О возможности полной стабилизации капиллярной неустойчивости струи диэлектрической жидкости продольным электростатическим полем Текст научной статьи по специальности «Физика»

С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, М.В. Волкова

О ВОЗМОЖНОСТИ ПОЛНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ КАПИЛЛЯРНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СТРУИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ ПРОДОЛЬНЫМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ ПОЛЕМ

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000, Россия, grig@uniyar.ac.ru

Введение. Хорошо известно, что любая изолированная система стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией. Поэтому цилиндрический столб жидкости будет неустойчив по отношению к самопроизвольному разбиению под действием сил поверхностного натяжения на сферические капли, общая площадь поверхности которых меньше площади цилиндрической поверхности [1-2]. Такую неустойчивость называют капиллярной, и она впервые была строго исследована Рэлеем в 19-м веке [5]. Он показал, что цилиндрический столб жидкости (струя) неустойчив по отношению к осесимметричным капиллярным волнам с длинами, удовлетворяющими соотношению X > 2лЯ, где Я - радиус столба жидкости (струи). Короткие же волны с X < 2пЯ могут распространяться по струе, не вызывая ее дробления на капли. Неосесимметричные волны (то есть волны с азимутальными числами т, отличными от нуля, т > 1) на незаряженной поверхности струи всегда устойчивы. Если же струю (как электропроводной, так и диэлектрической жидкости) зарядить так, чтобы в окружающем ее пространстве появилось радиальное по отношению к оси струи электрическое поле, то устойчивость ее поверхности понижается. В этом случае в зависимости от величины электрического заряда, приходящегося на единицу длины струи, становятся неустойчивыми и несколько первых неосесимметричных волн (т = 1;2;3...). Волна с т = 1, возбуждение которой приводит к из-гибной неустойчивости струи, теряет устойчивость уже при каком угодно малом заряде [4]. Колли-неарное же незаряженной струе внешнее электростатическое поле увеличивает устойчивость капиллярных волн на поверхности струи [6-7] за счет сокращения диапазона неустойчивых длин волн. В этой связи в [8] была высказана идея, что достаточно сильное электростатическое поле может полностью подавить капиллярную неустойчивость струи. Исследованию такой возможности и посвящена настоящая работа.

1. Формулировка задачи. Пусть имеется бесконечная, движущаяся параллельно однородному электростатическому полю Е0 с постоянной скоростью и0 (то есть и0||Е0)

цилиндрическая струя идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости с массовой плотностью р, диэлектрической проницаемостью 8гн и коэффициентом поверхностного натяжения у, имеющая

радиус Я. Диэлектрическая проницаемость внешней среды гех .

В инерциальной системе отсчета, движущейся вместе со струей со скоростью ио, поле скоростей течения жидкости в струе и(г,Х) полностью определится имеющими тепловую природу капиллярными волнами на поверхности. Движение жидкости будем считать потенциальным, то есть и(г,Х) = У и (г,х) = г,Х), где у (г,х) - потенциал поля скоростей волнового движения жидкости. Зададимся целью исследования критических условий реализации неустойчивости капиллярных волн на поверхности такой струи.

Весь анализ проведем в цилиндрической системе координат с осью 02, орт нг которой

совпадает по направлению с осью симметрии цилиндрической струи. Уравнение свободной поверхности струи, возмущенной тепловым капиллярным волновым движением бесконечно малой амплитуды, запишем в виде

^ (г, ф, 7, X ) = г-( Я + \ (ф, 7, X )) = 0. В этом соотношении ^ (ф, г, X)- возмущение цилиндрической поверхности струи, вызванное капиллярным волновым движением.

© Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В., Электронная обработка материалов, 2009, № 3, С. 28-34.

г = R + + = 0; Pin - Pex + PE = Py;

Математическая формулировка задачи о расчете капиллярного волнового течения жидкости в струе имеет вид:

Ду (r, t) = 0; ДФin (r,t) = 0; ДФ^ (r,t) = 0;

Ej = -VE; = ^Ф, (r, t), j e {in;ex} ;

с граничными условиями:

dF = dF_ dt dt

sm • [n• V^„ (r,t)] = Sex • [n•VФex (r,t)];

T'V^n (М^т^ф (r,t); r ^ 0: Vy(r,t) > 0; Фш (r,t)<^; r VФex (r,t) = E0,

т и n - единичные вектора касательной и нормали к возмущенной поверхности струи; Ф!п (r, t) и Фее(r,t) - электростатические потенциалы в струе и в среде соответственно; Pex- давление во внешней среде;

