О некоторых семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 107-121.

УДК 517.55

О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ, ДОСТАТОЧНЫХ ДЛЯ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

ФУНКЦИЙ

в.и. КУЗОВАТОВ

Аннотация. Данная работа содержит результат, связанный с голоморфным продолжением функций. Речь пойдет о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых. Рассматриваются вещественно-аналитические функции, заданные на границе ограниченной области И в Сп, п > 1, и обладающие одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых. Исследуется вопрос о существовании голоморфного продолжения таких функций в область И в зависимости от вида области и расположения семейств комплексных прямых.

Ключевые слова: вещественно-аналитическая функция, голоморфное продолжение, функции с одномерным свойством голоморфного продолжения

1. Предварительные результаты

Статья содержит некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций /, заданных на границе ограниченной области D С Cra, п > 1, в эту область. Речь пойдет о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых.

На комплексной плоскости C результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны. Поэтому наши результаты существенно многомерны.

Первый результат, относящийся к нашей теме, получен М.Л. Аграновским и P.E. Валь-ским в [1], изучившими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.

Стаутом в [2], использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено A.M. Кытмановым (см. [3]), применившим интеграл Бохнера - Мартинелли, Идея использования интегральных представлений (Бохнера - Мартинелли, Коши - Фантаппье) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения.

Пусть D - ограниченная область в Cra, п > 1, со связной гладкой границей dD класса С2, Сформулируем результат Е.Л. Стаута [2].

Рассмотрим комплексные прямые вида

I = 1С G CT : Ci = Zj + b3t, j = 1 ,...,n,t G C}, (1)

V.l. Kuzovatov, On some families of complex lines which are sufficient for a holomorphic

extension of functions.

© Кузоватов В.И. 2012.

Автор поддержан грантом АВЦП 2.1.1./4620.

Поступила 10 декабря 2011 г.

проходящие через точку г € Сп в направлении вектора Ь € СР"-1 (направление Ь определяется с точностью до умножения на комплексное число А = 0).

По теореме Сарда, для почти всех г € Сга и почти в еех Ь € СР™-1 пересечен не I П дБ представляет собой набор конечного числа кусочно-гладких кривых (за исключением вырожденного случая, когда дБ П I = 0),

Будем говорить, что функция / € С (дБ) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль комплексной прям,ой I (I П дБ = 0), если существует функция ^ со следующими свойствами:

1) /1 € С (Б П /);

2) /г = / на множестве дБ П /;

3) функция /г голоморфна во внутренних (относительно топологии I) точках множества Б П I.

Теорема 1 ([2]). Если функция / € С (дБ) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых вида (1), то f голоморфно продолжается в Б.

Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М.Л, Аграновским и А.М. Семеновым [4].

Рассмотрим открытое множество V С Б и семейство £у комплексных прямых, пересекающих это множество.

Теорема 2 ([4]). Если функция / € С (дБ) обладает свойством, одномерного голоморфного продолжения вдоль прямых из сем,ейства, £у для, некоторого открытого множества V С Б, тогда, функция, $ голоморфно продолжается в Б.

В дальнейшем рядом авторов (см., например, работы [5] - [8]) были рассмотрены различные семейства комплексных прямых (например, семейства комплексных прямых, пересекающие росток порождающего многообразия, проходящие через росток комплексной гиперповерхности и др.), достаточные для голоморфного продолжения функций из различных классов. Приведем здесь результат из работы [7], в которой утверждается, что семейство комплексных прямых, проходящих через граничную точку комплексного шара, является достаточным для голоморфного продолжения вещественно-аналитических функций, заданных на границе шара.

Пусть Вга - шар в Сга, д Вп - сфер а, € 5Вга и С обозначает класс вещественно-аналитических функций.

Теорема 3 ([7]). Пусть функция / € Ст (5Бга) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, проходящих через точку г0. Тогда, функция / голоморфно продолжа,ется, в Вга.

2. Двумерный случай

Рассмотрим двумерное комплексное пространство С2, точки которого будем обозначать через т = (т1,т2), г = (г1,г2) и т. д. Пусть Б - ограниченная строго выпуклая область в С2 с вещественно-аналитической границей дБ, т.е. Б = {и> | р (т) < 0 }, где функция р является вещественно-аналитической в некоторой окрестности замыкания

области Б. При этом дгайр = ( —— , —— ) = 0 на дБ. Пусть для всех точек границы

\ дт1 дт2 )

выполнено условие

е& о)2 Й о -2& о & о А м+ей<ш))2 б е-'=о. ®

Обозначим также через £т - семейство комплексных прямых, проходящих через точку € дБ.

