CC BY
24
строительная теплофизика и энергосбережение
Об одном дискретно-континуальном подходе к решению одномерной задачи теплопроводности
А.Б. Золотов , М.А. Мозгалева, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров
В задачах расчета сооружений важное место занимает задача построения температурного поля в конструкции [2-3], так как ее решение определяет необходимые условия функционирования сооружений, а также позволяет определить термонапряженное состояние конструкции.
Пусть требуется определить распределение температуры по толщине стены в заданный промежуток времени (рис. 1).
Будем считать, что распределение температуры в стене зависит только от расстояния точки, в которой определяется температура, от наружной части стены и времени (это значит, что стена имеет достаточно большие размеры и везде картина распределения температуры по ее толщине одинаковая). Полагаем, также, что температура на улице и в помещении в любой момент времени известна. Кроме того, будем считать, что в исходный момент времени распределение температуры по толщине стены также известно. Это может быть известно из какого-нибудь предварительного расчета, например, если исходному моменту предшествовал температурный период стабильности.
Заметим, что в действительности по прошествии достаточного времени распределение температуры мало зависит от начального распределения.
1. Математическая постановка задачи. Математическая постановка задачи имеет вид (рис. 2) [2-3]:
д и д и
— = а—- + {(х, т) - уравнение теплопроводности,
0 < х < і , Т > 0 - пространственно - временная область,
и(0, Т) =Фо(Т)
, Т > 0 [ - краевые условия,
и(1, Т) = Ф, У) и(х,0) = ¥(х),0 < х < і - начальные условия.
,(1)
где х — координата по толщине стены, 0 < х < /;
I — толщина стены;
/ — координата по времени, / > 0; и(х, /) — значение температуры в точке х во время /;
а — коэффициент температуропроводности материала стены;
^(х, 0 — функция, характеризующая мощность возможного источника тепла.
Задача (1) определена в пространственно-временной области О:
О = {х, /: 0 < х < I, \ > 0}. Отметим, что
Ф„(0) = ¥(0); Ф/(/) = ¥(/).
(2)
(3)
Заметим, что поскольку задача (1) содержит начальные условия по времени, то она является задачей Коши.
Также следует отметить, что точно такая же математическая формулировка задачи соответству распределению температуры в стержне.
стена
и = фо(0 улица
и = ф,(0 помещение
Рисунок 1. К задаче теплопроводности
и = ф0(/)
0 и = \|/(х) I
Рисунок 2. К постановке задачи теплопроводности
3 2010 287
строительная теплофизика и энергосбережение
\ч-1
*N+1
U(t) = [ U(t) U2(t) ... UN(t) ]T ;
F(t) = [ Fi(t) 0 ... 0 Fn(t) ]T , (9)
при этом пусть
F.(f) = О, i = 1, 2, ..., N.
(5)
dUi(f)
,V'' =T^(U2(f) — 2 • U,(f)) + -020o(f); h h
а
df
Щт1 = -0r(Un—i(t) — 2 • UN(t)) + j2Ф,(t). dt h h
Введем обозначения:
(7)
(8)
288 з 2010
где F(f) =0 0o(f) ; Fn (t) = 0 Ф, (t) . (1О)
hh
Получаем матричную формулировку разрешающей системы уравнений:
Рисунок 3. Схема аппроксимации пространственно-временной области
2. Суть дискретно-континуального метода состоит в использовании по оси х конечно-разностной аппроксимации и сохранении непрерывного (континуального) характера задачи по времени t.
Пусть х, і = 0, 1, 2, ..., Ы, N + 1 — координаты точек разбиения, причем х0 = 0 и хы+1 = I — граничные точки (в которых заданы краевые условия). Таким образом, искомыми будут являться функции Ц(0, і = 1, 2, ■■■, N во внутренних узлах сетки. Схема аппроксимации пространственно-временной области в данном случае условно показана на рис. 3.
Во всех внутренних точках узлах і = 1, 2, ..., N (0 < х < I) уравнение теплопроводности в (1) примет вид:
= І2.(Ц+1(/) - 2 • и(/) + и-,(/)) + ^() , (4)
U: = AU + F
U(0) = ^ — начальные условия,
—2 1 1 —2 1
(11)
где
¥ =
V(*i)
y(x2)
V(xn )
1 —2 1
1 —2
■ и: = — и ; t dt ■
(12)
Как известно [1], общее решение задачи (11) имеет вид:
f
и = ехр(Л/)и0 + | ехр(А(/ - т))Р(т)с/т
о
Учитывая, что р не зависит от t, переходим к формуле
В соответствии с краевыми условиями из (1) для граничных точек, в свою очередь, можем записать:
У0(Ъ = ф0(0, ^+/0 = ф/о, t > о. (6)
Следовательно, уравнения теплопроводности для узлов с номерами I = 1 и I = N имеют соответственно вид:
Выполняем интегрирование:
t t
^ ехр(А^ - т))^т = ехр(А/ехр(—Ат)^т =
0 0
= ехр(А/)(—А _1)ехр(-Ат) 0 =
= -А_1 • exp(At)(ехр(—At) - Е) =
= —А _1(Е — exp(At)),
где Е — единичная матрица соответствующего порядка.
