Научная статья на тему 'О некоторых семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций'

О некоторых семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
96
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ВЕЩЕСТВЕННО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / ГОЛОМОРФНОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ / ФУНКЦИИ С ОДНОМЕРНЫМ СВОЙСТВОМ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ / REAL ANALYTIC FUNCTION / HOLOMORPHIC EXTENSION / FUNCTIONS WITH THE ONE DIMENSIONAL HOLOMORPHIC EXTENSION PROPERTY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кузоватов Вячеслав Игоревич

Данная работа содержит результат, связанный с голоморфным продолжением функций. Речь пойдет о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых. Рассматриваются вещественно-аналитические функции, заданные на границе ограниченной области~\(D\) в~\(\mathbb C^n\), \(n>1\), и обладающие одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых. Исследуется вопрос о существовании голоморфного продолжения таких функций в область~\(D\) в зависимости от вида области и расположения семейств комплексных прямых

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On some families of complex lines sufficient for holomorphic extension of functions

The present article is based on the result related to the holomorphic extension of functions. Functions with the one-dimensional holomorphic extension property along families of complex lines are discussed. Real analytic functions given on the boundary of a bounded domain~\(D\) in~\(\mathbb C^n\), \(n>1\) with the one~-~dimensional holomorphic extension property along families of complex lines are considered. The existence of holomorphic extensions of these functions to \(D\) is studied depending on the kind of the domain and location of the families of complex lines

Текст научной работы на тему «О некоторых семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 107-121.

УДК 517.55

О НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ, ДОСТАТОЧНЫХ ДЛЯ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

ФУНКЦИЙ

в.и. КУЗОВАТОВ

Аннотация. Данная работа содержит результат, связанный с голоморфным продолжением функций. Речь пойдет о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых. Рассматриваются вещественно-аналитические функции, заданные на границе ограниченной области И в Сп, п > 1, и обладающие одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль семейств комплексных прямых. Исследуется вопрос о существовании голоморфного продолжения таких функций в область И в зависимости от вида области и расположения семейств комплексных прямых.

Ключевые слова: вещественно-аналитическая функция, голоморфное продолжение, функции с одномерным свойством голоморфного продолжения

1. Предварительные результаты

Статья содержит некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций /, заданных на границе ограниченной области D С Cra, п > 1, в эту область. Речь пойдет о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых.

На комплексной плоскости C результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны. Поэтому наши результаты существенно многомерны.

Первый результат, относящийся к нашей теме, получен М.Л. Аграновским и P.E. Валь-ским в [1], изучившими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.

Стаутом в [2], использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено A.M. Кытмановым (см. [3]), применившим интеграл Бохнера - Мартинелли, Идея использования интегральных представлений (Бохнера - Мартинелли, Коши - Фантаппье) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения.

Пусть D - ограниченная область в Cra, п > 1, со связной гладкой границей dD класса С2, Сформулируем результат Е.Л. Стаута [2].

Рассмотрим комплексные прямые вида

I = 1С G CT : Ci = Zj + b3t, j = 1 ,...,n,t G C}, (1)

V.l. Kuzovatov, On some families of complex lines which are sufficient for a holomorphic

extension of functions.

© Кузоватов В.И. 2012.

Автор поддержан грантом АВЦП 2.1.1./4620.

Поступила 10 декабря 2011 г.

проходящие через точку г € Сп в направлении вектора Ь € СР"-1 (направление Ь определяется с точностью до умножения на комплексное число А = 0).

По теореме Сарда, для почти всех г € Сга и почти в еех Ь € СР™-1 пересечен не I П дБ представляет собой набор конечного числа кусочно-гладких кривых (за исключением вырожденного случая, когда дБ П I = 0),

Будем говорить, что функция / € С (дБ) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль комплексной прям,ой I (I П дБ = 0), если существует функция ^ со следующими свойствами:

1) /1 € С (Б П /);

2) /г = / на множестве дБ П /;

3) функция /г голоморфна во внутренних (относительно топологии I) точках множества Б П I.

Теорема 1 ([2]). Если функция / € С (дБ) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых вида (1), то f голоморфно продолжается в Б.

Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М.Л, Аграновским и А.М. Семеновым [4].

Рассмотрим открытое множество V С Б и семейство £у комплексных прямых, пересекающих это множество.

Теорема 2 ([4]). Если функция / € С (дБ) обладает свойством, одномерного голоморфного продолжения вдоль прямых из сем,ейства, £у для, некоторого открытого множества V С Б, тогда, функция, $ голоморфно продолжается в Б.

