Об обобщенном нелинейном уравнении Кортевега – де Вриза Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7, 517.9

doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-4

Об обобщенном нелинейном уравнении Кортевега - де Вриза

С. О. Гладков

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия

sglad51@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Приведено подробное исследование обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза, полученного с помощью метода наименьшего действия, что говорит об актуальности проведенного исследования, главной целью которого является анализ полученного уравнения. Материалы и методы. Основным методом исследования является вариационный подход. Результаты. Главным результатом работы считается аналитический вывод обобщенного нелинейного уравнения, в частном случае переходящего в уравнение Кортевега - де Вриза и в уравнение ударной волны. Выводы. Приведен общий вид инвариантного функционала классического действия на языке псевдовектора A (x), что позволяет решать определенный класс задач из области нелинейной динамики. Дан подробный анализ полученного функционала в случае одномерного движения для векторной функции A(x). С помощью метода наименьшего действия получено обобщенное нелинейное уравнение эволюционного поведения одномерной системы. В некоторых частных случаях приведен подробный анализ решений полученного уравнения, позволяющий в частных случаях автоматически описать два физически важных результата: уединенную волну и фронт ударной волны.

Ключевые слова: функционал действия, вариация, уравнение Кортевега - де Вриза, нелинейное дифференциальное уравнение

Для цитирования: Гладков С. О. Об обобщенном нелинейном уравнении Кортевега -де Вриза // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 2. С. 40-46. doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-4

On a generalized nonlinear Korteweg - De Vries equation

S.O. Gladkov

Moscow aviation institute (National Research University), Moscow, Russia

sglad51@mail.ru

Abstract. Background. The study provides a detailed research of the generalized Korteweg - De Vries equation, obtained using the method of least action, which indicates the relevance of the study, the purpose of which is to analyze the resulting equation. Materials and methods. The main research method is the variational approach. Results. The main result of the work is the analytical derivation of the generalized Korteweg - De Vries equation. Conclusions. A general view of the invariant functional of classical action (1) in the language of pseudovector A(x) which makes it possible to solve a certain class of problems from the field of nonlinear dynamics. A detailed analysis of the functional (1) in the case of one-dimensional motion, when the vector function A(x) leads to the functional

© Гладков С. О., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

(4), is given. Using the method of least action, a generalized equation of the dynamics of a one-dimensional system (6) is obtained. In some special cases, a detailed analysis of the solutions of equation (6) is given, which makes it possible in particle cases automatically describe two physically important results: a solitary wave and a shock wave front. Keywords: action functional, variation, Korteweg - De Vries equation, nonlinear differential equation

For citation: Gladkov S.O. On a generalized nonlinear Korteweg - De Vries equation.

Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(2):40-46. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-4

Настоящая работа посвящена классическому уравнению Кортевега - де Вриза (КдВ), по теме которого существует множество оригинальных публикаций и монографий. Последнее вполне естественно, поскольку само уравнение впервые было предложено Жозефом Буссинеском почти 150 лет тому назад. Мы решили вернуться к этому уравнению еще раз и совсем не потому, что оно вызывает у нас сугубо ностальгический интерес. Дело в том, что с научной точки зрения было бы чрезвычайно интересно получить это уравнение чисто аналитически, а не феноменологически. Именно поэтому предлагаемый далее подход базируется на основных принципах вариационного исчисления и гамильтоновой механики [1-4], которые в плане вывода любых классических уравнений движения являются уникальными методами аналитического исследования.

Настоящая статья не является в этом плане исключением, а описанный далее алгоритм, на наш взгляд, будет полезен при решении ряда задач, в которых существует необходимость учета различного рода диссипативных потерь (к примеру, см. работы [5-7]).

1. Функционал и обобщенное динамическое уравнение

Введем в рассмотрение произвольный псевдовектор Л (7, ж) с компонентами А{, где индекс 1 е [1, п], а п — произвольная размерность пространства, и построим с его помощью следующий инвариантный по отношению к замене ^^ —, х х , где х = ((х2,...хп ) ,следующий интеграл действия:

где а,в,у— некоторые неотрицательные константы, а Оук, Бщ, Сщ, ^уЫтП - некоторые тензорные коэффициенты соответственно третьего, чет-

на» вектора. Под повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Введение

'о ^

Заметим, что приведенное под знаком интеграла общее выражение представлено в виде неоднородного по частным производным ряда с точностью до членов третьего порядка. Это связано с тем, что членами более высоких порядков мы не интересуемся.

