Об обусловленности задач параметрической идентификации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция теоретических основ радиотехники

УДК 621.382.012

А.М. Пилипенко

ОБ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Понятие обусловленности чаще всего применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Плохо обусловленными называются СЛАУ тако-

,

частях (эти погрешности могут быть, в частности, результатом округлений при

) [1]. , -ное определение обусловленности используется и для систем обыкновенных диф-

( ), , если небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим изменени-

[2].

Ниже будет показано, что подобно СЛАУ и СОДУ понятие обусловленности может быть использовано для описания свойств задач параметрической идентифи-

,

могуг резко влиять на полученные результаты.

Рассмотрим задачу идентификации параметров на примере широко исполь-

[3]

и = р1п[(г /15 ) +1] + Яг, (1)

где г - ток диода, и - напряжение на диоде, 18 - ток насыщения (обратный ток),

р = Ыфт , рт - термический потенциал, N - эмпирический коэффициент, Я -

последовательное сопротивление диода.

При рассмотрении характеристики (1) можно выделить три интервала: и < 0 -функция и(г) близка к нулю; 0 < и < и0 - функция и(г) близка к экспоненциальной, и > и0 - функция и(г) близка к линейной. Значение и0 является условной границей между линейным и нелинейным участками ВАХ и может определятся по следующей формуле [4]:

и0 =р-

0,5 — Я!^ / р + 1п

_0,5

V Я

Я!3 /Р

(2)

Задача параметрической идентификации заключается в определении параметров модели по измеренной или заданной характеристике прибора. При параметрической идентификации будем использовать метод наименьших квадратов, где в качестве минимизируемой функции выбирается сумма квадратов относительных погрешностей [5]:

П П

5(1„фЛ) = £[«(/,•ЬVЛ)/и, -1]2 = £5?, (3)

1=1 1=1

где {и , /,.}, , = 1, 2, п, - вольт-амперная характеристика диода в табличной форме.

Положим, что параметры диода известны и имеют следующие значения: 15 = 10 - 9 А, ф = 0,04 В, Л = 0,5 Ом, при этом и0 = 0,7 В. Очевидно, что, зная параметры модели диода 15 , ф и Л , его вольт-амперную характеристику (ВАХ) можно рассчитать по формуле (1).

При экспериментальном измерении ВАХ напряжение на диоде изменяют в , - ,

этом для заданных выше параметров напряжение изменяется всего на 0,2 - 0,3 В.

, , -звать плохо обусловленной сначала рассчитаем ВАХ диода при заданных выше параметрах для нескольких интервалов с различным количеством точных значащих цифр (Ыр), а затем по этим ВАХ определим параметры диода и сравним их с заданными выше параметрами.

,

:

1. 0 < и << и0 (в нашем случае положим и = (0,1...0,3) В);

2. 0 < и < и0 (и = (0,2...0,4) В);

3. и ~ и0 (и = (0,6...0,8) В);

4. и > и0 (и = (1,1...1,3) В).

Количество точек на каждом интервале выбиралось п = 10, с равномерным шагом по напряжению. Результаты расчетов для каждого интервала приведены в табл. 1 - табл. 4 (номер таблицы соответствует номеру интервала). Для иллюстрации влияния количества точек ВАХ на точность идентификации, для первого интервала также был рассмотрен случай п = 20, для которого результаты расчетов сведены в табл. 5.

