Об инвариантности законов излучения энергии неоднородных СВЧ резонаторов (аналог псевдосферы Лобачевского) и абсолютно черного тела нагретого вещества по планку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.966.019.3

М.Я. Воронин, А.Н. Поспелов, М.Б. Устюгов

СГГ А, Новосибирск

ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ЗАКОНОВ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭНЕРГИИ НЕОДНОРОДНЫХ СВЧ - РЕЗОНАТОРОВ (АНАЛОГ ПСЕВДОСФЕРЫ ЛОБАЧЕВСКОГО) И АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА НАГРЕТОГО ВЕЩЕСТВА ПО ПЛАНКУ

Обратимся к истории вопроса, чтобы далее развить проблему для конкретных случаев.

Процесс превращения тепловой энергии принято называть тепловыми или температурными излучением [1, 2]. При этом в составе тел не происходит никаких изменений за исключением их теплового состояния, а количество излучаемой энергии изменяется в полном соответствии с количеством подводимого тепла. При нагревании вещества его молекулы приходят в непрерывное колебательное, вращательное и поступательное движение, в результате чего возникает излучение со сплошным спектром.

Излучаемая энергия поглощается другими телами, которые под ее воздействием нагреваются и в свою очередь начинают излучать. Таким образом, всякое тело излучает энергию и поглощает ее. Тела, полностью поглощающие падающий на них поток излучения и обладающие максимальной энергетической светимостью, называются абсолютно черными телами (АЧТ). Для таких тел интегральная а(Т) и спектральная а(к, Т) поглощаемые способности равны единице.

Поглощаемой способностью тела называют коэффициент, показывающий, какая часть упавшего на тело монохроматического или сложного потока излучения поглощается при температуре тела Т.

Тела, которые полностью поглощали бы падающие на них излучение, в природе не существует. Их создают искусственно. Весьма близко по своим характеристикам к АЧТ приближаются такие излучатели, как отверстие полого шара, плотно уложенный пакет лезвий со стороны заточенных сторон, пучок цветных игл со стороны острых заточенных сторон и некоторые другие искусственные излучатели. Все законы теплового излучения справедливы для АЧТ. При введении некоторых поправочных коэффициентов эти законы становятся справедливыми и для многих реальных излучателей.

Известно [1], что вначале Планк записал так называемую интерполяционную формулу для закона распределения энергии в спектре равновесного электромагнитного излучения вещества при определенной температуре:

Е - ^1' ^ (1)

С-/ЯГ Л V /

е 2 -1

где С и С2 - некоторые постоянные, А - длина волны, Т - абсолютная температура.

Но как распределяется энергия излучения по длинам волн ни с помощью термодинамических методов, ни с помощью волновой теории излучения не удавалось установить.

Согласно волновой теории, энергия излучения нагретого тела, соответствующая различным частотам, должна возрастать с увеличением частоты. Однако опыты показали, что энергия излучения вначале действительно растет с увеличением частоты, но пройдя через максимум, начинает уменьшаться, стремясь к нулю на высоких частотах.

Планку удалось устранить это противоречие, введя квантовое представление о природе излучения, записав формулу (1) в виде:

8сяй , ¿сьцктл) _ -|"

Е =

Л3

-/(

-1

'У'З

где с = 299850 км/сек - скорость света в пустоте; к = 1,3827*10" Дж/К -

33

постоянная Больцмана; к = 0,662-10" Дж-с - квант действия Планка.

На рис. 1 приведено семейство кривых зависимости распределения энергии излучения абсолютно черного тела по длинам волн А для ряда

температур.

ЕЮ'1 14

12 -10 -8 6 + 4 2+

Кривая Вина

А,мкм

Из рис. 1 видно, что максимумы кривых при росте температуры и уменьшении длины волны А, смещаются влево. Эта связь была установлена Вином и носит название закона смещения Вина (на рис. 1 штрихом показана кривая Вина). При этом им было установлено, что

Атах • Т = 2896мкм • К, где Атах соответствует

максимуму кривой Е.

Известно, что функция Е(А, Т), описываемая выше

приведенным уравнением Планка, достигает своего максимального

значения при определенной длине

волны Атах.

Чтобы найти Атах, соответствующую максимальному значению функции Етах, необходимо продифференцировать Е(А, Т) и приравнять производную к

нулю:

сШ(Л,Т)=0 (3)

<зл

Нужно иметь ввиду, что производная (3) будет равна нулю, если ее числитель будет равен нулю, или знаменатель равен бесконечности. Однако

взятие производной по А недопустимо, так как последняя - величина

размерная. Это объясняется тем, что на предельных длинах волн касательные к функции Е(А, Т) параллельны оси абсцисс; с этих позиций и исходил Вин.

Рис. 1. Функции спектральной плотности энергетической светимости АЧТ при различных значениях температуры

Поэтому целесообразно ввести некие функции х и у. Тогда выражение (2) запишется в виде х5 • у • (ех-1 - 1) - 1 = 0 для постоянной температуры.

