CC BY
28
Об инициации и распространении разрывов в разломной зоне
Ю.П. Стефанов
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Рассчитано напряженно-деформированное состояние и смоделирован процесс развития разрыва в области, содержащей жесткий блок вблизи разлома. Рассмотрено влияние приложенных напряжений на место инициации и направление развития разрыва в области Чаган-Узунского блока. Показана возможность реализации различных механизмов неупругой деформации. Смоделированы условия, обеспечивающие сверхбыстрое распространение разрыва вдоль линии разлома.
Initiation and propagation of rupture in the fault zone
Yu.P. Stefanov
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The stress-strain state is calculated and rupture development is modeled for a region with a rigid block near a fault. The effect of applied stresses on the site of rupture initiation and its propagation direction in the vicinity of the Chagan-Uzun block is considered. It is shown that various mechanisms of inelastic deformation are possible. The conditions providing for supershear rupture propagation along the fault line are modeled.
1. Введение
Неоднородная структура вещества, наличие блоков и нарушений приводят к сложному напряженному состоянию геологической среды. При деформации в области, содержащей включения материала, механические свойства которого отличаются от свойств вмещающей среды, возможно возникновение зон действия растягивающих напряжений в условиях удаленного сдвига или неравноосного сжатия. В случае если среда находится в сильно сжатом состоянии, зоны действия таких напряжений будут малы либо возникнут лишь области «разрежения», в которых значение гидростатической части тензора напряжений будет пониженным. Принято считать, что прочность среды определяется кулоновскими напряжениями, поэтому такие зоны будут наиболее ослаблены, именно в них начнется и будет развиваться разрушение [1]. Однако в случае высокопористой среды ситуация может измениться на противоположную: разрушение может быть инициировано в области, где величина давления выше, и сопровождаться уплотнением среды [2, 3]. Это легко объяснить, рассмотрев вид предельных поверхностей, ограничивающих возможное состояние плотной консолидированной и высокопористой
сред в пространстве напряжений (рис. 1). В первом случае (плотная среда) рост среднего давления влечет увеличение эффективной прочности среды [1-5], во втором случае (высокопористый материал) после достижения давлением некоторого значения происходит снижение прочности [2, 3, 6]. Такая ситуация может возникнуть в зоне разлома, где поврежденность существенно выше, чем в окружающей среде. Поэтому при изучении локализации деформации и разрушения в геологических средах необходимо принимать во внимание возможность реализации различных механизмов неупругой деформации.
Численное исследование процессов деформации геологических сред затрудняется множеством неопределенностей. Неоднородность структуры, геометрия и механические характеристики известны с большой погрешностью. С еще большей неопределенностью известны условия нагружения. Эти вопросы тесно переплетены между собой, т.к. сложности задания граничных условий во многом определены геометрией и пространственной неоднородностью вещества. При рассмотрении развития деформации в той или иной области приходится пренебрегать основной частью структурных особенностей, а граничные условия задаются с
© Стефанов Ю.П., 2008
некоторым осреднением имеющихся данных и в рамках определенных гипотез. Решение таких модельных задач позволяет дать некоторые оценки влияния тех или иных факторов на процесс деформации и выполнить проверку гипотез о действующих условиях.
Приведенные результаты расчетов также имеют модельный характер. Их целью является изучение условий инициации и распространения разрыва в разломной зоне, в частности влияния жесткого блока на развитие разрыва в области, приуроченной к району Алтайского (Чуйского) землетрясения 2003 г.
Отдельный интерес представляет исследование скорости распространения разрывов и ее предельного значения. В литературе имеются сведения о наблюдениях сверхбыстрого режима [7], когда скорость распространения разрывов вдоль разломов превышает скорость поперечных волн. Имеется ряд объяснений механизмов и условий возникновения, однако результатов численного моделирования таких процессов крайне мало. В основном они выполнены с использованием дискретных подходов [8]. В данной работе рассмотрена возможная схема такого процесса и смоделировано сверхбыстрое распространение разрыва в рамках континуальной механики.
Для моделирования процесса деформации среды за пределом упругости была использована комбинированная модель, позволяющая описывать поведение плотных и высокопористых геологических сред. За основу была взята модель с неассоциированным законом течения Друкера-Прагера-Николаевского [1,4, 5], а также модель с эллиптической предельной поверхностью [6] (рис. 1).
