CC BY
12
УДК 538.9;537.874
ОБ ЭФФЕКТЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОДЗОН РАЗМЕРНОГО КВАНТОВАНИЯ В ТОНКИХ КВАНТОВЫХ НИТЯХ
А. М. Мандель1, В. Б. Ошурко1'2, С. М. Першин2, С. Г. Веселко1, Е. Е. Карпова1, А. А. Шарц1, П. В. Аристархов1
Впервые, насколько нам известно, (к,p)-теория Кейна, описывающая перенормировку массы электрона в объемных полупроводниках, модифицирована для тонких (толщиной несколько нм) квантовых нитей. Показано, что продольная эффективная масса электрона возрастает с ростом квантовых чисел поперечного движения. Это приводит к уникальным особенностям спектра электронов в нити при соблюдении двух условий: 1) зонная структура материала нити имеет ковариантный тип, что делает невозможной локализацию дырок и 2) радиус нити должен быть достаточно мал. В результате дисперсионные кривые локализованных на нити электронов пересекаются, а связанные с ними энергетические подзоны перекрываются. Поэтому продольный электрический импульс легко создаёт инверсию заселённости. Это может служить теоретической основой для нового принципа работы квантовых усилителей и генераторов.
Ключевые слова: тонкая квантовая нить, модификация (к,р)-теории Кейна, поперечная и продольная масса электрона, перекрытие подзон размерного квантования, инверсия заселённости.
Полупроводниковые lD-гетероструктуры - квантовые нити - пока значительно уступают гетероструктурам других размерностей (квантовым точкам и квантовым ямам) как в развитии теории, так и в практическом применении. Между тем, именно их геометрия ярче всего проявляет наиболее интересные и во многом до сих пор загадочные
1 МГТУ "СТАНКИН", 127994 Россия, Москва, Вадковский пер., 1.
2 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: arkadimandel@mail.ru.
эффекты квантовой механики. Это различные опыты по схеме Юнга, проявления квантовой телепортации, парадокс Ааронова-Бома и т.д. Все подобные явления объединяет геометрия протяженных и замыкающихся траекторий интерферирующих частиц, фазами которых можно, так или иначе, управлять внешними полями.
В данной работе кратко описано решение задачи о формировании эффективных масс и спектра электронов в тонкой квантовой нити. Здесь выбран ковариантный тип ге-тероструктуры (отметим, достаточно редко встречающийся), чтобы не усложнять этот "чисто электронный" спектр дырочными взаимодействиями и экситонными уровнями. Как обычно, широкозонный полупроводник служит матрицей, а узкозонный материал нити создает Ш потенциальную яму для электронов и Ш потенциальный барьер для дырок. Примером может служить гетеросистема 1пАз/А18Ь [1], для которой и проведены все конкретные расчеты. Картина зонной структуры этой гетеросистемы подробно описана и иллюстрирована в [2]. Ввиду малых поперечных размеров нити характеристики поперечных электронных уровней значительно отличаются от объемного полупроводника.
Подобная ситуация типична для задач размерного квантования [3, 4]. Однако новым элементом нашего решения является самосогласованный подход к данной задаче. Дело в том, что эффективные характеристики электронов, локализованных в окрестности нити, зависят от зонной структуры поперечных уровней, во многом "недостроенной" и разреженной по сравнению с объемным полупроводником. Они зависят от размеров нити, формы ее поперечного сечения, напряжений на гетерогранице и еще ряда факторов. В то же время сама эта поперечная зонная структура определяется характеристиками электронов и, прежде всего, их эффективной массой. Таким образом, расчет поперечных волновых функций и поперечных уровней энергии электрона в тонкой квантовой нити может быть выполнен только совместно с расчетом его эффективной массы в материале нити.
