ОБ ИЗОМОРФНОСТИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 1 (2019). С. 39-60.

УДК 517.518.234 + 517.548.3

ОБ ИЗОМОРФНОСТИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С.Б. КЛИМЕНТОВ

Аннотация. Рассматриваются представления «второго рода» для решений общей линейной равномерно эллиптической системы первого порядка в единичном круге D = {z : \z\ ^ 1}в комплексной записи

Vw = dz w + q\(z)dz w + q2(z)dzw + A(z)w + B(z)w = R(z),

где w = w(z) = u(z) + iv(z) — искомая комплексная функция, q\(z) и q2(z) — заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы

\q\(z)\ + \q2(z)\ ^ qo = const < 1, z G D,

A(z), B(z), R(z) g Lp(D), p > 2, — также заданные комплексные функции. Представление второго рода основывается на известной формуле Помпейю: если w g W^(D), p > 2, то

w{z) = h.l-dw didv г d

С - Z^ к J J dz ( - ^

откуда для данного решения w G W^(D), p > 2, при A(z), B(z), R(z) G LP(D) можно записать представление второго рода

= ^ d( + tr(z)

C-z г

где Q(w) = w(z) + Т(q\(z)dzw + q2(z)dzW + A(z)w + B(z)w).

Установлено, что при определённых предположениях о коэффициентах и свободном члене системы оператор Q есть изоморфизм банаховых пространств (D) и Wp (D), к > 1 0 < а < 1, р > 2. Эти результаты развивают и дополняют работы Б.В. Боярского, где получены представления «первого рода», а также работы автора по представлениям «второго рода» с более сложными операторами.

В качестве следствия свойств оператора Q получены следующие априорные оценки

для норм ||w||cfc+и imi-^fc

Ключевые слова: общая линейная эллиптическая система первого порядка, представление второго рода.

Mathematics Subject Classification: 35С15

S.B. Klimentov, On isomorphism of some functional spaces under action of integro-

differential operators.

© Климентов С.Б. 2019. Поступила 2 июня 2017 г.

1. Введение. Формулировка результатов

Обозначим D = {z : \z\ < 1} единичный круг комплексной z-плоскости Ez, z = х + iy, г2 = — 1; Г = 3D — граница круга D] D = D U Г,

В статье используются следующие функциональные пространства со стандартными нормами в них: Lp(D) — пространство суммируемых с показателем р > 1 в D функций; Wp (D), к = 0,1,..., р > 1, — класс функций, имеющих в D обобщённые в смысле Соболева производные до fc-ro порядка, суммируемые с показателем р, W®(D) = LP(D)-, С* (D), к = 0,1,..., 0 < а < 1, — пространство функций, имеющих не прерывные в D частные производные до порядка fc, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем а, (D) = Ca(D)] Lp(r) и С^(Г) определяются аналогично, но для функций, определённых Г

Замкнутое подпространство голоморфных функций пространства С^(D) (соответственно Wp (D)) будем обозначать A^(D) = (соответственно А^(D) = А£). Очевидный смысл имеют обозначения С^(G), A^(G) и т. д., если G — некоторая другая область комплексной плоскости,

к-1 _

Также используется пространство Wp р (Г) следов функцпй из Wp (D) (подробности см,

в п, 2,3),

Рассмотрим в D общую эллиптическую систему первого порядка в комплексной записи

Vw = dz w + qi(z )dz w + q2(z )dzw + A(z)w + В (z )w = R(z), (1)

где w = w(z) = u(z) + iv(z) — искомая комплексная функция, dz = 1/2(д/дх + гд/ду), dz = 1/2(д/дх — гд/ду) — производные в смысле Соболева, q\(z) w q2(z) — заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы (1)

\q\(z)\ + \q2(z)\ ^ qo = const < 1, z E D, (2)

A(z), B(z), R(z) E Lp(D), p > 2, — также заданные комплексные функции.

При исследовании решений уравнения (1) важную роль играют различные представления, устанавливающие соответствие между голоморфными функциями и решениями системы. Для непрерывных в D решений в частном случае q\(z) = q2(z) = 0 различными авторами были получены два представления: для однородной системы представление первого рода

w(z) = §(z )ex^| —т(^А + В^ (3)

и, для неоднородной системы, представление второго рода

w(z)+ Т (Aw + Bw) = §(z)+ TR(z), (4)

где в обоих представлениях Q(z) — некоторая голоморфная функция, а

Tf (z) = TD f (z) = —1 ii ¿Ю-d^dV, ( = £ + im

- D C — * (5)

dz Tf (Z) = f (z)

(см, [1], там же библиографию).

Естественно, интересны случаи, когда в этих представлениях по заданной голоморфной функции Q(z) можно восстановить решение w(z), т.е. когда представления (3), (4) можно использовать как инструмент для построения решений системы (1), принадлежащих различным функциональным пространствам.

Для представления (3) в [1, гл. 3, §7] доказана бнекция между решениями ш(х) Е Ш]1(В), р > 2, и голоморфными функциями класса А^(В). При этом, если голоморфная функция Ф(г) имеет произвольные особенности, то из представления (3) также однозначно восстанавливается решение ш(г), имеющее соответствующие особенности. Вместе с тем, если коэффициенты А и В достаточно гладкие и голоморфная функция Ф(г) из какого-либо более узкого, чем А1(В) класса (например, из А^(В)), то для восстановленного решения гарантируется принадлежность максимум классу Ш]1(В), где р > 2 может быть сколь угодно велико.

Для представления (4) непрерывных в В решений картина более полная, а именно,

А В

останавливаться), в [1] доказано, что оператор I + Т является изоморфизмом банахова пространства (В) либо С^(В)).

Первое фундаментальное исследование решений общей системы (1) было предпринято Б, В, Боярским [2]. Им было получено обобщение представления первого рода (3) и доказана обратимость этого представления при заданной голоморфной функции Недостатки здесь остались прежние, плюс при любой достаточно «хорошей» голоморфной функции Ф(г) можно лишь утверждать, что ш(г) Е Ш}(В), где 5 > 2 достаточно близко к двум.

Представление второго рода (4) основано на хорошо известных формулах Помпейю [1, с, 41, 57]: если ш(г) Е Ш}(В), р > 2, то

г в

1 г т(о - 1 идт (^¿г}

т(г) = - 2п] * - ■(--'

г в

хеВ. (6)

В связи с этим для данного решения ш(х) Е Ш^(В), р > 2, общего уравнения (1) при А(г), В (г), Я(г) Е Ьр (И) можно записать представление второго рода

п(т) = 2Ь / ¿-Р + Тя(г) ™

г

где

П(ш) = ш(г) +Т (дх(г)дх ш + д^Ш + А(г)ш + В (г)Ш). (8)

При этом естественно возникает вопрос об обратимости оператора П.

Основными результатами настоящей работы являются следующие утверждения.

Теорема 1. Если д\(г), д2(г) Е С (И), А(г), В (г) Е Ьр (И), р > 2, то П — (вещественно) линейный изоморфизм банахова пространства Ш^(В).

Теорема 2. Если д\(г), д2(г), А(г), В (г) Е С^ (И), к > 0 0 < а < — то П — (вещественно) линейный изоморфизм банахова, пространства С^+1(В).

Теорема 3. Если д\(г), д2(г), А(г), В (г) Е (И), к > 1,р > 2, то П — (вещественно) линейный изоморфизм банахова, пространства Шр+1(В).

