CC BY
7
УДК 517.987.5
Л.С. Ефремова
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (Национальный исследовательский университет)
Об интегральном условии существования одномерных притягивающих множеств простейшего косого произведения отображений интервала
С использованием расходящегося несобственного интеграла первого рода доказано необходимое условие существования одномерных (^-предельных множеств у косого произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек.
Ключевые слова: косое произведение, ^-предельное множество, периодическая точка, несобственный интеграл.
I. Введение
Влияние дифференциальных свойств динамических систем класса косых произведений на структуру (^-предельных множеств исследовалось в [1-3]. Так, в [1] такого рода исследование проведено для цилиндрических каскадов (косых произведений над иррациональным поворотом окружности с отображениями в слоях специального вида на неограниченном цилиндре), в [2, 3] — для косых произведений отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек. Рассмотрения статьи [4] следуют классическому подходу А. Данжуа (см. [5] — [7]). Здесь выделен класс косых произведений над иррациональным поворотом окружности, заданных на двумерном торе и таких, что (г) сохраняющие ориентацию диффеоморфизмы — отображения в слоях имеют непрерывную, как функция точки на торе, частную производную по второй переменной (основной переменной в слое); (гг) вариация логарифма указанной частной производной, как функции одной переменной — основной переменной в слое, интегрируема по первой переменной (от которой зависит факторотображение). Для косых произведений выделенного класса в [4] описана структура связных компонент минимальных (собственных) подмножеств тора.
Данная статья является продолжением [2, 3]. Так в [2], в частности, доказано, что С 1-гладкие косые произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек такие, что композиции их отображений в слоях над точками произвольной периодической орбиты факторотображения (взятые в циклическом порядке точек орбиты) имеют только притягивающие и отталкивающие (в частности, гиперболические) периодические точки, обладают лишь (^-предельными множествами — периодическими орбитами. Используемое в [2] условие на периодические точки отображений в слоях является существенным и означает, что каждая такая точка изолирована во множестве периодических то-
чек отображений в слоях. В то же время результаты работ [8-10] показали, что существуют непрерывные (но не гладкие) косые произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек, отображения в слоях которых над неподвижными точками их фак-торотображений являются тождественными (то есть каждая точка такого слоя — неподвижная для отображения в слое и, следовательно, неизолированная в слое); причем целые слои, заполненные неподвижными точками косого произведения, представляют собой ^-предельные множества некоторых траекторий. Влияние дифференциальных свойств косого произведения в плоскости на структуру ^-предельных множеств исследовано в [3]. Здесь, в частности, установлено, что каждое ^-предельное множество С 1-гладкого косого произведения отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек, удовлетворяющего некоторым условиям типа локальной теоремы существования С1 -гладкой неявной функции (см. далее описание пространства Т^(1)) есть периодическая орбита. В [3] указаны также максимальные дифференциальные свойства отображений в слоях косого произведения с замкнутым множеством периодических точек по переменной х, при выполнении которых возможно существование одномерных ^-предельных множеств.
В настоящей статье получено новое конструктивное необходимое условие существования одномерных (^-предельных множеств у косых произведений в плоскости, имеющих замкнутое множество периодических точек, основанное на использовании расходящегося несобственного интеграла первого рода. В свою очередь появление несобственного интеграла при рассмотрении вопроса существования одномерных ^-предельных множеств связано с привлечением к такому исследованию специальных расходящихся рядов, построенных по траекториям рассматриваемой динамической системы. Этот подход, по-видимому, следует рассматривать в контексте сформулированной Д.В. Аносовым в [11] проблемы нахожде-
ния движений, занимающих промежуточное положение между квазипериодическими и гиперболическими движениями.
Рассмотрим косое произведение отображений интервала
Р (х,у) = (/(х),9х(У)) (1)
с фазовым пространством I = /1 х /2, где /1 / — отрезки вещественной прямой, а дх (у) = д(х,у).
Отображение / : /1 ^ /1 называется факторо-тображением, а дх : /2 ^ /2 при любом х € /1 называется отображением в слое над точкой х косого произведения Р.
В силу (1) для каждого натурального числа п и произвольной точки (х; у) € / справедливо равенство
Рп(х,у) = (/п(х),дх,п(у)),
где
дх,п = gfп-1(х) ◦ ■■■ ◦ gf (х) ◦ дх■
Для обозначения пространства всех непрерывных отображений вида (1) с С0-нормой будем использовать символ Т0(/).
Отображение вида (1) с замкнутым множеством периодических точек (обозначаемым в дальнейшем Рег(Р)) будем называть простейшим.