Теорема 4. Пусть функция / € Сш (дИ) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из пересекающих И, тогда, функция / голоморфно продолжается, в Б.

Замечание 1. Если точка т0 фиксируется заранее, то выполнение условия (2) нужно требовать только в точке т0.

Доказательство. Сделаем сдвиг, чтобы точка и>о € дИ перешла в 0 и выполним ортогональное преобразование

т = Вг,

задаваемое матрицей

( др

В

(0)

г(0)^

дт2 дги1

9Р (0) г^- (0)

V дт1

дгио

Данное преобразование является невырожденным, поскольку |5| = 0, При таком преобразовании сохраняется вещественно-аналптичность функции р (Вг) = р(г). В покомпонентном виде это преобразование будет иметь следующий вид,

^ (0) + г-^ (0) %2 = дт2 ои)1

-— (0) ^ + г^— (0) Х2 = дт1 (пи2

Представим х1 = х1 + гх2, х2 = х3 + гх4.

Лемма 1. При комплексно-линейном преобразовании координат т = Вх условие (2) на, функцию р (т1,т2), рассмотренное в граничной точке т0 = 0, запишется в виде

¿Ъ(0) = 0. §(0) = £(0)

дх2

(3)

где неявная, функция х4 = р (х1,х2,х3), определенная уравнением р (х1,х2,х3,х4) = 0, удовлетворяет условиям р (0) = 0, —— (0) = 0, к = 1, 3.

ОХ к

Доказательство. Найдем связь между частными производными функций р (г) и р (т), а также условия па функцию р (г) , Будем иметь

др др дт1 + др ди}1 + др д1^2 + др ди}2 др (0) др др (0) др

дх1 д,ш1 дх1 дги1 дх1 дт2 дх1 дги2 дх1 дт2 дт1 дт1

дт2

др др дт1 ^ др дио1 ^ др дчи2 ^ др дио2 . др др ^ . др др

дг2 д,ш1 дг2 дги1 дг2 дт2 дг2 дги2 дг2 дги1 дт1 дги2 Из приведенных выше выкладок видно, что

I <0) = 0.

а значение

4 »

г е

др (0) ^ (0) + ^ (0) (0)

дги1 дт1

дги2 дт2

> = г (

др

(0)

+

др

дт2

(0)

1

= 0

2

является чисто мнимым.

Рассмотрим частную производную функции р (г) второго порядка.

д2 р др д г22

дт2 д

дт1

д^2 д р дт1 д

дт

(0) (0) (0) (0) (0)

д2р дт1 д2р дт2

дт1 дт1 дх1 д2р дт1

+

+

дт1 дт2 дх1 д2р дт2

дт2дт1 дх1 дт2дт2 дг

др (0) д2р

д

(0)

дт"2 дт1 д2 р

дт2 д р

дт2 у ' дт2 дт1

2 д 2р

(0)

д2

дт1 дт2

др_ (0) т

дт1 дт22)

- (0) ^ (0) д2р

дт"2 дт1 дт2 дт1дт2

+

<0))

д2р дт2'

Учитывая выполненный сдвиг координат, при котором граничная точка перешла в ноль, и условие (2) па границу области И, последнее равенство означает, что

^ (0)

дг2 (0)

0.

В дальнейшем для удобства записи вместо функции р (г), задающей границу области И, р ( )

р( 22) = 0

с условием

& (0)

8 (0)

0 0,

(4)

(5)

д

а также при условии, что значение —— (0) = 0 является чисто мнимым,

дг2

Частные производные по комплексным переменным можно выразить через производные по вещественным переменным следующим образом:

др 1 / др др — г

дг1 2 \дх1 дх2

д р 1 д

— г

дг2 2 \дхз дх4/

Таким образом, из соотношений на связь производных по комплексным и вещественным переменным, а также из системы условий (5) следует, что

др (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0.

(6)

дх1 ' дх2 ' дх3

Далее запишем второе условие в системе (5) в вещественных переменных. Будем иметь

д

д х1 д д х2

д д ~дг~1 + д*1 р

д

д

дгл дгл

1

2

2

р

2 д

д х12 д х1 х1

+

д2р д 1 д 1

+

) ( дг1 + дгх) д2 д2 д2

С др + др_

\ д г1 дг1

)

д2 д2 р

+

д 12 д 1 д 1

д 12

д 2р

д 12 д 12 д 1 д 1

+ 2-

2 д

д х22

=

д2р д х1 д х2

д х2 х2

__ ( д^р__

\д^2 д г1дг1 д д р

_д___д_

д 1 - д 1 д2 д2

д

дг1

+ ^

д 1 д 1 д 12

2

д д 1 д2

д2 2

д 1 д 1 12 д 12

д х1 д х2

. / д2 р д2р г\Щ

А _д_ д 1 д 1

+

2

д р д 1 д2р

д р д 1

дг1дг1 дг1дг1 дг2

\ - -(д^р _ ) =г\д- дг2) .