Механизм перенормировки эффективной массы электрона в объемных полупроводниках состава АШВУ описывает известная (к,р)-теория Кейна [5-7]. Основная идея этого механизма состоит в том, что масса обычного "атомного" электрона уменьшается за счет перемешивания ¿"-состояния на дне зоны проводимости с дырочными Р-состояниями на потолке валентной зоны. Наиболее существенно на эффективную массу электрона влияет ширина запрещенной зоны [7]. Мы трансформировали эту теорию для условий размерного квантования в работах [2, 8, 9] в 0В-геометрии квантовых точек. Суть такой трансформации составляют два момента. Во-первых, в условиях размер-
ного квантования гетероструктур перенормируется не масса свободного электрона, а эффективная масса электрона широкозонной матрицы М*. Во-вторых, роль запрещенной зоны в материале нити играет щель между потолком валентной зоны в нити и основным состоянием локализованного электрона Е00. Естественно, каждый уровень поперечного движения задается двумя квантовыми числами, связанными с радиальным и азимутальным движением. Первым возбужденным уровнем поперечного движения будет Е01, следующим - Ею и т. д. В пределе "толстой нити" зонная структура поперечных уровней перейдет в структуру объемного проводника, и основное состояние электрона в нити "сядет" на дно зоны проводимости. В результате для поперечной массы электрона та£г(Д) получается следующее выражение2
т\г (Я) _ [£д1 + АЕС(1 - £оо)][еЯ1 + А + ДЕС(1 - £оо)] ,
M* B(1 - £оо)(1 - Aeco) + MrDeoo[1 + A(1 - A^)]' (1)
где AEc - разность энергий дна зоны проводимости в матрице (материале барьера) и нити, A - энергия спин-орбитального расщепления дырок, £gi - ширина запрещенной зоны материала нити, е00 = E00/AEc,
A = AEc(3egi + 2A)[egi (3egi + 3AEc + 4A) + 2A(A + AEc)]-1 = const,
B = (£gi + AEc)(£gi + A + AEc) = const,
D = egi(egi + A) = const.
Энергия основного состояния E00 в зависимости от радиуса нити R находится из решений соответствующих уравнений Шредингера внутри нити и вне ее и сшивания логарифмической производной волновой функции на гетерогранице. Соответствующее уравнение имеет вид
Ji[vV(R)(1 - £00)R] / ^00 Ki(v^00 R)
3о[л/^(Д)(1 - £оо)Д] У^(Д)(1 - £оо) Ко(^Я)'
где 30, 31, Ко, К1 - функции Бесселя и Макдональда соответствующих порядков.
Решая совместно (1) и (2), можно определить поведение поперечной массы электрона в нити в зависимости от энергии основного состояния (рис. 1). Энергия следующих уровней находится аналогично.
2 Эффекты "собственной" анизотропии эффективной массы, связанные с различием главных значений тензоров эффективных масс в объемных полупроводниках, мы здесь не рассматриваем. Ясно, что это лишь добавит громоздкости и замаскирует суть изучаемого явления.
0.14 0.12 0.10
а
0.08 0.06 0.04
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
800
Рис. 1: Зависимость поперечной эффективной массы электрона в нити (в единицах массы свободного электрона те) от энергии основного состояния (в единицах глубины ямы) для гетероструктуры ГпАз/А1БЬ. Эта масса с уменьшением толщины нити меняется от значения, характерного для материала барьера А1БЬ (т*г (0) = М* = 0.14те) до значения, характерного для материала нити (т*г(1) = т* = 0.026те) [1].
Отметим, что вопрос о массе электрона "как целого" при квантованном поперечном движении не возникает. Напротив, для квазиклассического продольного движения это важно. Как известно [3, 4], спектр электрона в квантовой нити стандартно описывается выражением
Е = Епд + р2/2т*(Я), (3)
причем рг - продольный импульс электрона, п и д - квантовые числа поперечного движения, а т*(Я) - продольная эффективная масса электрона в нити. Если нить тонкая, на каждом поперечном уровне Епд возникает своя подзона размерного квантования. При этом продольная масса электрона, связанная с его квазиклассическим движением вдоль нити, характеризует электрон именно как цельный локализованный объект.
Главный результат данной работы обусловлен тем, как именно продольная масса электрона зависит от поперечных квантовых чисел п и д. Ясно, что ее эффективное значение определяется тем, сколько времени электрон при продольном движении проводит внутри нити, и сколько - в материале барьера. Это задают поперечные волновые функции электрона, входящие в уравнение типа (2). Обычное квантовое усреднение
дает
гЯ г'гх
т*(пд)(К) = (К) ¿р • рфПд(Р) + М* ¿р • рф2пд(р)], (4)
ио J я
где N - постоянная нормировки, а волновые функции электрона внутри нити и вне ее
Ф (Р) ~ I Зч - £пя)Р] г < К
пд \ (^ёп^р) г > К.
