CC BY
22
4. Heyer H. Probability Measures on Locally Compact Groups. Berlin : Springer, 1977. 531 p.
5. Billingsley P. Convergence of Probability Measures. N.Y. : Wiley, 1968. 272 p.
6. Javtokas A., Laurincikas A. On the periodic zeta-
function // Hardy-Ramanujan J. 2006. Vol. 29. P. 18-36.
7. Mergelyan S. N. Uniform approximation to functions of complex variable // Usp. Matem. Nauk. 1952. Vol. 7. P. 31-122.
On Universality of Certain Zeta-functions
A. LaurinCikas1, R. Macaitiene2, D. Mokhov3, D. SiauCiUnas4
1 Vilnius University, Naugarduko st. 24, LT-03225 Vilnius, Lithuania, [email protected] 2Siauliai University, P. Visinskio st. 19, LT-77156 Siauliai, Lithuania, [email protected] 3Vilnius University, Naugarduko st. 24, LT-03225 Vilnius, Lithuania, [email protected] 4Siauliai University, P. Visinskio st. 19, LT-77156 Siauliai, Lithuania, [email protected]
It is well known that a generalization of the Hurwitz zeta-function — the periodic Hurwitz zeta-function with transcendental parameter is universal in the sense that its shifts approximate any analytic function. In the paper, the transcendence condition is replaced by a simpler one on the linear independence of a certain set.
Key words: periodic Hurwitz zeta-function, space of analytic functions, universality, weak convergence.
References
1. Javtokas A., Laurincikas A. The universality of the periodic Hurwitz zeta-function. Integral Transforms Spec. Funct., 2006, vol. 17, no. 10, pp. 711-722.
2. Cassels J. W. S. Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. J. London Math. Soc., 1961, vol. 36, pp. 171184.
3. LaurinCikas A., Garunkstis R. The Lerch Zeta-Function. Dordrecht, Kluwer, 2002, 189 p.
4. Heyer H. Probability Measures on Locally Compact Groups. Berlin, Springer, 1977, 531 p.
5. Billingsley P. Convergence of Probability Measures. New York, Wiley, 1968, 272 p.
6. Javtokas A., LaurinCikas A. On the periodic zeta-function. Hardy-Ramanujan J., 2006, vol. 29, pp. 18-36.
7. Mergelyan S. N. Uniform approximation to functions of complex variable. Uspekhi Matem. Nauk, 1952, vol. 7, pp. 31-122.
УДК 511.3
К ОЦЕНКЕ ОДНОГО КЛАССА СУММАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
В. А. Матвеев
Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Для конечнозначных функций натурального аргумента h(n), имеющих ограниченную сумматорную функцию, оцениваются сумматорные функции вида ^ h(n)nit, 1 < \t\ < T.
Ключевые слова: числовые характеры, сумматорные функции, степенные ряды.
В работе [1] было показано, что для числовых характеров Дирихле х при любом действительном t имеет место оценка вида
Y,x(n)nu = O( 1).
n<x
В данной работе этот результат обобщается на случай конечнозначных функций натурального аргумента h(n), для которых выполняются условия:
1) S(x) = Е h(n) = O( 1);
n<x
те
2) функция g(x), заданная степенным рядом вида g(x) = h(n)xn, имеет конечный предел в
n=1
точке x = 1.
© Матвеев В. А., 2013
Для таких функций имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. В любом прямоугольнике {я = а+И | 0 < а0 < а < 1, 2 < |£| < Т} функция, заданная рядом Дирихле
Н(п) п
/ М = Е ^, я = а + «,
(1)
п=1
обладает свойством
I/(я)| = 0(1),
где константа в оценке зависит только от Т.
Доказательство. Воспользуемся формулой суммирования Абеля для функций /(я) и Л,(п) и получим:
сю
/ (')=¿и
где Б (и) = Н(п), что даёт аналитическое продолжение / (я) в полуплоскость а > 0.
п<х
Рассмотрим преобразование Меллина:
с
/ (в)гоо = £; н(п)
П = 1
с
Е
П = 1
Н(п)е-пхх3-1 ¿х = д(в-х)х3-1 ¿х,
(2)
где д(е х) = ^ Л,(п)е пх, Г(я) — гамма-функция Эйлера.
п=1
Разобьём интеграл в правой части (2) на два:
д(е х)х3 1 ¿х = I д(е х)х3 1 ¿х + I д(е х)х3 1 ¿х.
—х\^3 — 1
-х 3-1
Так как д(е—х) ограничена при х е (0,1), то из этого равенства следует, что интеграл в правой части (2) абсолютно сходится при а > 0.