Отсюда и получим константу Вина:

Атах • Т = Ь = СвШ1. (4)

Теперь обратимся к электронике больших мощностей СВЧ, хорошо изученной Капицей П.Л. [3]. Речь идет об энергетических показателях резонаторов СВЧ на основе плавно - нерегулярных линий передачи.

Первый резонатор широкополосной колебательной системы (ШКС) по рис. 2 является аналогом псевдосферы Лобачевского [4], т. е. от начала к концу геометрическая конфигурация имеет вид рупора с постепенным увеличивающимся диаметром к концу (рис. 3).

Рис. 2. Конструкция ШКС с щелевой связью между регулярнонерегулярными резонаторами

Рис. 3. Псевдосфера Лобачевского, где 0(1) и 0(0) соответственно диаметры в

конце и начале псевдосферы

Лазер

Микрополосковая ЛП

Рис. 4. Конструкция ШКС с торцевой связью между полосковой и микрополосковой спиральной ЛП

Первый резонатор ШКС по рис. 4 представляет собой усеченную пирамиду (рис. 5).

Но вернемся к энергетике СВЧ

- резонаторов по рис. 3 с учетом рис. 4 и рис. 5. Пусть имеет место плавно-нерегулярная расширяющаяся НРЛП с гиперболическим законом

волнового сопротивления:

2(х) — 2(0) • (1 — /// у)_/.

(5)

Вместо параметра крутизны /// введем параметр р - перепад волновых сопротивлений:

_щ)

Рис. 5. Усеченная пирамида

Р

т

Тогда /// = 1

1

(6)

л[р

Если р= 1 (РЛП), то /// = 0.

В табл. 1 приведено соответствие между ///и р.

Таблица 1

¡Л 0 0,5 0,7 0,8 0,9

р 1 1,41 1,82 2,93 3,16

Мощность развиваемая СВЧ - генератором в резонаторе может быть определена по следующей формуле [5, 6]:

Р = — Т2 -R

2 al 15

где /а1 - ток первой гармоники, протекающий через резонатор; Я1 -

резонаторное сопротивление первого резонатора ШКС.

Но известно [2], что

(8)

R,=Z(0)-0H -<p(?’tÍ}=Z(0)-QH fj)

у(в,/Л)

где і//(6, /'Л) - энергетическая функция.

Для К.З. ГНРЛП иммитансная функция равна [7]:

y/(0,¡ul) = (ctge-^-)1.

U

(9)

Из того же источника известно, что параметр распределенности [6, 8] имеет вид

y(0,JLll ) =

1 +

в • dcp(в, ¡Л)

(р(0,/лl )d0

(10)

Тогда энергетическую функцию у/(6,ц1) с учетом (9) и (10) можно записать как

1

у/(6,/Л) =

ctgd

+ -

1

/Л

(11)

2 sin2# в

На рис. 6 приведено семейство кривых, построенных по (11).

С

у(6 р)\ Рис \6. Кривые зависимости эн^!>1 етичаской функции нерегулярного

- рфонатора от электрической Дгёфш в цри различных перепадах р

4,0-

col

■ . . . * 0 =—- рад

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 с

Сравнивая кривые на рис. 1 и рис. 6 видим, что по форме они очень схожи - также происходит смещение энергетической

функции резонатора СВЧ утах(О,Р) влево. Существенным отличием является то, что минимумы функций Планка на рис. 1 смещаются влево при увеличении частоты, а на рис. 6 они так же смещаются влево, но при уменьшении частоты.

На рис. 7 приведена кривая смещения утах(О,р), которая идентична кривой Вина на рис. 1.

Существенное различие состоит в том, что на рис. 1 для АЧТ кривые построены для различных температур, а на рис. 6 кривые построены для различных перепадов волновых

сопротивлений. Если на рис. 1

Рис. 7. Кривая зависимости щтах(в,р) от в

возрастание Етах происходит при росте температуры, то на рис. 6 рост происходит при нарастании р.

Объясняется это тем, что при увеличении разрыва НРЛП увеличивается величина запасаемой энергии во внешней части резонаторов СВЧ (т.е. добротность распределенной СВЧ структуры). Если сравнивать это с резонатором - СВЧ на основе РПЛ, то в предлагаемом на основе К.З. НРЛП эффективность в выигрыше по мощности более чем в 5 раз.

С физической точки зрения Планк объединяет квантовые эффекты в АЧТ за счет неких внутренних осцилляторов (что-то подобие диаполей Герца). В нерегулярных резонаторах СВЧ (в регулярных этого не может быть) существуют некие погонные осцилляторы, если, резонатор разбит на п -частей из А/ - микро-диаполей, состоящих из погонных Ь1(х), С1(х) реактивных контуров [9]. Это так называемая составная лехеровская система (рис. 8).