Представления второго рода можно выписывать, основываясь на любом операторе «типа Т» (т.е., правом обратном к оператору Коши-Римана д¿), Аналоги теорем 1-3, основанные на более сложном, чем (5), операторе Тп!(г), таком, что И,е{г-пТп£(г)} = 0, г Е Г, Тп!() = 0 хт Е Г, т = 1,... ,п, получены автором в [3], Доказательство изоморфности П Т

Оператор Tnf (z) и результаты работы [3] существенно привязаны к тому, что D — единичный круг. Развитая здесь техника позволяет перенести теоремы 1 - 3 на случай, когда D — односвязная ограниченная область с границей соответствующей гладкости. Чтобы не увеличивать чрезмерно объём статьи, здесь такой перенос не проводится.

Построению решений системы (1) класса W^(D) при произвольпом р > 2, в предположениях о коэффициентах, совпадающих с предположениями теоремы 1, посвящены также работы B.C. Виноградова [4], [5]. В этих работах используются не представления второго рода (7), а так же, как и в [2], исключительно двумерные сингулярные интегральные уравнения (без которых, конечно, не обошлось и в настоящей работе). Результаты работы [5] относительно краевой задачи Римана-Гильберта с каноническим краевым условием повторяют соответствующие результаты из [3].

Приведём ещё два простых, по важных следствия теорем 1-3,

Теорема 4. В предположениях теоремы, 2 для любой функции w(z) Е C^+1(D), к > 0, имеет место априорная, оценка:

IIwIIC*+1(D) < const { ^Vw^ck(d) + НН^+^г)} > где const зависит лишь от к, а и норм в С^ (D) коэффициентов оператора, V.

Теорема 5. В предположениях теорем, 1, 3 для, любой функции w(z) Е W^ (D), к > 1 имеет место априорная, оценка:

^AW^D) < consM РИ—-1(D) + |N| k-1 \ ,

^ wp (г) j

где const зависит лишь от k, р и норм в W^-1 (D) коэффициентов оператора, V при к > 1, а при к = 1 от р и норм, ^J^d), Ы|c(d)> ^lpdy Wbpd)-

2. Вспомогательные утверждения 2.1. Операторы Т и П. Обозначим

П/(z) = dzTf (z) = - 1JJ d£dV,

d

где интеграл понимается в смысле главного значения (по Коши), Справедлива

Лемма 1. Сингулярный оператор П непрерывно отображает пространства, С^(D), к > 0 0 < а < 1, и (D), к > 0 Р > 2, в себя. При этом, ||П|ь2 = 1 и для, всякого q0 : 0 < q0 < 1 найдётся, s0 = s0(q0) > 2 такое, что д0||П||£з < 1 щи 2 < s < s0.

Замечание 1. Утверждение об ограниченности П в С^(И), к > 0 0 < а < 1, и свойства его нормы в Ь3 доказаны в [1, гл. 1, §8, §9]. Аккуратное доказательство ограниченности П в Шр (И), к > 0 р > 2, можно найти в [6].

Из (5) и леммы 1 непосредственно вытекает

Лемма 2. Оператор Т непрерывно отображает С^(И), к > 0 0 < а < 1, в С^+1(0) и

(5), к > 0 р> 2, в

Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо для оператора

Tf (z)=(Tf (z)) , dzTf (z) = f(z).

2.2. Сдвиги. Будем говорить, что контур С € С1, к > 10 ^ а ^ 1, если существует гомеоморфное отображение ( = /(г) окружности Г на С класса С1(Г), при этом обратное отображение г = /-1(() будет класса С1(С). В этом случае отображение ( = {(г) (как и обратное) называют диффеоморфизмом класса С^ контуров Г и С,

Отметим, что если в — длина дуги на Г, а о — длина дуг и на С, то при диффеоморфизме имеют место соотношения: (¡.(1) = 0 где (¡. = ■ в[ = С,'3- ЬЬ — аффикс точки контура Г; и, соответственно, х'т(т) = 0, где х'т = х'а ■ о'т = х'а ■ т'„, т — аффикс точки контура С. Обобщая [7, с, 33], для функции р((), определённой на С, введём оператор = ^(((¿)), где ( = ((¿) — диффеоморфное класса С1, к > 10 ^ а ^ 1, отображение контура Г на контур С € С1^- Очевидно, — линейный, ограниченный, непрерывно обратимый оператор, действующий из С1^(С) в С^(Г),

Пусть ^(¿) — диффеоморфизм класса С^ (Г) к > 1,0 ^ а ^ 1 контура Г на конт ур С, Обозначим

Бгф) = — / ^^(т, I € Г, (9)

жг ] т — Ь г

одномерный сингулярный (интегральный) оператор. Аналогично определяется оператор Нам будут необходимы следующие свойства суперпозиции

Фф) = {¿МБсЮ-1 — зг) ф) =

г

С(г) 1

С(т) — ф) т — г

<р(т)(т,

установленные в [81.

Теорема 6. Если ((Ъ) € СI(Г), 0 < а ^ 1, <р(г) € Ср(Г), 0 < 3 ^ 1, ^ = а + 3 ^ 2, то при ^ < 1 Ф<р(Ь) € С^(Г), причём

1|Ф^Шс^Г) ^ ССП8^|^)||С,(г), (10)

где константа зависит лишь от ||(||с1 (Г).

Если ^ = 1, то Ф'^р(Ь) € С^-£(Г) для Уе : 0 < £ < ^ с выполнением оценки, аналогичной (10).

Если ^ > 1, то Ф'^р(Ь) € С'1-1(Г), причём

||ФРШс^(Г) < ССП81||^)||С/3(Г), (11)

где константа зависит лишь от ||(||с1 (Г).

Следствие 1. Если € СЦ,(Г), 0 < а ^ 1, ф) € С^(Г), 0 <3 ^ 1, то Фф) € С(Г), причём

||ФрШс1 (Г) < ССП8Цф)ЦС1 (Г), (12)

где константа зависит лишь от ||(||с1 (Г).

С

ет единичная окружность, но в доказательстве это нигде не используется. Очевидно,

СГ

морфным образом, (о замене переменной интегрирования, в сингулярном, интеграле см,., например, [13, с. 31],).

1-К N Г 1 1-^ N

2.3. Пространство Шр р (Г). Следуя [9, гл. 5], обозначим Шр р (Г), к > 1, р > 2, множество граничных значений (следов) функций из пространства (И). Норму функции

1 _

$ € Шр р (Г) определим как норму в пространстве (И) гармонической в И функции

с граничными значениями на Г, совпадающими с /, Это банахова норма и сингулярный

оператор (9) ограничен в банаховом пространстве Шр р (Г) (см, [10, гл. 6, § 1]),

Поскольку по теореме вложения Соболева-Кондрашева Щ0(И) с Ск-1 (О), 0 = 2—2, имеет место вложение

к-

i

p ryk-11

wP p(г) сс;-1(г), к> 1,р> 2. (13)

Обозначим К, f (z) интеграл тина Коши

Кf(z) = — ! —dt, zeD. (14)

J w 2ттг J t- z ' v ;

г

Имеет место неравенство

ЦКf(z)Hwb(D) ^ const|f(t)H k-p к > 1,P> 2, (15)

Wp (г)

const

2.4. Средства локализации.

2-4-1- Приграничные области. Имеет место

Лемма 3 ([3]). Пусть f(x) — чётная, монотонно возрастающая при х > 0 функция вещественного аргумента х, f(x) Е С}[—£, ^,0 < j < 1, е > 0 и ||/||С1[-е,е] — 0 при £ —У 0. '

> 0 > 0 ( х)

на, сегмент [—1, 1] с сохранением чётности, монотонности при х > 0 и класса С^; f(x) = const > 0 вблизи точек х = ±1 и

||Г Цсц-е,е]<5,

где f * — продолжение f на, [—1, 1].