В дальнейшем рядом авторов (см., например, работы [5] - [8]) были рассмотрены различные семейства комплексных прямых (например, семейства комплексных прямых, пересекающие росток порождающего многообразия, проходящие через росток комплексной гиперповерхности и др.), достаточные для голоморфного продолжения функций из различных классов. Приведем здесь результат из работы [7], в которой утверждается, что семейство комплексных прямых, проходящих через граничную точку комплексного шара, является достаточным для голоморфного продолжения вещественно-аналитических функций, заданных на границе шара.

Пусть Вга - шар в Сга, д Вп - сфер а, € 5Вга и С обозначает класс вещественно-аналитических функций.

Теорема 3 ([7]). Пусть функция / € Ст (5Бга) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, проходящих через точку г0. Тогда, функция / голоморфно продолжа,ется, в Вга.

2. Двумерный случай

Рассмотрим двумерное комплексное пространство С2, точки которого будем обозначать через т = (т1,т2), г = (г1,г2) и т. д. Пусть Б - ограниченная строго выпуклая область в С2 с вещественно-аналитической границей дБ, т.е. Б = {и> | р (т) < 0 }, где функция р является вещественно-аналитической в некоторой окрестности замыкания

области Б. При этом дгайр = ( —— , —— ) = 0 на дБ. Пусть для всех точек границы

\ дт1 дт2 )

выполнено условие

е& о)2 Й о -2& о & о А м+ей<ш))2 б е-'=о. ®

Обозначим также через £т - семейство комплексных прямых, проходящих через точку € дБ.

Теорема 4. Пусть функция / € Сш (дИ) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из пересекающих И, тогда, функция / голоморфно продолжается, в Б.

Замечание 1. Если точка т0 фиксируется заранее, то выполнение условия (2) нужно требовать только в точке т0.

Доказательство. Сделаем сдвиг, чтобы точка и>о € дИ перешла в 0 и выполним ортогональное преобразование

т = Вг,

задаваемое матрицей

( др

В

(0)

г(0)^

дт2 дги1

9Р (0) г^- (0)

V дт1

дгио

Данное преобразование является невырожденным, поскольку |5| = 0, При таком преобразовании сохраняется вещественно-аналптичность функции р (Вг) = р(г). В покомпонентном виде это преобразование будет иметь следующий вид,

^ (0) + г-^ (0) %2 = дт2 ои)1

-— (0) ^ + г^— (0) Х2 = дт1 (пи2

Представим х1 = х1 + гх2, х2 = х3 + гх4.

Лемма 1. При комплексно-линейном преобразовании координат т = Вх условие (2) на, функцию р (т1,т2), рассмотренное в граничной точке т0 = 0, запишется в виде

¿Ъ(0) = 0. §(0) = £(0)

дх2

(3)

где неявная, функция х4 = р (х1,х2,х3), определенная уравнением р (х1,х2,х3,х4) = 0, удовлетворяет условиям р (0) = 0, —— (0) = 0, к = 1, 3.

ОХ к

Доказательство. Найдем связь между частными производными функций р (г) и р (т), а также условия па функцию р (г) , Будем иметь

др др дт1 + др ди}1 + др д1^2 + др ди}2 др (0) др др (0) др

дх1 д,ш1 дх1 дги1 дх1 дт2 дх1 дги2 дх1 дт2 дт1 дт1

дт2

др др дт1 ^ др дио1 ^ др дчи2 ^ др дио2 . др др ^ . др др

дг2 д,ш1 дг2 дги1 дг2 дт2 дг2 дги2 дг2 дги1 дт1 дги2 Из приведенных выше выкладок видно, что

I <0) = 0.

а значение

4 »

г е

др (0) ^ (0) + ^ (0) (0)

дги1 дт1

дги2 дт2

> = г (

др

(0)

+

др

дт2

(0)

1

= 0

2

является чисто мнимым.

Рассмотрим частную производную функции р (г) второго порядка.

д2 р др д г22

дт2 д

дт1

д^2 д р дт1 д

дт

(0) (0) (0) (0) (0)

д2р дт1 д2р дт2

дт1 дт1 дх1 д2р дт1

+

+

дт1 дт2 дх1 д2р дт2

дт2дт1 дх1 дт2дт2 дг

др (0) д2р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д

(0)

дт"2 дт1 д2 р

дт2 д р

дт2 у ' дт2 дт1

2 д 2р

(0)

д2

дт1 дт2

др_ (0) т

дт1 дт22)

- (0) ^ (0) д2р

дт"2 дт1 дт2 дт1дт2

+

<0))

д2р дт2'

Учитывая выполненный сдвиг координат, при котором граничная точка перешла в ноль, и условие (2) па границу области И, последнее равенство означает, что

^ (0)

дг2 (0)

0.

