CC BY
62
УДК 528.4Т И.Т. Антипов СГГА, Новосибирск
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СИСТЕМ УГЛОВОЙ ОРИЕНТИРОВКИ СНИМКОВ
В большинстве фотограмметрических задач (как аналитических, так и цифровых) приходится оперировать с элементами внешнего ориентирования снимков. Они характеризуют положение системы координат съемочной камеры хсус2с относительно внешней системы координат местности или
изображенного на снимке объекта ХмУм^м. Пусть ХУ1 -вспомогательная прямоугольная система координат снимка, оси которой параллельны осям внешней системы ХмУм^м. Тогда угловую ориентировку связки проектирующих лучей можно задать тремя углами, на которые необходимо последовательно повернуть систему координат ХУ2, чтобы совместить ее с системой камеры хсус2с. В практике наиболее часто угловая ориентировка выражается двояко [1, 3]. В одном случае - через элементы а,ш,к, причем продольный угол а лежит в плоскости Х2, т.е. первый поворот осуществляется вокруг оси У. В другом случае - через элементы си',р,К с первым поперечным наклоном с', осуществляемым вокруг оси X, т.е. лежащим в плоскости У2 .
Обе совокупности (а, с, к и со',р,к') представляют углы Эйлера и позволяют подсчитать направляющие косинусы
а\ о>2 аз
П Па<ак na'pK
(1)
b1 b2 b3 , c1 c2 c3
т.е. косинусы углов между всеми сочетаниями осей систем XYZ и xcyczc. При этом [2, 4]:
= cos a cos k - sina sina sinK = cos p cos K; a?2 = - cos a sinK - sina sina cos к = cos psinK; аз =- sina cos с = - sinp; bi = coscsinK = cosCsinK-sinCsinpcosK; ¿2 = cosccosK = cos < cosK+ sinC sinp sinK; (2)
¿3 =- sina = - sinC cosp;
ci = sina cos к + cos a sina sinK = sinC sinK+ cosC sinpcosK; c2 =- sina sinK + cosasinccosK = sinC cosK- cosC sinpsinK; c3 = cosacosc = cosC cosp.
В ходе вычислительной обработки приходится находить углы наклона по направляющим косинусам. Соответствующие формулы имеют вид:
а3 7 Ы Ь3 а2
Ща = —3, зтс = -оз, Щк = —; tgс =—3, slnр = -a3, Щк =—2.
с3 Ь2 с3 а1
(3)
При плановой съемке, когда продольные и поперечные углы наклона снимков малы, а ось Zм внешней системы координат местности Х^Ум^м примерно совпадает с отвесной линией в центре тяжести блока (маршрута, стереопары или снимка), оба варианта угловых элементов внешнего ориентирования равноценны. При решении всех фотограмметрических задач они дают результаты, совпадающие с точностью до ошибок округления. Поэтому нет необходимости отдавать предпочтение какой-то из систем углового ориентирования. Но в последние годы наметилась тенденция принимать непосредственно геоцентрическую систему координат земного эллипсоида Х^У^^ за внешнюю систему XмYмZм. В таком случае в зависимости от местоположения участка съемки на эллипсоиде угловые элементы ориентирования могут лежать в пределах от 0 до 360°. Возможны и другие случаи, когда угловые элементы оказываются большими. Например, при обработке наземных снимков зданий и сооружений с целью передачи текстуры их в 3D-модель местности, если вычисления ведутся в системе координат соответствующего участка местности. В подобных случаях выбор системы может оказаться решающим.
При углах наклона, равных 90°, возникают осложнения. Если с = 90°, то
а3 = Ы1 = Ы2 = с3 = 0, (4)
и при подсчете углов а и к по формулам (3) возникает неопределенность. Аналогичная неопределенность имеет место для углов с' и к', когда р = 90°.
К сожалению, направляющие косинусы не обладают свойством однозначности, на что прямо указано во многих справочниках по математике. Поэтому значения направляющих косинусов сохраняются, если один из углов заменить его дополнением до 77, а к двум другим углам добавить по 77. Это означает, что по направляющим косинусам невозможно определить четверти, в которых лежат углы наклона снимка. При плановой съемке и ограниченных размерах фотограмметрического построения обычно по умолчанию считают, что угол с (или р) по абсолютной величине меньше 90°. Тогда косинус этого угла положителен и отмеченная здесь неоднозначность решения не проявляется. Но в общем случае для правильного определения угловых элементов внешнего ориентирования снимка по формулам (3) необходимо либо заранее знать знак косинуса угла с (или р), либо каким-то образом контролировать правильность подсчета углов (например, через элементы взаимного ориентирования).