Таким образом, окончательно находим:
U = exp(At)U0 — A 1(E — exp(At)) • F .
(14)
Реализация формулы (14) предполагает вычисление экспоненты от матрицы равной А • t, для вы-
строительная теплофизика и энергосбережение
полнения которого следует воспользоваться известными формулами линейной алгебры [1]. Имеем:
ехр(А/) = Т ехр(/)Т ,
(15)
где Т — матрица собственных векторов матрицы А;
Т"1 — обратная матрица к матрице Т;
J — матрица Жордана, в простейшем случае имеющая диагональный вид
(16)
Х— собственные числа матрицы А, к = 1, 2, ... , N; ехр^) — соответствующая экспоненциальная функция от матрицы J • t,
ехр(/) =
ехР(У )
ехР(М )
ехР(^ )
; (17)
Х— собственные числа матрицы А, к = 1, 2, ... , N. Аналогично можем вычислить
А1 = Т/ "’Г1,
где
1/ V
(18)
3. Варианты лабораторных работ, сведения о программной реализации и пример расчета. Ниже приведен вариант задания на выполнение лабораторной работы, реализующей описанный выше дискретно-континуальный метод. Имеем:
^(х, 0 = 0 — функция источника тепла;
а = 1 — коэффициент температуропроводности;
|ф0(0 = я
1ф (1 \ = — краевые условия;
(1) = 5
¥(х) = д + (д + 3^)х - 2(д + £)х2 — начальные условия;
I = 1;
д — номер группы;
5 — номер студента по журналу.
Принять количество внутренних узлов при дискретизации (по переменной х) N = 8, количество шагов по времени = 10; t е [0, 1.5].
Программная реализация выполнена на в системе МДТЬДБ (версия 7.9.0 (к2009Ь)). Текст соответствующего М-файла (ниже задано д = 3, 5 = 12) и результаты расчета (см. также рис. 4) представлены ниже.
{огта+ Ьапк
п=іпри+("введите п="); п+=іпри+("введите п+=");
0=3; 5=12;
т=п-1;
а!рЬа=1;
Ь=1/п;
+аи=1.5/п+;
с=а!рЬа/Ь~2;
Е=еуе(т);
а1=опез(т-1,1);
Д=-2*Е+Ніад(а1,1)+Ніад(а1,-1)
Д=с*Д;
Р=гегоз(т,1);
Р(1)=0; Р(т)=5;
Р=с*Р;
гез=зіге(п++1,п+1);
гез(1: п++1,1 )=0; гез(1: п++1 ,п+1 )=5;
х=0:Ь:1;
{ог і=1:т
рзі(і)=0+(0+3*5)*х(і+1)-2*(0+5)*х(і+1)~2;
епН
[T,J]=eig(Д)
Т_ІМУ=іпу(ї)
{ог к=1:п++1 +=+аи*(к-1);
{ог і=1:т
ETJ(i,i)=exp(t*J(i,i));
епН
EAt=T*ETJ*inv(T);
u=EДt*psi'-iпv(Д)*(E-EДt)*F;
{ог ]=2:п
гег(к,і)=и(і-1);
^гез(к)=^
епН
епН
гезиІЇ_и=^_гез' гез]
ЬоН оп
р!о^х,гез(1,1:п+1),'-*к') р!о^х,гез(2,1:п+1),'-.зк') р!о^х,гез(^+1,1:п+1),'—ок') дгіН оп
!egeпd("t=0",'t=0■15,,'t=1■5,,4)
3 2010 289
строительная теплофизика и энергосбережение
Результаты расчета: А = -2.00 1.00 0 0 0 0 0
1.00 -2.00 1.00 0 0 0 0
0 1.00 -2.00 1. О О 0 0 0
0 0 1. 00 -2.00 1.00 0 0
0 00 1. 00 -2.00 1.00 0
0 00 0 1.00 -2.00 1.00
0 00 0 0 1.00 -2.00
Т =
0.19 -0.35 0.46 0.50 0.46 -0.35 -0.19
-0.35 0.50 -0.35 -0.00 0.35 -0.50 -0.35
0.46 -0.35 -0.19 -0.50 -0.19 -0.35 -0.46
-0.50 0.00 0.50 0.00 -0.50 0.00 -0.50
0.46 0.35 -0.19 0.50 -0.19 0.35 -0.46
-0.35 -0.50 -0.35 0.00 0.35 0.50 -0.35
0.19 0.35 0.46 -0.50 0.46 0.35 -0.19
і = -246.26 0 0 0 0 0 0
0 -218.51 0 0 0 0 0
0 0 -176.98 0 0 0 0
0 00 -128.00 0 0 0
0 00 0 -79.02 00
0 00 0 0 -37.49 0
0 00 0 0 0 -9.74
«Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
2. Грант №09-08-13697 Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка, исследование и развитие корректных численно-аналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений регулярной структуры» на 2009-2010 г.г.;
