Об автомодельных решениях уравнений гидродинамики заряженной среды и проблема возникновения молнии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 551.594+533.9

В .И. Пустовойт

ОБ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННОЙ СРЕДЫ И ПРОБЛЕМА ВОЗНИКНОВЕНИЯ МОЛНИИ

Предложена простая модель возникновения молнии, основанная на обычных уравнениях гидродинамики заряженного газа, для которой в одномерном случае удалось найти общее автомодельное решение нелинейного уравнения. Это решение показывает, что распределение концентрации движущихся заряженных частиц становится резко неоднородным, а соответствующее электрическое поле в рамках рассматриваемой модели формально стремится к бесконечности, достигая потенциала ионизации газа. Энергия для этого черпается из кинетической энергии движения частиц под действием ветра. Важно также, что эти особенности возникают лишь при определенном направлении движения частиц относительно электрического поля Земли. Сравнение результатов теории с имеющимися данными обнаруживает хорошее согласие.

Показано строго, что автомодельные решения нелинейных уравнений гидродинамики для заряженной жидкости или газа в одномерном случае содержат особенность типа асимптотически неустойчивого седла, и поэтому решения, описывающие распределение концентрации заряженных частиц и электрического поля, при определенных начальных (граничных) условиях могут неограниченно расти.

E-mail: vlad_pst@yahoo.com

Ключевые слова: линейная молния, уравнение Бюргерса, электрический

разряд в атмосфере, плазма.

В последние годы в связи с использованием космической техники значительно расширились исследования различных типов атмосферных явлений, связанных с электрическими разрядами. Были обнаружены так называемые сверхмолнии, которые в отличие от обычных молний, бьют не вниз от облаков, а вверх в ионосферу. Нижняя точка таких молний находится на высоте 12.. .14 км, а верхняя - на высоте 70.. .90 км над уровнем Земли. Удалось измерить заряд, переносимый такими сверхмолниями, он оказался равным 144 Кл. Были обнаружены так называемые голубые струи (blue jet) - потоки заряженной плазмы, которые также бьют вверх от облака в ионосферу. Многие физические особенности этих явлений пока еще не нашли должного объяснения, поэтому представляют определенный интерес для исследования различных физических моделей, которые могут прояснить физическую сущность этих процессов.

Несмотря на то что осознанные наблюдения за молнией в атмосфере имеют более чем двухвековую историю и накоплен огромный

наблюдательный материал, тем не менее физическая модель возникновения обычной линейной молнии так до сих пор и не создана.

Пока не существует ясной физической модели и теории возникновения линейной молнии в атмосфере, хотя многие физические аспекты развития этого процесса как электрического разряда в атмосфере исследованы весьма подробно. Современные представления о происхождении атмосферного электричества заложены еще в 1940-х годах Я.И. Френкелем [1], и к настоящему времени накоплен огромный наблюдательный материал, на основании которого можно сформулировать требования к теории возникновения молнии (см. работы и ссылки к ним [2-4]). В основном до сих пор не ясно, почему в облаке возникает резкое повышение электрического поля, приводящее к ионизации и электрическому пробою в газе, нет теории возникновения так называемого лидера - сравнительно небольшой (5.. .15 см) области значительной концентрации зарядов и весьма высокого значения электрического поля. Наблюдения показывают также, что на начальном этапе молния представляет собой последовательную совокупность отдельных небольших разрядов, которые, по-видимому, сильно ионизуют среду, повышают ее проводимость и создают тем самым высоко-проводящий путь для последующего удара молнии. Многочисленные лабораторные опыты по моделированию условий возникновения молнии также не прояснили всю физическую сущность этого явления, а предложенные теории электрического разряда в газе не объясняют многие особенности наблюдаемых явлений [2, 3].

Согласно наблюдениям возникновения молнии в атмосфере, мощный электрический разряд возникает либо между электрически заряженными облаками, либо между облаком и поверхностью земли, либо между облаком в тропосфере и облаком в ионосфере. Основная трудность, которую необходимо объяснить - это локальное возникновение большого электрического поля, такого что возникает пробой, и, как следствие, ионизация локальной области. Возникший сгусток заряда, как показывают наблюдения, движется с весьма большой скоростью (108. 109 см/с), прокладывая тем самым «путь» для последующего разряда, т.е. молнии. (Это явление называют процессом образования лидера.) Многочисленные наблюдения подтверждают именно такую картину возникновения молнии. Электрическое поле в области лидера столь велико (более 106 В/см), что, как показывают экспериментальные исследования, возникает мощное гамма-излучение, а в некоторых случаях даже происходит образование электрон-но-позитронных пар [5, 6]. Исследователи отмечают (см. также [7, 8]), что до сих пор не ясны механизмы образования лидера, резкого увеличения электрического поля и локальной плотности заряженных частиц в облаке. Среди возможных объяснений электрического пробоя наибольшей популярностью пользуется модель, предложенная

А.В. Гуревичем, основанная на теории убегающих электронов (см. [7, 8]). Однако и эта модель, как отмечают авторы (см. [8]), не может объяснить весь процесс возникновения молнии, в частности, проблема «собирания» электронов со всего облака к лидеру остается открытой.