Как видим, подынтегральная функция является истинным скаляром, а «точка» над соответствующей величиной традиционно означает частную производную по времени, т.е.

А=дт- (2)

ди

Общий вид функционала (1) весьма громоздок с точки зрения анализа, а поэтому мы ограничимся лишь одномерным случаем и зададим псевдовектор А как вектор с одной отличной от нуля компонентой, а именно представим его в виде

А = (А (х ),0,0,...0). (3)

В результате общий функционал (1) существенно упрощается и приводится к следующему более простому выражению:

5{А} = ] {{аА2 -вА2 - 1(А')2 -САА'-БАА2 -ОА2А' + йАА'А^йхЛ, (4)

хо и0

где С, Б, О, й - некоторые неотрицательные константы, а «штрих» означает дифференцирование по выделенной координате х .

Вычисляя вариацию функционала (4), находим

х1 и1

55 {ф}= | {{аА5А-рА5А-уА'ЪА" - С (А "5А + А5А")-Б (25А + 2АА'5А' )-

хо ко

-О (А25А + 2 А5АА") + й (АА5А + АА'5А' + АА ЪА")} ).

После интегрирования по частям всех слагаемых, которые содержат производные, стоящие под знаком вариации, мы приходим к следующему результату:

х1 и

Д4)

55{ср}= {{{-«А-рА-уА(4) -2СА" +

х0 1

0 '0

+3йА'А

'А" + (Б -2О)(2АА + А2)}5АйхЖ = 0 . (5)

Откуда немедленно следует интересующее нас обобщенное динамическое уравнение

аА + уА(4) + рА + 2СА" - 3йАА -(Б - 2О )( АА + А2) = 0. (6)

University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(2) Полагая здесь

в = С = 0, D = 2G,

получаем

aA + yA(4)- 3dA 'A" = 0. Считая, что a = Y = 1, d = 2, получаем

A - 6A'A" + A(4) = 0. (7)

Из уравнения (7) видно, что оно допускает автомодельное решение, которое можно представить в виде

A = A (t - x), (8)

при этом скорость v положена равной единице.

В результате подстановки решения (8) в уравнение (7) получаем

A' + 6 A'A" + A(4)= 0, (9)

где «штрихи» означают дифференцирование по аргументу ^ = t — x . Положив в уравнении (9)

u = A', (10)

мы приходим к автомодельному уравнению КдВ:

u + 6uu + um = 0. (11)

Его решение, как известно [8-10], можно записать следующим образом:

ch2 f x—* { 2a

где амплитуда u0 = u(0), а a - некоторый параметр длины, определяющий

ширину солитона.

Что касается уравнения (9), то его первый интеграл дает

A' + 6 A'2 + A" = const. (13)

Полагая константу равной нулю, имеем

A + 6 A'2 + A" = 0. (14)

Нетрудно показать, что решение этого уравнения представляет собой ударную волну, движущуюся слева направо вдоль оси x:

Aф = |. (15)

Таким образом, мы доказали, что обобщенный функционал действия (1) в частном случае одномерного движения приводит к обобщенному уравнению движения (6), а также, в еще более частном случае, к автомодельным решениям в виде солитона (12) и ударной волны (15).

2. Учет диссипативных потерь в обобщенном уравнении (6)

С целью учета возможного влияния на движение солитона и ударной волны внешних диссипативных факторов мы воспользуемся уже многократно апробированным подходом (к примеру, см. работу [6]), который весьма подробно был изложен в работе [7].

Его суть заключатся в использовании условия баланса мощностей для любой исследуемой диссипативной системы, а именно

E + Q = 0, (16)

где Q — диссипативная функция.

Согласно функционалу (4) энергию системы мы можем записать в виде следующего интеграла:

E(t) = ] j-2A2 + вA2 + Y(A')2 + CAA' + DAAA2 + GA2A' — dAA'A^dx. (17)

x0

Дифференцируя (17) по времени, находим

Xj

E = J A{aA + PA + yA(4) + 2CA" — 3dA'A" — (D — 2G)(2AA" + A2)}dx . (18)

Что касается диссипативной функции 22 , то для нее имеет место аналог классической формулы, когда учитывается только сухое или влажное трение, а именно

22 = —F/rу >0, (19)

где F/ — сила сопротивления, направленная против скорости движения у .