Символом т(Р) обозначим множество (наименьших) периодов периодических точек простейшего отображения Р € Т0(/). Из результатов статей [2] и [12] следует, что для простейшего отображения Р € Т0(/) справедливо включение т(Р) Я {2*}^0. Если Р € Т0(/) имеет ограниченное множество т(Р), то т(Р) = {1,2,22,...,2м}, где и = ц(Р), 0 ^ ц < +то. Предположение об ограниченности множества т(Р) приводит к связности ^-предельного множества шрм ((х; у)) траектории произвольной точки (х; у) € / относительно отображения Рм (здесь М =2м — наибольший элемент множества т(Р)). Справедлив следующий точный результат, доказанный в [3].
Предложение 1. Пусть Р € Т0(/), а множество т(Р) ограничено. Тогда для любой точки (х; у) € /ш-предельное множество шрм ((х; у)) ее траектории относительно отображения Рм есть вертикальный отрезок (возможно, вырожденный).
Важную роль в свойствах дискретной динамической системы Ф с компактным фазовым пространством X играет ее неблуждающее множество &(Ф), то есть множество всех точек х € X (называемых неблуждающими), произвольная окрестность и (х) каждой из которых при некотором п = п(и(х)) удовлетворяет неравенству и(х)р|Фп(и(х)) = 0 (см., например,
[13, часть 1, гл. 3, п. 3.3]). Укажем также, что ш-предельное множество Ф-траектории произвольной точки из X включено в неблуждающее множество Ф. В [2] доказано, что неблуждающее множество &(Р) простейшего (непрерывного) косого произведения отображений интервала
совпадает с множеством Рег(Р). Поэтому если т(Р) — ограниченное множество, то ш-предельное множество шрм ((х; у)) Рм-траектории произвольной точки (х; у) € / состоит из неподвижных точек Рм. Для описания класса косых произведений, рассматриваемых в данной работе, нам потребуется введенное в [3] понятие исключительной периодической точки факторотображения.
Определение 2. Пусть Р € Т0(/) — простейшее отображение. Периодическую точку х0 факторотображения /(х0 € Рег(/)) назо-
вем исключительной периодической точкой факторотображения / отображения Р, если хотя бы одна связная компонента множества (Рег(Р))(х0) представляет собой невырожденный отрезок (здесь (Рег(Р))(х0) = {у € /2 : (х0; у) € Рег(Р)} — срез множества Рег(Р) вертикальным слоем над точкой х0).
Обозначим через Реге(/) множество исключительных периодических точек факторотображе-ния / отображения Р € Т0(/).
Следуя [3], будем рассматривать подпространство Т*(/) пространства Т0(/), состоящее из отображений, каждое из которых имеет С1 -гладкое на отрезке /1 факторотображение / и отображения в слоях дх(у) со следующими свойствами: (г*) частная производная щдх{у) непрерывна на /, (гг*) в каждой точке (х; у) € / существует конечная частная производная -§^дх{у), непрерывная всюду, за исключением, быть может, точек множества Реге(/) х /2, (ггг*) для любой точки (х;у) € I такой, что х € .7* \ Рег(/) для некоторого интервала 1* С 1\, а у — неподвижная точка отображения дш,м '■ Р —*■ Р, существует окрестность и${(х',у)) = х ип^{у), облада-
ющая следующим свойством: для каждой точки (х;у) € Щ((х;у)) верно
д д
0^дх,м\У) и{—дХгм{у) 5' 0),
причем, каково бы ни было у € ^2,й(у), промежуток II\^(ж) х {у} не содержит невырожденного подотрезка, на котором верно тождество ~§^дх,м{у) = 0. Свойство (ггг*) означает выполнение условий классической локальной теоремы существования неявной функции х = х(у), удовлетворяющей уравнению дх,м(у) = у (см., например, [14, п. 1]). Отметим также, что из [15] следует ограниченность множества т(Р) произвольного простейшего отображения Р € Т* (/).
Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 с использованием введенных в [3] рядов, построенных по траекториям простейших отображений вида (1), доказан критерий (необходимое и достаточное условие) существования одномерных ш-предельных множеств у такого рода отображений. В разделе 3 доказано необходимое условие существования одномерных ш-предельных множеств у простейших косых произведений отображений интервала, основанное на использова-
нии несобственного интеграла первого рода. Здесь же для конкретного простейшего отображения Р € Т* (/), имеющего одномерное ш-предельное множество (отображения, в слоях которого обладают максимальными дифференциальными свойствами по переменной х среди отображений рассматриваемого класса, допускающих одномерные ш-предельные множества), непосредственно с использованием асимптотических свойств траекторий факторотображения и аналитического задания отображений в слоях установлена расходимость такого интеграла.