В дальнейшем для удобства записи вместо функции р (г), задающей границу области И, р ( )

р( 22) = 0

с условием

& (0)

8 (0)

0 0,

(4)

(5)

д

а также при условии, что значение —— (0) = 0 является чисто мнимым,

дг2

Частные производные по комплексным переменным можно выразить через производные по вещественным переменным следующим образом:

др 1 / др др — г

дг1 2 \дх1 дх2

д р 1 д

— г

дг2 2 \дхз дх4/

Таким образом, из соотношений на связь производных по комплексным и вещественным переменным, а также из системы условий (5) следует, что

др (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0.

(6)

дх1 ' дх2 ' дх3

Далее запишем второе условие в системе (5) в вещественных переменных. Будем иметь

д

д х1 д д х2

д д ~дг~1 + д*1 р

д

д

дгл дгл

1

2

2

р

2 д

д х12 д х1 х1

+

д2р д 1 д 1

+

) ( дг1 + дгх) д2 д2 д2

С др + др_

\ д г1 дг1

)

д2 д2 р

+

д 12 д 1 д 1

д 12

д 2р

д 12 д 12 д 1 д 1

+ 2-

2 д

д х22

=

д2р д х1 д х2

д х2 х2

__ ( д^р__

\д^2 д г1дг1 д д р

_д___д_

д 1 - д 1 д2 д2

д

дг1

+ ^

д 1 д 1 д 12

2

д д 1 д2

д2 2

д 1 д 1 12 д 12

д х1 д х2

. / д2 р д2р г\Щ

А _д_ д 1 д 1

+

2

д р д 1 д2р

д р д 1

дг1дг1 дг1дг1 дг2

\ - -(д^р _ ) =г\д- дг2) .

Таким образом, учитывая второе условие в системе (5) и принимая во внимание вия на функцию р (х1,х2,х3,х4) будут иметь вид

д2р (0) = Й (0), ^ (0) = 0.

(7)

д х12 х22 д х1 д х2

Ввиду перехода к вещественным координатам функция, задающая границу области И, принимает вид

р (х1,х2,х3, х4) = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Поскольку градиент функции р(х1,... ,х4) отличен от нуля, то ввиду соотношений (6)

д

—— (0) = 0, Тогда по теореме о неявной функции (глава 2, п, 26,1 из |9|) в некоторой

д х4

0

х4 = р (хьх2,хэ), (8)

где

др др ( . , др

дхк

дх\

(х1,х2 ,х3,р (х1,х2 ,х3)^/-др(х1,х2,хз ,р (х1, х2, х3)^ , к=1, 3.

При этом функция р удовлетворяет условиям р (0) = 0,

др дхк

(0) = 0, к = 1, 3. Далее,

р ( х1, х2, х3)

" д2р _ " "

рассмотрим производную ——-—, ] = 1, 3, Будем иметь

дхkдхj

д2

д д дхjдхк

(х1,х2,хз ,р (хьх2,хз)^

д2 р

+

д2р др _ д2р дхкдх4 др

др дх1:

дхкдхо дхкдх4 дхj дхкдх

д х4 д2

д д дхдх4

(х1,х2,хз, р (х1,х2,хз)^

+

д2р др д2р дх4 др

д2р

дх4дхз дх4дх4 дх^ дх4дх^ др дх^

х4

Таким образом,

д 2 у

дхидхо

(

д2р др д2р др\ др

дхкдх^ дх4 дхкдх4 дх

j) дх4 \

д2р др д2р др\ др

дх4дхдх4

дх\ дху

)

дхь

др дхл

при этом

д

дх2к

(

д2 р др д2р др\ др

^— (

/ дх4 \

д2р др д2р др\ др

дх1 дх4 дхкдх4 дхи) дх4 \дх4дхи дх4 дх\ дхи) дх^

)

др дх4

Учитывая условия (6) и (7), нетрудно видеть, что

д2^ дх1дх2

(0) = 0,

^ (0) = I2! (0). □

дх!

дх2

Продолжим доказательство теоремы, В дальнейшем мы будем рассматривать сечения Иа (т) облает и И

Оа (т)

(

Т

1 + |а|2 '1 + И2

)

Уте Ал

проходящие в направлении вектора (а, 1) € С2. Область Аа изменения параметра т есть область на комплексной плоскости с вещественно-аналитической границей (в окрестности граничной точки 0),

Раскладывая в выражении (8) функцию ф (х\,х2,х3) в окрестности граничной точки 0 в ряд Тейлора, ввиду условий на функцию <р будем иметь

х4

Т (Х1,Х2,Х3) + О , |ж'| ^ 0, х' = (Х1,Х2,Х33)

(9)

где Т (х1,х2,х3) = сцх2 + с22х2 + с33х2 + с12х1х2 + с13х1х3 + с23х2х3 - положительно определенная (ввиду строго выпуклости функции р) квадратичная форма. При этом для коэффициентов формы Т (х\, х2, х3) ввиду условий (3) на функцию <р (х1,х2,х3) справедливы соотношения

С12 = 0, Си = С22 ■

Выделим вещественную и мнимую часть в переменных г1,г2 и запишем выражения для Х1 ,Х2,Х3,Х4.