2. Основные соотношения
Для моделирования процесса деформации будем численно решать систему уравнений механики, включающую уравнения движения и неразрывности. Система уравнений замыкается определяющими соотношениями упруго-хрупкопластической модели. Считается, что полные деформации 8 у состоят из упругой е| и пластической 8Р частей. В пределах упругости используются гипоупругие соотношения между напряжениями и деформациями:
6 у = -с5у + Яу >
Dsii (
—у = 2ц Dt
8 у -18кк5 у
Щ • •
----= Яу - sik • ук - Яук •ik.
Dt
6 = - ^.
V
Здесь 6у — компоненты тензора напряжений; Яу — компоненты девиатора тензора напряжений; 5 у — символ Кронекера; б = -б кк/ 3 — среднее давление; 8 у =
= 1/2 (и у + Ыу1) — компоненты тензора деформаций Коши; сЬу = 1/2 (иг-, у - и у ^ ) — компоненты тензора скоростей вращения; К и ц — модули сжатия и сдвига соответственно.
Упругое состояние ограничено предельной поверхностью (рис. 1)
f = т-аб- с, где а = а(еР, 6); с = с(еР, б) — коэффициенты внутреннего трения и сцепления; т = (ЯуЯу / 2)^2 — второй инвариант девиатора напряжений. Нормаль к функции g = = т - Лб определяет направление приращений пластической деформации, где Л = Л(8Р, б) — коэффициент дилатансии. Интенсивность пластической деформации сдвига dYР = 2((ёеу )Р(ёеу )р^2)12 будет определяться из соотношения ёуР = Эg/Эт ёА; объемная часть пластической деформации ё8Р = -(ё8 кк )Р — из соотношения ё8 Р =Эg/ Эб ёА.
Данные соотношения соответствуют модели Друкера-Прагера-Николаевского с неассоциированным законом течения [1,4,5].
В области растяжения предельная поверхность ограничена напряжениями, соответствующими прочности отрыва 6^
При высоких значениях давления 60, когда раскрытие трещин и проскальзывание их поверхностей становятся практически невозможными, происходит переход к пластическому деформированию кристаллической решетки зерен, что имеет место, например, на глубинах несколько десятков километров [1]. Для таких условий предельная поверхность может быть принята в виде цилиндра Мизеса.
При большой величине пористости с увеличением давления происходит разрушение частиц и переход к катакластическому механизму неупругой деформации. Развитие деформации сопровождается уплотнением среды. Поверхность, ограничивающая состояние среды в пространстве напряжений, становится замкнутой. Она имеет не только «дно» в области растяжения, но и «шап-
Рис. 1. Комбинированная предельная поверхность для плотных и высокопористых сред: 61; 62 — значения давления начала уплотнения высокопористых материалов при неравноосном и всестороннем сжатии соответственно; 6о — давление перехода к дислокационному механизму пластичности
ку» в области сжатия [2, 3, 6] (рис. 1). Эта особенность может быть описана с использованием поверхности эллиптической формы [6] с полуосями, длины которых есть функции накопленных неупругих объемной 8Р и сдвиговой уР деформаций (рис. 1):
\2 „2
Таблица 1
Параметры среды
f=
(6-61) т
-1 = о,
где а = а(8Р), Ь = Ь(уР) — полуоси эллипса.
Упрочнение и деградацию в этих моделях опишем при помощи соотношений:
с (УР) = Со[1 + к Л(уР) - D(YР))],
Ь(у Р) = Ьо[1 + h( Л(у Р) - D(YР))], где у * =у 0(1 + w 6/6*) — величина предельной деформации; Л(уР) = 2 уР/ у* — функция линейного упрочнения; D(YР) = (у Р/ у*)2 — функция, описывающая накопление повреждений в ходе неупругой деформации; у 0 — пластическая деформация начала разрушения при отсутствии обжимающего (сдерживающего) давления; h, w и 6* — параметры.
Для решения системы уравнений использовалась явная конечно-разностная схема, подробно изложенная в [9]. Задачи решались в двумерной постановке для условий плоской деформации. Подробное описание используемого подхода моделирования и необходимые соотношения можно найти в работах [10-12].