При этом, будет выполнено неравенство

df *

dx

С[е, 1] ^Х

Пусть С — единичный круг |£| < 1 в комплексной (¡'-плоскости Е^. Построим в этой плоскости специальную область С* с границей С, задаваемой уравнением

С(9)=р(9)егв, -ж <в< ж,

где р(9) Е С1(-ж, ж) — 2^-периодическая функция, 0 < ^ < 1.

Функцию р(9) определим так, чтобы р(0) = 1, р(в) > 1, ((9) задавала для 9 Е [—£, £], £ > 0, окружность радиуса г > 1,

р'(£) >1р'Ш, 0Е [е, 2п - £],

(16)

||р(0) - ЧсЦ0, 2тг] <

> 0

В силу леммы 3 такая функция р(9) существует. Переменную точку области С* обозначим Ь и положим С = С* и С.

Справедливо следующее утверждение [11].

Лемма 4. Пусть f (£) = ( — конформное отображение области С* на круг С, f (0) = 0,

Г(0) > 0.

Тогда, существует такое (достаточно малое) число 5 > 0, что если, выполнено второе неравенство (16), то f Е С1(С ) и

IIК*) -ЧсусТ) < М • Ь (17)

х=е

где константа М зависит только от 7.

меньшим 1/2М. Эти предположения с помощью (17) позволяют провести следующую оценку:

11 - \№\\ < 11 т - i\\c, (g*) < 11 m -t\\Ci m ^ 1,

откуда

" 1 3 —*

2 ^ \f'(t)\ ^ 3, VteG*; 2, 2 3 (18) 2 ^ WfШъ(а*) ^ 2•

Будем считать совмещёнными плоскости Ez ъ Е^ (а значит, и единичные круги G и D), Пусть z0 Е Г = 3D. Подвергнем G* преобразованию подобия

1

z = --t (19)

и движением расположим образ замкнутой области G* так, чтобы образ точки t = 1 совместился с z0, а соответствующая часть границы образа G наложилась на Г, В силу первого неравенства (16) область G* перейдёт в подобласть класса С* круга D, которую обозначим Dr. Описанное отображение обо значим z = g(t). Конформное отображение

V = до f-1 :G ^G* ^Dr, z = v(0,

по лемме 4 класса C^(G) и в силу (18), (19)

22

minW(0\ > —; max\v «)\ ^--> 0, r ^ (20)

Сеа 3 г (ее г

Из (18) и (20) для ( = ф(z) = v-1(z) будем иметь:

3

тах\ф' (z)l ^ —, min\фф'(z)l > -,

CeDr 2 ceDr 2 (21)

\\Ф'Шо,(Dr) ^ 2 r•

Ясно, что при г ^ +то имеем £ ^ 0 и diamDr ^ 0,

Ф' (z) —

Лемма 5. Функция ш(г) = Е С1 (Dr) и \\w(z)\\c d ) ^ const, где константа не

ф' (z) 7 r

Доказательство. Поскольку = 1, нужно оценить константу Гёльдера этой функции.

Итак, пусть z1} z2 Е Dr. Очевидно соотношение:

, > , 1(фф' ( ~l) - Ф' (-2 ))фф' Ы + фф (Ы - Фф' (z i))|

мг 1) - ^ =-w ы\■ w ы\-

Отсюда, с учётом (21), получаем:

12

и Zi) - ш( Z2)\ < -\ф' (Zi) - Ф' (Z2))\ < 24 ■ \ Z1 - ^г •

□

Замечание 3. В вышеприведённых построениях число ^ : 0 < 7 < 1, может быть выбрано произвольным, не связанным, с показателем, Еёльдера, из формулировки теоремы 2.

Замечание 4. Очевидно, если, в качестве области Вг взять круг радиуса 1/г, содержащийся, в В, то оценки (20), (21) и утверждение леммы 5 остаются, в силе.

2-4-2. Разбиение единицы. Обозначим Ы = {Щ} конечное покрытие замкнутого круга И, Щ С И, состоящее го открытых кругов фиксироваиного радиуса 1/т., содержащихся в И, и областей типа прилегающих к границе Г и описанных в предыдущем пункте. Число г считаем достаточно большим; насколько оно большое, будем уточнять при использовании покрытия и.

Через Н = {Кг} обозначим разбиение единицы класса С™ па И, подчинённое покрытию Ы, т.е., все функции К неотрицательны, УК Е С™(И), носитель каждой функции вирр К С Щ и К (г) = 1 для У г Е И. О существовании такого разбиения единицы см., например,

I

[12, гл. II, § 4].

Лемма 6. Пусть ¡(Ъ) Е Ср (Г), 0 < 0 < 1, (г) — интеграл типа, Кош, и (14), К —

Н

Если Кf (г) ЕАка, к > 0 0 < а < 1 (А^1, р> 2), то К,(Кг¡)(г) Е Ака (А^1).

Доказательство. Ясно, что при к = 0 а ^ а также при вирр К П Г = 0 утверждение тривиально. Пусть вирр К П Г = 0. Рассмотрим выражение

К(г)Ъ(г) - К(ыШ = Р(г) Е Ср(5).

В силу формул Сохоцкого-Племеля [13, гл. 1, §4] предельные значения функции Р(г) при г ^ т Е Г имеют вид:

р/ ^ • /О -

Г

Так как К Е С™ (Г), из формулы Тэйлора с остаточным членом в интегральной форме с

ы(т) - К(I) г - т

т.е., Р+(т) Е С™(Г).

Е С™(Г),

Вместе с тем, И,1(т)К.+/(т) Е Ск(Г) (Ш + р (Г)), что влечёт за собой

К,+ (К /)(т) Е Скк(Г) (Шк+1-р(Г)), откуда, с учётом свойств интеграла типа Коши (см. [1, гл. 1, §3] и (15)) и формулы Коши для голоморфных функций, получаем утверждение леммы 6. □

2.5. Регулярность и единственность решений.

Лемма 7. Если в уравнении (1), при выполнении условий эллиптичности (2),

д1(г), д2(г) Е С^+1(Б), к > 0, 0 < а < 1 (Ш{к+1(0), к > 0, р > 2),

А(г), В(х),К(х) Е Ск(И), к> 0, 0 < а < 1 (Б), к> 0,р> 2),

то любое решение этого уравнения т(г) Е Ш}(0), в > 2, принадлежит классу Скк+1(0) (Шрк+1(0)).

Доказательство этого утверждения по существу содержится в [1, гл. 2, §7; гл. 4, §7].

Лемма 8. Если в уравнении (1), при выполнении условий эллиптичности (2), Я1 (г), 02(2) — измеримые функции, А(г), В (г) Е ЬР(Б), р > 2, Р(г) = 0, а, граничные значения решения т(г) Е Ш}(0), в > 2, равны, нулю на, множестве положительной линейной меры на Г, то т(г) = 0.

