CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-394-400
Об экстремальных задачах типа Никольского - Бернштейна и Турана для преобразования Данкля1
Д. В. Горбачев, Н. Н. Добровольский
Горбачев Дмитрий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: [email protected]
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация
Изучается взаимосвязь между экстремальными задачами типа Турана и Никольского - Бернштейна на Rd с весом Данкля. Задача Турана состоит в нахождении супремума заданного момента положительно определенной (относительно преобразования Данкля) функции с носителем в евклидовом шаре и фиксированным значением в нуле. В точном L1 -неравенстве Никольского-Бернштейна оценивается супремум-норма лапласиана Данкля целой функции экспоненциального сферического типа с единичной Ь1-нормой. Также отмечается связь с экстремальными задачами типа Фейера и Бомана. Преобразование Данкля покрывает случай классического преобразования Фурье в случае единичного веса.
Неравенства Никольского - -Бернштейна являются классическими в теории приближений, а задачи типа Турана имеют приложения в метрической геометрии. Тем не менее мы доказываем, что они имеют один и тот же ответ, который явно выписывается. Простое доказательство опирается на наши старые результаты из теории решения экстремальных задач для преобразования Данкля.
Ключевые слова: вес Данкля, преобразование Фурье-Данкля, целая функция экспоненциального сферического типа, положительно определенная функция, константа Никольского-Бернштейна, экстремальная задача Турана-Фейера.
Библиография: 17 названий. Для цитирования:
Д. В. Горбачев, Н. Н. Добровольский. Об экстремальных задачах типа Никольского - Бернштейна и Турана для преобразования Данкля // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 3, с. 394-400. *
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-394-400
Extremal Nikolskii - Bernstein- and Turan-type problems
for Dunkl transform2
D. V. Gorbachev, N. N. Dobrovolskii
Gorbachev Dmitry Viktorovich — Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Dobrovol'sky Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the department of applied mathematics and computer science, Tula State University; associate professor of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected], [email protected]
Abstract
We study the interrelation between the extremal Turan-type problems and Nikolskii -Bernstein problems for nonnegative functions on Rd with the Dunkl weight. The Turan problem is to find the supremum of a given moment of a positive definite (with respect to the Dunkl transform) function with a support in the Euclidean ball and a fixed value at zero. In the sharp L1-Nikolskii-Bernstein inequality, the supremum norm of the Dankl Laplacian of an entire function of exponential spherical type with the unit L1-norm is estimated. Extremal Feuer and Beaumann problems is also mentioned. The Dunkl transform covers the case of the classical Fourier transform in the case of unit weight.
Nikolskii-Bernstein inequalities Э.Г6 classical in approximation theory, and the Turan-type problems have applications in metric geometry. Nevertheless, we prove that they have the same answer, which is given explicitly. The easy proof is relied on our old results from the theory of solving extremal problems to the Dunkl transform.
Keywords: Dunkl weight, Fourier-Dunkl transform, entire function of exponential spherical type, positive definite function, Nikolskii-Bernstein constant, Turan extremal problem.
Bibliography: 17 titles. For citation:
D. V. Gorbachev, N. N. Dobrovolskii, 2019, "Extremal Nikolskii - Bernstein- and Turan-type problems for Dunkl transform" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 394-400.
В этой заметке мы покажем взаимосвязь между экстремальными задачами типа Тура-па для положительно определенных относительно преобразования Фурье-Данкля финитных функций и задачами о точной ^-константе Никольского-Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального сферического типа на Rd. Если неравенства Никольского-Бернштейна относятся к классическим разделам теории приближений, то задачи типа Турана имеют приложения в метрической геометрии. Тем не менее у них будет один ответ.
Задачи Турана и их аналоги интенсивно изучались в классическом безвесовом случае преобразования Фурье (см., например, обзоры результатов в [1, 14, 5, 13, 6]). Для весового случая преобразования Данкля, включающего частным случаем многомерное преобразование Фурье,
2This Research was performed by a grant of Russian Science Foundation (project 18-11-00199).
эти задачи исследовались, например, в работах [13, 7]. Неравенства Никольского-Бернштейна имеют богатую историю (см., например, обзоры в [3, 9, 11]).
