CC BY
74
УДК 621.397
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В работе представлены результаты экспериментальных исследований эффективности метода оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений в заданном частотном субинтервале на примере модельных изображений.
Ключевые слова: оптимальная фильтрация, изображение, трансформанта Фурье, субинтервал.
e-mail: Zhilyakov@bsu.edu.ru
Введение
Актуальность выполнения исследований обусловлена тем, что одно из направлений интенсивного развития современных информационнотелекоммуникационных систем определяется тенденцией использования наиболее естественных для человека форм информационного обмена, и, прежде всего, в виде визуальных данных. Обработка изображений является важной задачей. Существующие методы выделения (фильтрации) значимых характеристик отдельных компонент изображения, некоторых периодических структур изображений не являются оптимальными с точки зрения аппроксимации трасформант Фурье в заданных частотных интервалах, в которых осуществляется фильтрации. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей и методов фильтрации, позволяющих адекватно учитывать энергетические характеристики изображений в выбранных частотных интервалах. В работе [1] разработан и теоретически обоснован новый метод оптимальной линейной фильтрации изображений на основе частотных представлений, который является оптимальным в том смысле, что спектр получаемого в результате фильтрации изображения имеет наименьшее среднеквадратическое отклонение от спектра фильтруемого изображения в заданном двумерном частотном субинтервале, а вне этого субинтервала имеет наименьшее отклонение от нуля. В данной работе изложены результаты экспериментальных исследований эффективности указанного метода. В основе исследований лежит метод вычислительных экспериментов с использованием модельных данных.
Теоретические основы метода оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений
О частотных представлениях при обработке изображений [2] можно говорить, поскольку изображение, как функция с конечной или неограниченной областью определения, может быть представлено в виде суммы синусов и косинусов различных частот, умноженных на некоторые весовые коэффициенты
1 М N
/*=—222 р(и,уУи('1)е]''(кч)> / = к= 1-2,...,м (1)
4п и=1 У=1
где ¥ (и, V) — значение трансформанты Фурье функции
М N
¥ (и, V) = 22 £ке ~1и (г~Г)е ^ (к~Г), и = 1,2,. ,м, V* 1,2,. N. (2)
1=1 к=1
Метод оптимальной фильтрации изображений на основе частотных представлений [1,3] позволяет для нахождения результатов УО фильтрации изображения Ф=(//к), /=1,2,...,м, к=1,2,...N, в частотной двумерной области О построить вычислительную процедуру, не вычисляя при этом трансформанту Фурье. Для фильтрации изображений предложено использовать следующий вариационный принцип: транс-
Е. Г. ЖИЛЯКОВ
A. А. ЧЕРНОМОРЕЦ
B. А. ГОЛОЩАПОВА
Белгородский
государственный
университет
форманта Фурье Z(u,v) результата фильтрации YQ, является оптимальной в смысле евклидовой нормы ее отклонения в заданном частотном интервале Q от трансформанты Фурье F(u,v) исходного изображения Ф и от нуля — вне данного интервала, т.е.
JJ \F (u, v) - Z (u, v)|2 dudv + jj |Z (u, v)|2 dudv ^ min. (3)
(u,v )gQ (u,v )gQ
Указанному вариационному принципу соответствует следующее изображение YQ
Yü = At Ф-B, (4)
где матрицы Л=(аш2), ii,/2=1,2,.,M, и B=(bkik2), ki,k2=1,2,...,N (субполосные матрицы [2]), определяются соотношениями
Sin{a2(il -i2}) — Sin(al(il -i2))
a _
ili2
n(i\ -i2) h _i
k\k2 '
Sin(ß2 (k1 - k2)) - Sin(ßl (k1 - к2)) k ^ k
, k'i k12 ,
n(ki -k2)
ß 2 - ßl
к1 = k2.
(5)
Значения
0 <a1,a2,ft1,ft2 < n (6)
задают границы частотного субинтервала Q.
Важным свойством определенного таким образом результата фильтрации является то, что указанный метод не допускает растекания энергии двумерного сигнала за пределы заданной частотной области.
Концептуальные основы экспериментальных исследований
В ходе вычислительных экспериментов проводился сравнительный анализ оценки доли энергии изображения YOpt, полученного в результате оптимальной фильтрации,
с ||YO„f - PQ (YOp,) , Pq (Yopt)
°nopt =--------------------------------------------------------¡j-¡¡2-= 1 ¡j-7Г , (7)
Y Y
II opt\\ || Opt ||
II ||2
где WOpt\\ -энергия изображения YOpt в области определения трансформанты Фурье, Pq (YOpt) - доля энергии изображения YOpt в частотном субинтервале Q, определяемая на основании соотношения
Pq (YOpt) = trec(AQYOptBXpt). (8)
с соответствующими характеристиками изображений, полученных при реализации известных частотных фильтров [4]:
- идеальный фильтр (результат фильтрации Yldeal),
ТТ ( \ \1, U Gt- П,П V Gt- Р2-Р1 ]U [Д, P2I (9)
HIdeal (u, v) = 1„ (9)
[0, в противном случае.