Это утверждение непосредственно следует из теоремы 4.4 работы [2] (см. также [1, гл. 3, §171). "

3. Доказательство основных результатов

Схема доказательства следующая. Сначала доказывается однозначная разрешимость уравнения

П(и) = Е еШ}(5), р> 2, (22)

в пространстве где 8:2 < 8 ^ р и 8 достаточно близко к двум. Далее теоре-

мы 1-2 устанавливаются в случае постоянных коэффициентов д1 и д2 и А(г) = В (г) = 0, после чего с помощью развитого в [3] варианта метода «локальной регуляризации» с замораживанием коэффициентов получаем общие утверждения этих теорем. Доказательство теоремы 3 представляет собой небольшую переработку доказательства теоремы 2,

3.1. Разрешимость уравнения (22) в Ш}(В).

Лемма 9. Если д1(г), д2(г) — измеримые функции, удовлетворяющие условию (2), а А(г), В (г) Е Ь3(Б), 8 > 2, то уравнение

П(и) = 0 (23)

в классе Ш1(0) имеет только нулевое решение.

Доказательство. Предположим противное, что решение и (г) Е Ш1(0) С Ср(И),

8 — 2 _

3 =-, уравнения (23) не равно тождественно нулю. Известно, что при /(г) Е Ь3(И)

функция Т/(г) Е Ср(Е), голоморфна вне И и Т/(то) = 0 [1, с, 54-58], Таким образом, из (23) следует, что функция и(г) непрерывно продолжима вне И голоморфным образом и равна нулю на бесконечности,

С другой стороны, продифференцировав (23) по г, мы получим, что и (г) удовлетворяет однородному уравнению (1) (при Е(г) = 0). Отсюда и из (6) получаем, что и(г) удовлетворяет уравнению

П(и) = Ф(г), Ф(^) = 21~ ¡и-1^ (24)

г

т.е., интеграл типа Коши в правой части (24) непрерывен на всей плоскости и равен нулю на бесконечности. Но это возможно только при и(1) = 0 Ь Е Г [13, с, 39], Вместе с тем, непрерывное в И решение однородного уравнения (1), равное нулю на Г, тождественно равно нулю (см, лемму 8), □

Лемма 10. Если д1( г), д2(г) — измеримые функции, удовлетворяющие условию (2), а, А(г), В (г) Е Ьр(Б),р > 2, то уравнение (22) имеет единственное решение и(г) Е Ш1(И)> где 8:2 < 8 ^р и 8 достаточно близко к двум.

Доказательство. Единственность следует из леммы 9, Покажем, что оператор

П1(и) = и + Т (д1дг и + д2д^й) (25)

имеет ограниченный обратный в Ш1 (И), если 2 < 8 ^ р и в достаточно близко к двум. Рассмотрим уравнения

Пг(и^) = и еШ}(П), (26)

А + П( д\\ + д2Х) = А + оА = дхш. (27)

Уравнение (27) получено дифференцированием (26) по г и заменой дх и на А (г). По лемме 1 существует 8:2 < 8 < 8о(до) ^ р такое, что до||П||£з < 1, поэтому по принципу сжатых отображений уравнение (27) однозначно разрешимо в Ь3(И):

А(г) = (1 + а)-1д,ш(г) (28)

и норма линейного оператора (I+a)-1 : LS(D) ^ LS(D) ограничена константой, зависящей только от q0.

Будем искать решение уравнения (26) в виде

w(z)=TX + Ф(г), (29)

где Ф(-г) — голоморфная в D функция класса W}(D). Подставив (29) в (26), получим

y(z) = Lj(z) -TX -T(qi\ + q2X). (30)

Так как Tf (z) Е WSl(D) если f(z) Е LS(D) [1, гл. 1, §6], в силу (5), (27) dzФ(г) = 0, т.е. функция Ф(г), определяемая формулой (30), голоморфна и из класса W}(D). Таким образом, формулой

w(z) = w(z) - T (qi(z)(I + a)-1dzu + q2(z)(I + a)-1 dzw) (31)

T

оператор П1 : W}(D) ^ W¡(D), непрерывен, то теореме Банаха обратный оператор П-1 : W}(D) ^ W1 (D) также непрерывен (это можно усмотреть и непосредственно из (31)),

T

ного оператора П-1 : W}(D) ^ W): (D) ограничена числом, зависящим лишь от q0.

Перепишем уравнение (22) в виде

w + П-1 oPw = n-1F, (32)

где Pw = T(Aw + 5w). Так как оператор P вполне непрерывен в С(D) и отображает С(D) в W¡(D) [1, гл. 1, §6], то оператор П- o P вполне непрерывен в С(D) и отображает С(D) в W¡ (D). _

В силу отмеченных свойств участвующих в (32) операторов, непрерывное в D решение однородного уравнения (32) принадлежит классу WS (D) и по лемме 9 равно нулю. Таким образом, по теореме Фредгольма уравнение (32) однозначно разрешимо в классе С(D) и его решение w(z) Е WS(D). □

3.2. Случай постоянных коэффициентов qi и q2 у оператора П1.

Лемма 11. Если qi(z) = const q2(z) = const, то оператор П1; определяемый формулой (25), является, (вещественно) линейным изоморфизмом банахова, пространства Ск+1ф), к > 0,0 < а < 1 (Wp+1(D), к> 0, р> 2).

T

П1 : Ск+1(Б) ^ Ск+1(Ё) (Wk+1(D) ^ Wp+1(D))

непрерывно, В силу теоремы Банаха достаточно показать его сюрьектнвность. Рассмотрим уравнение

' n1(w) = F(z) Е Ска+1(р) (Wk+1(D)) . _ (33)

По лемме 10 уравнение (33) имеет единственное решение w(z) Е W}(D), где s > ^достаточно близко к двум. Покажем, что это решение принадлежит классу Ск+1 (D) (Wk+l (D)j, Пользуясь (6), уравнение (33) перепишем в виде

w(z) + T (Q1dz w + q2dzw) = Ф^) + TdzF (z), (34)

где

= ¿ Í В.dt Е~ A'+1 <АП ■

Применяя к (34) оператор

¿1 / ^

г

получим, что Ф^) также представляется формулой

г

1=0

и + Т (д2д2и) = Ф(г) + Тд-гЕ. (36)

Дифференцируя (36) по т, получим

д-х (и + д2й) = дц Е,

и( )

и (г) + д2и(г) = Ф(г) + Я2Ф(г) + Тд, Е, (37)

где Ф(г) определяется формулой (35), а

™ = ЪI^ ™

г

Переходя к пределу при г ^ т Е Г Для предельных значений Ф+ (т) функции Ф(-г) по формулам Сохоцкого-Племеля [13, с, 38] получим следующее выражение:

т + / ч 1—г^т 1 ( и и) ,

Ф+<Т>=2 и{т) + ъГг]и1т ^

г

Поскольку па Г Ь • I = 1, т • т = 1, выражение для Ф+(т) мы можем преобразовать следующим образом:

Ф+(т) = Т(т) - Ф+(т) -С, (39)

где

= +я / и-1 *С Iт

гг

Таким образом, из (37) имеем

к+1-1

и(т) = Ф+(т) - Я2Ф+ (г) - Я2С + Тд,Е(т) Е Ска+1(Г) ' (Г)) .

Но в таком случае и и(т) Е С^1 (Г) Р (Г)^, откуда Ф(г) Е С!^+1(0) [Ш,^+1(0))

(см, [1, с, 38], (15)), и

и(г) + д2и(г) = Ео(г) Е Ска+1(Б) (Шк+\В)) .

