Об электростатической неустойчивости объемно заряженной струи диэлектрической жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ТЕХНИКЕ И ХИМИИ

А.И. Григорьев, С. О. Ширяева

ОБ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ОБЪЕМНО ЗАРЯЖЕННОЙ СТРУИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000, Россия, shir@Mniyar.ac.ru

Введение. Феномен электродиспергирования жидкости широко используется в технике и технологии (см., например, [1-6] и приведенную там литературу). Закономерности реализации капиллярно-электростатической неустойчивости и распада на капли заряженных струй жидкости подробно исследованы как экспериментально, так и теоретически [1-6]. Тем не менее некоторые вопросы, связанные с обсуждаемым феноменом, остались за рамками проведенных исследований. В частности, сказанное относится к особенностям распада на отдельные капли весьма сильно заряженных струй, которые обошли вниманием теоретики, а экспериментаторы [7-8] лишь отметили факт необычной феноменологии распада струи при больших плотностях поверхностного заряда, не предложив никакой физической трактовки наблюдаемому феномену. Согласно данным экспериментов [7-8] сильно заряженные струи, выбрасываемые с вершины мениска жидкости на вершине капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему, разветвляются, выбрасывая с боковой поверхности дочерние струйки, как ветки дерева от ствола, и распадаются на капли именно дочерние струйки. Ветвление струи происходит путем выбрасывания хаотическим образом с поверхности основной струи под углом к ее оси нескольких существенно более тонких струек, распадающихся на мелкие капельки. Физическое истолкование описанной картины распада сильно заряженных струй дано в [9].

Хорошо известно, что при достаточно больших напряженностях электрического поля у поверхности идеально проводящей жидкости - сферической капли [10-11] или плоской поверхности - жидкости [12-13] претерпевают неустойчивость по отношению к отрицательному давлению электрического поля, на них образуются эмиттирующие выступы, называемые «конусами Тейлора» [14]. С вершин конусов Тейлора выбрасываются тонкие сильно заряженные струйки жидкости, распадающиеся на отдельные капельки, уносящие избыточный заряд с поверхности последней [15]. Именно такой механизм избавления от избыточного заряда предложен в [9] и для струи идеально проводящей жидкости при достаточно больших напряженностях электрического поля у ее поверхности. В настоящей работе предполагается исследовать возможность реализации электростатической неустойчивости боковой поверхности струи объемно заряженной диэлектрической жидкости.

Формулировка задачи. Пусть дана бесконечная, движущаяся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью ио цилиндрическая с радиусом К струя идеальной несжимаемой жидкости с

массовой плотностью р, диэлектрической проницаемостью и коэффициентом поверхностного натяжения с, имеющая радиус К. Окружающее струю пространство характеризуется диэлектрической проницаемостью 8ех и пренебрежимо малой массовой плотностью. Примем, что струя заряжена и что в рамках модели "вмороженного" заряда он распределен равномерно по объему с плотностью ц, при этом на единицу длины струи приходится заряд п = пК.

Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для упрощения задачи перейдем в инерциальную систему координат, движущуюся вместе со струей с такой же скоростью ио.

© Григорьев А.И., Ширяева С.О., Электронная обработка материалов, 2009, № 6, С. 35-41.

Очевидно, что в такой системе отсчета поле скоростей течения жидкости в струе и (г, I)

полностью определяется возможными (имеющими, например, тепловую природу) капиллярными осцилляциями ее поверхности и является величиной такого же порядка малости, что и амплитуда колебаний. Будем искать критические условия реализации неустойчивости капиллярных колебаний поверхности такой струи.

Все расчеты проведем в цилиндрической системе координат с осью 02, совпадающей с осью симметрии струи, ее орт пг которой направлен вдоль вектора скорости ио. В безразмерных переменных, в которых радиус струи Я, плотность жидкости р и коэффициент поверхностного натяжения с выбраны в качестве основных масштабов (Я = р = с = 1), уравнение свободной поверхности струи, подверженной произвольным осцилляциям малой амплитуды, может быть записано в виде

г = 1 + е-£(ф,г,*) ,

где в - амплитуда колебаний (в<<1); Ъ,(ф,г,{) - возмущение поверхности струи

вызванное капиллярными волнами на ее поверхности, порождаемыми уже тепловым движением молекул жидкости.

Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных осцилляций струи состоит из уравнений гидродинамики и электростатики (в предположении, что скорость движения жидкости много меньше релятивистской):

Л7Т -1

— + (и-У)и = — УР; сНуи = 0.