- фильтр Баттерворта порядка n=2 (результат фильтрации YButtew),
HButterw (u, v) = ----------------------------------------------Z-^2^-, (1 0)
1+
Dl(u, v) D2(u, v)
V D0 J
+
2 ^
V Do J
гдеП0 — частота среза, Ог(и,V) , 02(и,V) — расстояние между точкой (и,V) и осями симметрии ¡х, 12 фильтра,
- Гауссов фильтр (результат фильтрации У0аи!1.,1ап),
и , \ ( В?(ы, V) ^ ( В\(и, V) ^
НСаи^ап(и, ^ _ еХР----+ еХР-------------, (11)
где П0 — частота среза, 01(и,V), 02(и,V) — расстояния между точкой (и,V) и осями симметрии 11,12 фильтра.
Построение фильтров осуществлено на основании параметров частотного субинтервала, в котором выполнялась оптимальная фильтрация.
Соответствующие оценки доли энергии результатов фильтрации (изображения УМеа1 , УВиПегм , УОаи,гап X которая сосредоточена вне вЫбранн°ГО частотного субинтервала О, имеют следующий вид
£ _1 РО (УМеа!) /104
£О1йеа1 _ 1 у ||2 5 ( )
|| Меа!\\
__1___ро (^вие™) (13)
°ШиПе™ ~ 1 II м2 5 Ч1'1/
|| ВиНегм^
Р (У )
£ 1 О У Оиа&ъчап; (14)
ООиазягап ц м2 * ^ '
|| Оиаззгап\\
Отметим, что вычисления как относительной доли «просачивания» энергии за пределы частотного субинтервала оказались доступными, благодаря разработанному в [1] методу вычисления долей энергии (8).
Для получения большей наглядности при оценивании различий оптимальной фильтрации и фильтрации с помощью известных фильтров представляется естественным построить графики соответствующих характеристик выходных последовательностей фильтров.
Сравнительный анализ в работе выполнен, исследуя параметры фильтров и результаты их применения в различных подобластях двумерной области (подобласти получены при фиксированных значениях одной из независимых переменных частотного пространства). Однако, данный факт не снижает важности полученных результатов в виду известного свойства преобразования Фурье (преобразование Фурье можно записать так, что переменные в нем оказываются разделенными). Результаты вычислительных экспериментов
Экспериментальные исследования целесообразно осуществлять на основе обработки модельных сигналов. Генерирование значений модельного изображения (рис. 1) Ф _ (/Л), г _ 1,2,...,512, к _ 1,2,...,512, размерностью 512х512 пикселей, осуществляется на основе соотношения
/гк _ ах ^т(2ж[1к) + а2 $т(1п[2к) + а3 ът(2п[3к) + а4 $т(1п[4к) + а5 $т(1п[5к) , (15)
г _ 1,2,...,512, к _ 1,2,...,512,
где
/г _ 0.0193; /2 _ 0.0208; _ 0.0279, /4 _ 0.0295, /5 _ 0.0311,
ах _ 3.2; а2 _ 2.9; а3 _ 3.5, а4 _ 2.1, а5 _ 2.2.
Такие значения частот позволяют осуществить исследование различный аспектов фильтрации и, прежде всего, влияний энергии исходного сигнала за пределами частотного субинтервала на ее результаты.
Фильтрация модельного сигнала (15) на основании метода оптимальной фильтрации изображений на основе частотный представлений осуществлялась в следующих частотных субинтервалах:
Ог : {а1 _ 0, а2 _ п, Д _ Д01 + АД(г _ 1), Д2 _ Д02 + АД(г _ 1)}, /'=1,2,...,15, (16)
где АД — величина смещения границ очередного частотного субинтервала.
Рис. 1. Модельное изображение: а - в виде изображения, б - профиль
В ходе экспериментов были использованы следующие значения границ частотного субинтервала
Р01 = 0.035л-, Р02 = 0.04л-, АР = 0.0025л-. (17)
В табл. 1 представлены значения долей энергии выходных последовательностей оптимального и других анализируемых фильтров, находящихся вне заданного частотного интервала, вычисленные согласно (7), (12)-(14).
