CC BY
39
УДК 621.382.012
А.М. Пилипенко
ОБ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Понятие обусловленности чаще всего применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Плохо обусловленными называются СЛАУ такого типа, в которых есть малые погрешности в коэффициентах системы или правых частях (эти погрешности могут быть, в частности, результатом округлений при вычислениях или записи чисел в память компьютера) [1]. Заметим, что аналогичное определение обусловленности используется и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), где задача называется плохо обусловленной, если небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим изменениям небольшие погрешности численного метода могут сильно исказить решение [2].
Ниже будет показано, что подобно СЛАУ и СОДУ понятие обусловленности может быть использовано для описания свойств задач параметрической идентификации, поскольку для этих задач выбор и небольшие изменения исходных данных могут резко влиять на полученные результаты.
Рассмотрим задачу идентификации параметров на примере широко используемой в машинном анализе модели полупроводникового диода [3]
где I - ток диода, и - напряжение на диоде, ^ - ток насыщения (обратный ток), ф = Nфт, фт - термический потенциал, N - эмпирический коэффициент, Я -
последовательное сопротивление диода.
При рассмотрении характеристики (1) можно выделить три интервала: и < 0 - функция и(]) близка к нулю; 0 < и < и0 - функция и(1) близка к экспоненциальной, и > и0 - функция и(]) близка к линейной. Значение и0 является условной границей между линейным и нелинейным участками ВАХ и может определятся по следующей формуле [4]:
Задача параметрической идентификации заключается в определении параметров модели по измеренной или заданной характеристике прибора. При параметрической идентификации будем использовать метод наименьших квадратов, где в качестве минимизируемой функции выбирается сумма квадратов относительных погрешностей [5]:
и = ф 1п[(/ /13) +1] + Я,
(1)
и0 = ф • 0,5 - Ш3 / ф + 1п
(2)
5(^, ф, Я) = Е [и(/,, ^, ф, Я)/ и. -1]2 = £ 52,
7=1 7=1
где {м. , ¡7), 7 = 1, 2, ..., п, - вольт-амперная характеристика диода в табличной форме.
Положим, что параметры диода известны и имеют следующие значения: 15 = 10 - 9 А, ф = 0,04 В, Я = 0,5 Ом, при этом и0 ~ 0,7 В. Очевидно, что, зная параметры модели диода ^ , ф и Я , его вольт-амперную характеристику (ВАХ) можно рассчитать по формуле (1).
При экспериментальном измерении ВАХ напряжение на диоде изменяют в таких пределах, чтобы ток диода изменялся примерно на две - три декады, при этом для заданных выше параметров напряжение изменяется всего на 0,2 -
0,3 В.
Для того, чтобы показать, что задачу идентификации параметров можно назвать плохо обусловленной сначала рассчитаем ВАХ диода при заданных выше параметрах для нескольких интервалов с различным количеством точных значащих цифр (^), а затем по этим ВАХ определим параметры диода и сравним их с заданными выше параметрами.
Очевидно, что целесообразно рассмотреть следующие интервалы изменения напряжения:
1. 0 < и << и0 (в нашем случае положим и = (0,1.. .0,3) В);
2. 0 < и < и0 (и = (0,2...0,4) В);
3. и ~ и0 (и = (0,6...0,8) В);
4. и > и0 (и = (1,1. ..1,3) В).
Количество точек на каждом интервале выбиралось п = 10, с равномерным шагом по напряжению. Результаты расчетов для каждого интервала приведены в табл. 1 - табл. 4 (номер таблицы соответствует номеру интервала). Для иллюстрации влияния количества точек ВАХ на точность идентификации, для первого интервала также был рассмотрен случай п = 20, для которого результаты расчетов сведены в табл. 5.
Таблица 1 Таблица 2
N к, нА ф, В Я, Ом
2 1,036 0,0404 1953
3 0,9995 0,04002 - 337,3
4 0,9996 0,039995 - 2,685
5 1,00007 0,040001 0,5664
6 1,000002 0,04000003 0,3618
7 1,000001 0,04000001 0,4393
N к, нА ф, В Я, Ом
2 0,92 0,0397 6,251
3 1,010 0,04006 0,281
4 0,9996 0,0400003 0,311
5 0,99976 0,0399987 0,627
6 0,999974 0,0399999 0,505
7 0,999998 0,03999999 0,501
Таблица 3
N к, нА Ф, В Я, Ом
2 1,6 0,041 0,48
3 1,06 0,0402 0,495
4 0,999 0,039997 0,5003
5 0,99997 0,03999998 0,50002
6 1,000008 0,04000003 0,499997
7 0,999999 0,39999999 0,499999
Таблица 4
N к, нА Ф, В Я, Ом
2 63812,7 0,093 0,426
3 1,2 0,0403 0,49997
4 1,03 0,04008 0,49989
5 0,954 0,039904 0,50013
6 0,9989 0,0399978 0,500004
7 1,00020 0,0400004 0,499999
Таблица 5 Из табл. 1 видно что при
и = (0,1.. .0,3) В при п = 10 параметры
15 и ф определяются с точностью не хуже точности заданной ВАХ, т. е. число точных значащих цифр при определении этих параметров не меньше Np. Параметр Я при Np < 5 принимает значения на порядок и более отличающееся от точного.
Как видно из табл. 5, увеличение количества точек до п = 20 только лишь улучшает сходимость параметра Я к точному значению, при увеличении Np, а при Np < 5 параметр Я ведет себя аналогично предыдущему случаю.
Из табл. 2 видно, что при и = (0,2...0,4) В параметры 15 и ф определяются с точностью близкой к точности заданной ВАХ, а параметр Я определяется значительно точнее, чем в предыдущем случае. Например, при Np = 3 значение Я менее чем в два раза отличается от точного, в предыдущем же случае это отличие составляет почти три порядка.