Важнейшей математической зависимостью в фотограмметрии является условие коллинеарности. Задача внешнего ориентирования снимка по условиям коллинеарности сводится к решению системы уравнений поправок
ада + Ьдю + сдк + йдХ$ + едТ^ + / ^^^ + 1х = Ух; а' да + Ь' дю + с' дк + с1' дХ5 + е' + /' + 1у = Уу.
Здесь да, дю, дк, дХ$, дУ$, дZs - приращения к приближённым значениям элементов внешнего ориентирования снимка а, ю, к, Х$, Zs. Через 1х, 1у обозначены свободные члены, а Ух,Уу - вероятнейшие поправки
уравнивания. Коэффициенты а, Ь,... /, а' ,Ь',... /' выражаются через измеренные координаты точки снимка и другие величины, подсчитанные по приближенным значениям неизвестных, в том числе и через направляющие косинусы. Ниже приведены формулы для коэффициентов уравнений поправок, относящиеся к искомым углам наклона снимка. Все обозначения в них общеприняты и не нуждаются в пояснениях. Для углов а, ю [2]:
а = ^ = 4Шм - Х^)-а^м - Zs)] + 4[сз(Хм - Xs)-аз- Zs)]
да z
Z
дх „ . x
b = — = -jfrSina-\--
дю cosa
slna-
Ym - Ys )
Z
да z
a =
[c2(xM - XS)-a2(ZM - ZS)] + Л [c3(xM - XS)-a3(ZM - ZS)]
Z
b = -д— = -ffcCosa-——
дю
cosa
slna-
Ym - Ys )
Z
(6)
Для углов Ю ,р вид уравнений поправок (5) останется прежним, если заменить а на р, а ю на Ю. Тогда [4]:
дх х
a-
= — = — {(XM - XS )cosp + a3 [(Ym - Ys )sina'-(ZM - Zs )cos Ю]} - fk cos К
ду Z
b =
дх f
[ci(Ym - Ys )-bi(ZM - Zs )]+4 [c3 (Ym - Ys )-b3 (ZM - Zs )]
дЮ z
Z
Л
' =T— = Л ÍXM - XS )cosv + a3 [(ym - YS )sina'-(zM - ZS )cosa']}+ fksinK ду Z
b'= 1^ = -*С2Ym - Ys)-b2(Zm - Zs)] + ЛСз Ym ~ )- (Zm " Zs)]• da' z Z
Выражения для прочих коэффициентов одинаковы в обеих системах углового ориентирования. Приведем только формулы коэффициентов при поправке к углу разворота снимка вокруг главного луча связки:
dx dx , dy dy
c = — =-= y; c'= — = = -x. (8)
dK dK' dK dK'
В группе (6) обращают на себя внимание формулы для Ь и b'. Ясно, что при с = 90° эти величины становятся бесконечно большими, а значит решить задачу в таком случае не представляется возможным. Правда, экспериментальная проверка показывает, что если угол с отличается от прямого хотя бы на десятую долю секунды, то решение в принципе возможно. Действительно, если с близок к 90°, то будем иметь: аз * 0, сз * 0 и Ьз * -1. Следовательно
Z = аз (Xm - Xs) + Ьз (Ym - Ys) + С3 (Zm - Zs)*-Ym - Ys). (9)
В результате в прямых скобках второй и четвертой формул из группы (6) оказывается очень малая величина, сопоставимая по порядку со значением cosa. Поэтому фактически катастрофический рост коэффициентов Ь и Ь' не наблюдается. Но дает о себе знать другая неприятная особенность, связанная с тем, что при с = 90° снимок параллелен плоскости XmZm . Если два другие угла малы, то направляющие косинусы ai *С2 *1, и с учетом выражений (4) и (9) можно записать:
а * fZM^ * y, а' *-fXM^Xs «_x. (10)
Ym - Ys Ym - Ys
В итоге получается, что в уравнениях поправок (5) коэффициенты при первом и третьем неизвестном примерно равны, и матрица нормальных уравнений вырождается, поскольку в ней возникает пропорциональность между соответствующими строками и столбцами. Экспериментальная проверка показывает, что при углах с, лежащих в пределах от 89° до 91°, в обращенной матрице коэффициенты пропорциональности названных строк и столбцов отличаются по абсолютной величине от единицы лишь в третьей-четвертой цифре после запятой.