II. Ряды и ^-предельные множества простейших косых произведений
В разделе 2 изучение ш-предельных множеств непрерывных косых произведений отображений интервала с ограниченным множеством (наименьших) периодов периодических точек сведено к рассмотрению специальных рядов, построенных по траекториям рассматриваемой динамической системы. Так, в статье [3] доказано следующее утверждение.
Предложение 3. Пусть отображение Р € Т 0(/) имеет ограниченное множество т (Р). Тогда для произвольной точки (х'; у') € / следующее утверждения эквивалентны: (3.1) ш-предельное множество
шрм ((х'; у')) — невырожденный вертикаль-
+ ^
ный отрезок; (3.2) ряд Е Рх',Мп(у ) (2)
п=1
— расходящейся (знакопеременный), здесь
фх*,Мп(у ) дх',М(п+1) (у ) дх',Мп(у ) при любом
п ^ 1.
В том случае, если отображение Р € Т0(/) имеет ограниченное множество т (Р), и ш-предельное множество траектории некоторой точки (х'; у') € / представимо в виде
шрм ((х'; у')) = {х0} х [а,в], где а < в, то, как отмечалось во введении, любая точка указанного отрезка является неподвижной для Рм. Следовательно, дхо,м\\а р] — тождественное отображение отрезка [а,в]. В силу классической леммы Ада-мара для функции одного переменного [16, гл. 6, п. 2] отображение дх,м(у) дифференцируемо по х в каждой точке (х0; у), где у € \а,@], в том и только том случае, если существует непрерывная по переменной х в каждой точке отрезка {х0} х [а,в] функция ф(х,у), определенная в прямоугольнике /1 х [а,в] и такая, что при всех (х; у) € /1 х [а,в] справедливо равенство
дх,м(у) = у + (х - х0)ф(х,у)■ (3)
При этом
д
ф(х°,у) = т^дх»,м{у), для любого у е [а,13]. (4)
Равенство (3) позволяет придать предложению 3 другую форму.
Теорема 4. Пусть отображение Р € Т0(/) имеет ограниченное множество т(Р), а дх(у) дифференцируемо по х на /. Тогда для произвольной точки (х'; у') € / следующее утвер-
ждения эквивалентны: (4,1) ш-предельное множество шрм ((х'; у')) — невырожденный вер-
тикальный отрезок; (4,2) существуют точка х0 € Реге(/), связная компонента \а,@] (а < в) среза (Рег(Р ))(х0) и счетное подмножество Ща,р] множества N натуральных чисел такие, что х' € Шя(х°,/м) \ {/-Мп(х°)}п^0 (здесь
/-Мп(■) — полный прообраз точки относительно отображения /Мп, Шя(х0,/м) — устойчивое многообразие точки х0 € Рег(/) относительно отображения /м):
Ща,@] = {п € N : дх',Мп(у'),дх',м(п+1) (у') € [а,в]};
(5)
а ряд
Е (/мк(х') - х0)ф(/мк(х'),дх',мк(у')) (6)
к^^[а,@]
расходится.
В статье [3] доказано, что из существования у отображения Р, удовлетворяющего условиям теоремы 4, одномерного ш-предельного множества (см. утверждение (4,1)) следует справедливость утверждения (4,2). Для того чтобы убедиться в справедливости импликации (4,2) =^ (4,1), нам потребуется восстановить рассуждения, приведенные в [3] при доказательстве импликации
(4,1) ==* (4,2).
Доказательство теоремы 4. 1. Пусть отображение Р € Т0 (/) удовлетворяет условиям теоремы 4, а ш-предельное множество траектории точки (х'; у') € / относительно отображения Рм — невырожденный вертикальный отрезок. Так как шр м ((х'; у')) состоит из неподвижных точек Рм, то найдутся точка х0 € Реге(/) и связная компонента [а,в] (где а < в) среза (Рег(Р))(х0) такие, что
шрм((х'; у')) Я {х0} х [а,в],
где шрм ((х'; у')) = {х0} х [а',в'] при некоторых а ^ а' < в' ^ в. Тогда имеем
х' € Ш°(х0,/м) \ {/-Мп(х0)}п^0 (см. [17]).