3. Результаты моделирования
3.1. Влияние жесткого блока на начало разрушения в зоне разлома
В работе не обсуждаются условия и причины формирования заданных условий нагружения. Предполагается, что тектонические смещения или вязкое течение мантии приводят к напряженному состоянию, обуславливающему сдвиг вдоль разлома, вблизи которого расположен блок, имеющий более высокие упругие и прочностные характеристики. Данный блок в дальнейшем будем называть жестким. Зона разлома, напротив, представляет собой полосу ослабленного материала. Такие условия соответствуют области в районе Чаган-Узун-ского блока, вблизи которого находился эпицентр Алтайского (Чуйского) землетрясения 2003 г.1
Сначала рассмотрим напряженно-деформированное состояние, возникающее в области, разделенной полосой ослабленного материала, имитирующей разлом и содержащей более жесткий, чем вмещающая среда, блок (рис. 2, а, б). Значения использованных параметров приведены в табл. 1.
Основной материал Разлом Жесткий блок
р, г/см3 2.7 2.6 2.8
К, ГПа 53.8 50 58
ц, ГПа 35.0 30 42.6
со, МПа 45 25-35 50
а 0 0.65 0.62 0.67
Л 0 0.17 0.08 0.21
Vp, км/с 6.1 5.88 6.4
Vs, км/с 3.6 3.4 3.9
1 Такая постановка задачи представляет собой упрощенный вариант ситуации в районе Алтайского (Чуйского) землетрясения 2003 г. и была предложена ак. С.В. Гольдиным
В условиях сдвиговой деформации вдоль разлома за счет различия механических характеристик происходит небольшой, в пределах упругой деформации, поворот жесткого блока по часовой стрелке. В результате такого поворота возникают зоны разрежения и сжатия (рис. 2, а), которые в комбинации с интенсивностью сдвиговых напряжений задают распределение кулонов-ских напряжений (рис. 2, б), определяющих сдвиговую прочность материала. Здесь величину С = (т-а6)/с мы будем называть нормированными кулоновскими напряжениями.
Ортогонально разлому возникает разрежение в результате поворота блока по часовой стрелке, тогда как вдоль разлома растяжение связано с действием сдвига. Таким образом, распределение давления вокруг жесткого включения-блока приобретает характерный вид лепестков. Очевидно, что в таких условиях разрушение будет инициировано в области разрежения (и в первую очередь, ортогонально действию направления оси растяжения или наименьшего сжатия), т.е. разрыв начнет распространяться в области пересечения зоны разрежения с разломом. Область пересечения разлома и зоны сжатия, наоборот, окажется упрочненной. На данном участке возможна приостановка распространения разрыва.
Следует заметить, если жесткий блок заменить мягким, то ситуация становится обратной: небольшой поворот, вызванный сдвигом, происходит в противоположном направлении, т.е. против часовой стрелки. Соответственно меняются местами и зоны разрежения и упрочнения, а как следствие, и места инициации развития и торможения разлома.
На напряженное состояние и интенсивность куло-новских напряжений в разломной зоне значительное влияние оказывают форма блока, его удаленность от разлома и ориентация. Похожая картина распределения напряжений возникает при рассмотрении области в окрестности Чаган-Узунского блока при сжатии в вертикальном (меридиональном) направлении (рис. 2, в). В
6
1°у Л ААА
б
-0.285
■ -0.205
6х
ш 1
|°у
6
6
в
С
ю
1 \ 6 1 1
6
0.891
0.829
0.767
0.705
0.643
0.581
0.518
0.456
0.394
0.332
0.270
Рис. 2. Распределения давления (ГПа) (а) и нормированных кулоновских напряжений в начале развития разлома в области жесткого блока (б). Нормированные кулоновские напряжения в области Чаган-Узунского блока, показанного белой пунктирной линией (в). Светлая область, где действуют наибольшие напряжения, является местом инициации разрыва
зоне влияния блока хорошо виден участок повышенных кулоновских напряжений, что определяет место и характер развития разрыва (рис. 3). Инициация неупругой хрупкопластической деформации происходит в области с максимальными значениями этих напряжений, в данном случае в области пересечения с разломом. От указанного участка разрыв распространяется вдоль блока на юго-восток, а затем в обратном направлении. В условиях, близких к однородному удаленному сдвигу, скорость распространения разрыва оказывается очень высокой. В рассмотренных ситуациях происходит быстрое распространение разлома с резким сбросом напряжений, что обусловлено геометрией и схемой нагружения.