Таким образом, учитывая второе условие в системе (5) и принимая во внимание вия на функцию р (х1,х2,х3,х4) будут иметь вид

д2р (0) = Й (0), ^ (0) = 0.

(7)

д х12 х22 д х1 д х2

Ввиду перехода к вещественным координатам функция, задающая границу области И, принимает вид

р (х1,х2,х3, х4) = 0.

Поскольку градиент функции р(х1,... ,х4) отличен от нуля, то ввиду соотношений (6)

д

—— (0) = 0, Тогда по теореме о неявной функции (глава 2, п, 26,1 из |9|) в некоторой

д х4

0

х4 = р (хьх2,хэ), (8)

где

др др ( . , др

дхк

дх\

(х1,х2 ,х3,р (х1,х2 ,х3)^/-др(х1,х2,хз ,р (х1, х2, х3)^ , к=1, 3.

При этом функция р удовлетворяет условиям р (0) = 0,

др дхк

(0) = 0, к = 1, 3. Далее,

р ( х1, х2, х3)

" д2р _ " "

рассмотрим производную ——-—, ] = 1, 3, Будем иметь

дхkдхj

д2

д д дхjдхк

(х1,х2,хз ,р (хьх2,хз)^

д2 р

+

д2р др _ д2р дхкдх4 др

др дх1:

дхкдхо дхкдх4 дхj дхкдх

д х4 д2

д д дхдх4

(х1,х2,хз, р (х1,х2,хз)^

+

д2р др д2р дх4 др

д2р

дх4дхз дх4дх4 дх^ дх4дх^ др дх^

х4

Таким образом,

д 2 у

дхидхо

(

д2р др д2р др\ др

дхкдх^ дх4 дхкдх4 дх

j) дх4 \

д2р др д2р др\ др

дх4дхдх4

дх\ дху

)

дхь

др дхл

при этом

д

дх2к

(

д2 р др д2р др\ др

^— (

/ дх4 \

д2р др д2р др\ др

дх1 дх4 дхкдх4 дхи) дх4 \дх4дхи дх4 дх\ дхи) дх^

)

др дх4

Учитывая условия (6) и (7), нетрудно видеть, что

д2^ дх1дх2

(0) = 0,

^ (0) = I2! (0). □

дх!

дх2

Продолжим доказательство теоремы, В дальнейшем мы будем рассматривать сечения Иа (т) облает и И

Оа (т)

(

Т

1 + |а|2 '1 + И2

)

Уте Ал

проходящие в направлении вектора (а, 1) € С2. Область Аа изменения параметра т есть область на комплексной плоскости с вещественно-аналитической границей (в окрестности граничной точки 0),

Раскладывая в выражении (8) функцию ф (х\,х2,х3) в окрестности граничной точки 0 в ряд Тейлора, ввиду условий на функцию <р будем иметь

х4

Т (Х1,Х2,Х3) + О , |ж'| ^ 0, х' = (Х1,Х2,Х33)

(9)

где Т (х1,х2,х3) = сцх2 + с22х2 + с33х2 + с12х1х2 + с13х1х3 + с23х2х3 - положительно определенная (ввиду строго выпуклости функции р) квадратичная форма. При этом для коэффициентов формы Т (х\, х2, х3) ввиду условий (3) на функцию <р (х1,х2,х3) справедливы соотношения

С12 = 0, Си = С22 ■

Выделим вещественную и мнимую часть в переменных г1,г2 и запишем выражения для Х1 ,Х2,Х3,Х4.

Пусть т = и + т, а = а1 + га2. Тогда

т

(и + гь) (а1 + га2) (иа1 — ьа2) + г (иа2 + уа1)

1 + |а|2 т

1 + |а|2

и + №

1 + |аГ

1 + |а|2 1 + |а|2'

Таким образом,

х1 =

иа1 — уа2

1 + м

2

Х2 =

иа2 + уа1 1 + |а|2 :

и

Хз =

1 + И2

Х4

1 + И2

3

а

V

Запишем выражение для квадратичной формы Т (х\,х2,х3).