По условию д(х) непрерывна на [0,1]. Пусть Рп(х) — последовательность полиномов наилучшего приближения для д(х) на этом отрезке.
Как показано в теореме 6.1 работы [2], в силу того что д(х) на отрезке (-1,1) определяется степенным рядом с ограниченными коэффициентами, последовательность коэффициентов полиномов Рп(х)
п , , _
равномерно ограничена, т.е. если Рп(х) = ^ а^' хк, то для любых п е N и к е 0,п имеет место
неравенство |акп) | < М.
С помощью (2) представим /(я) в виде
к=0
/ 00 =
д(е—х)х3—1 ¿х + I [д(е—х) - Рп(е—х)]х3—1 ¿х + I Рп(е—х)х3—1 ¿х
-х 3-1
-х 3-1
Г(в)
Отсюда при а > 0 получаем оценку вида
|/(я)| <
|Г(я)|
При надлежащем выборе п получаем:
|/(я)| <
|ВД|
£п
£0 + — + а
С +
Рп (е-х)х3—1 ¿х
Рп (е-х)ха—1 ¿х
(3)
где С1 не зависит от а.
1
3
п
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
Рассмотрим интеграл
е кхх3 1 ¿х.
Применяя последовательно формулу интегрирования по частям, получим:
е к ке к е—кхх3—1 ¿х =--Ь
+
к2 е-к
я ф + 1) ф + 1)(в + 2)
+
Отсюда
J Рп (е-х)х3—1 ¿х = J
к=0
(пЕ-кх^3-1 _
а ^ е х
¿х = ^ акп) / е-кхх3-1 ¿х
к=0
Е«^ е-
= > а 'е
—1 + 1)... (я + т)
к=0 т=0 V 1 У V у
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора в окрестности х = 0 функции ех:
с
ех_ ^ ^ хт
т=0
т!
Проинтегрируем это выражение по £ =: х от 0 до х дважды:
(4)
/ е* ¿£ = ех - 1 =
П т=0
1 хТ
т! т + 1
(е* - 1) ¿£ = ех - 1 - х =
1 хт+2
=х
т! (т + 1)(т + 2) ^ (т + 2)!
т=0 4 у 4 у т=0 4 у
Е
ех 1 1
х2 х2 х (т + 2)!
т=0 4 у
Е
С учётом этого при |£| > 2 из (4) получаем:
кт
с
V_
т=0 5(5 + 1)... (я + т)
<
с
11
¿4 2 ■ 3 ■ ... ■ (т + 2) (т + 2)! к2 к2 к
т=0 4 у т=0 4 у
Таким образом, 1
Рп (е-х )х3-1 ¿х
к=0
о ^
е-М ?; - - ^ <
к2 к2 к
к=0
1 е-к е-к
к2 к2 к
< М0,
где М0 не зависит от а0.
Отсюда и из (3) получаем:
1 С
"(я)| <|го;)Т[С+М»] < ттс^т ■
я е {а + й | 0 < а0 < а < 1, 2 < £ < Т},
т. е.
|/(я)| = 0(1),
где константа зависит только от Т, что и завершает доказательство теоремы. Далее, наряду с рядом Дирихле (1), рассмотрим функциональный ряд вида
Б (п) И
/1 оо = £
п=1
п п3
а > 0,
где Б(п) = ^ Л,(к). Этот ряд сходится абсолютно при любых а > 0 и |£| < Т.
к<п
□
(5)
1
0
1
0
1
1
1
0
п
зс
к
т
х
х
т
х
0
т
х
ос
к
к
т
к
т
е
0
74
Научный отдел
Следующая лемма определяет соотношение между частичными суммами рядов (1) и (5) при 5 = П. Лемма 1. Имеет место равенство
-it _ S(n) it
2>(n)n-* = £ ^^ + O(l), (6)
(n)n =
n n
n=1 n=1
где константа в оценке не зависит от N и t.
Доказательство. В результате применения формулы суммирования по частям получим:
N N-1
£ h(n)n-it S(n)[n-it - (n + 1)-it] + O(1), (7)
n=1 n=1
где константа в оценке не зависит от t и N. Воспользуемся оценкой, полученной в работе [3]:
n-it - (n - 1)-it + itn-1-it = o( 1
\n2
Из этой оценки и из равенства (7) следует утверждение леммы. □
Теорема 1 и лемма 1 позволяют доказать следующий результат.
Теорема 2. Пусть функция f1(s) вида (5) при стремлении а к нулю определяет функцию, непрерывную на каждом отрезке [2, T] мнимой оси. Тогда для любого t, 2 < |t| < T имеет место оценка
St(x) = h(n)nit = O(1),
n<x
где константа зависит только от T.