Проведенные расчеты для схемы нагружения, представленной на рис. 4, показали, что характер и направление развития разрыва зависят от соотношения между величиной сцепления и прочностью, обусловленной трением в разломе. Для диапазона нагрузки (6 х, 6 у = = 0.25-25 МПа), когда величина сцепления превышает трение, от места инициации разрыв распространяется, в первую очередь, вдоль блока, а затем по всему разлому.
Однако при большем сжатии перпендикулярно линии разлома (6х = 50 МПа, 6у = 150 МПа), когда трение становится существенно выше, юго-восточная область разлома вблизи блока оказывается заблокированной и возрастает влияние самого блока. В этом случае разрыв распространяется сначала вдоль блока, а затем в северозападном направлении (рис. 4, а). При нагрузках 6х = 50 МПа, 6у = 250 МПа, когда уровень касательных напряжений во всей области близок к пределу прочности среды, вокруг блока интенсивно развивается неупругая деформация, наиболее активно вдоль юго-восточной и северо-западной границ блока (рис. 4, б).
Полученные результаты соответствуют условиям, когда прочность среды возрастает с ростом давления, т.е. для условий плотной консолидированной среды с небольшой пористостью или при невысоком уровне давления. Однако в разломной зоне уровень повреждений, пористости и трещиноватости может быть достаточно высоким. Тогда при больших значениях давления возможно выполнение условий, необходимых для уплотнения среды (рис. 1), а участок уплотнения станет
а |
Рис. 3. Интенсивность сдвиговой деформации в последовательные моменты времени при развитии разлома
6х
[а\ С-3 ю-в
г 1 Л7 1 1
б
\в\
0.0159 -0.0143 0.0127 -0.0111
- 0.0096 0.0080 0.0064 0.0048 0.0032 0.0016 0.0000
1.3843 1.2459 -1.1074 0.9690 0.8306 У 0.6922 У 0.5537 У 0.4153 У 0.2769 У 0.1384
I—I- 0.0000
0.0051 0.0046
- 0.0041 0.0036 0.0031
У 0.0026 ^ 0.0020 ^ 0.0015
I- 0.0010
I 0.0005
I—I- 0.0000
Рис. 4. Интенсивность сдвиговой пластической деформации. Хорошо видны участки зарождения и направления развития разлома при малой величине среднего напряжения, когда величина когезии превосходит трение (а), при высоком уровне среднего напряжения и касательных напряжений во всей области (б) и при больших значениях среднего напряжения и высокой поврежденности в разломе с учетом уплотнения (в)
местом инициации разрыва. В ходе дальнейших смещений без увеличения сжатия уплотнение развиваться не будет, дилатансия может вновь поменять знак. Но в условиях, близких к критическим, основное значение имеет инициация разрыва, поэтому рассмотрение различных механизмов может быть важным.
Приняв во внимание возможность уплотнения среды при давлениях, превышающих пороговое значение 61, было получено, что в этом случае местом инициации разрыва станет область разлома вблизи юго-восточного края блока (рис. 4, в). Первоначальное направление развития разрыва — юго-восток, а затем по всему разлому. Наиболее упрочненной областью будет северо-западная граница блока.
Очевидно, что в реальной ситуации более вероятной будет реализация различных условий инициации и рас-
пространения разрыва. В ходе развития смещений в разломе возможна и смена знака дилатансии в соответствии с чередованием механизмов разрыхления и уплотнения среды.
3.2. Скорость распространения разрыва
Рассмотрим случай, когда жесткий блок немного перекрывает разлом, тем самым создавая перемычку, препятствующую смещению стенок разлома (рис. 5). В этом случае разрушение среды в области перемычки происходит достаточно медленно. Сначала разрушение протекает в наиболее слабой области среды, слева от разлома, т.к. прочность включения превосходит прочность окружающей среды. Однако криволинейный путь разрушения не обеспечивает свободного смещения берегов, в результате чего развивается разрушение включения. Такая схема обеспечивает на начальном этапе плавную подвижку разлома по мере разрушения перемычки, которое сопровождается незначительным сбросом напряжений. Интенсивное высвобождение энергии происходит на этапе полного разрушения перемычки и последующего распространения разрыва с большой скоростью.
