная гипотеза Римана. Используя приём оценки сумматорной функции, приведённый в работе [2], получим оценку (6), а в силу леммы 2 — и оценку (2).

ж

Обратно, пусть имеет место оценка (2), а следовательно, и оценка (6). Обозначим

ап

х(р)1п N (р)

N (р)=п

и рассмотрим степенной ряд

Е

П = 1

а,х .

Применяя приём суммирования Абеля, получаем следующее интегральное представление этого

ряда:

те /

П = 1

+ те

апхп = — 1п х Б (и)хи йп,

где Б (и) = ^ а,п.

п<и

В силу оценки (6) имеем:

Отсюда и из формулы (7) получаем:

Е

п=1

ап х

Б (и) = О(и1/2+е).

+те

= О [ 11пх| / и1/2+ехийи

(7)

Запишем последний интеграл в виде

+те

(1-х)-1

+те

и1/2+е хийи =

и1/2+ехийи +

и1/2+е хийи.

(1-х)-1

Применяя к последнему слагаемому формулу интегрирования по частям, получаем оценку вида

Е

п=1

ап х

= О 1п х

(1 — х)-1/2+е + (1 — х)-1/2+£ + (1 — х)1/2+£

1п х

1п2 х

) = О ((1 — х)-1/2+е)

при х ^ 1.

Отсюда в силу леммы 1 получаем, что ряд Дирихле

Е

Х(р)1п N (р) N (р)-

аналитически продолжим в полуплоскость а > 1/2. Так как

— К) = ^ х(р)1пN(р) +

¿(з,Х, К) ^ N (р)*

где х) — функция, голоморфная при а > 1/2, то ¿(з,х, К) не имеет нулей в полуплоскости а > 1/2. Тогда в силу функционального уравнения для ¿-функции (1) имеет место расширенная гипотеза Римана. Тем самым теорема полностью доказана. □

2. ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЭЙЛЕРОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ С «ИСПОРЧЕННЫМИ» НА РЕДКОМ МНОЖЕСТВЕ ПРОСТЫХ ИДЕАЛОВ ХАРАКТЕРАМИ ДИРИХЛЕ

Рассмотрим характер Дирихле х числового поля К и мультипликативную функцию Л, заданную на целых идеалах поля, которая на множестве простых идеалов р, удовлетворяющих условию

N (р)<х

1 = О(х1/2+е),

(8)

те

те

78

Научный отдел

принимает значения, равные корням из единицы, отличные от значений х(р). Такие функции будем называть «испорченными» на редком множестве характерами Дирихле. Рассмотрим эйлерово произведение:

/(»)= П (1 - , *> 1- (9)

Относительно таких функций имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Функция /(в) вида (9) аналитически продолжила в полуплоскость а > 1/2, и в этой полуплоскости возможные нули /(в) совпадают с нулями Ь-функции Дирихле Ь(в,х). Доказательство. Функцию /(в) представим в виде

/00 = Ь(в,х) ■ /1 (в) ■ /2(в),

где

/1 (*)=п' (1 - /2 (.)=п'(1 - Щ1

причём произведение берётся по редкому множеству простых идеалов, для которых х(р) = Мр). При а > 1 логарифмы этих функций представимы в виде

те

X(pm) v-v x(p)

lnfl(s)= mL = 2-, N(Py + gl(s'x)'

те

h(pm) v^' h(p)

ln f(s)= mL N(P)ms =2-, N(P7 + g2(s'h)'

где g1(s,x) и g2(s, h) — функции, голоморфные в полуплоскости а > 1/2.

Отсюда в силу условия (8) и рассуждений, приведённых при доказательстве теоремы 1, следует возможность аналитических продолжений функций fi(s) и f2(s) в полуплоскость а > 1/2. При этом в этой полуплоскости данные функции не имеют нулей, что и доказывает утверждение теоремы 2. □

Библиографический список

1. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some problems of partitio 2. Хейльбронн Х. (-функции и L-функции // Алгебра-

numerorum III : On the expression of a number as a sum ическая теория чисел. М. : Мир, 1969. С. 310-346. of primes // Acta Mathematica. 1923. Vol. 44. P. 1-70.

On a Particular Equivalent of Extended Riemann Hypothesis for Dirichlet / -functions on Numerical Fields

V. A. Matveev, O. A. Matveeva

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83, [email protected], [email protected]

A condition on summatory function over a set of prime ideals for Dirichlet L-functions on numerical fields is obtained. This condition is equivalent to extended Riemann hypothesis. Analytical properties of Euler products associated with this equivalent are studied.

Key words: extended Riemann hypothesis, Dirichlet L-functions, numerical fields.

References

1. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some problems of partitio numerorum III : On the expression of a number as a sum of primes. Acta Mathematica, 19232, vol. 44, pp. 1-70.

2. Kheil'bronn Kh. Z-funktsii i L-funktsii [Z-functions and

L-functions]. Algebraicheskaia teoriia chisel [Algebraic number theory], Moscow, Mir, 1969, pp. 310-346 (in Russian).