Ьі(х)

Ь2{х) 13(х)

Ь4(х)

Ьп{х)

Сі(х)— С2(х)=— С з(х)— С4(х)==

1'

Ьі(х)

Ь2(х)

Ьз(х)

Ь4(х)

Рис. 8. Лехеровская составная распределенная система отрезка НРЛП

Чтобы найти полную энергетическую мощность резонатора СВЧ по аналогии с [2], функцию у(0, р) необходимо проинтегрировать в диапазоне А0 от 0 до 7г:

Д(р)=М0,р)-А?=/------;----~Г~~/---— ■ (12)

о ^ 1

2 БІД2 в

1

1

По аналогии с уравнением (3) Планка, чтобы найти Отах, соответствующую максимальному значению функции утах,

продифференцируем функцию у по переменной О и исследуем производную на экстремум для ряда р:

ёу/(в,р)

ёв

2 8Іп2 <9

4р

ш2в

+ 2$т~3 в-со$в + К-в

-2

ёв

Щв _1_________К

2 ш2 в 9

= 0.

о

1

1

1

1

Тогда К = -202 • sin-20 (1 + sin-10 + ctg0); отсюда можно получить константу 0max • ці = a; либо 0max • р = b и сравнить с константой Вина. Результаты интегрирования по [7] можно сравнить с интегрированием по Планку [1]; кстати, интегрирование по Планку осуществляется в интервале от 0 до да

Теперь что касается размерностей.

У Планка (рис. 1) по оси абсцисс размерность в мкм, от которой через скорость света можно перейти к частоте; по оси ординат размерность Е имеет

л

вид Вт/см •мкм; каждая кривая строится для температуры АЧТ в градусах либо по Кельвину, либо по Цельсию.

На рис. 6 по оси абсцисс безразмерные величины; по оси ординат вещественные целые числа. Каждая кривая строится для цї, либо для р, которые также числа; все это сделано для целей анализа по инвариантности.

На самом деле размерность по оси абсцисс в Гц, м, м/с; по оси ординат (см. формулу (7)) размерность в Вт, А, Ом, Гц; цї и р - безразмерны.

Теперь что касается пирамидального резонатора в конструкции генератора СВЧ по схеме двухконтурной анодной системы (см. рис. 4). Как показали опытные исследования этого СВЧ-резонатора, практически, в диапазоне частот от 100 МГц до 10 000 МГц он имеет несравненно большую запасаемую энергию по сравнению с резонаторами из отрезков РЛП; практически выигрыш достигает увеличения где-то в 10 раз. Откуда это? Вообще пирамидальные физические модели обладают, по нашему убеждению, какой-то неслыханной энергией. В этом смысле много сейчас пишется о египетских пирамидах, способных по своей природе накапливать большую энергию, которая поступает, по-видимому, откуда-то из космоса. В нашем случае СВЧ парамидальные резонаторы накапливают энергию от задающих подводимых к ним извне СВЧ-генераторов; если измерить размеры СВЧ пирамидального резонатора, то он будет весьма эффективно запасать энергию в СВЧ-диапазоне.

А теперь возьмем геометрические размеры египетской пирамиды: сторона основания - 230,3 м; периметр - 230,3 х 4 = 921,2 м; высота пирамиды 146, 6 м, удвоенная - 293,2 м. Делим первую величину на вторую и получаем: 921,2/293,2 = п, что поразительно впечатляет, так как при расчете интегральной полной энергетической мощности СВЧ-резонатора интеграл нами брался в интервале от 0 до п (выражение (12)). Введя соответствующий масштаб с учетом нашей физической модели СВЧ пирамидального резонатора, нетрудно найти резонансную частоту египетской пирамиды, т. е. ту самую излучаемую космосом частоту генератора.

Таков наш вариант решения проблемы, поставленной в заглавие статьи. Кстати, великий Леонардо до Винчи изучал «область свето-воздушной перспективы и гармонической пирамидальной композиции [10]».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Планк М. Теория теплового излучения, Л.-М.: 1935.

2. Павлов А.В. Оптико-электронные приборы (основы теории и расчета). - М.: Энергия, 1974. - 360 с.

3. Капица П.Л. Электроника больших мощностей. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. -

195 с.

4. Лобачевский Н.Н. Сочинения по геометрии. - М.-Л: 1946 - 49 (Полн. собр. соч., Т. 1-3; Обоснования геометрии Лобачевского и развитие ее идей. - М.: 1956.)

5. Воронин М.Я. Нерегулярные линии передачи на СВЧ: теория и применение: в 2х частях; под ред. В.П. Петрова / Новосиб. гос. техн. университет - Новосибирск, 1994. -291 с.

6. Нейман М.С. Триодные и тетродные генераторы сверхвысоких частот. - М.: Сов. радио, 1950. - 283 с.

7. Воронин М.Я., Голиков В.К., Денисов А.Н., Чепурной С.М., Шлее В.Р. Элементы теории несоразмерных цепей в точном методе синтеза: учебн. пособие / Новосиб. гос. техн. университет - Новосибирск, 1994. - 49 с.

8. Сифоров В.Н. Радиоприемники СВЧ. Военное изд. Мин. обороны СССР, - М.: 1957. - 435 с.

9. Wenzel R.J. The modern network theory approach for microwave filter design II Ibid - 1968. - Vol. EMC - 10. №2 - p.196-209.

10. Лазарев В.Н. Леонардо да Винчи. - Л.-М.: 1952.

© М.Я. Воронин, А.Н. Поспелов, М.Б. Устюгов, 2006