Пусть т = и + т, а = а1 + га2. Тогда

т

(и + гь) (а1 + га2) (иа1 — ьа2) + г (иа2 + уа1)

1 + |а|2 т

1 + |а|2

и + №

1 + |аГ

1 + |а|2 1 + |а|2'

Таким образом,

х1 =

иа1 — уа2

1 + м

2

Х2 =

иа2 + уа1 1 + |а|2 :

и

Хз =

1 + И2

Х4

1 + И2

3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а

V

Запишем выражение для квадратичной формы Т (х\,х2,х3).

Т (х\,х2,хз) = спх2 + спх2 + Сззх2 + с 1зххз + С2зх2хз =

с11 (и2 а2 — 2иьа1а2 + ь2а2) + с11 (и2а2 + 2иьа1а2 + ^2а1) +

2\2

(1 + \а\'

+ Сззи2 + С13 (и2а1 — иьа^ + С23 (и2а2 + иг;а^

(1 + \а\

■х

X

V2 (с11а2 + Спа^ + V (—2с^иа 1а2 + 2с^иа 1а2 — с13иа2 + с23иа1) +

2 2 2 2 2 2 2 + (сИи аг + спи а2 + с33и + С1зи а1 + С23и а2)

! (сца2 + сна1) + г» (—С13иа2 + С23иа 1) +

2\2

1 + \ \2

X

X

+ (Сци2а21 + спи2а2 + С33 и2 + С13и2а1 + С23и2а2)

Подставим найденные значения для х4 и Т (х1,х2,х3) в уравнение (9) и приведем подобные, Получим

V2 ( сиа2 + сца2^ + г» (—С13иа2 + С23иа 1 — 1 — |а|2) +

+ (с11и2а2 + с11и2а2 + с33и2 + с13и2а1 + с23и2а2) + о (\а\^ = 0, \а\ ^

\ а\ а а \ а\ = 1

V2 (с11а212 + спа2^2) + г» (—с13иа21 + с23иа11 — 1 — \а\2 + + (сци2а2^2 + Сци2а2^2 + С33и2 + С13и2а11 + С23 и2а2^) + о (Щ2) =0,

Таким образом, деля на Ь2 и переходя в данном выражении к пределу при Ь ^ получим

V2 (с11а2 + с11а1) — V \а\2 + с11и2а2 + с11и2а2 = 0, с11у2 \а\2 — V \а\2 + с11и2 \а\2 = 0, с11ь2 — V + с11и2 = 0. Запишем данное равенство в комплексной форме. Получим

си ( V2 —— + и2 ) 11 11

(

2 2

2

+

11

4с2^ 4 с2

+ и2 = 0,

11

и2 + —

V 2 Си) \2 Си)

2 (—У■

\2 си)

(10)

Таким образом, нами показано, что областью А изменения параметра т в предель-

ном случае, когда \а\ ^ является круг с центром в точке т0

1

2

и радиу-

11

са го

2

-. Коэффициент с11 > 0 ввиду положительной определенности квадратичной

11

Т ( х1, х2, х3) дА

1

2

1

0

1

1

1

2

Следует отметить, что касательной к границе области И, проведенной в граничной точке 0, является прямая 1т г2 = 0. Нетрудно видеть, что, когда |а| ^ сечения Иа (т) становятся близки к касательным к границе области И в граничной точке 0, поскольку

V

1т х2 =-2 ^ 0, когда |а| ^

1 + |а|

Более того, при |а| ^ сечения Иа (т) лежат в окрестности точки г0 = 0, А именно, если г € Иа (т)

к - *о Г

1 + И2

2

+

1 + И2

М2|а|2 + = ^ 0,

(1 + |а|2)2 (1 + |а|2)2 1 + М2

когда |а| ^

Используя вещественно-аналнтичность функции р (г1, г2,г1, ¿2), разрешим уравнение (4) относительно переменной ¿2, Поскольку р (г, г) - вещественно-аналитическая функция, то она разлагается в ряд в окрестности точки (0, 0) € С4 = С2 х С2. Перейдем от координат ¿ к переменным т. е. сделаем замену

¿1 = Съ ¿2 = (2.

Получим функцию р (г, () - аналитическую от г и ( с условиями

{

Р (?,() =0,

с = ¿.

