ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ, ДОСТАТОЧНЫХ ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 3 (2020). С. 45-50.

УДК 517.55

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ,

ДОСТАТОЧНЫХ ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

A.M. КЫТМАНОВ, С.Г. МЫСЛИВЕЦ

Аннотация. Задача о голоморфном продолжении функций, заданных на границе области, в эту область является актуальной в многомерном комплексном анализе. Она имеет длинную историю, начиная с трудов Пуанкаре и Гартогса. В данной статье рассматриваются непрерывные функции, заданные на границе ограниченной области D в Cn, п > 1, и обладающие обобщенным граничным свойством Морера вдоль семейства комплексных, пересекающих росток вещественно аналитического многообразия коразмерности 2, лежащего вне границы области. Свойство Морера заключается в равенстве нулю интеграла от данной функции по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются в область D. Для функций одного комплексного переменного свойство Морера, очевидно, не влечет голоморфного продолжения. Поэтому данную задачу нужно рассматривать лишь в многомерном случае (п > 1).

Ключевые слова: голоморфное продолжение, граничное условие Морера, ядро Бохнера-Мартинелли

Mathematics Subject Classification: 34А10, 32А26, 32D15

1. Введение

Статья содержит некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций, непрерывных на границе ограниченной области, в эту область. Речь пойдет о функциях, удовлетворяющих граничному условию Морера. Оно заключается в равенстве нулю интегралов от данной функции по пересечению границы области с коплекеными прямыми или комплексными плоскостями. Е. Гринберг [1] изучил функции со свойством Морера в шаре (фактически этот результат содержался еще в статье М.Л. Аграновского и P.E. Вальского [2]). И. Глобевник и Е.Л. Стаут [3] получили граничную теорему Морера для произвольной ограниченной области с дважды гладкой границей. Локальный вариант теоремы Морера рассмотрен И. Глобевником [4], Д. Говекар-Лебо [5]. В работе С.Г. Мыс. innen. [6] рассмотрены функции со свойством Морера вдоль комплексных кривых, в работах авторов [7, 8, 9] приведены некоторые семейства комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций.

A.M. Kytmanov, S.G. Myslivets, On a family of complex curves sufficient for existence of

holomorphic continuation of continuous functions on boundary of domain.

© Кытманов A.M., Мысливец С.Г. 2020.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-51-41011 Узбт.

Поступила 8 февраля 2020 г.

Мы рассматриваем в качестве достаточного множества — множество комплексных прямых, пересекающих росток вещественно-аналитического многообразия вещественной размерности (2п — 2), те пересекающегося с границей области И.

Пусть И С С (п > 1) — ограниченная область со связной границей класса С2 вида

В = {х е С : р(г) < 0},

где р(г) — гладкая клаееа С2, вещественнозначная функция в окрестноети множества И такая, что Лр\дв = 0, Мы отождествляем Сп с К2га следующим обр азом: г = (г1,... ,гп), где = х^ + гу^ х^, у^ е К, ] = 1,..., п. Рассмотрим комплексные прямые 1г,ь вида

Iг,ь = {( е С : С, = ^ + Ь,I, з = 1,...,п,1 е С}, (1)

проходящие через точку г е Сп в направлении вектора Ь = {Ь1,... ,Ьп} е СР"-1 (направление Ь определяется с точностью до умножения на комплексное число А = 0),

Определение 1. Непрерывная функция / на дБ е С (дБ)) удовлетворяет свойству Морера вдоль комплексной плоскости I размерности к, 1 ^ к ^ п — 1, если

I I(С)Р(С) = 0

эит

для, любой дифференциальной формы /3 тип а, (к, к — 1) с постоянными коэффициентами.

Предполагается, что плоскость I пересекает границу области И траневереально. Если — комплексная прямая, пересекающая дИ траневереально, тогда свойство Морера вдоль заключается в том, что

J / (г + Ы)сН = J / (*1 + Ъ1г,...,гп + ЬпЬ)сИ = 0 (2)

эот^ь дотг>ь

для заданной параметризации ( = г + Ы комплексной прямой

Для комплексных прямых рассмотрим более общее условие. Пусть т — фиксированное неотрицательное целое число, тогда условие

J /(г + ы)гт(И = J /(¿1 + Ь^,...,^ + ЬпЬ)ЬтсИ = 0 (3)