2. Убедимся в том, что существует счетное множество Ща,р], удовлетворяющее (5). Для этого будем использовать точку ус = /3 . Возьмем
произвольно и зафиксируем положительное число £ ^ /3 ^6а и из условия равномерной непрерывности Рм на / по числу е > 0 найдем 6 > 0. Тогда для любых точек (х1; у1),(х2; у2) € / таких, что х — х21 <6, |у 1 — у21 < 6, удовлетворяются неравенства
I/м(х1) — /м(х2)I < £,1дхим(у1) — дх2,м(у2)1 < £■ Используя компактность /, для окрестности ие,6(шрм ((х'; у'))) = им(х0) х и2,е([а',в'])
множества шрм ((х'; у')) (здесь и1^(х°) и и2,е([а' ,в'\) есть 6-окрестность точки х0 в /1 и е-окрестность отрезка [а',в'] в /2 соответственно) укажем натуральное число п* так, чтобы при всех п ^ п* выполнялось РМп(х',у') € ие,ё(шрм ((х'; у'))) [18, гл. 5, 3]. Так как (х0; ус) € шрм((х'; у')), то для е-окрестности и2,е(ус) точки ус в /2 найдется счетное множество N' = {п^,^,---} такое, что п* ^ п' < п2 < ■■■, и при любом п € N' верно дх',Мп(у') € и2,е(ус). Тогда N' С Ща,@], и Ща,@] — счетное множество.
3. Покажем, что ряд (6) расходится. В самом деле, если N \ Ща,в] — не более, чем конечное множество, то расходимость ряда (6) следует из предложения 3. Рассмотрим случай счетного множества N \ Щав]. Нам потребуются следующие подмножества множества натуральных чисел (хотя бы одно из которых непусто): ^ = {п : дх',Мп(у') < а}, и Np = {п :
дх',Мп(у') > в}. При сделанном предположении хотя бы одно из множеств Na или N в счетно. Тогда из определения связной компоненты множества следует, что если N0 ) — счетное множе-
ство, то а (в) — единственная предельная точка для {дх',Мп(у')}пеМа ({дх',Мп(у')}пеМв), при этом а' = а, (в' = в). Будем использовать далее точку Ус = Так как (х°;у'с) £ шгм((х';у')),
то для окрестности и2,£(у'с) точки у'с в /2 найдется счетное подмножество N'' = {п'Щ,■■■} множества N такое, что п* < п' < п'2 < ■ ■■, причем при любом п € N'' верно дх',Мп(у') € и2,£(у'с). Элементы множества N 'У N'' С Ща,в], расположенные в порядке возрастания их численных значений, обозначим через (таким обра-
зом, п\ < по < •••)• Пусть Б'т (5‘т) означает т-ю частичную сумму ряда (2) (ряда (6)). Тогда 5Мп^-5Мп* = 9х',Мп^(у')-дх',Мп,(у') при всех г,2 ^ 1, и из определения множеств N' и N'' следует, что последовательность {3'Мп.}г^1 не является фундаментальной. Укажем нефундаментальную последовательность частичных сумм ряда
(6). Для этого заметим, что счетность множества N0 и Nв влечет за собой существование строго возрастающей последовательности натуральных чисел {гв}в^1 такой, что при всех в ^ 1 имеют место следующие свойства: (3.1) ,щл+1 € К' У М";
(3.2) (щв,щв+1) ГК^и^/з) Ф 0- Из свойств
(3.1) — (3.2) следует, что при любом в ^ 1 найдется натуральное число п(в) € такое,
что дх> ,мп(з){у') € [аД, (й(в) + 1) € Ма() М/3, причем N с Щаф]. При п = п(з) имеем
в' — а' в — а
16
|Ущ» _ 9х',м{п{е)+1){у')\ < £ ^ ^ ^
" (7)
Используя определение чисел п(в) и неравенство (7), получаем, что при каждом в ^ 1
только лишь одна из точек а или в содержится в промежутке, ограниченном точками
Уш(.э) и дх',м(п(э)+1)(у')- Поэтому из (7) следу-
ет, что предельными точками последовательности {дх> гМп(з){у')}е'^ 1 могут являться лишь точки а или в (возможно, обе одновременно). Рассмотрим множество }я^1 и{й(в)}8^1. В силу предыдущего при любом в ^ 1 выполнены неравенства < п(з) < щл+1. Положим »12я-1 = й;,, п28 = п(з) (в ^ 1). Тогда справедливо включение N — 1] С А^оуЗ], и при всех в ^ 1 имеем
'' ''
Мп2з ~ Мп2з_1
''
Мгг2з ~ Мп2з_1
дх',мп2з{у ) дх',мп2з1{у )•
Так как последовательность {дх>,Мпк{у')}к'^1 имеет не менее двух предельных точек, то последовательность частичных сумм {^мПк}к'^1 ряда (6) нефундаментальна, и ряд (6) расходится. Таким образом, верно утверждение (4,2).