Поскольку градиент функции р (г1, г2, £2) отличен от нуля, то производная по одной из

неременных отлична от нуля, например, производная ^ = 0. Тогда, применяя теорему о

д(2

неявной функции для голоморфных функций (теорема 3 из главы 1, §4 из [10]), выразим переменную (2 через остальные переменные:

(2 = ф ^ь^СО ,

¿1 = (ъ ¿2 = (2.

Тогда $ (г1, г2, ¿1, ¿2) = $ (г1, г2, ¿1,ф (г1, г2, (1)) - вещественно-аналитическая функция, которая разлагается в ряд по переменным г1 ,г2,(1 = ¿1, который сходится в окрестности (0, 0)

f (¿1, ¿1, *2) = ^ ^ г1?,

1=0 Ь+к+2т=1

где мы переобозначили элемент в весовой степени (давая вес 2 по г2).

Выбирая |а| достаточно большим, будем раеематривать моменты N на сечениях Иа (т):

С (а, N)= /" гм¡(оа (т)) ¿т

дАа

/ \ Ь

/ \п /-\ К / \т

Т" Ъ ОТV (щ?") (щ?)

Докажем, что коэффициенты ЬЬ,к,т = 0 для к > 0. Пусть 10 - наименьшая весовая степень со свойством, что ЬЬ,к,т = 0 дая к > 0 и к0 - наибольшая степень по г1, для которой это

2

а

выполнено. Мы имеем, что С (а,М) = 0 для всех N и а, в частности, для ¿а с \а\ = 1 и Ь ^ Рассмотрим предел

Иш С (га, N)

-I ,+V1 + М2 ) 41 + М2 )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

11ш '

дк 1=1о И+к+2т=1

X

X

и + Н а\2 )

к а

г1оСг = 11ш

/I 00

1_7 . и I 7„ I О^_

-1 + \а\ 7 дк 1=10 н+к+2ш=1

( V ( ( \

„.И-к^т^И^к!1о „И-к . .

и, й,тТ т г г й0аа х

1

^ + \а\7

1

1

^ + и7

1

1

^ + и7

-г— сСт

2 т

+о „

^Що Е Е ^ к,т

1_7 _ и I I 7 V

т»тнТкттсСт • о-(2И+2^+2т)аИа*х

1=1 о И+к+2т=1 дк

т

X

( \

1

+

И+й+т+т-т

11ш У" У Ьи,к,т /

Т»Тнтктт ¿Т-г10-1х

1=1 о И+к+2т=1 дк

ханак(^ 1 + \а\2^

, 1 ч г X/ Ьн,к,т

/1 + \а\М и+^+2т=го дк

И — к\ \2т

тмтнТкттсСта Т \а\ =0,

\ \

2 о

где дА определяется соотношением (10),

Вселим значение „играла ( г»^ *т, вы Разин т как дробко-линейн™ фунКци,о

дк

из соотношения (10), Будем иметь

2

11

— (т + £> А 2 11 2 11 4 11

4 21

Тогда

(т — ¿)

_ г 1

т 4Щ~1

4 с 11:

т

2

11

2

11

2

1

1

Подставим найденное значение для г в подынтрегральное выражение. Получим

k с —N+h+m k

rNThrkTm dr = I rN+h+mrk dr= l -^f- ) I -T-^ dr

дА дА ' dA

( 2 Cl J

( 1) J f г \

V-2cTi)

k r rN+h+m+k

11

дА

дА r--

V 2 Cij

(r- ¿)

n dk-1 ( к - 1)! r^ro drk-1

dr.

rN+h+m+k 1 jk-1

--dr = 2" г —-- lim -^-rrN+h+m+k =

2^^^ lim (N + ^ + m + к); rN+h+m+1 = ( к - 1)! т^то ( N + h + m + 1)!

1 (N + h + m + к)! / г ^ N+h+m+1

2" г-

( к - 1)! ( N + h + m + 1)! V2c11

! V2<W

Таким образом

f rNrhrkrm dr

дА

_ 1 (N + h + m + к)! +h+m+1

V 2cny (к - 1)! ( N + h + m + 1)! \2cny

( 1)k fi \N+h+m+k+1 2 ./N + h + m + к\

(-1) l^J 2"Ч к-1 J.

Закончим доказательство теоремы. Поскольку

, ah ar • —

|a|

h — k\ \2m N h-km 7 a Г |a|

^ bh,k,mJrNrhrkrmdr• " ^ =0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h+k+2m=lo дА

то, подставляя в данное выражение найденное значение для интеграла, будем иметь

ь { uk f г \N+h+m+k+\ .[N + h + m + к\ ahrk |a|2m £ bhkm(-1) [2"{ к - 1 |a|2^° =

h+k+2m=l о V 11 7 V / |a|

Выбирая N = к0 - 1, получим следующее соотношение на коэффициенты bh,k,m

2 ko +h+m

2- (2 к0 + ! -Л11 V ко - 1

/ • \ 2 ko +h+m / 7 7 1 \

Е (-1)^ (¿М 2- (2ко +m - M bhk0,mah+mak0+m = 0.