P,,(r,t) = рП0 - рi^-2(Vr(r,t))2

й P(0) й - поле давлений внутри струи; Pn - постоянное давление в цилиндрической струе в отсутствие

волнового движения в ней; р = Y • div n - давление сил поверхностного натяжения; Pe - давление электрического поля на поверхность капли:

р — ex E 0

8п

(VФ ex )2 - 2 (n • VФ ex )2 + 8=- )2 - 2 (n )2

J 8ПL

Кроме выписанных условий должно выполняться требование постоянства объема участка струи, длина которого равна длине волны Я:

г0+Я 2п

III ф = пЯ .

х0 0 0

Решая сформулированную задачу стандартными методами [1-2], нетрудно получить дисперсионное уравнение задачи для капиллярной волны с произвольным азимутальным числом т:

..... \2и2п2

(k, Sin > Sex. w) = Fm (kR) \ k2R2 + m2 -1 + w

(Sin - Sex) k R | Y . (1)

Sin * Fm (kR) + Sex ' Dm (kR) | pR3 ;

„ р (к), ШЬт+}^ + т; ^(к),ик^тт+^-щ

4яу' тУ > 1т (кк) тК > Кт (к) '

где (От (к) - частота волны с волновым числом к и азимутальным числом т ; 1т (кК) и Кт (кК)

- модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно. При т=0 получается дисперсионное уравнение для осесимметричных капиллярных волн на незаряженной струе идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости в однородном электростатическом поле, выведенное ранее в [6-7]. Безразмерный параметр W, входящий в уравнение (1), составлен по тому же правилу, что и безразмерный параметр, характеризующий электростатическую неустойчивость заряженной струи, капли или плоской заряженной поверхности жидкости [3-4], и, кроме величины напряженности электростатического поля, зависит от радиуса струи к и величины коэффициента поверхностного натяжения жидкости у.

2. Анализ дисперсионного уравнения. Волна с задаными значениями волнового к и

2

азимутального т чисел претерпевает неустойчивость, когда квадрат ее частоты (т (к, егп, &вх, w) переходит через ноль и становится отрицательным. Тогда частоты становятся мнимыми ( ~ ±/, а

амплитуда одной из волн начинает экспоненциально нарастать со временем, а амплитуда волны с противоположным знаком при мнимой единице экспоненциально убывает со временем.

Как видно из рис. 1 и 2, функциональные множители Ет (кЯ) и Ат (кЯ) в дисперсионном

уравнении (1) являются вещественными положительными при произвольных к и т. Это означает, что при т > 1 правая часть (1) всегда положительна, частоты о)т (к, 8ги, 8ех, w) вещественны и, следовательно, струя устойчива по отношению к неосесимметричным виртуальным деформациям ее поверхности. При т=0 приходим к дисперсионному уравнению, выведенному ранее в [6-7], имеющему мнимые решения для длинных волн, волновые числа которых удовлетворяют условию

к 2 Я 2 + w■

(8т - 8ех )2 к2Я2

■< 1.

(2)

8Ш • ¿о (кЯ) + 8ех ■ Д, (кЯ) В указанном диапазоне волновых чисел струя претерпевает осесимметричную капиллярную неустойчивость, приводящую к дроблению струи на капли. Из (2) видно, что в отсутствие электрического поля (при w=0) диапазон волновых чисел неустойчивых осесимметричных волн

определяется условием 0 < кИ < 1, как и было получено Рэлеем [1].

0,51

Рис. 1. Зависимости Е = Е(к, т) для первых пяти мод, расположенных в порядке убывания

азимутального числа т, нижняя линия соответствует т=4, верхняя -т=0

б

4

ОД 0,3 0,5 0,7 0,9 кИ

Рис. 2. Зависимости А = А(к, т) для первых пяти мод, расположенных в порядке возрастания т, нижняя линия соответствует т=0, верхняя - т=4

На рис. 3-4 приведены результаты численного расчета при т=0 по дисперсионному

уравнению (1) зависимости обезразмеренного на у/рЯ3 квадрата частоты ш2 осесимметричных волн

от произведения волнового числа к на радиус струи Я при различных значениях параметров w, 8ги

и 8ех . Несложно видеть, что с ростом параметров w, Е1П и 8ех ширина диапазона волновых чисел

волн, претерпевающих капиллярную неустойчивость, сужается, а максимальные величины инкрементов неустойчивости (соответствующие минимумам кривых на рис.3) уменьшаются. Этот феномен и интерпретируется как стабилизация электростатическим полем, коллинеарным оси струи, капиллярных волн на ее поверхности. Теперь исследуемую проблему можно сформулировать более конкретно: существует ли такой набор реальных значений физических параметров,

характеризующих задачу, W, и 8ех, при которых правая граница диапазона волновых чисел неустойчивых волн достигнет нуля.

