ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ НА АЛГЕБРЕ ЛИ $e(3)$ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9+531.01

Об эллиптических координатах на алгебре Ли e(3)*

А. В. Цыганов

Санкт-Петербургский государственный университет 199034, Россия, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9 e-mail: [email protected]

Получено 28 октября 2006 г.

Построены эллиптические координаты на дуальном пространстве к алгебре Ли e(3), которые при нулевом значении соответствующей функции Казимира совпадают с обычными эллиптическими координатами на кокасательном расслоении к двумерной сфере. Обсуждается вопрос о возможном применении данных координат в теории интегрируемых систем.

Ключевые слова: эллиптические координаты, интегрируемые системы, разделение переменных

A. V. Tsiganov On elliptic coordinates on the Lie algebra e(3)

Elliptic coordinates on the dual space to the Lie algebra e(3) are introduced. On the zero level of the Casimir function, these coordinates coincide with the standard elliptic coordinates on the cotangent bundle to the two-dimensional sphere. The possibility of use of these coordinates in the theory of integrable systems is discussed.

Keywords: elliptic coordinates, integrable systems, separation of variables Mathematical Subject Classifications: 35A20, 39A10, 35A25

‘Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00140). ______________________НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА, 2006, Т. 2, №3, с. 347-352

Алгебра Ли е(3) = so(3) ® R3 группы движения евклидова пространства E(3) является полупрямой суммой алгебры вращений so(3) и абелевой алгебры сдвигов в R3. На многообразии Ж ~ е*(3) определим координаты x = (#i,x2,x3) G R3 и J = (J1,J2,J3) G so(3) ~ R3. Скобка Ли-Пуассона для линейных функций на е* (3), т.е. для элементов алгебры е(3), совпадает со скобкой Ли в e(3)

{Ji ,Jj } = £ijk Jk, {Ji ,xj} = Eijk xk, {xi,xj } = 0 , (1)

где eijk — полностью кососимметричный тензор. На произвольные гладкие функции эта скобка продолжается с помощью тождества Лейбница.

Скобка (1) вырождена и обладает двумя функциями Казимира

n=3 n=3

A =|x|2 = ^2j B = (x,J) = Y^ xj Jj ■ (2)

j=i j=i

Орбиты коприсоединенного представления

Оаъ = {x,J : A = a2, B = b} , (3)

являются четырехмерными симплектическими многообразиями, которые топологически эквивалентны кокасательному расслоению T*S2 к двумерной сфере S2 = {x G R3, |x| = a} вложенной в R3.

Если b = 0, то существует симплектическое преобразование, которое отождествляет T *S2

и °а0

n=3

р : (p,x) ^ J = p Л x, Ji = ^ EijkPj xk ■ (4)

j,k=1

Здесь p — сопряженный вектору x вектор импульса в T*R3, {pi, xj} = 5ij, а вложение сферы S2 в R3 приводит к существованию связи (x,p) = 0.

Если b = 0, то симплектическая структура многообразия Oаъ отличается от стандартной симплектической структуры на многообразии T*S2 добавкой магнитного слагаемого, пропорционального b [1].

Целью данной работы является описание данного магнитного слагаемого с помощью стандартных эллиптических координат на сфере S2, т.е. описание поднятия эллиптических координат, определенных при b = 0, до координат Дарбу на многообразии е* (3) при b = 0.

Эллиптические координаты u1, u2 на сфере S2 определяются как корни уравнения (см. [2])

j=1

где ^>(А) = П3=1 (А — 5j), а 8j• — параметры задающие область определения

< П1 <82 <П2 < 83. (6)

Используя скобки (1), можно легко доказать, что переменные

3

j=l j

и координаты «1,2 удовлетворяют соотношениям

{щ,и2} = О, {тг °,и,-} = 5^-, {тт?,7Г2} = 7^-^===, (8)

4а у/(р(п1 )^(П2)

которые следуют из скобок Пуассона для производящих функций

{е(А), е(^)} = 0, |в(А), Н(р)} = -а-2в(А) е(^) -

е(А) - е(^)

{д(А),ад} =

А — ^

Ь Ж1Ж2ж3(А - /х)(^1 - 52)(52 - 53)(53 - 5^

4а2 <р(А )(р(ц) '

Из соотношений (8) следует известный факт, что при Ь = 0 переменные и 1;2 и П02 являются координатами Дарбу на многообразии Т*§ ~ Оа0.