„+2m = 7„ V И/ V 0 /

h+ko+2m=lo Подставляя a = e гв, мы получим

V^ ( 1)k0 f « Vk +h+m ~ ■ f2к0 + h + m - Л 7 M(h-k)) °

(-1) ^J 27ГЧ ко - 1 )bhk,me ( ) =°,

^ ( 1) \2cn) 2 ко - 1 lbh

h+ko+2m=lo

что означает, что Ьи,к0,т = 0 для Л, + к0 + 2т = 10. Таким образом, для к > 1 мы имеем Ьн, к,т = 0 для любой весовой степени I .

ресеченне области И с каждой комплексной прямой, проходящей через граничную точку 0, Следовательно, по теореме Гартогса о продолжении (теорема 1 из главы 3, §11, п, 32 из [10]) и использовании дробно-линейного преобразования (при котором граничная точка

перейдет в бесконечно удаленную, а прямые, проходящие через граничную точку, переходят в параллельные прямые) функция f будет голоморфно продолжаться во всю область И с С2, Данные рассуждения заканчивают доказательство теоремы в двумерном случае, □

3. Многомерный случай

Рассмотрим п - мерное комплексное проетранетво Сп, точки которого будем обозначать через т = ..., тп), х — (,..., 2п) и т. д. Напомним, что область И называется строго выпуклой, если функция р (т1,... ,тп), задающая границу дИ области И, т. е, И = {т \р (т) < 0 }, удовлетворяет условию

£

дд2р

р,з= ,0

дтрдт^

(т0) + £

д 2р

Р,3 = 1

ди)рди)^

(т0) 0 + £

д 2р

, =1

дтрди)^

К) & о > о

= о, т0 е дБ.

Пусть И - ограниченная строго выпуклая область в Сп (п > 1) с вещественно-аналитической границей дИ, т.е. И = {т \ р (т) < 0 }, где функция р (т1,..., тп) является вещественно-аналитической в некоторой окрестности замыкания области И. При этом д д

д гай р = ( ——,... — ] = 0 на дВ. Далее все индексы р,],г,з е {1,..., п}.

удт1 дтп/

Пусть для всех точек границы выполнены следующие условия: < , <

4

-2

д д д2 дтр дт^ дтгдт3 д д 2 дтг дт^ дт3 дтр

2

2

др др д2р дтг дтр дт3дт^ др др д2р дт3 дт^ дтг дтр

2

+ 4

др др д2р дт3 дтр дтгдт^ д д д2 дтг дт3 дтрдт^

(П)

0.

<

др др д2р др др д2р 2~------—— — 2-

дтр дт^ дт2

дтг дтр дтгдт^

2

д д д2 дтг дт^ дтгдтр

<

2 (дтг)

(^)

\дтр)

д2р

(12)

дтрдт^

2 д2р 2 др др д2р + дт2 дтг дтр дтг дтр

(^)

2 д*_р_ дтр,

0.

(13)

Обозначим также через £адо - семейство комплексных прямых, проходящих через точку т0, т0 е дИ.

Лемма 2. Если границы всех двумерных сечений области И удовлетворяют усло-п

Доказательство. В уравнение

р (т1,..., тп) = 0

подставим следующую параметризацию

т1 = + Р17] т2 = «2^ + Р2Г]

апС + Рп'П.

0

Получим двумерное сечение, определяемое векторами а = (а\,... ,ап) и / = (3ъ... ,/п)-Группа соотношений (11) - (13) будет найдена из того, что граница р (£,]) двумерного

сечения должна удовлетворять условию (2) в переменных £ и ] для любых векторов а

/

(Ц2|Р «Ч> - 2| («< (^Ц «.]])+ (| (С,]]))2 (С,]])=0. (14)

Найдем производные, входящие в уравнение (14), Будем иметь др др дг1 + др дг2 + + др дгп

дг1 дг2 дгп

др др др др

= а\—--+ а^---+ ... + а^-— = > —

дг1 дг2 дгп дг,

Г=1

др др дг1 др дг2 др дгп

д] дг1 д] дг2 д] дгп д]

= 3 др + 3 др + +3 др др 3

= 31~я--+ 32Ъ--+ ... + 3пЪ- = / , ъ—¡р.

дг1 дг2 дгп дгр

р=1 1

д2р ( д2р , д2р , , д2р \ ,

— = ан а1——---+ а^—---+ ... + а^—-— +

д^2 \ дг1 дг1 дг1дг2 дг1дгп)

д2 р д2 р д2

+ а2 I а1——---+ а^—---+ ... + а,п-—-— + ... +

\ дг2дг1 дг2дг2 дг2дгп/

д2 2 д2 р п 2

+ ап I а1——---+ а^-—---+ ... + а^-—-— = > -—-—ага3.