Рис. 3. Зависимости обезразмеренного на у / рЯ3 квадрата частоты ш2 осесимметричных волн от произведения волнового числа к на радиус струи Я при w = 0,5 и вех = 1, рассчитанные для жидкостей с различными диэлектрическими проницаемостями:

а) слева направо: вода вт = 80; этиловый спирт вт = 25 ; жидкий водород вт = 1,23 ;

б) те же зависимости, что и на рис. 3,а, для воды вт = 80 и этилового спирта; вт = 25, рассчитанные в другом масштабе

Рис. 4. Зависимости обезразмеренного на у / pR3 квадрата частоты ш2 осесимметричных волн от произведения волнового числа k на радиус струи R, рассчитанные для жидкого водорода при sex = 1 и различных значениях параметра W : справа налево w = 1; 10; 20; 40;100

Перепишем выражение (2) в виде

к2R2 + w-^^^—- -1 = 0 (3)

8Ш • F0 (kR) + 8ex • A, (kR)

и разрешим его относительно W как функцию от остальных физических параметров. По полученному соотношению можно исследовать зависимость ширины диапазона волновых чисел неустойчивых волн от физических параметров системы. В частности, при фиксированных значениях sin и sex это

соотношение определит правую границу диапазона неустойчивых волн на плоскости {w, kR}. При

заданном W неустойчивым волнам соответствует диапазон значений kR от kR = 0 слева до пересечения с кривой w = w(kR) справа. На рис. 5 приведены результаты расчетов по (3) для жидкого водорода. На рис. 5,а приведены результаты формального расчета для произвольных значений параметра w, характеризующего напряженность электростатического поля, а на рис. 5,б - результаты реалистических расчетов, учитывающих невозможность создания в среде сколь угодно больших напря-

женностей поля из-за явления электрического пробоя. Тем не менее из рис. 5,а видно, что при сколь угодно больших значениях напряженности электростатического поля диапазон значений волновых чисел, для которых будет реализовываться капиллярная неустойчивость, остается отличным от нулевого. Согласно рис. 5,б для реальных условий струи жидкого водорода в газе при атмосферном давлении ширина диапазона неустойчивых волн на поверхности струи относительно велика даже при предпробойных значениях напряженности электростатического поля. Из (3) также видно, что при фиксированном W ни при каких конечных значениях в п и вех не может быть достигнуто значение

кЯ = 0 . Из сказанного следует, что полная стабилизация капиллярной неустойчивости струи диэлектрической жидкости коллинеарным оси струи электростатическим полем невозможна.

W

3000

2000

1000

0,3

0,5

0,7

0,9 kR

w 40 30 20 10

ОД

0,3

0,5

0,7

0,9 kR

б

Рис. 5. Зависимость w = w (kR), полученная при гех = 1 по (3) для жидкого водорода, определяющая

положение правой границы диапазона волновых чисел, соответствующих неустойчивым волнам: а) для больших значений параметра W; б) для значений параметра W, ограниченных предпробойными для воздуха (при атмосферном давлении) значениями напряженности электростатического поля

Отметим, что напряженность электростатического поля, при которой реализуется пробой воздушной среды E = E*, зависит от давления газа и его сорта, а соответствующее значение параметра

W согласно его определению имеет вид: w = w* = E2 R^ny, то есть кроме E*, зависит от величины коэффициента поверхностного натяжения у и радиуса струи R . Поэтому для струи жидкого водорода с у = 1,8 dyne • cmзначение w* будет в четырнадцать раз больше, чем для струи этилового

спирта с у = 25 dyne • cm-1 при R = const. Для жидкостей с большими значениями диэлектрической проницаемости, например для этилового спирта, значения параметра w, соответствующие предпро-бойным величинам напряженности электрического поля, будут ниже (w < 1), а диапазон волновых чисел неустойчивых волн уже, как это видно из рис. 6.