Эллиптические координаты щ и параметры 5j• определены с точностью до линейных преобразований щ ^ ащ + в и 5j ^ a5j + в, так что всегда можно положить

51 =0, 52 = 1, 5з = к2 > 1.

Используя (8) и это соглашение, можно доказать следующее

Предложение 1. При Ь = 0 эллиптические координаты и1)2 (5) и сопряженные им импульсы

О ь* * и1,2 77 ■'Л2 - и2,1 к \

- &/и. Л,2 = ^^_р^-----—

образуют полный набор координат Дарбу на многообразии е* (3)

{«1 ,«2} = {П1 ,П2} = 0, {п*,щ} = 5^ .

Здесь ^(г, к) — неполный эллиптический интеграл первого рода, который является обратной функцией к эллиптической функции Якоби 5п(я, к) [3].

Так как функции /1>2 зависят только от координат и1;2 и не зависят от переменных п0 2, то для доказательства данного предложения необходимо проверить только одно соотношение

{7Г1, ТГ2} = {тг?, 7Г§} - Ъ{7Г?, /2} + 6{тг§, /1} = {тГ0, 7Г§} - 6

_ г_о о-. Ь - - 2^

-у/к2—«1 к \ / -у/к2—«2 к \ \

к2 —1 / I к к2 —1

«2 \ / «1

\/^(« 2) (9“1 (9ад2

V /

Справедливость данного соотношения следует из соотношения (8) и свойств неполного эллиптического интеграла первого рода ^(г, к).

Импульсы п1,2 (9) определены с точностью до канонических преобразований, например, вместо функций /1,2 (9) можно использовать функции

? (-1)* УуЫ^Ы - = 1о

_ 2(п! — и2) <р(щ) ’ ’

0

В своей области определения (6) переменные «1,2 (5) и п1;2 (7-9) являются вещественными. Обратное преобразование (и, п) ^ (ж, J) имеет вид

^ = аУ№-И)(1-Ц' ^=^2(^ + <гЛ^)- СО)

где т = і = п и г — вектор с компонентами

_ 2ж^- /у(пі)(7Гі + Ь/і) _ у(п2)(7г2 + Ь/2)Л

У1 — у — иі — и2 у

Определенные соотношениями (5) и (7—9) эллиптические координаты на алгебре е(3) могут быть различным образом использованы в теории интегрируемых систем, так же как и эллиптические координаты на римановых пространствах постоянной кривизны Жп и оп §п [2]. Например, подставляя выражения (10) в гамильтониан

НС1 = 2(^1 + ^2 + 4) + 2^іЖі + ^2Ж2 + &Жз).

отвечающий интегрируемому случаю Клебша в уравнениях Кирхгофа, мы получим этот гамильтониан в терминах эллиптических координат на е* (3)

2( ¥>(И! )(п! + 6/, )2 — ¥>(И2 )(п2 + Й/2 )2) “ (“‘ + “2 ті! 5т)

= ^^------------------------------>--------------------Т^— + & т

Так как функции /1>2 зависят и от и1, и от и2, то этот гамильтониан не принадлежит штеккелев-скому семейству интегралов движения [4].