Т (х\,х2,хз) = спх2 + спх2 + Сззх2 + с 1зххз + С2зх2хз =

с11 (и2 а2 — 2иьа1а2 + ь2а2) + с11 (и2а2 + 2иьа1а2 + ^2а1) +

2\2

(1 + \а\'

+ Сззи2 + С13 (и2а1 — иьа^ + С23 (и2а2 + иг;а^

(1 + \а\

■х

X

V2 (с11а2 + Спа^ + V (—2с^иа 1а2 + 2с^иа 1а2 — с13иа2 + с23иа1) +

2 2 2 2 2 2 2 + (сИи аг + спи а2 + с33и + С1зи а1 + С23и а2)

! (сца2 + сна1) + г» (—С13иа2 + С23иа 1) +

2\2

1 + \ \2

X

X

+ (Сци2а21 + спи2а2 + С33 и2 + С13и2а1 + С23и2а2)

Подставим найденные значения для х4 и Т (х1,х2,х3) в уравнение (9) и приведем подобные, Получим

V2 ( сиа2 + сца2^ + г» (—С13иа2 + С23иа 1 — 1 — |а|2) +

+ (с11и2а2 + с11и2а2 + с33и2 + с13и2а1 + с23и2а2) + о (\а\^ = 0, \а\ ^

\ а\ а а \ а\ = 1

V2 (с11а212 + спа2^2) + г» (—с13иа21 + с23иа11 — 1 — \а\2 + + (сци2а2^2 + Сци2а2^2 + С33и2 + С13и2а11 + С23 и2а2^) + о (Щ2) =0,

Таким образом, деля на Ь2 и переходя в данном выражении к пределу при Ь ^ получим

V2 (с11а2 + с11а1) — V \а\2 + с11и2а2 + с11и2а2 = 0, с11у2 \а\2 — V \а\2 + с11и2 \а\2 = 0, с11ь2 — V + с11и2 = 0. Запишем данное равенство в комплексной форме. Получим

си ( V2 —— + и2 ) 11 11

(

2 2

2

+

11

4с2^ 4 с2

+ и2 = 0,

11

и2 + —

V 2 Си) \2 Си)

2 (—У■

\2 си)

(10)

Таким образом, нами показано, что областью А изменения параметра т в предель-

ном случае, когда \а\ ^ является круг с центром в точке т0

1

2

и радиу-

11

са го

2

-. Коэффициент с11 > 0 ввиду положительной определенности квадратичной

11

Т ( х1, х2, х3) дА

1

2

1

0

1

1

1

2

Следует отметить, что касательной к границе области И, проведенной в граничной точке 0, является прямая 1т г2 = 0. Нетрудно видеть, что, когда |а| ^ сечения Иа (т) становятся близки к касательным к границе области И в граничной точке 0, поскольку

V

1т х2 =-2 ^ 0, когда |а| ^

1 + |а|

Более того, при |а| ^ сечения Иа (т) лежат в окрестности точки г0 = 0, А именно, если г € Иа (т)

к - *о Г

1 + И2

2

+

1 + И2

М2|а|2 + = ^ 0,

(1 + |а|2)2 (1 + |а|2)2 1 + М2

когда |а| ^

Используя вещественно-аналнтичность функции р (г1, г2,г1, ¿2), разрешим уравнение (4) относительно переменной ¿2, Поскольку р (г, г) - вещественно-аналитическая функция, то она разлагается в ряд в окрестности точки (0, 0) € С4 = С2 х С2. Перейдем от координат ¿ к переменным т. е. сделаем замену

¿1 = Съ ¿2 = (2.

Получим функцию р (г, () - аналитическую от г и ( с условиями

{

Р (?,() =0,

с = ¿.

Поскольку градиент функции р (г1, г2, £2) отличен от нуля, то производная по одной из

неременных отлична от нуля, например, производная ^ = 0. Тогда, применяя теорему о

д(2

неявной функции для голоморфных функций (теорема 3 из главы 1, §4 из [10]), выразим переменную (2 через остальные переменные:

(2 = ф ^ь^СО ,

¿1 = (ъ ¿2 = (2.

Тогда $ (г1, г2, ¿1, ¿2) = $ (г1, г2, ¿1,ф (г1, г2, (1)) - вещественно-аналитическая функция, которая разлагается в ряд по переменным г1 ,г2,(1 = ¿1, который сходится в окрестности (0, 0)

f (¿1, ¿1, *2) = ^ ^ г1?,

1=0 Ь+к+2т=1

где мы переобозначили элемент в весовой степени (давая вес 2 по г2).