а

w 0,S-0,ö-0,40,2-

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 kR

Рис. 6. Та же зависимость, что и на рис.5,б, но построенная для этилового спирта ( sin = 25 )

Проведенный анализ был основан на модели идеальной жидкости. Тем не менее учет реальной вязкости струи не может привести к изменению полученных результатов, поскольку роль вязкости сводится лишь к уменьшению величин инкрементов неустойчивости [2-4, 9-12]. Иными словами, влияние вязкости приведет лишь к замедлению скорости нарастания амплитуд перетяжек, возникающих из-за действия сил поверхностного натяжения и дробящих струю на отдельные капли, так как действие вязкости проявляется только при наличии относительного движения частиц жидкости и сводится к замедлению этих движений.

Представляется необходимым провести нелинейное исследование закономерностей распада струи диэлектрической жидкости в коллинеарном электростатическом поле, например по методике, использованной в [13-16]. Нелинейные поправки к частотам волн, порождаемые их взаимодействием и включающие в себя слагаемые, пропорциональные квадрату напряженности электростатического поля, возможно, смогут привести к качественному изменению схемы капиллярного распада, получающейся в проведенном линейном анализе.

Заключение. В проведенном исследовании выяснилось, что продольное однородное электростатическое поле в отличие от радиального электростатического поля [3-4, 9-12] частично стабилизирует капиллярную неустойчивость струи диэлектрической жидкости по отношению к осесимметричным волновым деформациям, однако полная стабилизация капиллярной неустойчивости не реализуется. Иными словами, ни при каких значениях физико-химических характеристик жидкости и величины напряженности электрического поля, коллинеарного оси симметрии невозмущенной цилиндрической струи, невозможно добиться прекращения дробления струи на отдельные капли.

Работа выполнена в рамках тематического плана университета при поддержке грантов: губернатора Ярославской области, Рособразования №2.1.1/3776, РФФИ № 09-01-00084 и № 09-08-00148.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стретт Дж. В. (ЛордРэлей). Теория звука. Т.2. М.: Гостехиздат, 1955. 475 c.

2. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 700 c.

3. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Воронина Н.В., Егорова Е.В. Об осцилляциях и спонтанном распаде заряженных жидких струй // ЭОМ. 2006. №6. С.23-34.

4. Ширяева С. О., Григорьев А.И., Волкова М.В. Спонтанный капиллярный распад заряженных струй. Ярославль: Изд. ЯрГУ, 2007. 340 с.

5. Strutt J.W. (Lord Rayleigh) On the instability ofjets // Proc. London Math. Soc. 1878. V.10. P. 4-13.

6. Глонти Г. А. К теории устойчивости жидких струй в электрическом поле // ЖЭТФ. 1958. Т.34. №5. С.1328-1330.

7. Nayyar N.K., Murty G.S. The stability of a dielectric jet in a presence of a longitudinal electric field // Proc. of the Phys. Soc. 1960. V.75. Pt.3. №483. P.369-373.

8. Saville D.A. Elecrohydrodynamic stability: fluid cylinders in longitudinal electric fields // Phys. of Fluids. 1970. V.13. №12. P.2987-2994.

9. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. О спонтанном распаде заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // Электронная обработка материалов. 2003. №1. С. 38-43

10. Ширяева С. О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. Об устойчивости неосесимметричной заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.5. С. 5-12.

11. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Об устойчивости неосесимметричных мод объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С. 22-30.

12. Григорьев А.И., Воронина Н.В., Ширяева С.О. Неосесимметричные осцилляции заряженной струи вязкой жидкости конечной проводимости // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.2. С. 33-41.

13. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Егорова Е.В. О некоторых особенностях нелинейного резонансного взаимодействия мод заряженной струи // ЭОМ. 2005. № 1. С. 42-50.

14. Воронина Н.В., Ширяева С. О., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частотам неосесимметричных мод объемно заряженной струи диэлектрической жидкости // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.6. С.1-14.

15. Григорьев А.И., Воронина Н.В., Ширяева С.О. Нелинейные неосесимметричные осцилляции объемно заряженной струи // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.7. С. 21-29.

16. Ширяева С.О. Аналитическое асимптотическое решение задачи о нелинейных осцилляциях толстой заряженной струи вязкой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 5. С. 14-29.

Поступила 26.02.09

Summary

On the base of dispersion equation for capillary waves on a surface of volumetrically charged jet of dielectric liquids in a longitudinal electrostatic field analysis was found that full stabilization of the capillary instability did not occure at any finite values of physical parameters.