Физически ясно, что электрон все больше вытесняется из нити с ростом поперечных квантовых чисел. Поэтому его продольная эффективная масса согласно (4) растет с ростом п и д, ибо электрон все больше времени проводит в широкозонном материале барьера. Это, во-первых, приводит к увеличению длины пробега и длины когерентности электрона внутри нити. Во-вторых, с дисперсионными кривыми возникает ситуация, показанная на рис. 2.
Рис. 2: Дисперсионные кривые для электрона в основном и первом возбужденном состоянии в квантовой нити ГпАз/А1БЬ, рассчитанные согласно (1)-(4). Схематически показано образование инверсии заселенности с помощью электрического импульса.
Например, при критическом значении продольного импульса, определяемого из уравнения
Еоо + рУ 2т*(оо) (К) = Е01 + Р^т*^) (К), (5)
два низших уровня меняются местами, поскольку тг*00) существенно меньше тг*01). При рх > рх0 электрону энергетически выгодно перейти с уровня Е00 на уровень Е01. Поскольку разность орбитальных моментов этих состояний составляет АЬх = Н, такой переход разрешен и будет, скорее всего, безызлучательным. Таким образом, создать инверсию заселенности в тонкой квантовой нити можно с помощью продольного электрического импульса. Схематически последовательность этого процесса показана на рис. 2.
В состоянии равновесия электронам энергетически выгодно практически полностью заселить основное состояние, т. к. плотность состояний в квантовой нити имеет корневую особенность в окрестности дискретного уровня д(Е) ~ 1 / \/Е - Е00 [3].
Ясно, что комнатные температуры ситуацию сильно не изменят3. Продольный импульс электрического поля разгоняет электроны вдоль нити, и при превышении критического импульса рх0 (5) начнутся переходы на первый возбужденный уровень, что демонстрирует на рис. 2 конфигурация 2. Разумеется, параметры импульса должны обеспечить достаточное ускорение электронов в пределах длины нити. Высокая подвижность электрона в нити этому способствует. У торца нити электроны будут естественным образом образовывать конфигурацию 3 с инверсной заселенностью уровней.
В заключение отметим два важных обстоятельства. Во-первых, ввиду ориентации орбитального момента электрона вдоль оси нити излучение фотона (как спонтанное, так и вынужденное) при описываемых переходах наиболее вероятно в этом же направлении. Во-вторых, чтобы приведенный выше механизм работал, необходимо выполнение двух условий: зонная структура должна иметь ковариантный тип (для исключения локализации дырок), а нить должна быть достаточно тонкой (чтобы размерное квантование существенно изменяло эффективные массы электронов в соседних подзонах).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 20-07-00983 А) и Министерства высшего образования и науки РФ (грант N Е8Е8-2020-0025).
3 Ее может несколько скорректировать кулоновское взаимодействие локализованных электронов, ибо дырки на нити локализоваться не могут, так что избыточный отрицательный заряд нити не компенсируется. Для системы квантовых точек это приводит к ограничению на вероятность заполнения вакантных уровней [9].
ЛИТЕРАТУРА
[1] I. Vurgaftman, J. R. Meyer, and L. R. Ram-Mohan, Journal of Applied Physics 89(11), 5815 (2001). DOI: 10.1063/1.1368156 .
[2] А. М. Мандель, В. Б. Ошурко, С. Г. Веселко и др., Инженерная физика № 9, 3
(2018). DOI: 10.25791/infizik.09.2018.172 .
[3] А. Я. Шик, Л. Г. Бакуева, С.Ф. Мусихин, С. А. Рыков, Физика низкоразмерных систем (СПб, Наука, 2001), 163с.
[4] В. Я. Демиховский, Г. А. Вугальтер, Физика квантовых низкоразмерных структур (М., Логос, 2000), 246с.
[5] E. O. Kane, Journal of Physics and Chemistry of Solids 1, 249 (1957).
[6] L. M. Roth, B. Lax, and S. Zwerling, Physical Review 114(1), 90 (1959).
[7] А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников (М., Наука, 1987), 616с.
[8] А. М. Мандель, В. Б. Ошурко, С. Г. Веселко и др., Краткие сообщения по физике ФИАН 45(9), 39 (2018). D0I:10.3103/S1068335618090063.
[9] А. М. Мандель, В. Б. Ошурко, С. М. Першин, Квантовая электроника 49(5), 505
(2019).
Поступила в редакцию 23 апреля 2020 г.
После доработки 12 августа 2020 г. Принята к публикации 13 августа 2020 г.