Основные факты из теории Данкля можно найти в [15] (см. также [13, 11])- Пусть d € N М^ — ^-мерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением (х, у) = х1у1 + ... + хауа и нормой |х| = д/ (х,х), ьк(х) = П аеЯ |(а, х)|2к(а) — вес Данкля, определяемый заданными положительной подсистемой К+ системы корней К С М^ и функцией кратности к: К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений О(К), с"1 = е-|ж| /2ук(х) dх — интеграл Макдональда-Мета-Сельберга, dцк(х) = cкvк(х)dх, Ь11^(Ма) — просцранство комплексных измеримых по Лебегу на М^ функций / с конечной нормой \\}\\Р,к = (/к*1 /(х)1Р^К(х))1/р, II/\\~ = е88 8ирле]^ 1 ¡(х)1 Через
°,!(х) = е,} ™ , ¡ = 1
3 аеп+ ( , }
Где е. — единичные орты и иа € 0(с!) — отражение относительно гиперплоскости (а, х) = 0, обозначим дифференциально-разностные операторы Данкля, ДК $(х) = ^Л-=1 Б2/(х) — лапласиан Данкля.
Пусть еК(х, у) = ЕК(х, г у) — обобщенная экспонента (ядро Данкля), являющаяся решением системы уравнений
Б1(х)=гу3/(х), з = 1,...^, 1(0) = 1. Для ек(х, у) многие свойства аналогичны свойствам экспоненты ег^х'у\ в частности,
(~Дк)гек(х, у) = Ы2гек(х, у), г €
Гармонический анализ в пространствах с весом Данкля осуществляется с помощью унитарного в Ь^(Ма) преобразования Данкля
ТК(/)(у) = /(х)еК(х, y)dfiк(х).
JRd
В частности, обратное преобразование Данкля Т"1($)(х) = Тк(/)(-х) и
(-Дкп(0)= [ |хГТ(/)(х) dцк(х). (1)
Jмd
Через Т^ обозначим положительный оператор обобщенного сдвига (среднего значения) Данкля [11].
В безвесовом случае к(а) = 0 индекс к опускается, dц(х) = (2'к)~л12(1х и Т, Д, Т — классические преобразование Фурье Т, оператор Лапласа, оператор усреднения по сферам соответственно.
Перейдем к постановкам задач. Пусть £+ С Ь\(М?) — множество неотрицательных целых функций экспоненциального сферического типа не выше 1, Т+ — класс непрерывных действи-
означает, что Тк(/) ^ 0), таких что вирр/ С ВЭти классы двойственны в том смысле, что по теореме Пэли-Винера для преобразования Данкля справедливо равенство £+ = ТК(Р+), и наоборот.
Точная константа Никольского между Ь'- и ^-нормами для функций из класса £+ определяется равенством
Ьк,о = вир {\Ц\\те €£+, \\Л\1,к = 1}. (2)
В безвесовом случае она вычислена в работе [3].
Точная константа Никольского-Бернштейна между Ь™- и ^-нормами для лапласиана Данкля Ак и функций из класса £+ определяется равенством
Ьк>1 =8пр {||АК/: f е£+, ||/||1>л = 1}.
Экстремальная задача Турана заключается в нахождении величины
= /(х) й»к(х): I еГ+, /(0) = 1}.
Для безвесового случая решение задачи см. в [16, 17, 4, 14, 2], а для преобразования Данкля — в [13]. Двойственная постановка задачи Ак,о о супремуме /(0) при условии ||/Ц^ = 1 на классе РК(Р+) = £+ известна как задача Фейера [13] (см. также [6, 12]). Другими словами,
= 8пр {/(0): / е£+, ||/||1>к = 1}. (3)
Отсюда и из (2) получаем неравенство АК}0 ^ Ьк,0.
Рассмотрим следующий весовой вариант задачи Турана-Фейера: найти
АкЛ = ырУ^ \х\2/(х) й^к(х): / е Г+, /(0) = 1}.
Эквивалентно, с учетом (1), получаем
= 8ПР{-Ак/(0): / е£+, ||/||1>к = 1}. (4)
Отсюда заключаем, что Ак>1 ^ Ьк>1.