4. Пусть теперь отображение Р € Т0(/), удовлетворяющее условиям теоремы 4, обладает свойством (4,2). Если при этом Ща,в] = N или N \ ^а,в] — конечное множество, то справедливость утверждения (4,1) вытекает из предложения 3. Рассмотрим случай счетного множества N \ Ща,в]. Тогда хотя бы одно из множеств Na или Nв счетно, и в силу предыдущего п. 3. а (в) — единственная предельная точка для {дх',Мп(у')}п£«„, если ^ счетно (для {дх',Мп(у')}пенв, если Nв счетно). Используя предложение 3, получаем отсюда, что множества частичных пределов последовательностей частичных сумм рядов (2) и (6) совпадают и представляют собой невырожденный отрезок [а,в'\ при некотором в' ^ в, если Na счетно (невырожденный отрезок [а' ,в] при некотором а' ^ а, если Nв счетно). Таким образом, в силу предложения 3 шрм ((х'; у')) — невырожденный вертикальный отрезок. Теорема 4 доказана.
III. Одномерные ^-предельные множества и расходящийся несобственный интеграл
Эту часть работы мы начнем с формулировки доказанного в работе [3] необходимого условия существования одномерных ш-предельных множеств простейших отображений, основанного на использовании ряда, членами которого являются значения функции переменной х, представляющей собой С0-норму отклонений сужений отображений в слоях на некоторый невырожденный отрезок от тождественного отображения на том же отрезке. Как обычно, обозначим через С0(/2) пространство непрерывных отображений отрезка /2 в себя с С0 — нормой, определяемой равенством
||^||с»(12) = виР 1°(у)1, где О € С0^),
Теорема 5. Пусть Р € Т* (/) — простейшее отображение такое, что для Рм-траектории некоторой точки (х'; у') справедливо
шрм ((х'; у')) = {х0} х [а',в'\,
где х0 € Реге(Р), [а',в'] Я /2, а' < в'. Тогда знаконеотрицательный числовой ряд
Е \|gf мк(х'),м\[а'ф'] — *^\[а',в']||С0(/2) (8)
к^^[а' ,в']
расходится.
Будем считать выполненными условия теоремы 5. Рассмотрим убывающую (хотя бы в широком смысле) числовую последовательность {в;};^1, где при любом / ^ 1 выполнено
в1 = вир^дхмкм\[а',в'] — гй\[а',в'] Не 0№) }к~^I■
Из определения последовательности {в1}г^1 и теоремы 5 следует, что знакоположительный числовой ряд
г=1
(9)
мажорирующий ряд (8), расходится. Пусть непрерывная положительная функция 0(и), определенная на некотором промежутке [/0,+то) такова, что 0(1) = в1 при всех / ^ /0, причем 0(и) монотонно убывает (хотя бы в широком смысле) на [/0,+то) 1. Тогда в силу теоремы 5 и интегрального признака Маклорена-Коши несобственный интеграл
+
0(и)йь
(10)
расходится одновременно с рядом (9) (см., например, [19, гл. 6, п. 5, п. 2Ь]). Таким образом, доказана следующая
Теорема 6. Пусть Р € Т* (/) — простейшее отображение такое, что для Рм-траектории некоторой точки (х'; у') справедливо равенство
шрм ((х; у')) = {х0} х [а',в'\,
где х0 € Реге(Р), [а',в'] Я /2, а' < в'. Пусть непрерывная положительная функция 0(и), определенная на некотором промежутке [/0, + то) такова, что 0(/) = в1 при всех / ^ /0, причем 0(и) монотонно не возрастает на [/0, + ж). Тогда несобственный интеграл (10) расходится.