Выбирая |а| достаточно большим, будем раеематривать моменты N на сечениях Иа (т):

С (а, N)= /" гм¡(оа (т)) ¿т

дАа

/ \ Ь

/ \п /-\ К / \т

Т" Ъ ОТV (щ?") (щ?)

Докажем, что коэффициенты ЬЬ,к,т = 0 для к > 0. Пусть 10 - наименьшая весовая степень со свойством, что ЬЬ,к,т = 0 дая к > 0 и к0 - наибольшая степень по г1, для которой это

2

а

выполнено. Мы имеем, что С (а,М) = 0 для всех N и а, в частности, для ¿а с \а\ = 1 и Ь ^ Рассмотрим предел

Иш С (га, N)

-I ,+V1 + М2 ) 41 + М2 )

11ш '

дк 1=1о И+к+2т=1

X

X

и + Н а\2 )

к а

г1оСг = 11ш

/I 00

1_7 . и I 7„ I О^_

-1 + \а\ 7 дк 1=10 н+к+2ш=1

( V ( ( \

„.И-к^т^И^к!1о „И-к . .

и, й,тТ т г г й0аа х

1

^ + \а\7

1

1

^ + и7

1

1

^ + и7

-г— сСт

2 т

+о „

^Що Е Е ^ к,т

1_7 _ и I I 7 V

т»тнТкттсСт • о-(2И+2^+2т)аИа*х

1=1 о И+к+2т=1 дк

т

X

( \

1

+

И+й+т+т-т

„

11ш У" У Ьи,к,т /

Т»Тнтктт ¿Т-г10-1х

1=1 о И+к+2т=1 дк

ханак(^ 1 + \а\2^

, 1 ч г X/ Ьн,к,т

/1 + \а\М и+^+2т=го дк

И — к\ \2т

тмтнТкттсСта Т \а\ =0,

\ \

2 о

где дА определяется соотношением (10),

Вселим значение „играла ( г»^ *т, вы Разин т как дробко-линейн™ фунКци,о

дк

из соотношения (10), Будем иметь

2

11

— (т + £> А 2 11 2 11 4 11

4 21

Тогда

(т — ¿)

_ г 1

т 4Щ~1

4 с 11:

т

2

11

2

11

2

1

1

Подставим найденное значение для г в подынтрегральное выражение. Получим

k с —N+h+m k

rNThrkTm dr = I rN+h+mrk dr= l -^f- ) I -T-^ dr

дА дА ' dA

( 2 Cl J

( 1) J f г \

V-2cTi)

k r rN+h+m+k

11

дА

дА r--

V 2 Cij

(r- ¿)

n dk-1 ( к - 1)! r^ro drk-1

dr.

rN+h+m+k 1 jk-1

--dr = 2" г —-- lim -^-rrN+h+m+k =

2^^^ lim (N + ^ + m + к); rN+h+m+1 = ( к - 1)! т^то ( N + h + m + 1)!

1 (N + h + m + к)! / г ^ N+h+m+1

2" г-

( к - 1)! ( N + h + m + 1)! V2c11

! V2<W

Таким образом

f rNrhrkrm dr

дА

_ 1 (N + h + m + к)! +h+m+1

V 2cny (к - 1)! ( N + h + m + 1)! \2cny

( 1)k fi \N+h+m+k+1 2 ./N + h + m + к\

(-1) l^J 2"Ч к-1 J.

Закончим доказательство теоремы. Поскольку

, ah ar • —

|a|

h — k\ \2m N h-km 7 a Г |a|

^ bh,k,mJrNrhrkrmdr• " ^ =0,

h+k+2m=lo дА

то, подставляя в данное выражение найденное значение для интеграла, будем иметь

ь { uk f г \N+h+m+k+\ .[N + h + m + к\ ahrk |a|2m £ bhkm(-1) [2"{ к - 1 |a|2^° =

h+k+2m=l о V 11 7 V / |a|

Выбирая N = к0 - 1, получим следующее соотношение на коэффициенты bh,k,m

2 ko +h+m

2- (2 к0 + ! -Л11 V ко - 1

/ • \ 2 ko +h+m / 7 7 1 \

Е (-1)^ (¿М 2- (2ко +m - M bhk0,mah+mak0+m = 0.

„+2m = 7„ V И/ V 0 /

h+ko+2m=lo Подставляя a = e гв, мы получим

V^ ( 1)k0 f « Vk +h+m ~ ■ f2к0 + h + m - Л 7 M(h-k)) °

(-1) ^J 27ГЧ ко - 1 )bhk,me ( ) =°,

^ ( 1) \2cn) 2 ко - 1 lbh

h+ko+2m=lo

что означает, что Ьи,к0,т = 0 для Л, + к0 + 2т = 10. Таким образом, для к > 1 мы имеем Ьн, к,т = 0 для любой весовой степени I .