Остановимся на развитии разрыва в случае, когда его продвижению препятствовали жесткие блоки (рис. 6, а). Допустим, что в некоторый момент времени, когда накопился достаточно высокий уровень напряжений, произошло разрушение перекрывающих разлом блоков. Моделирование развития разрыва осуществим двумя различными способами: в рамках приближения трещины сдвига без учета трения на поверхностях и в рамках упруго-хрупкопластической модели. Моделирование распространения трещины выполним с учетом образования новых поверхностей путем разделения узлов расчетной сетки [13]. Условие распространения тре-
Рис. 5. Концентрация напряжений на начальном этапе разрушения перекрывающего разлом блока: нормированные кулоновские напряжения
J i i i
Длина разрыва а, м
Рис. 6. Схема расчетной области (а): разрушенная область (1), жесткие блоки (2), линия разлома (3); скорость распространения разрыва вдоль линии разлома (б): сверхскоростное распространение трещины сдвига (1), распространение трещины в «нормальном» режиме (2), распространение разрыва при различных степени поврежденности в разломе и величине сжатия (3-5)
щины запишем в виде: 6Т =6{. Предполагается, что разрыв распространяется вдоль линии разлома и ветвление невозможно. Скорость разрыва определялась как отношение приращения его длины к соответствующему интервалу времени.
При отсутствии перекрывающих разлом блоков наблюдалось постепенное увеличение скорости распространения трещины (рис. 6, б, кривая 2 и 7, а). Рост скорости происходил по мере увеличения длины трещины и прихода упругих волн из противоположной вершины. Однако в случае, если прочность блоков существенно превышает прочность разлома, уровень сдвигающих напряжений в вершине трещины может превышать необходимую для распространения в остальной части разлома величину. Тогда после разрушения блока происходит быстрое распространение разрыва, скорость которого может превысить скорость распространения поперечных волн в основной среде (рис. 6, б и 7, б).
Аналогичные результаты получены и в рамках упруго-хрупкопластической модели. В условиях сдвига при незначительной величине нормальной сжимающей нагрузки распространение разлома, который характеризовался пониженной, по сравнению с окружающей средой, величиной сцепления, может происходить в ре-
жиме сверхбыстрого распространения, когда скорость превышает поперечную и приближается к скорости продольных волн. На скорость распространения разлома существенное влияние оказывает величина трения, а также упрочнение материала. Например, при отсутствии трения между бортами разлома, что возможно в ситуации, когда сжимающая нагрузка мала, скорость распространения трещины-разлома оказывается выше скорости поперечной волны (рис. 6, б). При величине давления 5 МПа скорость составляла ~3.58 км/с, при 2.5 МПа — от 4.4 до ~5 км/с.
На характер распространения разрыва влияет не только абсолютная величина упрочнения, но и предельная деформация, после которой преобладает деградация среды. Чем больше величина предельной деформации, тем более плавный и многоступенчатый характер имеет смещение стенок разлома, даже при более высоком уровне сдвигающей нагрузки. Ступенчатый характер приращения скорости обусловлен приходом продольных волн, инициированных разрушением перемычки и отраженных от другой вершины.
Полученные результаты о сверхбыстром распространении разрыва могут показаться противоречащими представлениям об ограниченности скорости распрост-
Рис. 7. Распределение интенсивности касательных напряжений при распространении трещины сдвига вдоль ослабленной зоны в обычном режиме при отсутствии блоков (напряжение старта равно напряжению продвижения) (а) и в сверхскоростном (supershear rupture) режиме после разрушения блоков (напряжение старта больше напряжения продвижения) при запрете ветвления (б)
ранения трещин. Принято считать, что предельной скоростью распространения трещин является скорость рэ-леевской волны. Известно, что наибольшую энергию вдоль свободных поверхностей несет волна Рэлея, она имеет наибольшую длину и амплитуду смещений. Можно ожидать, что именно она способна обеспечить продвижение трещины. Теоретические оценки предельной скорости распространения говорят о величине скорости волны Рэлея Ся лишь для трещин отрыва. В экспериментах обычно скорость не превышает существенно меньшей величины: при скорости порядка 0.3-0.4 от скорости волны Рэлея Ся наблюдается интенсивное ветвление, приводящее к снижению скорости, например [14, 15].