Таблица 1

N 15, нА ф, в Л, Ом

2 1,036 0,0404 1953

3 0,9995 0,04002 - 337,3

4 0,9996 0,039995 - 2,685

5 1,00007 0,040001 0,5664

6 1,000002 0,04000003 0,3618

7 1,000001 0,04000001 0,4393

Таблица 2

N 15, нА ф, в Л, Ом

2 0,92 0,0397 6,251

3 1,010 0,04006 0,281

4 0,9996 0,0400003 0,311

5 0,99976 0,0399987 0,627

6 0,999974 0,0399999 0,505

7 0,999998 0,03999999 0,501

Таблица 3

N 1$, нА ф, в Я, Ом

2 1,6 0,041 0,48

3 1,06 0,0402 0,495

4 0,999 0,039997 0,5003

5 0,99997 0,03999998 0,50002

6 1,000008 0,04000003 0,499997

7 0,999999 0,39999999 0,499999

Таблица 4

N г1 , X > ф, в Я, Ом

2 63812,7 0,093 0,426

3 1,2 0,0403 0,49997

4 1,03 0,04008 0,49989

5 0,954 0,039904 0,50013

6 0,9989 0,0399978 0,500004

7 1,00020 0,0400004 0,499999

Таблица 5

N г1 , X > ф, в Я, Ом

2 0,912 0,0388 2754

3 0,994 0,0399 17,20

4 0,9991 0,03999 45,79

5 0,99998 0,399997 3,294

6 0,999997 0,3999998 0,6005

7 0,999999 0,3999999 0,5172

Из табл. 1 видно, что при и = (0,1...0,3) В при п = 10 параметры 1$ и ф определяются с точностью не хуже точности заданной ВАХ, т. е. число точных значащих цифр при определении этих параметров не меньше Ыр. Параметр Я при Ыр < 5 принимает значения на порядок и более отличающиеся от точного.

Как видно из табл. 5, увеличение количества точек до п = 20 только лишь улучшает сходимость параметра Я к точному значению, при увеличении Ыр, а при Ыр < 5 параметр Я ведет себя аналогично предыдущему случаю.

Из табл. 2 видно, что при и = (0,2...0,4) В параметры 1$ и ф определяются с точностью, близкой к точности заданной ВАХ, а параметр Я определяется значительно точнее, чем в предыдущем случае. Например, при Ыр = 3 значение Я менее чем в два раза отличается от точного, в предыдущем же случае это отличие составляет почти три порядка.

При и = (0,6...0,8) В, как следует из табл. 3, все параметры диода определяются с точностью не хуже, а в некоторых случаях даже лучше точности заданной

.

Из табл. 4 видно, что при и = (1,1.. .1,3) В и Ыр = 2 параметр 1$ на несколько порядков отличается от точного значения, а параметр ф - более чем в два раза, в случае Ыр > 2 все параметры определяются с точностью, близкой к точности задан.

Для нескольких реальных диодов в табл. 6 приведены значения напряжения и0 и постоянная мощность Р0, рассеиваемая на диоде при напряжении и0 [6].

Таблица 6

Диод Ш3889 Ш3899 Ш3909 МШ1005 МИШ 515 МЯ2402 МИ 120 МЯ850

и0, в 0,94 0,95 0,68 0,85 1,52 0,84 1,04 1,02

Л>, Вт 2,55 3,81 3,29 13,5 3,52 5,45 12,5 7,13

Рассмотрим реальную задачу параметрической идентификации на примере полупроводникового диода Д-411 АМ, экспериментальная ВАХ которого приведена на рис.1,а.

Параметры этого диода определялись, так же как и в рассмотренных выше случаях, для различных диапазонов измерения ВАХ. Зависимости параметров диода от верхней границы диапазона измерения ВАХ при различных значениях Ир приведены на рис. 1. Эти зависимости рассчитывались в диапазоне ие [итш; и] где нижняя граница диапазона равна итт = 0,1453 В, а через и’ обозначена верхняя граница диапазона измерения и’е [0,1955; 0,4824].

Я, Ом

Рис.1. Результаты идентификации параметров модели (1) для диода Д411-АМ: а - ВАХ диода; б - зависимости параметра Я от верхней границы диапазона измерения ВАХ при различных значениях Ыр; в - те же зависимости для параметра I,; г - те же зависимость для параметра ф

б

а

в

г

Из рис. 1 следует, что при и’е [0,1955; 0,3156] наблюдаются ошибки как , , модели, а при и’е [0,3156; 0,4824] ошибки, обусловленные только второй состав.

Полученные выше результаты позволяют сделать следующие выводы.

♦ Задачи параметрической идентифик ации по аналогии с СЛАУ и СОДУ могут быть плохо обусловленными, поскольку незначительные изменения в

,

значащих цифр или незначительные изменения интервала аппроксимации могут вызывать резкое изменение результатов идентификации.