Полезно сравнить задачу Ак>1 с экстремальной задачей Бомана для преобразования Данкля [7], в которой требуется найти т£ \х\2/(х) й^^(х) на классе функций £+ с условием ||/= 1
Данные задачи обладают радиальной симметрией, поэтому основным способом их решения является применение усреднения по сферам, приводящее к радиальным экстремальным функциям /(х) = /(\ж\) и, как следствие, одномерным постановкам на полуоси со степенным весом Ъа{2а+1 и преобразованием Ганкеля %а, ядро которого определяется нормированной функцией Бесселя ]а. Здесь а = ак = й^/2 — 1 ^ -1/2 = й + 2 к(а) ~ размерность
Данкля Ь-1 = 2°Т(а + 1) ]а(1) = Г(а + 1)(2/t)aJa(¿). В безвесовом случаем имеем а = й/2 — 1. Для радиальных функций лапасиан и оператор обобщенного сдвига Данкля сводятся к дифференциальному оператору и сдвигу Бесселя соответственно (их определение см., например, в [10, 8]). Для решения одномерных задач применяются квадратурные формулы Бесселя. Сформулируем основной результат.
Предложение 1. Имеем
Ь^ = Ак>г, г = 0,1. (5)
При этом
Т _ Ьак т Ъак
Ьк,0 = „л, , , =
2Лк К>1 + 2)"
Экстремальные (с точностью до нормировочных констант) функции в задачах соответственно ,]'2к+1(\х\/2) и \х\2.]'22к +2(\ж\/2) а в задачах Ак,г их преобразования Данкля.
Доказательство. Для доказательства будет достаточно воспользоваться результатами работ [10, теорема 1] и [11, теорема 1].
Выше мы привели неравенства AK>i ^ LK>i, г = 0,1. Чтобы показать, что они точные, воспользуемся доказательством теоремы 1 из [11]. Пусть г = 0 или 1, е > 0 — достаточно малое число и f£ — допустимая функция в задаче LK,i, для которой
LK,t < (-Дк)7(же)+ е, е Md.
Пусть t = |ж| и рассмотрим радиальную функцию g£(t) = Т*/£(ж£). Из свойств оператора обобщенного сдвига [11, раздел 2] следует, что она является неотрицательной целой функций
1
с-1 = 1Ы1м < НЛНм = 1, Д^(0) = ДШ*£).
Таким образом, функция сд£ является допустимой в задаче Фейера (3) или (4) и
Ак,г ^ (-Дк)гс9£(0) = с(-Дк)гих£) ^ c(LK,i - е) > LK>1 - е,
откуда при е ^ 0 выводим обратное неравенство AK,i ^ LK>i.
Эти рассуждения также показывают, что при поиске экстремумов в этих задачах можно ограничиться радиальными функциями, а тогда, как было отмечено выше, получаются одномерные формулировки на полуоси со степенным весом Мы не выписываем их,
поскольку они даны в [10]. Применяя теорему 1 из этой работы для а = ак мы завершаем доказательство. □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arestov V. V., Berdvsheva Е. Е. The Turan problem for a class of polvtopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, no. 2. P. 381-388.
2. Bianchi G., Kelly M. A Fourier analytic proof of the Blaschke-Santalo inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 2015. Vol. 143. P. 4901-4912.
3. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // arXiv: 1708.09837. 2017; J. d'Analvse Math. 2019 (to appear).
4. Gorbachev D. V. An extremal problem for periodic functions with supports in the ball // Math. Notes. 2001. Vol. 69, no. 3-4. P. 313-319.
5. Gorbachev D. V. Selected problems of function theory and approximation theory, and their applications. Tula: Grif and Co., 2005. (In Russ.)
6. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Ofitserov E. P., Smirnov О. I. Some extremal problems of harmonic analysis and approximation theory // Chebvshevskii Sbornik. 2017. Vol. 18, no. 4. P. 139-166. (In Russ.)
7. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Bohman extremal problem for the Dunkl transform // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. Vol. 297 (Suppl 1). P. 88-96.