Отсюда

и(г) = 1-Ы2 (Ео(г) - 92Ш) " (41)

= Е(Ф,Е)(г) ЕСка+1(Б) {Шк+\Щ

1=0

Замечание 6. Отметим, что отсюда следует, что если дх = 0 и Е

__S

s > 2, Ф+(г) Е С™(Г), где 0 ^ п ^ к + 10 <7 ^ а < 1, mo w(z) Е C™(D). Более того, справедлива

Лемма 12. Если &(z) Е A™ (D), где 0 ^ п ^ к + 1, 0 < 7 ^ а < 1, то формулой (41)

D

dz w + q2dz W = дц F класса, С™(D), для которого функция $(z) представим,а, формулой (35).

Пусть теперь qi = 0. Рассуждаем по индукции. Покажем сначала, что лемма справедлива при к = 0. Обозначим

2q i .

и =-= = const,

1 + | QiI2 -I Ы2 + VA '

где A = (1 + |qlI2 — |q2I2)2 — 4qi\2 > (1 — q0)2 > 0 q0 — константа эллиптичности из (2). Легко видеть, что |и1 < 1-

Далее обозначим ( = ((z) основной гомеоморфизм уравнения Бельтрами

д,( + ид,( = 0,

отображающий единичный круг Dz = [z : IzI ^ 1} на единичный круг D^ = {£ : |£| ^ 1} с нормировкой ((0) = 0 С(1) = 1- Как известно, ((z) Е C^(DZ) [14]. В уравнении

d-z w + qidzw + q2dz W = dz F (z) (42)

перейдём к аргументу ( = ((z) и будем обозначать w(z(()) = w((), где z = z(() Е )

— отображение, обратное к ( = ((z). Уравнение (42) преобразуется к виду [15]:

д-^w + ад^w = Ri(() Е Ска(DC) (Wpk(Dc)) , (43)

где

а = Q2(1_— ) = const, |а| < 1.

11 — чт2 — 1 Я2и?

w = w( )

нению

w(0 + аТ (д¿w) = $i(() + Тд-Ri, (44)

где

т 1 f w(z(w)) , 1 f w(t) . , , „ .

= = ш] т—<ст (45)

г г

(о замене переменной интегрирования в сингулярном интеграле см. [13, с. 31]).

Отметим, что в силу теоремы вложения Соболева-Кондрашёва w(z) Е Wj(Dz) С Ср(Dz), где $ = (s — 2)/s [1, с. 51], т.е., w(t) Е Ср(Г,) и w(Q = w(z(Q) Е Ср(Гс). Обратимся теперь к выражению

*w(t) = 2;nJ

гг

С(г) 1

К(т) — at) r — t\

w(r)dr = Ф+(С(1)) — Ф+ (t),

где Ф+(¿) определяется формулой (40), а

Поскольку ((т) е С), по теореме 6 ^ш(Ъ) е С'р^х), а так как Ф+(Ь) е С«(Г) 1-1 1-1 1-1 (Шр * (Г,)), то, если 3< а, Ф+Ш) е С}(ГЯ) (Шр * (Г,)) и Ф+(<) е_С1 (Гс) (Шр * (Г^)),

откуда ш(() е С^Б^) (см. замечание 6) (соответственно ш(() е Ш^В^)) и ш(г) е С~р(Вг)

(ш(г) еШ1(П2))^—(1) еСЦ(Г,).

Далее, если 3 < а, в силу следствия 1 Ф(£) е С«(Г) и Ф+ (() е С«(Г), вследствие

чего ш(() е С«(Б^) и ш(х) е С«(Бг), Если 3 > а, рассуждения очевидным образом

упрощаются.

Итак, в случае к = 0 лемма 11 доказана.

Отметим, что из проделанных рассуждений, формулы (41) и леммы 12 вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 13. Если

Ф(*) = "Ы ^ еА», 0 < а < 1, (Ар, р > 2),

ш(х) е С 1(Б) ПСа(Б) (Шр (Б) ПСр(Б), 0 < 3 < 1) —решение уравнения (42), то функция ш(х) представима, формулой

_ ь,(г) = Е(Ф,Я1)(С(г)), (46)

а следовательно, ш(х) е С«(Б) (Ш^(Б)).

Предположим теперь, что лемма 11 справедлива при некотором к = т — 1, т > 1,и покажем, что тогда она справедлива и при к = т. Таким образом, в силу нашего предположения индукции, если в уравнении (33) правая часть принадлежит классу С™(Б) (Ш™(Б)), то решение этого уравнения ш(г) е С™(Б) (Ш™(Б)).

Пусть теперь правая часть уравнения (33) принадлежит классу С™+1(Б)

(Ш^+1(Б) с С^(Б\ 3 = (р — 2)/р). ' '

Обозначим г = ге18 и введём в рассмотрение функцию

дш(г е™)

——— = ш3(х) = — г—ц). (47)

По лемме 7 ш(г) е С™+1(Б) (Ш™+1(Б)), т.е., ш3(г) е С™(Б) П С™-1(Б) (Ш™(Б) П С™-1(Б)), и поэтому в Б корректно определены функции

дш3

дг дш3 дг дш3 дг

%(х ш2щ — ш-х — г-Шцц);

г(шг + — гш^); (48)

— (ш г + г—г г — ХШ г ¿).

Из (48) и (33) имеем:

дш3 дш3 дш3

+ --+ = А — Ш-г + — ) —

дг дг дг

■ - д , _ ч . д . _ . —г г—(ш2 + д1—2 + д2—ц) + гг—(ш2 + + д2—ц) = дг дг

= 21 — ггР22 + ъгР22 — 1Е-Х. Таким образом, ш3 (г) удовлетвориет в Б уравнению

дг + д1 Ж + д2дг = Н°(*) е С«-1 (Б) (Шрт-1(Щ. (49)

Наша ближайшая цель — доказать, что таф Е С™(И) (Ш^ф)). Обозначим

Фа (г) =-

аК } 2т У г-х

г

Имеет место соотношение [1, с, 39]:

Ф'{г) = — [ -Ж<<г.

2ттг } г-г г

Учитывая, что на Г Ь • д = д(8) = — й, отсюда получаем:

Фа(*) = 2~1 + ъгФ'ф Е С^ф) (Ш?т. (50)

г

При т = 1 из (50) и леммы 13 имеем таф Е С^(Б) (Ш^ф)). Если же т > 1 то таф является решением уравнения

П^а = ТПа + Фа Е С^ф) ^(Щ,

а следовательно, в силу предположения индукции, щаф Е С^ф) (Ш^п(Б)). Из (47) и (42) получаем:

= —г [та(1 + гдх) + гд2та\ + дБх (д + гдх) — \г\2д2Рх

х = к + дд 1|2 — И2\д2\2 ' 1 ]

Поскольку \д1\ + \д2\ < 1, знаменатель дроби в (51) при г = 0 в нуль не обращается.

Из (51), таф Е С^ф) (Ш™(Б)) и тф Е +1(Б) (Б)) получаем тхф Е С^ф)

(Ш™(И)). Отсюда и го (42) следует, что тх Е С^(Б) (Ш^ф)). Таким образом, тф Е С™+1ф) (Ш™+1ф)) и лемма 11 полностью доказана, □

3.3. Доказательство теоремы 1. Докажем теорему сначала для частного случая — для оператора (25), По лемме 10 уравнение

П1(т) = Р ЕШ^(Б) (52)

имеет единственное решение тф Е Ш^ф), 8:2 < 8 ^ р. Поскольку оператор ^ непрерывно отображает Ш^ф) в Ш^ф), в силу теоремы Банаха достаточно показать, что это решение тф Е Ш^(Б).