а v ; р

На поверхности струи (г = Я + ^) должны выполняться: - кинематическое граничное условие

dF_ dt

динамическое граничное условие

= 0,

F=0

-(Р - Ратм ) + С1УП - Рд = 0. На оси струи поле скоростей и должно быть ограничено:

г ^ 0: |и| < от.

Ратм - давление атмосферы; и(г,1), Р (г,1) - поле скоростей и поле давлений внутри струи; Р - давление электростатического поля на поверхность струи, которое вычисляется из краевой

и вне Ф струи соответственно:

Дфп = , Аф - = ^

г = R + § : = °х, zinn-УФгй = e„n-VO^,

r ^ 0: Фш ^ 0, r ^да: 0х ^0.

Отметим, что в модели диэлектрической струи заряд "вморожен" в жидкость и на поверхности нет свободных зарядов. Поэтому зависимость электрического потенциала Ф от времени полностью определяется изменением во времени формы поверхности струи, а зависимость от

пространственных переменных потенциалов внутри Фи вне струи Фех может быть найдена из решения выписанной электростатической задачи.

£in

Кроме выписанных условий должно выполняться требование постоянства объема участка струи, длина которого равна длине волны Я:

z0 + X 1+£ 2п

III ёгтётёф = пХ.

z0 0 0

Дисперсионное уравнение. Решение сформулированной задачи будем искать в виде

£ (ф, z, t ) = С1 • ехр [/(kz -Ш + т ф)];

у (г, t ) = С2 • 1т (кг )• ехр [/ (kz -Ш + т ф)];

Фп (г, t) = С3 • 1т (кг) • ехр[/ (kz -Ш + т ф)];

Фех(г,t) = С4 • Кт (кг)• ехр[/(kz-Ш + тф)]. (1)

1т (к) и Кт (к) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода; т - азимутальный

параметр; С^ - неопределенные константы. Не останавливаясь подробно на процедуре отыскания

решения, детально разобранной в [6, 16], выпишем сразу дисперсионное уравнение задачи для азимутального числа т = 2 :

Ш = я (к )[з + к2 + Ж Г (к, егп, еех)]; Ж - пц2 - п2Д; (2)

Г(к'6", Е'х ^(е. ,•* (к)-е! • к (к)) „е„ (" - Е-х)2 я (к )к (к) +

гп ех

+еш ( ет еех )я (к) + 3 еех (егп еех

)к(к) + 4

е гпе ех

, ч к13 (к) , , кК3 (к)

Зарядовый параметр

Ж определяется как отношение давления электрического поля собственного заряда на поверхность струи к давлению сил поверхностного натяжения под ее цилиндрической поверхностью. Поскольку Ж выражается через заряд, приходящийся на единицу длины струи, и в математическую формулировку задачи не входят никакие физические характеристики его переноса, то полученное дисперсионное уравнение может быть использовано и для исследования волн на однородно заряженной поверхности идеально проводящей струи при выполнении в дисперсионном уравнении предельного перехода егп ^да . В проводимом анализе, выполняемом с «физической»

степенью точности, условие егп ^ да можно заменить на более слабое: егп ^ 1. В итоге дисперсионное уравнение (2) может применяться для анализа электростатической неустойчивости боковой поверхности струи с любой конечной электропроводностью.

Анализ полученных результатов. Из дисперсионного уравнения (2) видно, что поскольку множитель я (к) всегда положителен, то независимо от величины параметра Ж поверхность струи

устойчива по отношению к виртуальным волновым деформациям с т = 2, когда выражение, стоящее в квадратных скобках, в правой части дисперсионного уравнения, положительно. Появление комплексно сопряженных решений дисперсионного уравнения, соответствующих неустойчивым волнам, связано с прохождением правой части дисперсионного уравнения через ноль в область отрицательных значений, что возможно при Г (к е ■ е )< 0 и при достаточно больших значениях параметра

ц \ ' т ех /

Ж , когда выполняется соотношение

ж>, ,3 +к2 ,,. (з)

(к, еш, еех )|

Из рис. 1 видно, что функция К (кг- 8 ) всегда отрицательна и для реализации электростатиче-

w \ ' ex J

ской неустойчивости достаточно, чтобы зарядовый параметр удовлетворял соотношению (3). В этом случае дисперсионное уравнение будет иметь два мнимых комплексно сопряженных корня. Корень с положительным знаком при мнимой единице будет соответствовать появлению винтообразных волновых возмущений с m = 2 на поверхности струи. Амплитуда таких возмущений будет экспоненциально нарастать со временем, и с их вершин будут выброшены дочерние струйки, распадающиеся на отдельные капельки в полном соответствии с теорией [6, 9] и данными экспериментов [7-8].