8. Gorbachev D. V., Tikhonov S. Y. Wiener's problem for positive definite functions // Math. Zeit. 2018. Vol. 289, no. 3-4. P. 859-874.
9. Gorbachev D. V., Dobrovolskii N. N. Nikolskii constants in LP(R, |ж|2a+1 dx) spaces // Chebvshevskii Sbornik. 2018. Vol. 19, no. 2. P. 67-79. (In Russ.)
10. Gorbachev D. V. Nikolskii - Bernstein constants for nonnegative entire functions of exponential type on the axis // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2018. Vol. 24, no. 4. P. 92-103. (In Russ.)
11. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Nikol'skii - Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN. 2019. Vol. 25, no. 2. R 75-87. (In Russ.)
12. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Turän, Fejer and Bohman extremal problems for the multivariate Fourier transform in terms of the eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem // Sb. Math. 2019. Vol. 210, no. 6. P. 809-835.
13. Ivanov A. V. Some extremal problem for entire functions in weighted spaces // Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki. 2010. No. 1. P. 26-44. (In Russ.)
14. Kolountzakis M. N., Revesz Sz.Gv. On a problem of Turän about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423-3430.
15. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications. Lecture Notes in Math. Vol. 1817. Berlin: Springer, 2003. P. 93-135.
16. Siegel C. L. Uber Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhängendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307-323.
17. Vaaler J. D. Some extremal functions in Fourier analysis // Bull. Amer. Math. Soc. (New Series). 1985. Vol. 12, no. 2. P. 183-216.
REFERENCES
1. Arestov V. V., Berdvsheva E. E. The Turän problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, no. 2. P. 381-388.
2. Bianchi G., Kelly M. A Fourier analytic proof of the Blaschke-Santalö inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 2015. Vol. 143. P. 4901-4912.
3. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // arXiv: 1708.09837. 2017; J. d'Analvse Math. 2019 (to appear).
4. Gorbachev D. V. An extremal problem for periodic functions with supports in the ball // Math. Notes. 2001. Vol. 69, no. 3-4. P. 313-319.
5. Gorbachev D. V. Selected problems of function theory and approximation theory, and their applications. Tula: Grif and Co., 2005. (In Russ.)
6. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Ofitserov E. P., Smirnov O. I. Some extremal problems of harmonic analysis and approximation theory // Chebvshevskii Sbornik. 2017. Vol. 18, no. 4. P. 139-166. (In Russ.)
7. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Bohman extremal problem for the Dunkl transform // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. Vol. 297 (Suppl 1). P. 88-96.
8. Gorbachev D. V., Tikhonov S. Y. Wiener's problem for positive definite functions // Math. Zeit. 2018. Vol. 289, no. 3-4. P. 859-874.
9. Gorbachev D. V., Dobrovolskii N. N. Nikolskii constants in LP(R, |x|2a+1 dx) spaces // Chebv-shevskii Sbornik. 2018. Vol. 19, no. 2. P. 67-79. (In Russ.)
10. Gorbachev D. V. Nikolskii - Bernstein constants for nonnegative entire functions of exponential type on the axis // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2018. Vol. 24, no. 4. P. 92-103. (In Russ.)
11. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Nikol'skii - Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN. 2019. Vol. 25, no. 2. P. 75-87. (In Russ.)
12. Gorbachev D. V., Ivanov V. I. Turän, Fejer and Bohman extremal problems for the multivariate Fourier transform in terms of the eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem // Sb. Math. 2019. Vol. 210, no. 6. P. 809-835.
13. Ivanov A. V. Some extremal problem for entire functions in weighted spaces // Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki. 2010. No. 1. P. 26-44. (In Russ.)
14. Kolountzakis M. N., Revesz Sz.Gv. On a problem of Turän about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423-3430.
15. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications. Lecture Notes in Math. Vol. 1817. Berlin: Springer, 2003. P. 93-135.
16. Siegel С. L. Uber Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhängendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307-323.
17. Vaaler J. D. Some extremal functions in Fourier analysis // Bull. Amer. Math. Soc. (New Series). 1985. Vol. 12, no. 2. P. 183-216.
Получено 5.09.2019 г. Принято в печать 12.11.2019 г.