Поэтому для нашего случая в рамках абстрактного параметра А формулу (19) можно записать следующим образом:

22 =—| //Ах, (20)

х0

где // — сила сопротивления, отнесенная к единице длины. Согласно уравнению (16) с учетом (18) и (20) имеем

х1

| А{аА + (ЗА + уА(4) + 2СА" — ЭоА'А' — (! — 2в)(АА' + А'2) — //г (А)} = 0 .

0

Откуда следует, что аА + рА + уА(4) + 2СА" — МА'А" — (Б — 2в )(2АА + А'2 ) = (А). (21)

Уравнение (21) представляет собой искомое уравнение «движения» при учете диссипативных сил. Понятно, что в каждом конкретном случае правая часть в (21) вычисляется отдельно в рамках конкретно поставленной физической задачи. Например, в случае решения гидродинамических задач под силой fг следует понимать объемную силу, действующую на выделенный

элементарный объем жидкости.

Заключение

Заканчивая настоящее сообщение, стоит отметить несколько важных ключевых моментов:

1. Приведен общий вид инвариантного функционала классического действия на языке псевдовектора Л (х), что позволяет решать определенный

класс задач из области нелинейной динамики.

2. Дан подробный анализ полученного функционала в случае одномерного движения для векторной функции Л (х).

3. С помощью метода наименьшего действия получено обобщенное нелинейное уравнение эволюционного поведения одномерной системы.

4. В некоторых частных случаях приведен подробный анализ решений полученного уравнения, позволяющий в частных случаях автоматически описать два физически важных результата: уединенную волну и фронт ударной волны.

Список литературы

1. Гельфад И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М. : Физматгиз, 1961. 227 с.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука, 1969. 434 с.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М. : Наука, 1973. Т. 1. 207 с.

4. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М. : Мир, 1974. 488 с.

5. Гладков С. О. К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Вриза диссипативного слагаемого // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 28-32.

6. Гладков С. О. К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Вриза диссипативного слагаемого. Ч. 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 4. С. 42-46.

7. Гладков С. О. Об одном методическом подходе при выводе основных физических уравнений // Физическое образование в вузах. 2021. Т. 27, № 2. С. 5-12.

8. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М. : Наука, 1980. 319 с.

9. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. : Мир, 1977. 622 с.

10. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Динамические системы. 1 // Итоги науки и техники. М. : ВИНИТИ. 1985. Т. 4. С. 179-277.

References

1. Gel'fad I.M., Fomin S.V. Variatsionnoe ischislenie = Calculus of variations. Moscow: Fizmatgiz, 1961:227. (In Russ.)

2. El'sgol'ts L.E. Differentsial'nye uravneniya i variatsionnoe ischislenie = Differential equations and calculus of variations. Moscow: Nauka, 1969:434. (In Russ.)

3. Landau L.D., Lifshits E.M. Mekhanika = Machanics. Moscow: Nauka, 1973;1:207. (In Russ.)

4. Yang L. Lektsii po variatsionnomu ischisleniyu i teorii optimal'nogo upravle-niya = Lectures on the calculus of variations and optimal control theory. Moscow: Mir, 1974:488. (In Russ.)

5. Gladkov S.O. On the issue of accounting dissipative term of the Korteweg-De Vries equation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):28-32. (In Russ.)

6. Gladkov S.O. On the issue of accounting dissipative term of the Korteweg-De Vries equation. Part 2. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(4):42-46. (In Russ.)

7. Gladkov S.O. On the methodological approach to deriving basic physical equations. Fizicheskoe obrazovanie v vuzakh = Physical education in universities. 2021;27(2):5-12. (In Russ.)

8. Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevskiy L.P. Teoriya solitonov: metod obratnoy zadachi = Soliton theory: inverse problem method. Moscow: Nauka, 1980:319. (In Russ.)

9. Uizem Dzh. Lineynye i nelineynye volny = Linear and nonlinear waves. Moscow: Mir, 1977:622. (In Russ.)

10. Dubrovin B.A., Krichever I.M., Novikov S.P. Dynamic systems. 1. Itogi nauki i tekhniki = Results of science and technology. Moscow: VINITI. 1985;4:179-277. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Сергей Октябринович Гладков

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры № 311 «Прикладные программные средства и математические методы», Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (Россия, г. Москва, Волоколамское шоссе, 4)

E-mail: sglad51@mail.ru

Sergey O. Gladkov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department No.311 of applied software and mathematical methods, Moscow Aviation Institute (National Research University) (4 Volokolamskoe highway, Moscow, Russia)

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 13.09.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 19.11.2023 Принята к публикации / Accepted 16.01.2024