Однако имеются наблюдения о развитии сдвиговых трещин со скоростью, превышающей скорость поперечных волн С8 и приближающейся к скорости продольных волн СР, например [7, 8]. Значит, разумным объяснением будет то, что в определенных условиях перенос необходимой для продвижения трещины энергии может осуществить продольная волна. В [16, 17] показано, что наблюдаемая в сейсмике скорость распространения разрывов, превышающая С8, не противоречит асимптотическим выражениям. В [18] показано, что при приближении скорости распространения к скорости волны Рэлея увеличивается размер области, в которой материал претерпевает неупругую деформацию, и, как следствие, растет энергия разрушения. Это объясняет редкость наблюдений высокоскоростного суперрэлеевс-кого распространения разрывов.
4. Заключение
Смоделировано развитие деформации и распространения разрыва в разломе при наличии жесткого блока. На примере области в окрестности Чаган-Узунского блока рассмотрено влияние напряженного состояния на место инициации и направление развития разрыва.
Показано, что при анализе разломов, где повреж-денность и пористость существенно выше, чем в окружающей среде, необходимо принимать во внимание возможность реализации различных механизмов развития неупругой деформации.
Получено, что в условиях сдвига может происходить сверхбыстрое распространение разрыва вдоль линии разлома со скоростью, превышающей скорость поперечных и приближающейся к скорости продольных волн. Это возможно в случаях, когда развитию разрыва
препятствовал участок сильно упрочненной среды или
блок, выполняющий функцию перемычки.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 07-05-00274-а), а также Программы Президиума РАН 16.3 и Интеграционного проекта СО РАН № 87.
Литература
1. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. - М.: Недра,
1996. - 448 с.
2. Schultz R.A., Siddharthan R. A general framework for the occurrence and faulting of deformation bands in porous granular rocks // Tectono-physics. - 2005. - No. 411. - P. 1-18.
3. Zhu W, Wong T. The transition from brittle faulting to cataclastic flow. Permeability evolution // J. Geophys. Res. B. - 1997. - V. 102. -No. 2. - P. 3027-3041.
4. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975. - С. 166-177.
5. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория плас-
тичности // Механика твердых деформируемых тел. Т. 6. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1972. - С. 5-85.
6. Grueschow E., Rudnicki J.W. Elliptic yield cap constitutive modeling for high porosity sandstone // J. Solids Struct. - 2005. - V. 42. -
P. 4574-4587.
7. Dunham E.M., Archuleta R.J. Evidence for a Supershear Transient during the 2002 Denali Fault Earthquake // Bull. of the Seismological Society of America. - 2004. - V. 94. - No. 6B. - P. S256-S268.
8. Abraham F.F., Gao H. How fast can cracks propagate? // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - No. 14. - P. 3113-3116.
9. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
10. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т.5. - №5. - С. 107-118.
11. СтефановЮ.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. ме-зомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 129-142.
12. СтефановЮ.П., ТъерселенМ. Моделирование поведения высокопористых геоматериалов при формировании полос локализованного уплотнения // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 93106.
13. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды: применение к расчету деформирования и разрушения горных пород // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 107-114.
14. Ravi-Chandar K. Dynamic fracture of nominally brittle materials // Int. J. Fracture. - 1998. - V. 90. - P. 83-102.
15. Sharon E., Fineberg J. The dynamics of fast fracture // Adv. Engng. Mater. - 1999. - V. 1. - No. 2. - P. 119-122.
16. FreundL.B. Dynamic Fracture Mechanics. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. - 484 p.
17. BrobergK.B. Differences between Mode I and Mode II Crack Propagation // Pure Appl. Geophys. - 2006. - V. 163. - No. 9. - P. 18671879.
18. Poliakov A.N.B., Dmowska R., Rice J.R. Dynamic shear rupture interactions with fault bends and off-axis secondary faulting // J. Geophys. Res. B. - 2002. - V. 107. - No. 11. - P. 2295.
Поступила в редакцию 15.11.2007 г.