Завершая работу, рассмотрим указанное в [3] отображение
расходится. Расходимость ряда (12) влечет за собой существование строго возрастающей последовательности натуральных чисел {пт}т^0 такой, что п0 = 0 и при всех т ^ 0 верны неравенства
п1+1
Е
п=0
1^ — 1п хп
> 1 — у0 —
1
л/То
(13)
пт + 1 +2
Е
п=пт + 2
10 1п хп
> 1 — уп'
пт + 2
у/10 - \пхПт+2
если т ^ 1, т — четное;
пт+1 +2
Е
п=пт+2
10 1п хп
> Уп т + 2
если т — нечетное, здесь
1
п1+1
у0
1уг[0,^п 1 + 1 Уп1 + 2
и при каждом т ^ 1
Уп т+1 +2 Уть т+1 + 1
пт + 1 +2
х
уо+ Е тот
п=0
10 1п
У'пт + 2 + ( — 1)т Е
10 1п хп
П=Пт + 2
причем при любом т ^ 0 пт+1 + 2 — наименьшее из натуральных чисел, для которых выполнены неравенства (13). Пусть .0 = (хт ,1];
(хпт + 1 ,хпт +3] , ^т (хПт + 1,хПт ],
(2)
^т = (хпт+з,хпт+1] при всех т > 1. Для определения функции ^(ху) используются С 1-гладкие по у «шапочки» Урысона, длины горизонтальных участков и высоты которых зависят от х € (0,1]. Обозначим через Н(х) высоту «шапочки» Урысона в слое над точкой х € (0,1]. Положим
г/1 (ж) = у/Цх) и г/2(ж) = 1 - г/1 (ж). Функцию |ф(x,у)| при любом х € (0,1] определим в силу следующего равенства:
Ра (х,У)
(х - ^,У + Х,Ф{Х,У)),
(11)
]<Х) 8“2 2^). Н(х)
/г(-г-) 8Ш2
если у € [0,у1(х)\. если у € (у1(х),у2(х)); если у € [у2(x),1],
(14)
Для определения Н(х) используется строго возрастающая, выпуклая вверх, положительная на (0,1] функция Ь\{х) = . На множестве
. = ит=0 .т определим функцию Н(х), полагая Н(х) = hl\J(х), здесь ^1\(.) — сужение функции Л-1 на множество. Перейдем к определению функции к(х) на промежутках и при всех т ^ 1.
-'-Указанными свойствами обладает, например, кусочно линейная на каждом промежутке [1,1 + 1] функция, принимающая в точках I и I + 1 значения в1 и соответственно.
здесь Ра : / ^ /, / = [0,а] х [0,1], а ^ 1 — некоторое положительное число, указанное ниже. Приведем построение функции ф(х,у), следуя [3]. Положим хп = /п(1), п ^ 0. Тогда хп = О(^) при п ^ +то, и необходимый нам ряд
Ех
10 -
п=0
10 1п
(12)
х
п
или
1
х
п
1
х
п
п
п
х
п
0
Так, на промежутках іт) используем С 1-гладкие линейные функции
Ні(х)
1
+
X ^Хп
Ъ,2(х) = 2
10 — 1п хп ' хп (10 —1пхп )2 '
пт\ пт/
х — хПт +1
(10 - 1пжПт )(жПт + і - жПт+2) ’
где /?1 — касательная к графику выпуклой вверх функции Ъл в точке С1 (хпт ,hl (хпт)), h2 — линейная функция, причем Ьл(хпт+1) > Ь,2(хпт+1) = 0, Ьл(хпт) < h2(xnm). Поэтому графики Ьл и пересекаются в некоторой точке Ст(ст; Н2(ет)) {ст _е (хПт+1,хПт)) без касания, а графики /?1 и /?2 пересекаются в некоторой точке
Ст (Ст; h2(C2m)), где с2т € (ст ,хпт). На ин-
тервалах (Ст,С%г) и (С^г,С^г) укажем точки С1(4гМ(4г)) и Спг(стМ(ст)) Соответственно так, чтобы 1(\С^,С^]) = При этом
^2 (4п) < ^'2 (с2,) < М<4). Тогда корректно определена С1 -гладкая строго возрастающая, выпуклая вверх на промежутке функция ^х) такая, что
^10пт. + 1>Ст.] ^2|(^т + 1,С^]>^|[с^,Ж„т]
а график Л.\(сз ,с4 ) представляет собой дугу окружности, касающейся в точках С„г и С„г прямых /?2 и hl соответственно. Определим функцию к(х) на промежутках (т ^ 1). Здесь используются
линейные функции
hз(x) = 2
1-х
(10 - 1п хпт )(хпт + 1 - хпт + 2) ’
/? (х) = 1_______I________Х ~ ‘г’»т+3
‘ 10-1пжПт+3 жПт+3(10-1пжПт+3)2’
где Н4 есть касательная к графику Ні в точке с координатами (хпт+3; Ні(хпт+3)). Функция Н в точке хпт+2 определена так, что
Н(хпт + 2) = Ні(хпт + 2),иН'(хпт + 2) = 0В силу определения Нз имеем Нз(хпт + 2) > Н( хпт + 2 ); и Н(хпт+2) > Нз(хпт+і) = 0. Поэтому горизонтальная касательная к графику Н в точке Бт(хпт+2; Н(хпт+2)) пересекается с прямой — графиком функции Н3 в некоторой точке Б1 , причем выполнено неравенство
'Г2
1{[Вт,В1т]) < хПт+1 - хПт+2 = Пусть
Б2 — точка с координатами (хпт+і;0). Имеем
Ч [Вт,Вт\) жПт_|_1 — жПт_|_2 _
тім,]) цхПт+2)
-(Ю-1пжПт+2).