\ дгпдг1 дгпдг2 дгпдгп / дггдг3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

, =1

д2р = 3 (3 д2р + 3 д2р + + 3 д2р \ +

ТГ2 = 3М ¡1 -я--+ 32Ъ-Б--+ ... + 3п д-т;- +

д ]2 \ дг1 дг1 дг1дг2 дг1дгп)

+ 32(31^ р + ¡2яд р + ... + 3пяд р ) + ... +

\ дг2дг1 дг2дг2 дг2дгп )

+ 3п (/1 -Чдт + /2 цЧ- + + /п тт^) = £ тЩ-т.

\ дгп дг1 дгп дг2 дгпдгп дгрдг3

р, =1

д2 р д2 р д2 р д2 р

д2 р д2 р д2 ям а1\31Ъ-б--+ 32Ъ-я--+ ... +3п"Б-о

д^д] \ дг1дг1 дг1дг2 дг1дг,

+

д2 д2 р 2 + аЛ ¡1 £ + ¡2 .Г + ... + 3пя £ + ... + \ дг2дг1 дг2дг2 дг2дгп)

д2 2 2 п д2

+ ап[ ¡1Ъ-Б--+ 32Ъ-я--+ ... + 3пЪ-а- = / . Я-Б—а*/3:1.

\ дгпдг1 дгпдг2 дгпдгп дг3дг.

=1

Тогда, учитывая вышеприведенные выкладки,

2 п

д р д д

У д^д^з.

д 1) дгр дгу р 3

р, =1

2 п

д

Е

д£ ) ^ дгг дг3

, =1

ага3.

Таким образом,

2

/ал = у др др д2р р р аа

\дг]) д^2 ^ дтрдт^ дтгдт3 р 3 г 3'

р, , , =1

п

д д д

р, , , 3=1

22

др др д 2р

д тр дтз дтгдт3

д д д 2р

дтг д тр дт3дт^

д д д2р

дрдр д2р у-л ир ир и р ^

' дт дт дт дт ■ Р 3 г 3

/др\ д^Р = ^ д^др_ д2р р

\д£ ) д'п2 дтг дт3 дтрдтр 3 Т 3'

р, , , 3=1

Подставим найденные значения производных в соотношение (14), Получим, что для любых векторов а и р должно быть выполнено условие

/ др др д2р _ 2 др_ др_ д2р + д_Р__д_Р_ д2р ^ р р а а =0

\дтрдт^ дтгдт3 дтг дтр дт3дт^ дтгдт3дтрдтр 3 г 3

р, , , =1

Далее приведем подобные в данной сумме, при этом все индексы , , , е {1, . . . , п}

п ^ 1 4

др др д2р др др д2р др др д2р 2—--—--—-—— — 2—--—--—-—— — 2-

ч дтр дт^ дтгдт3 дтг дтр дт3дт^ дтг дт^ дт3дтр

,

д2

+ 2Я о о Г ррр3ага3+ дтг дт3 дтрдт^)

(2 д2р - 2—др д2р + —д^д2р\р2аа =0 ^.\\дтр) дтгдт3 дтг дтр дт3дтр дтг дт3 дтр) р г 3

,

£ (

4 др др д2р 2 др др д2р 2 др др д2р

дтр дт^ дтг дт3 дтг дтр дт3 дт^ дт3 дтр дтг дт^

Г<3

-2 др др д2р - 2 др др д2р + 4 др др д2р ^ р р.аа +

дтгдт^дт3дтр дт3дт^дтгдтр дтгдт3дтрдтр 3 г 3 др др д2р др др д2р др др д2р

+ У^ ( 2 _ 2 дР дР д Р _ 2

\ дтр дт^ дт2 дтг дтр дтгдт^ дтг дт^ дтгдтр

=

+2 (дЕ.^2 д2Р р р.а2 + у Л (^2 д2Р - 2Л1.дР.

\дтг) дтрдт^ р 3 г \ \дтр) дтгдт3 дтг дтр дт3дтр

Г<3

-2 дР дР д2р + 2 д^д^сРЛ р2а а +

дт3 дтр дтгдтр дтг дт3 дтр;/ р г 3 2 2 2

22

+ у ((др_Уд^р. - 2 др др д2р +(др_V дЛ р2а2 = 0.

_.\\дтр/ дт2 дтгдтрдтгдтр \дтг) дтр, ) р г

=

а р

приведены подобные (все суммы состоят из различных слагаемых), то равенство нулю означает, что все выражения под знаками сумм равны нулю. Отметим, что вторая и третья

суммы в последнем соотношении получаются друг из друга переобозначением индексов,

Теорема 5. Пусть функция / € Ст (дБ) обладает одномерным свойством, голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из пересекающих И, тогда, функция / голом,орфно продолжается, в И.