ресеченне области И с каждой комплексной прямой, проходящей через граничную точку 0, Следовательно, по теореме Гартогса о продолжении (теорема 1 из главы 3, §11, п, 32 из [10]) и использовании дробно-линейного преобразования (при котором граничная точка

перейдет в бесконечно удаленную, а прямые, проходящие через граничную точку, переходят в параллельные прямые) функция f будет голоморфно продолжаться во всю область И с С2, Данные рассуждения заканчивают доказательство теоремы в двумерном случае, □

3. Многомерный случай

Рассмотрим п - мерное комплексное проетранетво Сп, точки которого будем обозначать через т = ..., тп), х — (,..., 2п) и т. д. Напомним, что область И называется строго выпуклой, если функция р (т1,... ,тп), задающая границу дИ области И, т. е, И = {т \р (т) < 0 }, удовлетворяет условию

£

дд2р

р,з= ,0

дтрдт^

(т0) + £

д 2р

Р,3 = 1

ди)рди)^

(т0) 0 + £

д 2р

, =1

дтрди)^

К) & о > о

= о, т0 е дБ.

Пусть И - ограниченная строго выпуклая область в Сп (п > 1) с вещественно-аналитической границей дИ, т.е. И = {т \ р (т) < 0 }, где функция р (т1,..., тп) является вещественно-аналитической в некоторой окрестности замыкания области И. При этом д д

д гай р = ( ——,... — ] = 0 на дВ. Далее все индексы р,],г,з е {1,..., п}.

удт1 дтп/

Пусть для всех точек границы выполнены следующие условия: < , <

4

-2

д д д2 дтр дт^ дтгдт3 д д 2 дтг дт^ дт3 дтр

2

2

др др д2р дтг дтр дт3дт^ др др д2р дт3 дт^ дтг дтр

2

+ 4

др др д2р дт3 дтр дтгдт^ д д д2 дтг дт3 дтрдт^

(П)

0.

<

др др д2р др др д2р 2~------—— — 2-

дтр дт^ дт2

дтг дтр дтгдт^

2

д д д2 дтг дт^ дтгдтр

<

2 (дтг)

(^)

\дтр)

д2р

(12)

дтрдт^

2 д2р 2 др др д2р + дт2 дтг дтр дтг дтр

(^)

2 д*_р_ дтр,

0.

(13)

Обозначим также через £адо - семейство комплексных прямых, проходящих через точку т0, т0 е дИ.

Лемма 2. Если границы всех двумерных сечений области И удовлетворяют усло-п

Доказательство. В уравнение

р (т1,..., тп) = 0

подставим следующую параметризацию

т1 = + Р17] т2 = «2^ + Р2Г]

апС + Рп'П.

0

Получим двумерное сечение, определяемое векторами а = (а\,... ,ап) и / = (3ъ... ,/п)-Группа соотношений (11) - (13) будет найдена из того, что граница р (£,]) двумерного

сечения должна удовлетворять условию (2) в переменных £ и ] для любых векторов а

/

(Ц2|Р «Ч> - 2| («< (^Ц «.]])+ (| (С,]]))2 (С,]])=0. (14)

Найдем производные, входящие в уравнение (14), Будем иметь др др дг1 + др дг2 + + др дгп

дг1 дг2 дгп

др др др др

= а\—--+ а^---+ ... + а^-— = > —

дг1 дг2 дгп дг,

Г=1

др др дг1 др дг2 др дгп

д] дг1 д] дг2 д] дгп д]

= 3 др + 3 др + +3 др др 3

= 31~я--+ 32Ъ--+ ... + 3пЪ- = / , ъ—¡р.

дг1 дг2 дгп дгр

р=1 1

д2р ( д2р , д2р , , д2р \ ,

— = ан а1——---+ а^—---+ ... + а^—-— +

д^2 \ дг1 дг1 дг1дг2 дг1дгп)

д2 р д2 р д2

+ а2 I а1——---+ а^—---+ ... + а,п-—-— + ... +

\ дг2дг1 дг2дг2 дг2дгп/

д2 2 д2 р п 2

+ ап I а1——---+ а^-—---+ ... + а^-—-— = > -—-—ага3.