Рассмотрим на Б разбиение единицы Н = {Ы}, о котором говорится в п. 2,4,2, и набор функций {т[(г)}, —I = Ы • т Е Ш}(Б). Так как

^^—¡ф = тф, Уд Е Б,

достаточно показать, что щ(д) Е Ш^ф) для У1, или, что эквивалентно, —¡(д) Е (иI), Решение тф уравнения (52) удовлетворяет дифференциальному уравнению

дхт + д1(г)дхщ + д2(д)дхщ = дхБф Е ЬР(Б),

поэтому функция —¡ф удовлетворяет дифференциальному уравнению

д-— + д1фдхтг + д2фдхЩ = Бг(д) Е ЬР(Б), (53)

где

ф = дхБ + дхЫ • (щг + д2—1) + д1 • хщ • дхЫ. Отсюда и из (6) следует, что тI ф удовлетворяет интегродифференциальному уравнению

—I ф + Тщ (д1дх—1 + д2дхЩ) = Тщ Б + Фг ф, (54)

где

ф = ± г .

у ' 2-кг у г — г

дЩ

Отметим, что если вирр К П Г = 0, то ФД г) = 0 а если вирр К П Г = 0, то

ф'^^Ш- <»>

г

т.е., в любом случае справедлива формула (55), В (52), аналогично (34),

т.е., функция

1 f w(t)dt у

Г

Отсюда, по лемме 6 &i(z) е Ар С Ср(D), [ = (р - 2)/р.

Обозначим ( = ф(z) конформное отображение области Dr = U на единичный круг G = (с : KI < 1||> = Г*, о котором говорится в п. 2,4,1, Если u П Г = 0 — это преобразование подобия (см, замечание 4), Число 7:0 < 'у < 1, dDr е С-, выберем такое, чтобы [ + 7 > 1 (см, замечание 3),

В дифференциальном уравнении (53) перейдём к аргументу ( и обозначим wi(() = wi(<p(()), где р = ф-1. Уравнение (53) при этом преобразуется в уравнение

d-cwt + q*(() dcwi + q*(09?wi = F*((), (57)

где

Qt(0 = Qi(<р(0) • ===; g*(0 = шо); ,

ф/(р(0) (58)

f*(0 = Ш •Fi (№);

IяШ + 10-Ш < Q0 = const < 1; (59)

q*(0, g*(0 ес(g); f;(() elp(g).

Аналогично (54), функция wi(() удовлетворяет интегродифференциальному уравнению wi(0 + TG( q*dcwl + q*2d^wl) = TGF*(0 + Ф*((), (60)

где

, 1 f wl(T)dT 1 [ Щ (t)^(t)dt

Ф*(0 = Ъп] т-г = W фЦ) - ( . (61)

Г* dUi

В силу теоремы 6 и [ + ^ > 1 будем иметь:

ф'(Х) 1

Ф^Щ (t) = — f m J

dUi

ф(Х) -ф(г) X -t

wt(X)dX е C1l+l-i(dUl)

Так как из формул Сохоцкого-Племеля [13, гл. 1, §4] имеем

Фwt(t) = [Ф*(ф(1))]+ - Ф+(г), t е dUL, (62)

____1_А

а ф(г) Е С^(иг) и Ф+(д) Е А1р(В), го (62) получаем, что [Ф*(ф(Щ+ Е Шр р(дЩ), ФЖ*)) Е АКйфш Ф*(() Е Ар(С).

Таким образом, правая часть уравнения (60)

РГ(() = тсР1*(0 + Ф*(() Е Ш1р (с). (63)

Зафиксируем в иI = Бг точку Для конкретности будем считать, что если Щ — круг, то XI — его центр; если Щ — прилегающая к Г область, то XI Е вирр Ы П Г, Обозначим (1 = ф(гф а &г = д*(0), & = д**((I). Покажем, что величина

£1 = тах {\д !*(0 — & \ + \ д*2(0 — &2\} Сес

при г ^ то стремится к пулю равномерно по I (эти подробности пригодятся нам далее), В обозначениях леммы 5 имеем:

(64)

к * (О - Qi I = I[Qi(z) - Q i( Zi )]u(z) + qi( zi)Iuj(z) - ш(г)]1 ^ ^ Mz) -q,( zi)I + 24IZ- Zi Г, z = v(Q. Из qi(z), q2(z) E С(D), (58) и (64) получаем, что

ei ^ 0, г ^ ж, (65)

Перепишем уравнение (60) в виде

Ql(wi) + Q*2(^i) = Fi**(C), (66)

где

n**(wi) = wi + TG(q1dcwvi + q2djfWi), П**(wi) = TG[(qKC) - q1)dcwi + (q*(() - fad^i].

По лемме 11 оператор ПЦ есть линейный изоморфизм пространства Wp(G) и, очевидно, он непрерывно зависит от чисел qi, q2. Так как переход к обратному оператору есть операция непрерывная [16, гл. 2, §9], то и [П*]-1 есть непрерывная операторнозначная

i 2

Следовательно, норма обратного оператора [П*]-1 ограничена равномерно по q^ q2. Для оператора П2 из леммы 2 имеем оценку:

\\Щ(Щ(G) ^ const • £i • IIdCWi\\Lv(G) ^ const • £i • \\wi\\wi(G), (67)

где const те зависит от г и I .

Перепишем уравнение (66) в виде

wi + [П1]-1 О n2(wi) = [П*]-1 F** (68)

\\ [П1]-1 \\ • const • £i < 1, [П i* ] - i О П *2

действующим из Wp (G) в Wp(G).

После этого мы получаем, что wi(C>) E Wp (G), а следовательно wi(z) E Wp(Ui) для

Перейдём к общему случаю. Уравнение (22), согласно лемме 10, имеет единственное решение w(z) E W}(D), s > 2. Аналогично предыдущему, достаточно показать, что w(z) E Wp(D). ' '

Перепишем уравнение (22) в виде

Qi(w) = F2(z),

где

F2(z) = F(z) - TD(Aw + Bw) е W-(D). Отсюда, согласно доказанному частному случаю,

w(z) = [Qi]-1F2(z) е W-(D) и теорема 1 полностью доказана,

3.4. Доказательство теоремы 2. Первоначально отдельно рассмотрим случай к = 0,

3.4.1. Случай к = 0. Для рассмотрения этого случая слегка модифицируем рассуждения п, 3,3,

Сначала докажем утверждение теоремы для оператора П^ Рассмотрим уравнение

Qi(w) = F(z) еСа(D), (69)

которое по теореме 1 имеет единственное решение w(z) е W^(D) С Ср(D), где s > 2 сколь

угодно велико, а следовательно [ = --сколь угодно близко к единице. Как ивп, 3,3,

" s " _

в силу теоремы Банаха достаточно показать, что w(z) е С^(D). Так же, как и в (34),

F (Z) = Td8-Z F (Z) + <£(Z),

где $(z) представляется формулой (35) и Q(z) е Ala(D).

Как ивп, 3,3 рассмотрим разбиение единицы Н = (hi}, функцию wi (z) = hi (z)w(z), и покажем, что wi(z) е C^(D) для любого I. Будем считать, что приграничные области U = Dr ограничены кривыми класса С^, где [ + ^ > 1 + а (см замечание 3),

Функция wi (z) удовлетворяет уравнению (53), где Fi е Са(D) и уравнению (54), Аналогично (56), использую лемму 6 и то, что $(z) е Ala(D), получаем, что Ф^(z) е Аа(D).