эот^ь дотг>ь

будем называть обобщенным свойством Морера вдоль комплексной прямой IПри т = 0 условие (3) становится условием (2),

Пусть Г — росток вещественно-аналитического многообразия вещественной размерности (2п — 2). Будем считать, что 0 е Г и в некоторой окрестности нуля многообразие Г имеет вид

Г = {(е С : Ф(() + гФ(0 = 0},

где Ф,Ф — вещественно-аналитические, вещеетвеннозначные функции в окрестности точки ноль. Здесь ( = ((1,..., (п) и ^ = ^ + г ^, ^ е ^ ] = 1,... ,п. Условие гладкости Г

/дФ дФ дФ дФ\

тапкА = гапк

д 6 д£п дщ д г]п

дФ дФ дФ дФ \д^1 ... д£п дщ ... дг]п/

2

в каждой точке ( е Г.

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ..

47

Рассмотрим комплексные прямые вида (1), положим bj = с^ + гdj, ^€ К, ] = 1,... ,п и £ = и + т, и, V € К. Тогда в вещественных координат ах прямые 1г,ь будут задаваться следующим образом:

= € К1 : ^ = Xj + ^и — ^V, = yj + ^и + ^V, ] = 1,..., п}. (4)

Напомним лемму 1 из [8].

Лемма 1. Пусть вектор Ь° = (Ь00,... ,Ь") € СР"-1 'такой, что И П 10}ьо = 0. Тогда существует е > 0, что для всех г таких, что \г\ < е, и для всех Ь таких, что \Ь — Ь°\ < е, пересечения, И П 1г,ъ = 0 и Г П 1г,ъ = 0.

Нам также понадобится лемма 2 из [8].

Лемма 2. Пусть для некоторого г и для, всех (, Ь таких, что И П 1г,ъ = 0, для, ( € дБ П 1г,ъ, функция р, задающая область И, удовлетворяет условиям

Eg^ = 0, (5)

j=1

тогда, кривые 3D П lz,b являются, гладкими и аналитически зависят от па,ра,м,етра, Ь.

Условиям леммы 2, например, удовлетворяют сильно звездные относительно точки z G D, строго выпуклые, строго линейно выпуклые области в Cn,

Теорема 1. Пусть ограниченная область D С C11 со связной гладкой границей класса С2 удовлетворяет условиям (5) для, точек z, лежащих в окрестности, .многообразия, Г такого, что 3D П Г = 0. Пусть фун кция f G С (3D) удовлетворяет обобщенным условиям Морера (3), т.е.

J f (z\ + bit, ...,zn + bnt)tmdt = 0

dDn lz,b

для любых z G Г, Ь G CPn-1 и фиксированного целого неотрицательного числа т, тогда функция f голоморфно продолжается в область D.

Доказательство. Рассмотрим ядро Бохнера-Мартинелли

и (С, Z) = ^^ У (-l)k-1-k—%T- d( И Л d(.

vs' ; (2ni)n J \C — z|2n L J

Как известно, ядро U((, z) в координатах but (лемма 39,1 из [9]) имеет вид

dt

и(c,z) = Х(Ъ) л j,

где Х(Ь) — дифференциальная форма типа (п — 1,п — 1) в CPn-1, те зависящая от t, а точка z G 9D.

Рассмотрим интеграл

Maf (z) = J (С — z)af (С)U(C,z),

dDc

где a = (a1,... ,an) — произвольный мультииндеке такой, что

||а|| = «1 + ... + ап = т + 1

и

(С — ¿Г = «1 — ¿1Г ■■■ «n — .

Из теоремы Фубини и вида ядра получим

Ма/(г) = I Ъа\(Ъ) I /(¿1 + &11,..., + М) 1т(И.

Срп-1 дОп1г,ь

По условиям теоремы 1 и леммы 1 интегралы

J ¡( ^ + 61 г,..., гп + М) ГсИ = 0

эот^ь

для всех г с достаточно малым |г| и Ь из СР"-1, Тогда

Ма1 (г) = I (( — (()и((, г) = 0 (6)

дИс

для всех г таких, что | < е.

Перепишем функцию Ма}'(г) в другом виде. Рассмотрим дифференциальные формы из((, г) вида:

, г) = (—тП—— 2)! (V — —21* 2 ВД, 8] +

(2

+ Е (—1)-1 <®>, я)

Легко проверить, что

а( , "))=и ((, *)

при = э = 1,... ,п. Тогда условие (6) можно переписать в виде

У ¡(Од {(С — гУиа(С, г)) = 0 (7)

дИс

для г таких, что | <£и для всех мономов (( — г)3 с \\/31| = т.