Замечание 2. Если, точка г0 фиксируется заранее, то выполнение условий (11) - (13) нужно требовать только в точке г0.

Доказательство. Будем проводить двумерные сечения области И, проходящие через граничную точку г0 и точку 0, лежащую в области И. Функция, задающая грани-

предыдущему пункту будет голоморфно продолжаться во внутренности таких двумерных сечений и определять в них функцию Р. Поскольку голоморфное продолжение функции f в двумерные сечения дается двумерным интегралом Бохнера - Мартинелли Р, то во всех двумерных сечениях голоморфные продолжения совпадают. Эти двумерные сечения покрывают всю область И, Таким образом, функция Р определена во всей области И.

ным интегралом Бохнера - Мартинелли, зависящим вещественно-аналитически от векто-

а ¡

функцией. Таким образом, функция Р принадлежит классу С^ в окрестности точки 0.

Поскольку двумерное сечение определяется двумя комплексными прямыми, то функция Р, будучи голоморфной во всем двумерном сечении, будет также голоморфна на комплексных прямых, лежащих в этом сечении. Таким образом, функция Р будет голоморфна на пересечении области И с каждой комплексной прямой, проходящей через точку 0.

Итак, мы показали, что функция Р принадлежит классу С^ в окрестности точки 0 и голоморфна на пересечении области И с каждой комплексной прямой, проходящей через точку 0. Мы находимся в условиях теоремы Форелли (теорема 4.4.5 из [11]) и, применяя

Р

точки 0.

Р

области И с каждой комплексной прямой, проходящей через данную точку, то по теореме Гартогса о продолжении (теорема 1 из главы 3, §11, п. 32 из [10]) аналогично предыдущему пункту она голоморфна во всей области И, □

4. Примеры

В данном пункте мы рассмотрим примеры областей, для которых верна теорема 5. Пример 1. И = Вп - шар с центром в нуле радиуса Я, т. е. И = {( : |£| < Я},

Пример 2. Пусть (3 = 3 ( ), ] = 1,..., п, где Ьз (г), Ь (г) - линейные функции, тогда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь (г)

образ шара Вп при данном отображении (если оно не вырождено) является областью, для которой справедлива теорема 5.

Пример 3. Пусть функция р, задающая границу области И, имеет вид

р(г1,.. .,Гп) = |г112 + ... + |гп|2 - Я2 + |Ьз (г)|2

где Ьз (г) - линейные функции. Тогда для области И = {г | р (г) < 0 } выполнены условия теоремы 5.

Пример 4. Пусть функция р (г, г) зависит лпнейно от г и от г - произвольно. Тогда область И = {г | р (г) < 0 } удовлетворяет условиям теоремы 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аграновский М.Л. Максимальность инвариантных алгебр функций / М.Л. Аграновский, Р.Е. Вальский // Сиб. матем. журн. 1971. Т. 12. № 1. С. 3-12.

2. Е. Stout. The boundary values of holomorphic functions of several complex variables // Duke Math. J. 1977. V. 44. № 1. P. 105-108.

3. Айзенберг Л.А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л.А. Айзенберг, А.П. Южаков. Новосибирск: Наука, 1979.

4. Аграновский М.Л. Граничные аналоги теоремы Гартогса / М.Л. Аграновский, A.M. Семенов // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32. № 1. С. 168-170.

5. Кытманов A.M. О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения / A.M. Кытманов, С.Г. Мысливец // Мат. заметки. 2008. Т. 83. № 4. С. 545-551.

6. М. Agranovskv. Holomorphic extension from the unit sphere in Cn into complex lines passing through a finite set // arxiv.org/abs/0910.3592.

7. L. Baracco. Holomorphic extension from the sphere to the ball // arxiv.org/abs/0911.2560.

8. Кытманов A.M. Семейства комплексных прямых минимальной размерности, достаточные для, голоморфного продолжения функций / A.M. Кытманов, С.Г. Мысливец, В.И. Кузоватов // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52. № 2. С. 326-339.

9. Кудрявцев Л.Д. Крат,кий курс математического анализа,. М.: Наука, 1989. 736 с.

10. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных. Ч. 2. СПб.: Лань, 2004. 464 с.

11. Рудин У. Теория функций в единичном, шаре из Cn. М.: Мир, 1984. 456 с. Вячеслав Игоревич Кузоватов,

Сибирский федеральный университет, Институт математики, пр. Свободный, 79, 660041, г. Красноярск, Россия E-mail: kuzovatov@yandex.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.