Тем не менее, если ввести матрицу Штеккеля

( «1 «2 ь _\,11

квазиштеккелевский вектор в и обычный штеккелевский потенциал и

$3 = Ыщ) (ь- + Ь/з(и1} и2)) , из = \[^ + из Е а™ I '

V т=1 /

то гамильтониан Не (11) можно рассматривать как деформацию штеккелевского интеграла движения

3

62 2

г' = н-'-^ = Т,{-Ч1я> + и0’ <*2»

і=і

в которой компоненты вектора Штеккеля sj• зависят от одного импульса и пары координат иі,2, поэтому, {s1, s2} = 0. При 6 = 0 интеграл движения I, принимает обычный штеккелевский вид в котором компоненты вектора Штеккеля s j зависят только от одной пары координат Дарбу и Щ и, поэтому, {Sl, S2}|ь=o = 0.

Второй интеграл движения

/2 = 51 /2 + 52 ^2 + 53 ^3 — 5253 Х1 — 5153х2 — 5152 х3)

является более сложной деформацией стандартного штеккелевского интеграла

Т I гЛ I Ь(7Т1+Ь/1-1Г2-Ь/2) Ъ2

'2-2^0 -Ъ + и,) +-------------2аЦжЧ,ж°2}--------V ( *

в которой не только компоненты вектора Штеккеля Sj зависят от импульса и пары координат «1,2, но и появляются два дополнительных слагаемых пропорциональных Ь.

Легко видеть, что эллиптические координаты не являются переменными разделения в соответствующем интегралам движения 11,2 уравнении Гамильтона-Якоби. Этот результат совпадает с результатами работ [6, 7], в которых для доказательства использовались скорости

^ 4^(щ,2)(П1,2 + Ь/1,2)

Щ 2 = ----------------------

1,2 и1 — и2

вместо импульсов п1,2, и результатами работы [8], в которой эллиптические координаты и 1,2 названы «переменными Ковалевской». В работе [5] интегралы 11 (12) и 12 (13) названы квазиштек-келевскими интегралами специального вида.

Подставляя выражения (10) в интегралы движения для интегрируемых систем Кирхгофа и Стеклова—Ляпунова, можно получить другие семейства квазиштеккелевских интегралов. Так же как и для системы Клебша эллиптические координаты не являются переменными разделения в соответствующем этим системам уравнении Гамильтона-Якоби.

С другой стороны, подставляя построенные нами эллиптические координаты в штеккелев-ский интеграл вида

- 2 / \ Ъ2

Н = ^2{S7is3 + U3J + 2^2 > где s3 = vMrf

Ь2

[^'1 + из) + '

j=1

можно получить интегрируемую деформацию системы Клебша, для которой функция Гамильтона

является суммой гамильтониана для случая Клебша, линейного по моментам J* слагаемого и потенциала В (ж). Здесь коэффициенты А*( х) и потенциал В(х) являются эллиптическими функциями координат ж*, выражения для которых мы не приводим из-за их громоздкости. Соответствующую интегрируемую систему можно рассматривать как двигающееся в идеальной несжимаемой жидкости твердое тело в присутствии магнитного поля.

Аналогичным образом можно построить деформации систем Кирхгофа и Стеклова—Ляпунова, в которых будут так же присутствовать линейные по моментам J* слагаемые.

Список литературы

[1] Новиков С.П., Шмельцер И. // Функц. анализ и его прил., 1981, т. 15, в. 3, с. 54—66.

[2] Kalnins E. G. Separation of Variables for Riemannian Spaces of Constant Curvature. Longman Scientific & Technical, Essex, 1986.

[3] Abramowitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications Inc., New York, 1965, 1046 p.

[4] Цыганов А. В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных // Рег. и хаот. дин., 2005, 384 с.

[5] Марихин В. Г, Соколов В. В. // Усп. мат. н., 2006, т. 60, в. 5, с. 175—176.

[6] Харламова Е. И. // Изв. Сиб. Отд. АН СССР, 1959, т. 6, с. 7—17.

[7] Komarov I. V, Tsiganov A. V. // J. Phys. A, 2005, V. 38, p. 2917-2927.

[8] Marikhin V. G., Sokolov V. V. // Reg. Chaot. Dyn, 2005, V. 10, No. 1, p. 59-70.