Применительно к системе углов с',р,к' по формулам группы (7) не видно, чтобы какие-то коэффициенты уравнений поправок (5) могли достигать бесконечно больших значений. Но и эта система углов не гарантирует от вырождения матрицы нормальных уравнений. Такое происходит, когда р* 90°, ас' и к' малы. Этот вариант соответствует
положению снимка примерно параллельно плоскости YM Z M . Тогда
Z* = -(Xm - XS); b = -f-M. = -y; = x. (11)
XM - XS XM - XS
Сопоставление выражений (11) и (8) свидетельствует, что пропорциональны вторая и третья строки матрицы нормальных уравнений (а также соответствующие столбцы), и решение обратной фотограмметрической засечки не будет точным.
Для экспериментальной проверки смоделированы серии снимков, у которых один из углов (а/р, с/с') менялся с шагом в одну минуту от 89° до 91°, а прочие задавались случайными числами, не превосходившими ±2°. В третьей, контрольной серии все углы были малы. Объект местности содержал 49 точек, расположенных с небольшими случайными уклонениями от вершин регулярной сетки по всем трем осям. В координаты точек макетных снимков введены случайные нормально распределенные погрешности со средним квадратическим значением 0.01 мм и нулевым математическим ожиданием. При решении по макетам обратной фотограмметрической задачи за приближенные значения неизвестных принимались величины, полученные путем ввода случайных искажений в истинные элементы ориентирования. Результаты решения, усредненные для серий, представлены в табл. 1. В ней строки «Вер.» соответствуют значениям, подсчитанным через весовые коэффициенты и среднюю квадратическую ошибку единицы веса, а строки «Ист.» - фактическим погрешностям определения углов.
Следует добавить, что для всех снимков, участвовавших в эксперименте, остаточные погрешности условий коллинеарности вполне отвечали указанной выше точности координат точек снимков, а средние квадратические ошибки единицы веса не выходили за 0.005-0.006 мм. В этих же пределах оказались также значения как вероятных, так и фактических ошибок определения координат центров проектирования, выраженных в масштабе снимков. Наглядную картину дает табл. 2. В ней показаны истинные и уравненные элементы внешнего ориентирования одного из снимков, а также усредненная оценка остаточных погрешностей условий коллинеарности.
Таблица 1. Ошибки определения угловых элементов внешнего
ориентирования
Снимок параллелен Плоскости Система Углов Вид ошибок Значения ошибок (в секундах)
да/др дс/ дс' дк/дк'
Средн. Макс. Средн. Макс. Средн. Макс.
XX с* с' * 90°, другие углы малы а, с,к Вер. 1410 21486 4.9 5.4 1410 21486
Ист. 1469 22290 3.7 15.3 1468 22286
с ,р,к Вер. 4.9 5.6 4.9 5.6 1.9 2.2
Ист. 3.5 10.4 4.1 13.3 1.7 5.5
а 90°, другие углы малы а, с,к Вер. 4.9 5.5 4.9 5.5 1.9 2.2
Ист. 4.0 13.4 3.7 10.7 1.6 6.1
с, р, к Вер. 4.9 5.5 1406 21419 1406 21419
Ист. 3.6 14.0 838 13892 838 13889
ХУ Все углы а, с,к Вер. 4.9 5.3 4.9 5.3 1.9 2.1
Ист. 3.8 15.9 3.7 13.1 1.5 5.3
малы С ,ф,к' Вер. 4.9 5.6 4.9 5.6 1.9 2.2
Ист. 3.5 14.5 3.8 12.0 1.4 6.6
Таблица 2. Остаточные погрешности условий коллинеарности
Элементы внешнего ориентирования (гр., мин., сек.; метры)
Истинные Получено из уравнивания
а, с, к -1 36 41 90 01 00 0 43 04 2 33 07 90 00 57 -3 26 45
XS'YS'ZS 42.199 1599.496 0.496 42.147 1599.501 0.428
Погрешности Средн. Ср.кв. Макс. Средн. Ср.кв. Макс.
дх (мкм) 4 5 10 4 5 10
ду (мкм) 5 6 10 5 6 11
Казалось бы, что существенное различие истинных и уравненных углов, показанное в табл. 2, должно как-то отразиться на погрешностях условий коллинеарности. Однако этого не происходит, поскольку в рассматриваемом случае некоторые из направляющих косинусов очень малы, и они практически не влияют на решение задачи.
Таким образом, плохая обусловленность матриц нормальных уравнений, приводящая к существенным ошибкам углов, не обязательно отражается на соблюдении условий коллинеарности и позиционировании центров проектирования. Можно предположить, что прямые фотограмметрические засечки будут при этом давать правильные координаты точек местности.