Покажем, что условие (7) выполнено и для мономов (( — г)7 с \\7\\ < т. Действительно, рассмотрим такой моном (( — г)7 с \\7\\ = т — 1. Тогда условие (7) выполнено для мономов вида

(с — о3 (а — zk), к = 1,...,п,

т

Справедливо равенство д

^ ((С — (Ск — ^)из(С, г)) =

= Ы + 1)« — г)7иа(С, г) — (п — 1)(С — г)7 (Ск — *к—& — "к) из((, г). п я

Е 4 (« — ^«к — ^, г)) = (\\7\\ + 1)(с — 07из(С, г). (9)

Поскольку условие (7) можно дифференцировать по г при |г| < £ , а производные по

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПРЯМЫХ..

49

в (7) можно уменьшить на единицу. Уменьшая последовательно эту степень, придем к условиям

№диз((, г) = 0

для |г| < е и ^ = 1,... ,п, т. е.

(С - г.)/(0 и (С, г) = 0

(10)

| | < = 1, . . . , п Применяя к левой части равенства (10) оператор Лапласа

А

д2 д2 + ... +

д г\дг

д д

получим, что

ДЛЯ |г| < £ И 8 = 1, тождеством

К0и к'2) 3 0

дОс

п и( , )

п д дк п

А(дК) = кАд + д Ак + £ + £

д

д дК

дд

2 = 1 ^ 3 = 1 ^ ^

М/(г)

№и(С, г)

дИ?

является функцией, голоморфной в окрестности нуля.

Если Г С Сп \ V, то М/(г) з 0 гае V в силу связности границы и стремления М/(г) к нулю при |г| ^ го, и тогда функция f голоморфно продолжается в область V [10] (следствие 15,5),

Если Г С V, то функция М/ голоморфна в V, и граничные значения М/ совпадают с

□

Доказательство теоремы 1 в целом похоже на доказательство теоремы 3 из [8], но отличается от него в ряде моментов, связанных с непрерывностью функции. При т = 0 условия (3) превращаются в граничное условие Морера [3]

¡(гг + М,..., хп + ЬпЬ) сИ = 0.

(П)

дит г,ъ

Следствие 1. Пусть область V удовлетворяет условиям теоремы 1, а функция / € С(дВ) удовлетворяет условию (11) для любых г Е Г и Ь Е СРп-1, тогда / голоморфно продолжается в V.

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1, Grinberg Е.А. A boundary analogue of Morera's theorem in the unit ball of Cra// Proe, Amer. Soc. 102, 114-116 (1988).

2, Аграновский М.Л., Вальекий P.E. Максимальность инвариантных алгебр функций// Сиб. матем. журн. 32:1, 3-12 (1991),

3, Globevnik J,, Stout E.L. Boundary Morera theorems for holomorphic functions of several complex variables// Duke Math, J, 64:3, 571-615 (1991),

4, Globevnik J, A boundary Morera theorem// J, Geometric Anal, 3:3, 269-277 (1993),

5, Govekar-Leban D, Local boundary Morera theorems// Math, Z, 233, 265-286 (2000),

6, Мыеливец С.Г, Об одном, граничном варианте теорем,ы, Морера// Сиб, матем, журн, 42:5, 1136-1146 (2001).

7, Кытманов A.M., Мыеливец С.Г. О семействах комплексных прямых, достаточных для, голоморфного продолжения// Мат. заметки, 2008, 83:4, 545-551 (2008).

8, Кытманов A.M., Мыеливец С.Г. О некоторых семействах комплексных прямых, достаточных для, голоморфного продолжения функций// Изв. вузов. Математика, 4, 72-80 (2011).

9, Kvtmanov A.M., Mvslivets S.G. Multidimensional Integral Representations. Problems of Analytic Continuation, Springer Verlag, Basel, Boston, 2015.

10. Кытманов A.M. Интеграл, Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992.

Александр Мечиславович Кытманов, Сибирский федеральный университет, пр. Свободный 79, Красноярск, 660041 E-mail: [email protected]

Симона Глебовна Мыеливец, Сибирский федеральный университет, пр. Свободный 79, Красноярск, 660041 E-mail: [email protected]