Далее перейдём к уравнению (57), в котором q*((), q*(() е Са(G), F*(() е Са(G), и к уравнению (60), в котором, аналогично п. 3,3, из [ + ^ > 1 + а и теоремы 6 Ф*(() е A~k(G), F**(() е СМ.

Как ивп, 3,3 уравнение (60) переписываем в виде (66), По лемме 11 оператор П* есть линейный изоморфизм пространства С^(G) и обратный опратор [П*^ ограничен равномерно по qi и q2.

П *2

\\П*2(Щ )lci (G) < COnst • £l • \Ы\с1 (G), (70)

где

£i = \\QKO - qi\\ca(G) + \\q*2(0 - q2\\ca(G),

a const те зависит от г и I . Покажем, что

£ ^ 0, г ^ ж, (71)

\\<1*г(0 - Qi\\c(G) ^ 0, Г^Ж, 1=1, 2,

Оценим константы Гёльдера этих разностей. Из qi(z) е Са(D), (64) и (20) получаем, что

const

I Q*( Ci) - Qi( G)I < const • M(i) - <р( (2Г ^ — •I (i - (2Г, i = 1, 2,

где (д, (2 Е С, а соп^ не зависит от г и I. Таким образом, при г ^ то константы Гёльдера функций д*(()-&г, г = 1, 2, равномерно по I стремятся к нулю и соотношение (71) доказано. Далее перейдём к уравнению (68), В силу (70), (71) и равномерной ограниченности оператора [П*]-1 можно зафиксировать такое большое г, что при любом I оператор [ПЦ]-1 о П2 будет оператором сжатия, действующим из С^(С) в С^ (С), Зафиксировав такое г, получим 1У1(г) Е С^(И) дли VI и т(х) Е С^(И), чем случай к = 0 для оператора П исчерпан. Перейдём к оператору П (при к = 0). Запишем оператор П в виде

П(т) = П^) + Р (IV),

где Р(т) = То(Ат + Вт), В силу леммы 2 оператор Р непрерывно отображает Са(И) в С\ (И) и вполне непрерывен в Са(И). Таким образом, оператор П непрерывно отображает пространство С^ (И) в себя и, в силу теоремы Банаха, достаточно доказать, что уравнение

П(т) = Р Е С1а(И)

однозначно разрешимо в С\(И). Перепишем это уравнение в виде

т +[П1]-1 оР (т) = [П1]-1 Р. (72)

Оператор [^]-1 о Р вполне непрерывен в Са(И) и отображает это пространство в С^(И). Таким образом, решение т Е Са(И) однородного уравнения (72) принадлежит классу С(И) и по лемме 9 равно нулю. По теореме Фредгольма уравнение (72) имеет единственное решение в классе Са (И), которое принадлежит классу С^ (И) и случай к = 0 исчерпан полностью,

3-4-2. Регулярность решения во внутренних точках. Для перехода к случаю к > 1 исследуем регулярность решения во внутренних точках круга И.

Лемма 14. Если т(г) — финитная в И функция (виррт(г) С И) класса Ш}(0), в > 2, удовлетворяющая уравнению (1), в котором

дг(х), д2(г), А(г), В (г), Р(г) Е С* (И), к > 0, 0 < а < 1,

то т(г) Е Ск+1(Ё).

Замечание 7. Ясно, что в этом, случае Я(г) — финитная в И функция.

т( )

П(т) = ТВР Е Ска+1(р)

и по лемме 9 определена однозначно. Утверждение леммы 14 в случае к = 0 — следствие уже доказанной изоморфноети оператора П в С^(И).

Рассмотрим случай к = 1. Сначала предположим, что А(г) = В (г) = 0, т.е., что т(х) удовлетворяет уравнению

д-х т + д1(г)д2 т + д2(г) = Р(г). (73)

д,т(г) = Ш (г):

дШ + д&Ш + д2дгШ + А1(г)Ш + В^Щ = дгР(г) Е Са(П), (74)

где

А1Ф = дхд1 (г), А2(г) = дхд2(г) Е Са(Л). Исключив из (74) и комплексно сопряжённого равенства дхШ, получим:

д-г Ш + ЯхдШ + Ц2д-Ш + А2(г)Ш + В2(г)Ш = Р2 (г), (75)

где

п i \ Vi(z) Л ( \ qi • q2

Qi(z) = i-1 TTi^, Q2(z) = -

1 -I q2(z)r W 1 -I <b(z)r

= Ai - Q2 • Bi B ( ) = Bi - Q2 • Ai (76)

A2(z) = "т-йТ, B2(z) = 1 -w ,

r2(z) = dzR - Q2 • dzR;

Qu Q2 е С1а(D), A2, B2, R2 е Са(П),

IQiI + IQ2I < const < 1.

Рассмотрим интегродифференциальное уравнение

W + td (Qi dzW + Q2 dz W + A2W + B2W) = tdr2. (77)

По доказанному (для к = 0) это уравнение имеет единственное решение W(z) е С^ (D). W( ) D

W( )

из D на всю комплексную плоскость и интеграл типа Коши

-i- [WW* s 0. D

2 m -

Г

и непрерывен на всей плоскости. Это, как уже отмечалось в доказательстве леммы 9, влечёт за собой

W(t) = 0, ге Г. (78)

Поскольку функция R2(z) финитна в D, в некотором кольце 1 - £ ^ IzI ^ 1, £ > 0, W( )

(78) следует, что в этом кольце W(z) = 0 (см, [1, гл. 3, §17]),

Исключая из (75) и комплексно сопряжённого равенства dzW, получим, что решение W( )

Положим

w(z)= TdW(z) еСа(D). (79)

w( ) D

dzw = W(z), соотношение (74) можно переписать в виде

dz [dzw + qidzw + q2dzw - R] = 0, ге D. (80)

Таким образом, выражение в квадратных скобках в (80) есть антиголоморфная функция, Г

единственное решение уравнения (73),

В случае к = 1 и общего уравнения (1) перепишем его в виде

dz w + qi(z)dz w + q2(z)dz w = R3(z).

где R3 = R - Aw - Bw е d(D), поскольку по доказанному для к = 0 w е С^(D). Отсюда и из рассуждений для уравнения (73) получим w(z) е (D).

Далее проведём индукцию по к. Пусть утверждение леммы 14 верно при к = п - 1 > 1. Покажем, что тогда оно верно и при к = п. Итак,

qi(z), g3(z), A(z),B(z), R(z) е Gna(D),

и no предположению индукции w(z) е C£(D), п > 2. Продифференцируем уравнение (1) по z, обозначим dzw = W и исключим из получившегося равенства dzW. В итоге получим

уравнение (в котором уже априори финитная функция Ш — производная рассматриваемого решения):

д.- Ш + Я1(г)д2Ш + Я2(г)д*Ш + А3(г)Ш + В3(г)Ш = Щг),

где Q1(z), Q2(z) Е С™(И) и определяются формулами (76), а А3(г), В3(г), Я4(г) Е С'^-1(И). Выписать точные формулы для А3, В3 и не составляет труда, но они здесь не нужны. По лемме 7 Ш(г) = дхт(г) Е С™(В)] с учётом этого, из (1) получаем д^т(г) Е С™(В). В силу финитноети т(г) Е С™+1(В). Лемма 14 доказана полностью, □

Лемма 15. Если в уравнении (1)

дг(х), д2(г), А(г), В (г), К(г) Е Ск (И), к > 0, 0 < а < 1,

то любое его решение т(г) Е Ш} (И) принадлежит классу Ск+1(П).