\ дгпдг1 дгпдг2 дгпдгп / дггдг3

, =1

д2р = 3 (3 д2р + 3 д2р + + 3 д2р \ +

ТГ2 = 3М ¡1 -я--+ 32Ъ-Б--+ ... + 3п д-т;- +

д ]2 \ дг1 дг1 дг1дг2 дг1дгп)

+ 32(31^ р + ¡2яд р + ... + 3пяд р ) + ... +

\ дг2дг1 дг2дг2 дг2дгп )

+ 3п (/1 -Чдт + /2 цЧ- + + /п тт^) = £ тЩ-т.

\ дгп дг1 дгп дг2 дгпдгп дгрдг3

р, =1

д2 р д2 р д2 р д2 р

д2 р д2 р д2 ям а1\31Ъ-б--+ 32Ъ-я--+ ... +3п"Б-о

д^д] \ дг1дг1 дг1дг2 дг1дг,

+

д2 д2 р 2 + аЛ ¡1 £ + ¡2 .Г + ... + 3пя £ + ... + \ дг2дг1 дг2дг2 дг2дгп)

д2 2 2 п д2

+ ап[ ¡1Ъ-Б--+ 32Ъ-я--+ ... + 3пЪ-а- = / . Я-Б—а*/3:1.

\ дгпдг1 дгпдг2 дгпдгп дг3дг.

=1

Тогда, учитывая вышеприведенные выкладки,

2 п

д р д д

У д^д^з.

д 1) дгр дгу р 3

р, =1

2 п

д

Е

д£ ) ^ дгг дг3

, =1

ага3.

Таким образом,

2

/ал = у др др д2р р р аа

\дг]) д^2 ^ дтрдт^ дтгдт3 р 3 г 3'

р, , , =1

п

д д д

р, , , 3=1

22

др др д 2р

д тр дтз дтгдт3

д д д 2р

дтг д тр дт3дт^

д д д2р

дрдр д2р у-л ир ир и р ^

' дт дт дт дт ■ Р 3 г 3

/др\ д^Р = ^ д^др_ д2р р

\д£ ) д'п2 дтг дт3 дтрдтр 3 Т 3'

р, , , 3=1

Подставим найденные значения производных в соотношение (14), Получим, что для любых векторов а и р должно быть выполнено условие

/ др др д2р _ 2 др_ др_ д2р + д_Р__д_Р_ д2р ^ р р а а =0

\дтрдт^ дтгдт3 дтг дтр дт3дт^ дтгдт3дтрдтр 3 г 3

р, , , =1

Далее приведем подобные в данной сумме, при этом все индексы , , , е {1, . . . , п}

п ^ 1 4

др др д2р др др д2р др др д2р 2—--—--—-—— — 2—--—--—-—— — 2-

ч дтр дт^ дтгдт3 дтг дтр дт3дт^ дтг дт^ дт3дтр

,

д2

+ 2Я о о Г ррр3ага3+ дтг дт3 дтрдт^)

(2 д2р - 2—др д2р + —д^д2р\р2аа =0 ^.\\дтр) дтгдт3 дтг дтр дт3дтр дтг дт3 дтр) р г 3

,

£ (

4 др др д2р 2 др др д2р 2 др др д2р

дтр дт^ дтг дт3 дтг дтр дт3 дт^ дт3 дтр дтг дт^

Г<3

-2 др др д2р - 2 др др д2р + 4 др др д2р ^ р р.аа +

дтгдт^дт3дтр дт3дт^дтгдтр дтгдт3дтрдтр 3 г 3 др др д2р др др д2р др др д2р

+ У^ ( 2 _ 2 дР дР д Р _ 2

\ дтр дт^ дт2 дтг дтр дтгдт^ дтг дт^ дтгдтр

=

+2 (дЕ.^2 д2Р р р.а2 + у Л (^2 д2Р - 2Л1.дР.

\дтг) дтрдт^ р 3 г \ \дтр) дтгдт3 дтг дтр дт3дтр

Г<3

-2 дР дР д2р + 2 д^д^сРЛ р2а а +

дт3 дтр дтгдтр дтг дт3 дтр;/ р г 3 2 2 2

22

+ у ((др_Уд^р. - 2 др др д2р +(др_V дЛ р2а2 = 0.

_.\\дтр/ дт2 дтгдтрдтгдтр \дтг) дтр, ) р г

=

а р

приведены подобные (все суммы состоят из различных слагаемых), то равенство нулю означает, что все выражения под знаками сумм равны нулю. Отметим, что вторая и третья

суммы в последнем соотношении получаются друг из друга переобозначением индексов,

□

Теорема 5. Пусть функция / € Ст (дБ) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из пересекающих И, тогда, функция / голом,орфно продолжается, в И.