Для проверки последнего предположения в программу построения и уравнивания фототриангуляции для цифровой фотограмметрической станции ЦНИИГАиК внесены дополнения, позволяющие указать, какую систему углов следует применить при вычислительной обработке. Потребовавшиеся исправления программы элементарно просты и свелись к изменению всего нескольких процедур, реализующих формулы (2), (3), (6) и (7). Экспериментальный счет выполнен по макетным снимкам, образующим замкнутые кольца, проложенные вокруг тела, имеющего размеры Земли. В каждом кольце - два витка, как бы блок из двух маршрутов, полученных с одной и той же орбиты. Масштаб фотографирования принят равным 1:3000000, фокусное расстояние камеры - 150мм, формат кадра 24х24 см. Количество снимков в маршруте - 151. Опорные точки расположены парами примерно через 10-15 базисов. Общее число опознаков в кольце - 24. В качестве твердых использованы также координаты центров проектирования. Вся опора задана непосредственно в геоцентрической системе координат. Исходным данным приданы случайные погрешности, соответствующие точности измерений снимков 0.01мм. Оценка точности фототриангуляции выполнена по вероятнейшим ошибкам и путем сравнения уравненных значений с истинными. Некоторые результаты экспериментов показаны в табл. 3.
Таблица 3. Оценка точности сгущения по координатам точек местности
Орбита в Система Вид Значения ошибок (в мм в масштабе снимков)
Плоскости: Углов ошиБок дХм дУм д2м
Средн. Макс. Средн. Макс. Средн. Макс.
Экватора а,ю, к Вер. 0.011 0.020 0.011 0.032 0.012 0.022
Ист. 0.008 0.041 0.008 0.044 0.010 0.042
с ,р,к Вер. 0.011 0.020 0.011 0.033 0.012 0.022
Ист. 0.008 0.042 0.008 0.044 0.010 0.042
меридиана с долготой 0° а,т,к Вер. 0.013 0.022 0.012 0.029 0.015 0.190
Ист. 0.008 0.042 0.010 0.042 0.008 0.043
с, р, к Вер. 0.013 0.022 0.012 0.029 0.015 0.190
Ист. 0.008 0.042 0.010 0.042 0.008 0.043
меридиана с долготой 90° а,ю,к Вер. 0.016 0.028 0.018 0.032 0.022 0.538
Ист. 0.010 0.043 0.008 0.044 0.009 0.043
с ,р,к Вер. 0.016 0.028 0.018 0.032 0.022 0.538
Ист. 0.010 0.043 0.008 0.044 0.009 0.043
Из таблицы видно, что фактическая точность фототриангуляционных колец во всех случаях оказалась одинаковой и вполне соответствующей погрешностям исходных данных. Для экваториального кольца вероятностные оценки близки к истинным. Для меридианных колец такого соответствия нет по оси 2. Причина заключается в том, что в местах пересечения колец с экватором, когда один из углов наклона приближается по абсолютной величине к 90°, соответствующие диагональные клетки в общей системе нормальных обусловлены плохо и весовые коэффициенты этих углов становятся очень большими. Именно так и проявляется неустойчивость, неопределенность, неоднозначность решения.
Сказанное выше подтверждает универсальность аналитических (и цифровых) методов фотограмметрии. Однако систему углового ориентирования целесообразно выбирать с учетом положения снимков относительно внешней системы координат местности или сфотографированного объекта. Для традиционной плановой съемки одинаково пригодны оба варианта. В общем случае система а, с,к лучше подходит при больших продольных, а о' ,р,к' - при больших поперечных углах.
Если же возникнет необходимость выполнить съемку объекта со всех сторон и создать единую фотограмметрическую сеть в виде кольца или сферы, то целесообразно сочетать обе системы, выражая углы наклона одних снимков через а,а,к, а других - через с',р,к'. Возможно также сочетать несколько систем внешних прямоугольных координат для разных частей объекта, выбирая их так, чтобы углы наклона снимков лежали в нужных пределах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Антипов, И.Т. Математические основы пространственной аналитической фототриангуляции. - М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 2003, - 296 с.
2. Лобанов, А.Н. Аналитическая фотограмметрия. - М.: Недра, 1972, - 224 с.
3. Manual of photogrammetry. Fourth edition. - American society of photogrammetry, 1980, - 1056 p.
4. Konecny, G. Geoinformation. Remote sensing, Photogrammetry and Geographic information systems. - London and New York: Taylor and Francis, 2003, - 248 p.
© H.T. Anmunoe, 2006