Доказательство леммы, 15. Зафиксируем произвольную точку г0 Е И и круг Ое = {г : \г — г0\ < е} С И, е > 0. Обозначим к£(х) Е Сгх(0) финитную функцию, определяемую условиями: 1. К(г) > 0;

¡1, к — ¿о\ ^ I,

[0, \г — го\> -.

О существовании такой функции см., например, [12, гл. II, § 4]. _

Очевидно, достаточно показать, что финитная в И функция те(г) = Ъ£(г) ■ т(г) Е Ск+1 (И). Но функция те(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

д2 т£ + д1 (£)дх т£ + д2(г)дц 7Ше + А£(г)т£ + В£(г)т£ = К£(х),

коэффициенты которого и свободный член принадлежат классу С1^(И). Далее применяем лемму 14.

Лемма 15 доказана. □

Замечание 8. Легко видеть, что в условии леммы 15 на коэффициенты, и свободный член достаточно наложить требование принадлежности к Ск (И) и рассматривать решение т(г) Е Ш^И).

= 1 т( )

нения

_ П(т) = Р*(г) ЕС2а(Л)

принадлежит классу С2(И).

По доказанному в п. 3.4.1 т(г) Е С^(И). Перепишем это уравнение в виде:

П1(т) = Р(г) ЕС2а(Ё), (81)

где Р(г) = Р*(г) — То(А(г)т + В(г)'т) Е С^(В). Так как т(г) Е С^(И), в В корректно определена функция (47):

дт(гегз) _

---= т3(г) = г(гтг —

д

В силу леммы 15 т(г) Е С2(И), поэтому т3(г) Е С^(И) П Са(Е).

т( )

д,т + д1(х)дгт + д2(г)д,т = д,Р(г) Е С1а(И), (82)

аналогично (49) т3(г) в И удовлетворяет дифференциальному уравнению

дт3 дт3 &ш8 ~

+д1(г)^+д2(г)д^ = Rs(z), (83)

где

Ъ I \ О- ( \ , •- (д(11 , д <ь~\ ■ (д 41 , \

Кз(г) = 2г д1(г) + гг I -д^™- + дг™- ) - V ~дх™- + -

- г г Р-- + г г Р-- - г Р- е Са(Л). Так же, как и в (50)

Ф'( * = Ш Ш"

Г

Рассмотрим теперь интегродифференциальное уравнение

Ш3) = ТвВ3 + Фз еС1 (Л).

По доказанному в п. 3,4,1 это уравнение имеет единственное решение Ш3(г) е С^(Л), для которого

^ 2т. г-г

Г

Таким образом, функция Ш(г) = "3(г) - Ш3(г) е Са(Л) П (Л), удовлетворяет однородному уравнению (83) и

— [ ^^сИ = 0, Ухе Л. (84)

2ттг } г- г у ;

Г

Из (84) следует, что Ш(Ь), Ь е Г есть граничные значения голоморфной при 1г| > 1 функции, равной нулю на бесконечности (см, [13, гл. 1, п, 4,3]), Но это означает, что Ш(г) = 0 [2, теорема 4,5], и "3(г) е (Л). Отсюда и из формулы (51) (которая, очевидно, справедлива и для непостоянных коэффициентов д1(г).1 д2(<гО), имеем " е С^(Л \ {0}), а поскольку " е (Л), то е (Л) и в силу (82) " е (Л). Случай к = 1 исчерпан,

З.4.4. Случай к > 1. Проведём индукцию по к. Итак, пусть утверждение теоремы имеет место при к = п -1 > 1. Доказательство его справедливости при к = п дословно повторяет рассуждения п. 3,4,3, только везде надо заменить С% (Л) ж С% (Л) па С2+1(Л) и С™ (Л) и, утверждая, что Ш3(г) е С%(Л), сослаться на предположение индукции. Теорема 2 полностью доказана,

3.5. Доказательство теоремы 3. Рассуждения почти дословно повторяют соответствующие пункты из доказательства теоремы 2, Отметим немногочисленные отличия,

1) Нужно везде заменить классы С%(Л) на Шр(Л).

2) Случай к = 0 отсутствует,

3) Вместо лемм 14 и 15 используются следующие утверждения.

Лемма 16. Если "(г) — финитная в Л функция (виррт(г) С Л) класса Ш}(Л), в > 2, удовлетворяющая уравнению (1), в котором

(г), д2(г), А(г), В (г), В(г) е (Л), к > 1,р> 2,

то "(г) е Шк+1(Л). Лемма 17. Если в уравнении (1)

(г), д2(г), А(г), В (г), В(г) е (Л), к > 1, р> 2, то любое его решение т(г) е Ш}(Л) принадлежит классу Ш!^+1(Л).

Доказательства этих лемм дословно повторяют доказательства лемм 14 и 15 с указанной

заменой пространств и тем лишь отличием, что существование решения w(z) Е Wp(D)

уравнения (77) следует из теоремы 1 (везде далее также ссылку на рассмотренный случай

к = 0 нужно заменить ссылкой на теорему 1),

4) При рассмотрении случая к = 1 нужно учесть, что W™(D) С Cß-l(D)J где

р — 2 _

п > 1, ß = -, поэтому, в силу теоремы 2, решение уравнения (81) w(z) Е Cß(D) и

W(z) = ws(z) - Ws(z) Е W}(D) П Cß(D).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Физматгиз. 1959. 628 с.

2. Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Математ. сборник. Т. 43, № 4. 1957. С. 451-503.

3. Климентов С.Б. Об одном, способе построения, решений краевых задач, теории изгибаний поверхностей положительной кривизны // Украинский геометрический сборник. В.29. 1986. С.56-82. Английский перевод: S.B. Klimentov, On a method of constructing the solutions of boundary-value problems of the theory of bendings of surfaces of positive curvature // Journal of Mathematical Sciences. Volume 51, Number 2. 1990. Pages 2230-2248.

4. Виноградов B.C. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения // Докл. АН СССР. Т. 241, № 2. 1978. С. 272-274.

5. Виноградов B.C. О построении регуляризаторов для, эллиптических граничных задач, на, плоскости // Дифференц. уравнения. Т. 26, № 1. 1990. С. 16-23.

6. S.B. Klimentov Another version of Kellogg's theorem // Complex Variables and Elliptic Equations. Vol. 60, № 12. 2015. P. 1647-1657.

7. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом,. М.: Физматгиз. 1977. 448 с.

8. Климентов С.Б. О комбинациях диффеоморфных сдвигов окружности и некоторых одномерных интегральных операторов // Владикавказский математ. журнал. Т. 19, в. 1. 2017. С. 30-40.

9. Агмон , Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Издатинлит. 1962. 205 с.

10. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука. 1977. 424 с.

11. Данилов В.А. Оценки искажения квазиконформного отображения в пространстве типа С™ // Сибирский математ. журнал. Т. 14, № 3. 1973. С. 525-535.

12. Стернберг С.Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир. 1970. 412 с.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

14. Климентов С.Б. Представления «второго рода» для, решений классов Харди уравнения Бель-трами ¡I Сибирский математ. журнал. Т. 55, № 2. 2014. С. 324-340.

15. Климентов С.Б. Задача, Римана-Гильберта в классах Харди для, общих эллиптических систем первого порядка, // Известия вузов. Математика. № 6. 2016. С. 36-47.

16. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: Наука. 1968. 664 с.

Сергей Борисович Климентов,

Южный федеральный университет, ЮМИ ВНЦ РАН,

ул. Мильчакова, 8-а,

344090, г. Ростов-на-Дону, Россия

E-mail: [email protected]