ОБ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ СВОЙСТВУ МОРЕРА ВДОЛЬ КОМПЛЕКСНЫХ КРИВЫХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

EURMIANJOHiiii^—

MATHEMATICAL THtORV

AND COMPUTER SCIENCES

EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 5.916 www.in-academy.uz

ОБ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ СВОЙСТВУ МОРЕРА ВДОЛЬ КОМПЛЕКСНЫХ КРИВЫХ

Бекманова П. Ражабова И.

Нукусский государственный педагогический институт имени

Ажинияза

https://www.doi.org/10.5281/zenodo.10664494

ARTICLE INFO

ABSTRACT

Received: 08th February 2024 Accepted: 14th February 2024 Online: 15th February 2024 KEY WORDS

Ядро Бохнера-Мартинелли, голоморфная функция,

дифференциальная форма.

В этом работе изучается семейство кривых Ь специального вида, достаточное, чтобы функция

фе Ь (дИ), р > 2^ обладающая свойством Морера

вдоль кривых I е голоморфно продолжалась в Э (

г> * С" (п > 1)

и— ограниченная область в 4 7 со связной

гладкой границей дВ класса С ). Для этой цели рассматривается ядра, стоящие в формуле многомерного логарифмического вычета, изучается его свойства и приводится, в качестве применения, теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных кривых.

Пусть f C/i'-"'fn) голоморфное отображение из C в C состоящее из целых

, - - /(0) = 0 /(г) Ф 0

функций и имеющее единственный нуль в начало координат, т.е. ■> у ' и ■> у '

при г Ф 0. Рассмотрим дифференциальную форму (2т)" Ь Н2П

U ( w)

где dw[k ] = л ...С^к-1 л dwk+l л ...dwn а dw = См?1 л... л Смп те V (м>) —

ядро Бохнера-Мартинелли в нуле. Рассмотрим ограниченную область ^ С ^ > ^ со связной границей дВ класса С . Если № — кратность нуля отображения ^ в точке г = 0, то справедлива формула

мг) = ¡ф(С)и(/(,- г)), г е В,

до, (1)

где ф -функция, голоморфная в В и непрерывная на замыкании В. В форме г)) вектор г считается фиксированным. Формула (1) есть формула

I EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 5.916 www.in-academy.uz

многомерного логарифмического вычета для отображения ^ (см. [1], гл 1). Нам необходимо доказать эту формулу для интегрируемых функций

Предложение. Пусть ф е ^ (В), тогда справедлива формула

\цф(г), z е В,

i ф(С)и( f (С — z)) -\дфл и(f (С — z)) J J 1 0, z g D,

в которой интеграл по области D — абсолютно сходится.

г * * f е Hp (D) (p > 0)

Голоморфная функция J \ j j ,

sup ¡\ f (C — sv(£))\Pda-

(2)

. если

Е>0 SD

\ф(Ои (f (С- z )) =

где элемент поверхности дВ, а единичный вектор внешней

нормали к поверхности дв в точке ^. Хорошо известно, что нормальные граничные

, / е Нр (В) / е Ьр (дБ), пй

значения функции 7 47 принадлежат классу 7 47 (по мере Лебега ии )

(см. [3], [5]).

Следствие. Пусть фе ^ р — 2 и

> + (г), г е В,

дв, I ^ " (гX г € В.

/т+ (2) ТР

Тогда функции являются класса -ь вплоть до границы области.

Рассмотрим некоторые свойства определителей, составленных из

Р1 Рт _ п

дифференциальных форм. Пусть Р ,—,и п мерные векторы, состоящие из внешних дифференциальных форм. Введем определители порядка п :

В- - (в\...,ет)

' 1' 'у т

Г

первыми столбцами которые являются векторы Р , вторыми -2 столбцами -

г{2 — пт V + + V = П

векторы Р и т.д., последними т столбцами - векторы Р , 1 т . (см. [2],

§1). Рассмотрим вектор

С — — \

f

f 1 f n

f и/г и

(tf*f + ••• 1 RHp нулей птпбпяжения f.

Тогда \ ' /171 ,ПП вне нулей отображения . Следовательно, ядро

и ( / )

примет вид

1 ~ , ~ . „ 1 1

U ( f )=(2^ л df=ff D-i(f'S;f ) л df

I EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 5.916 www.in-academy.uz

В ,

В выражении 1,п 1 первый столбец можем заменить на любой т такой, что

Т /) = Т / + +т / = 1

\ ^ ' и1 . Действительно, определитель

В1 , п-1(Л — т~дМ) = 0

в силу того, что в определителе есть линейно зависимые строки: (Л — т,/) = 0 и (сдМ /) = Мъ /> = 0

Пусть ¥ ~ Wifi + ••• + ¥nfn где функции z)' j 1'---'n -голоморфны в

C" x Cm

T = —(Wv...,Wn )

и

¥

.Тогда

T. f)=1

вне нулей функции ¥ . Положим,

1

A'l'n-lO'^ A df

(2mi)

Лемма 1. Справедливы формулы

^ n_i ^ ^

UCf) = 7Г_1' a^Di'i,n_2 Т ' дсп A df dzj {2m) \ dzj )

(4)

для всех

*

Лемма 1 показывает, что производные по 2формы и(/) являются д

дифференциалами форм с точечными особенностями С = 2.

Используя свойство однородности определителя формулу (4) можно переписать в виде (см. [5]):

-1 и ( f ) = -2-L д,

dzj (2л/)n 4

1

If2"

Dun-i

f 'f ' ~f

oz,

V J

A df

Лемма 2. Имеет место соотношения

д

U ( f ) =

d zj (2л i)

h

" Я

L—

r

If I

-D

i2n 1,1,n-2

f —

dz.

As Of

j j

\ \ a d,

где А равно б- ому столбцу из алгебраических дополнений Ак к элементам д/*

матрицы Якоби

dz.

s ,k=1

Используя полученные выше утверждения получаем следующую теорему (см.

[4]).

Теорема. Если для функции ^ е L (dD)' p > 2

выполнено условие

EURASIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL THEORY AND COMPUTER SCIENCES

Innovative Academy Research Support Center UIF = 8.3 | SJIF = 5.916 www.in-academy.uz

F- (z) =\ф{Си(f (С — z)) = 0, z g D

dDc

то ф голоморфно продолжается в D до функции F е H (D).

References:

1. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979, 364 с.

2. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных.-Москва, Наука, 1964.-410с.

3. Кытманов А.М. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992, 238 с.

4. Отемуратов Б.П. Теорема Морера для интегрируемых функций вдоль комплексных кривых//Вестник НУУз. 2011г. №1/1, с. 249-257.

5. Хенкин Г.М., Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных // Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 4. С. 13-142.