На рис. 2 приведены зависимости квадрата частоты от волнового числа волны на поверхности

струи с2 = с2(к), рассчитанные при m = 2 и гех = 1 для различных значений диэлектрической проницаемости жидкости 8in и зарядового параметра W . Неустойчивым волнам с m = 2 на по-

2

верхности струи соответствуют состояния с с < 0 . Кривые, касающиеся оси абсцисс при заданной

диэлектрической проницаемости sin, соответствуют критическому для начала реализации

* *

зарядовому параметру W . Из рис. 2 видно, что W с увеличением диэлектрической

*

проницаемости жидкости изменяется немонотонно: W по мере увеличения 8in сначала немного

растет, достигая, как показывает расчет, максимума (W* « 3,52) при 8in « 3,1, а затем уменьшается

до W «2,89 при 8in = 80. Волновое число, соответствующее точке касания кривой С =С(к)

оси абсцисс, при этом растет. Для фиксированных значений зарядового парметра W величина инкремента наиболее неустойчивой волны и соответствующего ей волнового числа увеличивается с ростом диэлектрической проницаемости жидкости Б-п. Этот вывод подтверждается и результатами

расчетов, проиллюстрированных рис. 3, где приведены поверхности, определяющие положение границ области реализации электростатической неустойчивости струи в пространстве параметров {к, гп, W}, пересеченные плоскостью W = Wc = const. Из рис. 3 видно, что площадь

геометрического места точек, на котором при заданном Wc реализуется электростатическая неустойчивость боковой поверхности струи, зарождающаяся при гех = 1, W = 2,89 в окрестность точки 8-п = 80 и к ~ 0,78, увеличивается с ростом Wc, расширяясь в обе стороны по к и в сторону уменьшения 8in (при принятом ограничении 8in сверху значением г-п = 80). При W = 3,04 левый по к край области реализации электростатической неустойчивости выходит при г1п = 80 на значение к = 0. При W = 3,13 передний по 8in край области реализации электростатической неустойчивости выходит на значения 8in < 20 . Расчеты показывают, что при W = 3,25 электростатическая неустойчивость может реализоваться уже при 8in = 10 в диапазоне значений волновых чисел 0 < к < 1.

Рис. 1. Зависимости р = р (£) при е = 1 и различных диэлектрических

Ц Ц V /

проницаемостях £■ струи. По правому краю сверху вниз: е,„ = 1,048 - жидкий гелий; е- = 5;

8in = 20 ' 8-п = 80

в г

Рис. 2. Зависимости квадрата частоты от волнового числа волны на поверхности струи, рассчитанные при гех = 1 для: а) = 1,048, Ж = 2; Ж = 3; Ж = 4; Ж = 5; б) = 5, Ж = 2; Ж = 3,41е Ж = 4; Ж = 5;в) еп = 20, Ж = 2; Ж = 3; Ж = 4; Ж = 5; г) Е.п = 80, Ж = 2; Ж = 2,89; Ж = 4; Ж = 5.

Рис. 3. Поверхность, определяющая положение границ области реализации электростатической неустойчивости струи в пространстве параметров {к, , Ж}, пересеченная плоскостью: а) Ж = 2,955; б) Ж = 3,04; в) Ж = 3,13

б

а

в

Ограничения, связанные с разрядными явлениями. То обстоятельство, что электростатическая неустойчивость боковой поверхности струи в широком диапазоне значений диэлектрической проницаемости жидкости реализуется при весьма больших значениях зарядового параметра (2,89 < Ж < 3,25), приводит к необходимости исследования возможности зажигания коронного разряда на поверхности струи. Точнее говоря, следует задаться вопросом, какие ограничения на радиусы струй и величины коэффициентов поверхностного натяжения диспергируемых жидкостей накладывает возможность зажигания коронного разряда.

Напряженность поля на поверхности объемно заряженного цилиндра радиуса К определяется известным выражением Е = 2яцК/еех. Коронный же разряд у гладкой цилиндрической поверхности в воздухе при нормальном атмосферном давлении в радиальном электростатическом поле зажигается согласно эмпирической формуле Пика [17] при Есг « 31- (1 + 0,308Д/Я) кВ/см, где К измерено в сантиметрах.