При и = (0,6...0,8) В, как следует из табл. 3 все параметры диода определяются с точностью не хуже, а в некоторых случаях даже лучше точности заданной ВАХ.
Из табл. 4 видно, что при и = (1,1.. .1,3) В и Np = 2 параметр 15 на несколько порядков отличается от точного значения, а параметр ф - более чем в два раза, в случае Np > 2 все параметры определяются с точностью близкой к точности заданной ВАХ.
Для нескольких реальных диодов в табл. 6 приведены значения напряжения и0 и постоянная мощность Р0, рассеиваемая на диоде при напряжении и0 [6].
Таблица 6
N к, нА Ф, В Я, Ом
2 0,912 0,0388 2754
3 0,994 0,0399 17,20
4 0,9991 0,03999 45,79
5 0,99998 0,399997 3,294
6 0,999997 0,3999998 0,6005
7 0,999999 0,3999999 0,5172
Диод 1Ш889 1Ш899 1Ш909 МШ1005 МШ1515 МЯ2402 МЯ1120 МЯ850
Но, В 0,94 0,95 0,68 0,85 1,52 0,84 1,04 1,02
Р0, Вт 2,55 3,81 3,29 13,5 3,52 5,45 12,5 7,13
Рассмотрим реальную задачу параметрической идентификации на примере полупроводникового диода Д-411 АМ, экспериментальная ВАХ которого, приведена на рис. 1, а.
Параметры этого диода определялись, также как и в рассмотренных выше случаях, для различных диапазонов измерения ВАХ. Зависимости параметров диода от верхней границы диапазона измерения ВАХ при различных значениях Np приведены на рис. 1. Эти зависимости рассчитывались в диапазоне и е [и,11Ш; и'], где нижняя граница диапазона равна итт = 0,1453 В, а через и' обозначена верхняя граница диапазона измерения и'е [0,1955; 0,4824].
Я, Ом
а)
в)
б)
г)
Рис. 1 Результаты идентификации параметров модели (1) для диода Д411-АМ (а - ВАХ диода, б - зависимости параметра Я от верхней границы диапазона измерения ВАХ при различных значениях Np, в - те же зависимости для параметра 1ц, г - те же зависимость для параметра ф)
Из рис. 1 следует, что при и'е [0,1955; 0,3156] наблюдаются ошибки как случайные, вследствие плохой обусловленности, так и систематическая ошибка модели, а при и'е [0,3156; 0,4824] ошибки, обусловленные только второй составляющей.
Полученные выше результаты позволяют сделать следующие выводы.
• Задачи параметрической идентификации по аналогии с СЛАУ и СОДУ могут быть плохо обусловленными, поскольку незначительные изменения в исходных данных, например увеличение или уменьшение числа точных значащих цифр или незначительные изменения интервала аппроксимации могут вызывать резкое изменение результатов идентификации.
• Исходя из табл. 1 - табл. 5, может показаться, что для удовлетворительной идентификации параметров диода можно измерить ВАХ в диапазоне и > и0 с тремя точными значащими цифрами и далее следовать стандартной процеду-
ре минимизации. К сожалению, это не так, поскольку при u > u0, во-первых, происходит рост температуры диода, что вызывает изменение его параметров, а, во-вторых, существует вероятность превышения предельно-допустимой мощности диода, это следует из табл. 6, поскольку для рассмотренных в ней диодов предельно-допустимая мощность составляет единицы ватт. Указанная трудность преодолевается измерением ВАХ в импульсном режиме, но при этом падает точность измерений. Таким образом, на практике измерения ВАХ для параметрической идентификации производятся при 0 < u < u0, при этом необходимо получить максимально возможное число точных значащих цифр характеристики (как правило, это три - четыре знака, как минимум - три знака). Это позволит не только повысить точность полученных результатов, но и их достоверность.
• Очевидно, что выбор диапазона измерений можно произвести исходя из того, как влияет число точных значащих цифр в исходной характеристики на результаты идентификации, и - если при изменении числа разрядов на единицу, результаты существенно изменяются - необходимо изменить диапазон измерений.
• Полученные результаты позволяют рекомендовать производить измерения как минимум с тремя точными значащими цифрами, поскольку для меньшего числа точных значащих цифр результаты идентификации получаются слишком грубыми (относительная погрешность определения параметров может получиться 50% и более), очевидно из-за того, что задача идентификации является плохо обусловленной. Отметим, что рекомендации о том, что при измерении ВАХ необходимо иметь вольтметр, дающий результаты не менее чем с тремя верными значащими цифрами были даны в [7]. В [7] этот вывод обоснован, тем что «в противном случае при идентификации могут возникнуть существенные ошибки», без каких либо доказательств и примеров. В данной работе приведены экспериментальные доказательства правильности этого утверждения, основанные на том, что задачи параметрической идентификации можно назвать плохо-обусловленными.
1. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Дрофа, 2003. - 224 с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
3. Тугов Н.М., Глебов Б.А., Чарыков Н.А. Полупроводниковые приборы / Под ред. В. А. Лабунцова. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 576 с.
4. Бирюков В.Н. Модель полупроводникового диода для машинного анализа / Известия Вузов. Радиолектроника. - 1992. - №6. - С. 78-80
5. Бирюков В.Н. Автоматизированный анализ цепей: Модели элементов. Конспект лекций. Ч. 1. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. - 46 с.
6. http://www.electronicpool.de/list/
7. Носов Ю.Р., Шилин В.А., Петросянц К.О. Математические модели элементов интегральной электроники. - М.: Сов. Радио, 1976, 292 с.