3. Грант МД-4641.2009.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых-докторов наук «Разработка и развитие корректных дискретно-континуальных методов статического и динамического расчета строительных конструкций, зданий и сооружений на основе построения точных аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики» на 2009-2010 гг.;
4. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (20092010 годы)» (регистрационный номер: 2.1.2/6414);
Т !ЫУ =
0.19 -0.35 0.46 -0.50 0.46 -0.35 0.19
-0.35 0.50 -0.35 -0.00 0.35 -0.50 0.35
0.46 -0.35 -0.19 0.50 -0.19 -0.35 0.46
0.50 -0.00 -0.50 0.00 0.50 -0.00 -0.50
0.46 0.35 -0.19 -0.50 -0.19 0.35 0.46
-0.35 -0.50 -0.35 0.00 0.35 0.50 0.35
-0.19 -0.35 -0.46 -0.50 -0.46 -0.35 -0.19
° 2 Ф V» 1 .1 0 с о 7.41 10.87 13.41 15.00 15.66 15.37 14.16 12.00
0.15 3.00 4.81 6.52 8.03 9.29 10.28 11.02 11.56 12.00
0.30 3.00 4.28 5.54 6.76 7.92 9.01 10.04 11.03 12.00
0.45 3.00 4.16 5.32 6.46 7.60 8.71 9.82 10.91 12.00
0.60 3.00 4.13 5.27 6.40 7.52 8.65 9.77 10.88 12.00
0.75 3.00 4.13 5.25 6.38 7.51 8.63 9.75 10.88 12.00
0.90 3.00 4.13 5.25 6.38 7.50 8.63 9.75 10.88 12.00
1.05 3.00 4.13 5.25 6.38 7.50 8.63 9.75 10.88 12.00
1.20 3.00 4.13 5.25 6.38 7.50 8.63 9.75 10.88 12.00
1.35 3.00 4.13 5.25 6.38 7.50 8.63 9.75 10.88 12.00
1.50 3.00 4.13 5.25 6.38 7.50 8.63 9.75 10.88 12.00
Замечания.
Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации
Литература
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Издательство «Физматлит», 2004. — 560 с.
2. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Информатика в строительстве (с основами численного моделирования). — М.: Издательство «Архитектура — С», 2010. — 336 с.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Издательство МГУ, 2004. — 798 с.
Об одном дискретно-континуальном подходе к решению одномерной задачи теплопроводности
В настоящей статье, имеющей учебно-методическое значение, рассматривается дискретноконтинуальный метод решения одномерной задачи теплопроводности, предусматривающий конечноразностную аппроксимацию по пространственной координате с сохранением континуального характера проблемы по времени. Данный подход внедрен в программу курса «Строительная информатика», преподаваемого на кафедре информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета для студентов строительных специальностей.
290 3 2010
строительная теплофизика и энергосбережение
Q Figure 1 1 cd || a
File Edit View Insert Tools Desktop Window Help
□ e A » k I=Tl 'o-y um ■ О
Рис. 4. Графики распределения температуры в моменты времени
About one discrete-continual method of solution of one-dimensional heat conductivity problem
by A.B. Zolotov , M.L. Mozgaleva,
P.A. Akimov, V.N. Sidorov One discrete-continual method of solution of onedimensional heat conductivity problem is presented in the distinctive paper. Finite difference approximation is used for spatial coordinate but problem remains continual relative to time. This method is implemented in the program of course «Construction Informatics», studied at the Department
of Computer Science and Applied Mathematics of Moscow State University of Civil Engineering for students of construction specialties. Examples of laboratory works are presented.
Ключевые слова: дискретно-континуальный метод, задача теплопроводности, функция от матрицы.
Key words: discrete-continual method, heat conductivity problem, function of the matrix.
3 2010 291