В размерном виде параметр Ж записывается как Ж = пц2 К3/ а = Е2 К/4 па. Подставив сюда найденное по формуле Пика предельное для зажигания коронного разряда в окрестности струи радиса К значение напряженности поля, можно найти максимально допустимую величину зарядового параметра (вычисляемого в Гауссовой системе единиц):

31 • (1 +

W =■

" cr

0,308

зоо • VR

)

R

4по

На рис. 4 приведены результаты расчета по этому соотношению в виде зависимости Wcr = Wcr (R, о),

пересеченные плоскостью W = const. Разрядные явления при заданном W = const не влияют на развитие гидродинамических явлений на поверхности струи на геометрическом месте точек, на котором поверхность Wcr = Wcr (R, о) расположена выше плоскости W = const и существенна там,

где поверхность Wcr = Wcr(R,о) уходит под плоскость W = const. Из рис. 4 видно, что при изменении зарядового параметра в диапазоне 2,955 < W < 3,13 коронный разряд на боковой поверхности струи не будет препятствовать реализации электростатической неустойчивости для струй жидкостей с достаточными радиусами: R > 25 + 30 в широком диапазоне изменения

величины коэффициента поверхностного натяжения (1 < е- < 70).

0,075

0,050

0,025

0,075

0,050

0,025

а б

Рис. 4. Зависимость критического значения безразмерного зарядового параметра Wcr от величины коэффициента поверхностного натяжения жидкости и, измеренного в dyne / cm, и радиуса струи R, измеренного в см, пересеченная плоскостью: а) W = 2,955; б) W = 3,13

Заключение. На основе анализа дисперсионного уравнения для осенесимметричных капиллярных волн с азимутальным числом т = 2 на поверхности сильно объемно заряженной цилиндрической струи идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости показано, что для

жидкостей с диэлектрическими проницаемостями, изменяющимися в широком диапазоне значений от zin = 1,048 для жидкого гелия до 8in = 80 воды, может иметь место электростатическая

неустойчивость боковой поверхности струи. Разрядные явления на боковой поверхности сильно заряженной струи, связанные с возможностью зажигания у поверхности струи коронного разряда, существенны для тонких струй с радиусами, которые меньше « 25.

Работа выполнена в рамках тематического плана университета при поддержке грантов: губернатора Ярославской области, Рособразования №2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084 и № 09-08-00148.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бураев Т.К., Верещагин И.П., Пашин Н.М. Исследование процесса распыления жидкостей в электрическом поле // Сб. Сильные электрические поля в технологических процессах. М.: Энергия, 1979. № 3. С. 87-105.

2. Ентов В.М., Ярин А.Л. Динамика свободных струй и пленок вязких и реологически сложных жидкостей// ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. "Механика жидкости и газа". 1984. Т.17. С.112-197.

3. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях // Электронная обработка материалов. 2000. № 6. С. 3-22.

4. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 3. С. 3-22.

5. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Воронина Н.В., Егорова Е.В. Об осцилляциях и спонтанном распаде заряженных жидких струй // Электронная обработка материалов. 2006. № 6. С. 15-27.

6. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. Спонтанный капиллярный распад заряженных струй. Ярославль: Изд. ЯрГУ, 2007. 340 с.

7. Cloupeau M., Prunet Foch B. Electrostatic spraying of liquids: main functioning modes // J. Electrostatics.

1990. V.25. P. 165-184.

8. Jaworek A., Krupa A. Classification of the modes of EHD spraying // J. Aerosol Sci. 1999. V.30. № 7. P.873-893.

9. Григорьев А.И. Электростатическая неустойчивость сильно заряженной струи электропроводной жидкости // ЖТФ. 2009. Т.79. Вып. 4. С. 35-46.

10. Rayleigh, Lord. On equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. 1882. V.14. P.184-186.

11. Григорьев А.И. О механизме неустойчивости заряженной проводящей капли // ЖТФ. 1986. Т.56. Вып.7. С. 1272-1278.

12. Tonks L.A. A theory of liquid surface rupture by uniform electric field // Phys. Rev. 1935. V.48. P. 562-568.

13. Френкель Я.И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме // ЖЭТФ. 1936. Т.6. № 4. С. 348-350.

14. Taylor G.I. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. R. Soc., London. 1964. V.A280. P.383-397.

15. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли // ЖТФ.

1991. Т.61. Вып. 3. C. 19-28.

16. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Об устойчивости неосесимметричных мод объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып. 11. С. 22-30.

17. РайзерЮ.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 592 с.

Поступила 07.05.09

Summary

On the base of dispersion equation for capillary waves on a surface of volumetrically charged jet of dielectric liquids analysis was found that for liquids with small permittivity can occur electrostatic instability of a jet surface.