Таблица 1
Оценка долей энергии результатов фильтрации вне частотного субинтервала О
а
№ Границы частотного субинтервала О ^ООрґ ^Оійесї ^ ОБиПегм с ООсиъъгсп
Р Р2
1 0.035л 0.04л 0.13211 0.28323 0.27313 0.27189
2 0.0375л 0.0425л 0.3492 0.30822 0.31119 0.31036
3 0.04л 0.045л 0.13101 0.55406 0.55503 0.55472
4 0.0425л 0.0475л 0.34099 0.72638 0.55996 0.60419
5 0.045л 0.05л 0.41356 0.86981 0.87022 0.87001
6 0.0475л 0.0525л 0.23196 0.56816 0.57263 0.57082
7 0.05л 0.055л 0.34246 0.58755 0.6305 0.62484
8 0.0525л 0.0575л 0.12423 0.22294 0.22436 0.22396
9 0.055л 0.06л 0.33214 0.63152 0.6312 0.63129
10 0.0575л 0.0625л 0.40426 0.85964 0.7762 0.8095
11 0.06л 0.065л 0.1968 0.41986 0.4204 0.42016
12 0.0625л 0.0675л 0.24863 0.57319 0.57095 0.57158
13 0.065л 0.07л 0.4328 0.92163 0.92157 0.92155
14 0.0675л 0.0725л 0.47163 0.69156 0.69313 0.69208
15 0.07л 0.075л 0.20767 0.7969 0.68474 0.7815
Легко видеть, что относительные доли «просачивания» энергии за пределы частотного субинтервала у выходных последовательностей идеального, Гауссова фильтров и фильтра Баттерворта существенно больше.
Как показано в ходе экспериментов выходная последовательность оптимального фильтра определяется только трансформантой Фурье в выбранном частотном субинтервале. В отличие от этого, на выходную последовательность идеального, Гауссова фильтров и фильтра Баттерворта влияет энергия входного изображения, сосредоточенная вне выбранного частотного интервала. Это различие легко обнаружить на рис. 2, на котором представлены абсолютные значения трансформант Фурье выходных последовательностей оптимального и других фильтров.
Далее представлены результаты фильтрации модельного изображения (рис. 1) в частотном субинтервале
О: {а1 = 0, а2 = п , Д = 0.04л-, Д = 0.045 л}.
На рис. 2 приведены абсолютные значения трансформант Фурье при и=0.22л, уе [0.03 л, 0.075 л] исходного изображения и результатов фильтрации, полученных при применении оптимального и других фильтров в заданном частотном субинтервале О.
Рис. 2. Трансформанты Фурье (абсолютные значения) в частотном субинтервале «1=0, а,2=л, Д = 0.047г, Д = 0.045л-при и=0.22л\ - исходного изображения;
выходных последовательностей фильтров:
— оптимальный, -+ — идеальный, _ Батгерворта,"+.*" — Гауссов,
На рис. 3 влияние дополнительной энергии исходного изображения, сосредоточенной вне выбранного частотного субинтервала у его левой границы (рис. 2), проявляется в наличии существенных изменений яркости пикселей изображений (рис. 3в, 3д, 3ж), являющихся результатами фильтрации с помощью фильтров, отличных от оптимального фильтра, и в наличии биений на графиках соответствующих профилей изображений.
Выводы
Результаты вычислительных экспериментов как с модельными изображениями, так и с реальными фотоснимками в цифровом виде показывают, что относительные доли «просачивания» энергии за пределы указанного частотного субинтервала у выходных последовательностей частотных фильтров, основанных на применении ДПФ, существенно больше, чем у разработанного метода.
В ходе экспериментов показано, что энергия входного изображения, сосредоточенная вне выбранного частотного интервала, влияет на выходную частотных фильтров, основанных на применении ДПФ, в значительно большей степени, чем на результат, полученный на основании метода оптимальной фильтрации. Данное влияние проявляется как на графиках значений соответствующих трансформант Фурье, так и на изображениях, полученных в результате фильтрации.
Рис. 3. Результаты фильтрации (изображение и профиль) на основании фильтров: а, б - оптимальный, в, г - идеальный, д, е - Баттерворта, ж, з - Гауссов
Литература
1. Жиляков, Е.Г. Вариационные алгоритмы анализа и обработки изображений на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2008. - 146 с.
2. Жиляков, Е.Г. Методы анализа и построения функций по эмпирическим данным на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2007. - 160с.
3. Жиляков, Е.Г. Оптимальная фильтрация изображений на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец // Вопросы радиоэлектроники. - Сер. ЭВТ, 2008. - Вып. 1. - С. 118-131.
4. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений [Текст] / Р. Гонсалес, Р. Вудс. - М.: Техносфера, 2006. - 1072 с.
ON EFFICIENCY OF IMAGE OPTIMAL FILTRATION METHOD
Е. G. ZHILYAKOV A. A. CHERNOMORETS V. A. GOLOSCHAPOVA
Belgorod State University
Using model image, the experimental research results of efficiency of the image optimal filtration method on the basis of frequency representations in the specified frequency subintervals are given in the work.
Key words: optimal filtration, image, Furie transformant, subinterval.
e-mail:
Zhilyako v@bsu. edu. ru
