CC BY
11
УДК 51 ББК 22.1
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ
Л.С.Сергиенко1, И.В.Грицких2, К.В.Варфоломеева3
Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. Построен алгоритм исследования сходимости числовых рядов. Ил. 3. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: числовые ряды; необходимые и достаточные признаки сходимости рядов; сходимость числовых рядов с положительными членами; сходимость знакопеременных рядов.
ON THE APPLICATION OF NEW TECHNOLOGIES IN THE EDUCATIONAL PROCESS L.S.Sergienko, I.V.Gritskih, K.V.Varfolomeeva
Irkutsk State Technical University 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074
The algorithm to study the convergence of numerical series is built. 3 figures. 2 sources.
Key words: numerical series; required and sufficient criteria of series convergence; convergence of numerical series with positive members; convergence of alternating series.
Изобретение ЭВМ не только вооружило человеческое общество новыми научными технологиями, но и существенным образом изменило качество самой науки: стали эффективнее функционировать постоянно эволюционирующие процессы реорганизации и самоорганизации структурных связей между различными научными направлениями, активировались процессы их гибридизации (например, появилась экономическая физика - эконофизика), возникли совершенно новые научные направления (например, математическое моделирование), изменились темпы и внутренние законы развития отдельных научных дисциплин, более чётко обозначились их цели и принципы и др.
Как следствие произошла коренная перестройка в сфере образования. Возможность манипулировать огромными объёмами информации, в считанные минуты решать сложные задачи с большим количеством компонентов и многие другие виртуальные возможности вычислительной техники естественным образом изменили систему образования, повысили её потенциальные возможности.
В настоящее время проходят стадию эксперимента многие новые компьютерные технологии образования - например, дистанционная (заочная) форма обучения. При этом одной из первоочередных задач становится развитие у пользователей способностей быстро усваивать и эффективно оперировать полученными знаниями, умение их идентифицировать и оптимальным образом систематизировать в блоки, устанавливать внутренние и внешние структурно-
логические связи.
Приведём пример определения функциональной зависимости между различными блоками учебного материала по теории рядов.
Структурно-логическая схема исследования числовых рядов
Рассмотрим один из вариантов представления некоторых основных положений теории числовых рядов в виде последовательности применения признаков сходимости. Алгоритмическая схема содержит три взаимосвязанных блока:
Р1- предельные признаки сходимости;
Р2- теоремы сравнения;
Р3 - признаки сходимости знакопеременных рядов.
1. Предельные признаки сходимости. Первая блок-схема (рис.1) охватывает необходимые и достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши, теоремы сравнения.
Сразу после введения исследуемого ряда по виду его общего члена определяется, является ли данный ряд геометрическим или гармоническим рядом. При положительном ответе по соответствующим значениям определённых параметров легко устанавливается сходимость или расходимость ряда и процесс исследования заканчивается. В противном случае проверяется, все ли члены ряда положительны - если нет, то необходимо перейти к третьему блоку Р3 схемы исследования знакопеременных рядов.
1Сергиенко Людмила Семеновна, доктор технических наук, профессор кафедры общеобразовательных дисциплин, тел.: (3952) 405520, e-mail: Lusia_SS@mail.ru
Sergienko Lyudmila Semenovna, a doctor of technical sciences, a professor of the Chair of Disciplines of General Education, tel.: (3952) 405520, e-mail: Lusia_SS@mail.ru
Грицких Ирина Владимировна, старший преподаватель кафедры общеобразовательных дисциплин, тел.: (3952) 405520, email: Simka1424@yandex.ru
Gritskih Irina Vladimirovna, a senior lecturer of the Chair of Disciplines of General Education, tel.: (3952) 405520, e-mail: Simka1424@yandex.ru
3Варфоломеева Ксения Валерьевна, ассистент кафедры общеобразовательных дисциплин, тел.: (3952) 405520. Varfol^_
Рис.1. Схема Р1 алгоритма исследования рядов с помощью предельных признаков сходимости
нет >—► приУп > п
/(п) ^ Ф-
да
Рис.2. Схема Р2 алгоритма исследования сходимости рядов по теоремам сравнения
Признаки сходимости знакопеременных рядов
Рис.3. Схема Р3 алгоритма исследования знакопеременных рядов
Если же исследуемый ряд знакопостоянный, то проверяется соблюдение необходимого признака сходимости. При его нарушении ряд расходится, а при выполнении процесс исследования продолжается дальше. Если по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши не удаётся решить вопрос о сходимости или расходимости данного ряда, то применяется интегральный признак Коши. В случае, когда первообразную или предел при вычислении несобственного интеграла первого рода определить не удаётся, необходимо перейти ко второму блоку схемы исследования рядов с положительными членами по теоремам сравнения.
2. Теоремы сравнения. Во втором блоке - схеме Р2 (рис.2) обозначен алгоритм исследования сходимости числовых рядов с положительными членами с помощью признаков сравнения. Вместе с исследуемым рядом вводится по возможности близкий к нему ряд, сходимость или расходимость которого установлена заранее. В качестве такого ряда, как правило, выбирают, если это приводит к положительному результату, геометрический или гармонический ряд. Если ряд с известной сходимостью или расходимостью для данного ряда удаётся подобрать, то в схеме сначала используется первый предельный признак сравнения. В случае, когда предел отношения сравниваемых на бесконечности общих членов рядов равен отличной от нуля постоянной величине, оба ряда одновременно сходятся или расходятся. Если же этот предел не существует (не определяется или равен бесконечности), то обращаются ко второй теореме сравнения с помощью неравенств.
При выполнении для всех членов ряда, начиная с некоторого фиксированного номера, неравенств одинакового смысла в случае расходимости минорантно-го ряда исследуемый ряд тоже разойдётся, а при сходимости мажорантного ряда - сойдётся. Если же выполнение обозначенных неравенств не доказано, необходимо вернуться к началу алгоритма 2, ввести какой-либо другой ряд с известной сходимостью и по-
вторить процесс сравнения. В случае, когда такой ряд найти не удаётся, исследование сходимости данного ряда рассмотренными в построенной схеме методами не удаётся.
Третья блок-схема (рис. 3) включает два признака сходимости: признак Лейбница для знакочередующихся рядов и достаточный признак сходимости для знакопеременных рядов. Если исследуемый ряд знакочередующийся и нарушается первое условие теоремы Лейбница о монотонном убывании абсолютных величин его членов, то ряд может как сходиться, так и расходиться. При выполнении обозначенного требования и невыполнении второго условия признака Лейбница - равенства нулю предела модуля общего члена ряда на бесконечности - поведение ряда также неизвестно.
Если оба условия признака Лейбница выполнены, то устанавливается характер сходимости ряда: сходится ряд условно или абсолютно. Для этого определяется поведение ряда из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда - если ряд из модулей сходится, то исследуемый ряд абсолютно сходится, если нет - исследуемый ряд сходится условно. Если исследуемый знакопеременный ряд не является знакочередующимся рядом, то в случае сходимости ряда из его модулей он сходится абсолютно.
Вывод. Наличие блок - схемы алгоритма позволяет представить процедуры усвоения необходимой информации и определения правильного решения в виде конечной последовательности функционально -логических операций. Формализация системы образования существенно упрощает процесс обучения и способствует более глубокому и быстрому усвоению изучаемого материала.
Библиографический список
1. Воробьёв Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 2006. 408 с.
2. Сергиенко Л.С. Основы теории числовых рядов. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2008. 65 с.