Замечание 2. Если, точка г0 фиксируется заранее, то выполнение условий (11) - (13) нужно требовать только в точке г0.

Доказательство. Будем проводить двумерные сечения области И, проходящие через граничную точку г0 и точку 0, лежащую в области И. Функция, задающая грани-

предыдущему пункту будет голоморфно продолжаться во внутренности таких двумерных сечений и определять в них функцию Р. Поскольку голоморфное продолжение функции f в двумерные сечения дается двумерным интегралом Бохнера - Мартинелли Р, то во всех двумерных сечениях голоморфные продолжения совпадают. Эти двумерные сечения покрывают всю область И, Таким образом, функция Р определена во всей области И.

ным интегралом Бохнера - Мартинелли, зависящим вещественно-аналитически от векто-

а ¡

функцией. Таким образом, функция Р принадлежит классу С^ в окрестности точки 0.

Поскольку двумерное сечение определяется двумя комплексными прямыми, то функция Р, будучи голоморфной во всем двумерном сечении, будет также голоморфна на комплексных прямых, лежащих в этом сечении. Таким образом, функция Р будет голоморфна на пересечении области И с каждой комплексной прямой, проходящей через точку 0.

Итак, мы показали, что функция Р принадлежит классу С^ в окрестности точки 0 и голоморфна на пересечении области И с каждой комплексной прямой, проходящей через точку 0. Мы находимся в условиях теоремы Форелли (теорема 4.4.5 из [11]) и, применяя

Р

точки 0.

Р

области И с каждой комплексной прямой, проходящей через данную точку, то по теореме Гартогса о продолжении (теорема 1 из главы 3, §11, п. 32 из [10]) аналогично предыдущему пункту она голоморфна во всей области И, □

4. Примеры

В данном пункте мы рассмотрим примеры областей, для которых верна теорема 5. Пример 1. И = Вп - шар с центром в нуле радиуса Я, т. е. И = {( : |£| < Я},

Пример 2. Пусть (3 = 3 ( ), ] = 1,..., п, где Ьз (г), Ь (г) - линейные функции, тогда

Ь (г)

образ шара Вп при данном отображении (если оно не вырождено) является областью, для которой справедлива теорема 5.

Пример 3. Пусть функция р, задающая границу области И, имеет вид

р(г1,.. .,Гп) = |г112 + ... + |гп|2 - Я2 + |Ьз (г)|2

где Ьз (г) - линейные функции. Тогда для области И = {г | р (г) < 0 } выполнены условия теоремы 5.

Пример 4. Пусть функция р (г, г) зависит лпнейно от г и от г - произвольно. Тогда область И = {г | р (г) < 0 } удовлетворяет условиям теоремы 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аграновский М.Л. Максимальность инвариантных алгебр функций / М.Л. Аграновский, Р.Е. Вальский // Сиб. матем. журн. 1971. Т. 12. № 1. С. 3-12.

2. Е. Stout. The boundary values of holomorphic functions of several complex variables // Duke Math. J. 1977. V. 44. № 1. P. 105-108.

3. Айзенберг Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А. Айзенберг, А.П. Южаков. Новосибирск: Наука, 1979.

4. Аграновский М.Л. Граничные аналоги теоремы Гартогса / М.Л. Аграновский, A.M. Семенов // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32. № 1. С. 168-170.

5. Кытманов A.M. О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения / A.M. Кытманов, С.Г. Мысливец // Мат. заметки. 2008. Т. 83. № 4. С. 545-551.

6. М. Agranovskv. Holomorphic extension from the unit sphere in Cn into complex lines passing through a finite set // arxiv.org/abs/0910.3592.

7. L. Baracco. Holomorphic extension from the sphere to the ball // arxiv.org/abs/0911.2560.

8. Кытманов A.M. Семейства комплексных прямых минимальной размерности, достаточные для, голоморфного продолжения функций / A.M. Кытманов, С.Г. Мысливец, В.И. Кузоватов // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52. № 2. С. 326-339.

9. Кудрявцев Л.Д. Крат,кий курс математического анализа,. М.: Наука, 1989. 736 с.

10. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. Ч. 2. СПб.: Лань, 2004. 464 с.

11. Рудин У. Теория функций в единичном, шаре из Cn. М.: Мир, 1984. 456 с. Вячеслав Игоревич Кузоватов,

Сибирский федеральный университет, Институт математики, пр. Свободный, 79, 660041, г. Красноярск, Россия E-mail: [email protected]