(15)
Так как 1ппт^+00 ' ’”;+1 (10 - 1пжПт+2) = 0, то из (15) следует, что найдется т0 такое, что при всех т ^ т0 верно неравенство /([Вт,В1}) < /([В^ ,В2т ]). Поэтому
при всех т ^ то в интервале (Б^ ,Б^) существует точка б3 (ЬП; Нз(ъ3т)) такая, что 1([БтВи) = КБтВт]). Тогда на отрез-
ке [хпт+2,хпт+і] корректно определена положительная строго убывающая выпуклая вверх С і-гладкая функция Н такая, что
Н\[ьт,хПт+1] = Нз\\ьт,хПт+1]; на промежутке
[хпт+2т^п) график Нз представляет собой дугу окружности, касательная к которой в точке Бт горизонтальна, а в точке Б^ совпадает с графиком функции Нз. Перейдем к определению функции Н на интервале (хпт+з,хпт+2). Так как Ні — выпуклая вверх на (0,1] функция, а Н(хпт+2) = Ні(хпт+2), то верно неравенство Н4(хпт + 2) > Н(хп т + 2). Кроме того, из строгого возрастания функции Ні на промежутке (0,1] следует, что Н(хпт+2) > Н4(хпт+з). Поэтому найдется точка ЛПп(аПт'; Н(хпт+2)), в которой горизонтальная касательная к графику функции Н в точке Бт пересекается с касательной Н4 к графику Н в точке Лт(хпт+з; Н(хпт+з)) (здесь аП е (хпт+з,хпт+2)). Сравним длины отрезков [Лт,ЛП] и [ЛП,Бт]. Нам потребуется точка
ЛПп (хпт+з; Н(хпт + 2)). Имеем
1([АтА2т ]) =
тім)
2(1п хпт + 2 - 1п хпт+з)
хпт + 2(10 - 1пхпт + 2)(10 - 1пхпт
+з)
<
<
К[Ат,Ат\)
тіму
(16)
Так как
1іт
2(1п хпт + 2 - 1п хпт+з)
т^+ТО хпт + 2(1° - 1п хпт + 2)(10 - 1п хпт +з)
Пт ------------------------------------------
т^+ТО хпт + 2(10 - 1п хпт + 2)(10 - 1п хпт+з)
= + ТО,
то в силу (16) найдется натуральное число то ;:г то такое, что при любом т ;:г то выполнено неравенство /([Ат,Ат]) > /([Ат,Вт]). Поэтому при любых т ^ то найдется точка Ат(ат; ^(00 € (Ат,Ат) такая, что
/([Ат,Ат]) = /([Ат,Вт]). Тогда в интервале
(хПт+з,хПт+2) корректно определена строго возрастающая выпуклая вверх С -гладкая функция
Н такая, что Н
(хл
з,атт) Н4\(х
а на
промежутке [а~т1,хПт+2) графиком h служит дуга окружности, касающейся ^.4 в точке Ат и имеющей горизонтальную касательную в точке Вт. Наконец, положим а = ж„_ _|_ 1, 1г(0) = 0. Из приведенного определения функции к(х) следует, что к(х) непрерывна на отрезке [0,а], причем во всех точках полуинтервала (0,а], за исключением точек множества {ж„ т +1}г?г^то , Существует КОнечная производная 1г'(ж). При любых т ^ то, у € [0,1] определим ф(х,у), полагая
Ф(х,у) =
2
х
п
2
2
( — ^^(ху^, если х € .т[] 4!+!;
( — ^"^Цф^ху^, если х € .^2+1;
0, если х = 0,
(17)
Из формул (14), (17) и определения функции h следует, что функция ф(х,у) непрерывна в прямоугольнике (0,а] х [0,1], кроме того, ф непрерывна и на вертикальном отрезке {0} х [0,1]. Действительно, при любых у € [0,1] имеем
Иш ф(ху) = Иш ^х) = 0 = ^0) = ф(0,
х^+0 х^+0
Поэтому, используя равенства (3) — (4) и (11), получаем отсюда, что дх(у) дифференцируемо по х в каждой точке отрезка {0} х [0,1], и ~§^9о{у) = 0. Обратим внимание также на следующие свойства построенного отображения (11): (гра) Ра € Т*([0,а] х [0,1]); (ггра) все неподвижные точки Ра заполняют отрезок А* = {0} х [0,1]; периодических точек более высоких периодов Ра не имеет; (Шра) А* является ш-предельным множеством Ра-траектории точки (хПт+2; у'Пт+2) прямоугольника [0,а] х [0,1], где т — произвольное, но фиксированное четное число, т ^ то- Для отображения Ра при всех т ^ то имеем
10 —1п ж, ПРИ 1¥=Пт + 1;
10-1пя, + 1 ПРИ 1 = Пт + 1.