Доказательство теоремы 2 проводится точно так же, как и доказательство аналогичного утверждения в работе [4], имеющего место, в отличие от нашего случая, при более сильных ограничениях.
Библиографический список
1. Чудаков Н. Г., Бредихин Б. М. Применение ра- литичности L-ряда Дирихле на прямой Re s = 1 // венства Парсеваля для оценок сумматорных функций Избранные труды. М. : Наука, 1973. С. 310-328. характеров числовых полугрупп // УМН. 1956. Т. 9.
С. 347-360. 4. Матвеев В. А., Матвеева О. А. О поведении в кри-
2. Демьянов В. Ф, Малозёмов В. Н. Введение в мини- тической полосе рядов Дирихле с конечнозначными ко-макс. М. : Наука, 1982. эффициентами и с ограниченной сумматорной функци-
3. ГельфондА. О. Об арифметическом эквиваленте ана- ей // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, № 2. С. 106-116.
An Estimate of a Certain Summatory Functions Class
V. A. Matveev
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrakhanskaya st., 83, [email protected]
In this paper summatory functions of form ^ k(n)n%t, 1 < |t| < T for finite-valued functions h(n) of natural argument with
bounded sum function are estimated.
Key words: dirichlet character, summatory functions, power series.
References
1. Chudakov N. G., Bredikhin B. M. Application of Par- 2. Dem'ianov V. F., Malozemov V. N. Vvedenie v mini-
seval's identity in estimations of summatory functions of maks [Introduction to minimax]. Moscow, Nauka, 1982
Dirichlet characters on numerical semigroups. Uspekhi (in Russian).
matematicheskikh nauk, 1956, vol. 9, pp. 347-360 (in 3. Gel'fond A. O. Ob arifmeticheskom ekvivalente anali-
Russian). tichnosti L-riada Dirikhle na priamoi [On certain arith-
metical equivalent of analytic property of Dirichlet L-series on Res = 1 line]. Izbrannye trudy [Selectas], Moscow, Nauka, 1973. pp. 310-328 (in Russian). 4. Matveev V. A., Matveeva O. A. On behavior in critical
strip of Dirichlet series with finite-valued coefficients and bounded summatory function. Chebyshevskii sbornik [Chebyshev collection], 2012, vol. 13, iss. 2, pp. 106-116 (in Russian).
УДК 511.3
ОБ ОДНОМ ЭКВИВАЛЕНТЕ РАСШИРЕННОЙ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА ДЛЯ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ
В. А. Матвеев1, O. А. Матвеева2
1 Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Аспирант кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Для ¿-функций Дирихле числовых полей получено условие на сумматорную функцию, рассматриваемую на множестве простых идеалов, эквивалентное расширенной гипотезе Римана. Изучаются аналитические свойства эйлеровых произведений, связанных с этим эквивалентом.
Ключевые слова: расширенная гипотеза Римана, ¿-функции Дирихле, числовые поля.
ВВЕДЕНИЕ
Харди и Литлвуд в [1] высказали предположение о том, что нетривиальные нули ¿-функций Дирихле в случае числовых характеров лежат на критической прямой. Это предположение получило название расширенной гипотезы Римана. Соответствующее предположение о нетривиальных нулях ¿-функций числовых полей также называют расширенной гипотезой Римана.
В данной работе будет доказано утверждение о том, что расширенная гипотеза Римана для ¿-функций числового поля эквивалентна определённой асимптотике для сумматорной функции характера Дирихле, рассматриваемой на множестве простых идеалов данного поля, и будут рассмотрены аналитические свойства эйлеровых произведений, связанных с этим эквивалентом.
1. УСЛОВИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ НУЛЕЙ ¿-ФУНКЦИИ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ
Пусть х — неглавный первообразный характер Дирихле по модулю т числового поля К, и ¿(я, х, К), я = а + И — соответствующая ¿-функция, определённая при а > 1 следующим образом:
¿(«^ п (1 - НО"1 = Е(1)
где произведение берётся по всем простым, а сумма — по всем целым идеалам поля К. В данной работе приведём доказательство следующего утверждения.
Теорема 1. Расширенная гипотеза Римана для ¿-функции Дирихле (1) эквивалентна оценке вида
£ х(р) = 0(х1/2+е), (2)
р,
N (р)<х
где суммирование рассматривается по всем простым идеалам, норма которых не превосходит х, £ — произвольное положительное число, а константа в оценке не зависит от х. Доказательству теоремы 1 предпошлём доказательства двух лемм.
© Матвеев В. А., Матвеева О. А., 2013