♦ Исходя из табл. 1 - табл. 5, может показаться, что для удовлетворительной идентификации параметров диода можно измерить ВАХ в диапазоне и > и0 с тремя точными значащими цифрами и далее следовать стандартной процедуре минимизации. К сожалению, это не так, поскольку при и > и0, во-первых, происходит рост температуры диода, что вызывает изменение его параметров, а, во-вторых, существует вероятность превыше, . 6, -

скольку для рассмотренных в ней диодов предельнодопустимая мощность составляет единицы ватт. Указанная трудность преодолевается измерением ВАХ в импульсном режиме, но при этом падает точность измерений. Таким образом, на практике измерения ВАХ для параметрической идентификации производятся при 0 < и < и0, при этом необходимо получить максимально возможное число точных значащих цифр характе-( , - , - ). Это позволит не только повысить точность полученных результатов, но и .

♦ Оче видно, что выбор диапазона измерений можно произвести исходя из

, -ки на результаты идентификации, и - если при изменении числа разрядов , -.

♦ Полученные результаты позволяют рекомендовать производить измерения как минимум с тремя точными значащими цифрами, поскольку для меньшего числа точных значащих цифр результаты идентификации получаются слишком грубыми (относительная погрешность определения параметров может получиться 50% и более), очевидно из-за того, что задача идентификации является плохо обусловленной. Отметим, что рекомендации о том, что при измерении ВАХ необходимо иметь вольтметр, дающий результаты не менее чем с тремя верными значащими цифрами были даны в [7]. В [7] этот вывод обоснован, тем что «в противном случае при идентификации могут возникнуть существенные ошибки», без каких либо доказательств и примеров. В данной работе приведены экспериментальные доказательства правильности этого утверждения, основанные на том, что задачи параметрической идентификации можно назвать

-.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Дрофа, 2003. - 224 с.

2. Калиткин НМ. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

3. Тугое Н.М., Глебов Б.А., Чарыков НА. Полупроводниковые приборы / Под ред. В. А. Лабунцова. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 576 с.

4. . . /

вузов. Радиолектроника. 1992. №6. - С. 78-80

5. Бирюков Б.Н. Автоматизированный анализ цепей: Модели элементов. Конспект лекций.

Ч. 1. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. - 46 с.

6. http://www.electronicpool.de/list/

7. Нос ов Ю.Р., Шипин В А., Петросянц КО. Математические модели элементов интегральной электроники. - М.: Сов. Радио. 1976. - 292 с.

УДК 621.395.4

С.В. Кучерявенко ДИАГНОСТИКА ИСТОЧНИКОВ ВИБРАЦИИ

С созданием вейвлет-функций и вейвлет-преобразований появилась возможность проследить за динамикой изменения исследуемого явления и фиксировать взаимодействие событий во времени и в пространстве. Наилучший результат представления сигнала в вейвлет-б^исе достигается, когда форма базового вейвлета соответствует особенностям сигнала. Использование вейвлет-преобразования позволяет решить задачи обработки и анализа сигналов, представляя результаты в очень информативном и удобном для визуальной оценки виде.

Целесообразным представляется применение для анализа виброакустических сигналов непрерывного вейвлет-преобразования, так как вейвлеты хорошо подходят для работы с сигналами, имеющими разрывы и изломы, а также сигналами, которые не являются стационарными во времени, какими являются сигналы, полученные с помощью вибрационных пьезодатчиков при наблюдении различных ис, , -

гатели.

- . -

нейшую обработку полученного изображения на основе заданного критерия, например классификации, обнаружения трендов, поиск скрытых периодичностей и т.д.

С целью определения направления на источник вибрации на основе системы вибродатчиков необходима оценка ковариационной матрицы и определение её . -ние направления, а максимальное собственное число - уровень вибрации.

В процессе эксплуатации двигателей определяется изменение пространственной характеристики и многомерной пороговой обработки с учетом диаграммы фаз , -

ным техническим обслуживанием или ремонтом.

УДК 621.38.06

..

АНАЛОГО-ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ

Пакет программ VTB (Virtual Test Bed) [1] предназначен для численного мо, ,

. -

рованных моделей (resistive companion modeling method, RCM), основанный на ис-