Так как ж; = 0(у) при I —*■ +оо, то расходящемуся ряду (12) можно поставить в соответствие рас-
+ СЮ
ХОДЯЩИЙСЯ несобственный интеграл ^ ц(ю+1пц),
1о
где / о ^ Пшп +1- Пусть функция в (и) удовлетворяет условиям теоремы 6. Тогда в (и) = 0( Ц(10+1П и)) при и ^ +то. Следовательно, несобственный ин-
+ СО
теграл ^ 0(и)с1и расходится.
1о
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России, 2009-2011 гг.», проект НК 13/9.
Литература
1. Крыгин А.Б. Об ш-предельных множествах гладких цилиндрических каскадов // Матем. заметки. — 1978. — Т. 23 (6). — С. 873-889.
2. Ефремова Л.С. О неблуждающем множестве и центре треугольных отображений с замкнутым множеством периодических точек в базе // Динамич. системы и нелинейные явления. Киев: Ин-т математики АН Украины. — 1990. — С. 15-25.
3. Ефремова Л.С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейшего косого произведения отображений интервала // Ма-тем. сб. — 2010. — Т. 201 (6). — С. 93-130.
4. Jager T.H., Keller G. The Denjoy type of argument for quasiperiodically forced circle diffeomorphisms // Ergod. Th. and Dynam. Sys. — 2006. — V. 26. — P. 447-465.
5. Denjoy A. Sur les courbes definies par les equations differentielles a la surface du tore // J. Math. Pures et Appliq. — 1932. — V. 11 (9). — P. 333-375.
6. Denjoy A. Les trajectories a la surface du tore // C.R. Acad. Sci. — 1946. — V. 223. — P. 5-8.
7. Denjoy A. Theorie des fonctions sur les characteristiques a la surface du tore // C.R. Acad. Sci. — 1932. — V. 194. — P. 830-833.
8. Kolyada S.F. On dynamics of triangular maps of the square // Ergod. Theory and Dynam. Systems. — 1992. — V. 12. — P. 749-768.
9. Kocen Z. The problem of classification of triangular maps with zero topological entropy // Ann. Math. Sil. — 1999. — V. 13. — P. 181-192.
10. Balibrea F., Garsia J.L., Murioz J.I. Description of w-limit sets of a triangular map on
12 // Far East Journal of Dynam. Syst. — 2001. — V. 3 (1). — P. 87-101.
11. Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция //В кн.: Математические события XX века. М.: «Фазис». — 2003. — С. 1-18.
12. Kloeden P.E. On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering// Bul. Austr. Math. Soc. — 1979. — V. 20. — P. 171-177.
13. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: «Факториал». — 1999; пер. с англ.: A. Katok, B. Hasselblat Introduction to the modern theory of dynamical systems. Encyclopedia Math. Appl. Cambridge Univ. Press, Cambridge — 1995. — V. 54.
14. Еругин Н.П. Неявные функции. Изд-во Ленинградского университета. — 1956.
15. Федоренко В.В., Шарковский А.Н. Непрерывные отображения интервала с замкнутым множеством периодических точек// Исследование дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Киев: Ин-т математики АН Украины. — 1980. — С. 137-145.
16. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа. — 1982.
17. Шарковский А.Н. О циклах и структуре непрерывного отображения// Укр. мат. журн. — 1965. — Т. 17 (3). — С. 104-111.
18. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: «Едиториал», УРСС. — 2004; англ. пер. 1-го издания: V.V. Nemytskii, V.V. Stepanov Qualitative theory of differential equations. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ. — 1960.
19. Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука, 1981. — Т. 1.
Поступила в редакцию 05.04.2009.