В настоящей работе сделана попытка объяснить механизмы возникновения лидера (т.е. собирание электронов со всего облака в локальную область), повышения электрического поля в области лидера и, тем самым, возникновения молнии. В основе рассматриваемой ниже модели лежит предположение о том, что заряженную часть облака можно описать с помощью обычных уравнений гидродинамики заряженной среды, которая, как целое, движется под действием внешних сил (ветра, конвективных, гидродинамических потоков и т.д.), увлекая за собой и заряженные частицы, на которые, кроме того, действует еще и внешнее слабое электрическое поле Земли (или облаков). Именно движение однородного облака заряженных частиц в слабом электрическом поле, как показано ниже, приводит к неустойчивости исходно однородного распределения электрического поля и зарядов и возникновению лидера1. Этот вывод основан на найденном в настоящей работе точном автомодельном (волновом) решении нелинейных уравнений гидродинамики заряженной сла-боионизованной среды. Показано также, что энергия для разряда (молнии) черпается из кинетической энергии движущегося облака.

Многочисленные экспериментальные исследования и наблюдения показывают, что концентрация заряженных частиц в облаке (по-видимому, электронов) в приземном слое на высоте до 10 км состав-

3 —3

ляет около 10. 10 см и частота соударений этих заряженных частиц с нейтральными на той же высоте составляет 1012 с-1 (это значение частоты соударений относится к электронам с энергией около 100 эВ [2—4, 7, 8]). Считая абсолютную температуру среды на этой высоте близкой к комнатной, т.е. Т = 300 К, можно получить оценку для дебаевского радиуса электронов:

Таким образом, размер дебаевского радиуса превышает характерное расстояние между заряженными частицами, и поэтому не происходит экранирование кулоновского поля зарядов (независимо от массы частиц, что важно в случае облака, так как имеется еще большое количество «тяжелых» заряженных аэрозолей). Отсюда сле-

1 Электрическое поле считается слабым, когда напряженность его такова, что электрический пробой газа невозможен.

дует важный вывод, что при рассмотрении кинетики движений сла-боионизованного газа необходимо с самого начала учитывать куло-новское взаимодействие между зарядами, и, кроме того, дебаевский радиус уже не может рассматриваться как характерный пространственный масштаб явлений, а для обезразмеривания системы необходимо найти другой параметр.

Исследования показывают также, что заряды в облаке в целом распределяются весьма неравномерно: ближайшая к Земле область облака в основном заряжена отрицательно, в то время как верхняя часть - положительно. Такая поляризация облака связана с тем, что Земля заряжена положительно и существующее электростатическое поле Земли имеет напряженность порядка 1,3.. .1,4 В/см. Далее проанализируем только нижнюю часть облака, которая заряжена отрицательно.

Рассмотрим задачу о распределении электрического поля в нижней части облака, считая что это слабоионизованный газ. Электрическое поле, как известно, может быть найдено из совместных решений уравнений Навье - Стокса для заряженной среды, уравнения непрерывности и уравнения Пуассона, которые можно записать в виде

д п

-епЕ - кТ--шпу(у - у0) = 0,

д х

д п 1 д 3 Л

—+--= 0,

дг е д х (1)

дЕ

^о^ = 4пе(^о - п)

дх

(3 = епу).

Здесь е - заряд; т - масса частицы; V - ее скорость; V - эффективная частота соударений частицы со всеми рассеивающими центрами, которая, в отличие от теории убегающих электронов, не зависит от энергии; п - концентрация частиц; N0 - концентрация частиц противоположного знака; Т - температура; к - постоянная Больцмана; £о -диэлектрическая проницаемость среды и направление х, соответству-ещее направлению вдоль электрического поля (Е); vо - скорость нейтральных частиц, с которыми преимущественно сталкиваются заряженные частицы (электроны). Уравнения Навье - Стокса в форме (1) означает, что рассматривается случай, когда характерная частота соударений заряженных частиц v»a, где а> - характерная частота неравновесных процессов. Кроме того, в первом уравнении (1) опущен член тпе дv/дх, который, по предположению, должен удовлетворять условию

mnv(x, t)

dv( x,t)

dx

\mn

vv( x, t)|.

(2)

Условие (2) фактически означает, что рассматривается статическая задача и тогда уравнение Навье - Стокса в форме (1) означает условие равновесия единичного выделенного объема ионизованного газа.

Для однородной и стационарной среды, когда все производные по времени и пространству равны нулю, движение электронов происходит со скоростью V = V) + вЩту, т.е. они движутся под действием электростатического поля Земли и увлекаются потоком нейтральных частиц вследствие их соударений. Последнее очень важно, поскольку скорость заряженных частиц за счет соударений, как правило, превышает скорость под действием поля Земли.

Как и ранее, будем рассматривать слабоионизованный газ, преимущественно однозаряженным, т.е. N0 ^п, однако сохраним члены, пропорциональные N0, и положим их равными нулю лишь в окончательных выражениях. Произведем обезразмеривание системы (1), выбрав в качестве новых безразмерных переменных следующие:

xx д i'

(

2 Л

i -

kT

(

т = -

т0 =-

mvl

Т

2 Л

Ж, т) -

eE(£, т)1 kT '

(3)

р(£ т ) = n(g т )l3, т) = N013,

У0 -

mvv0l kT '

Тогда, согласно системе гидродинамических уравнений (1), получим уравнения для поля и концентрации частиц:

а2*^ =±/£«4 -[ж, т) - Л ]ШП

д£дт д£ I д?

4жр0

■Ж, т)+

4nmvl s0 kT

P0v0 h

(4)

^=--(р?,т)-р.).

S0

Физический смысл введенных величин (3) заключается в следу-

2

ющем. Характерная длина I = в* / кТ — расстояние между зарядами в, на котором энергия кулоновского отталкивания равна энергии тепло-

вых колебаний. (Необходимо подчеркнуть, что значение заряда e вовсе не должно быть равно значению заряда электрона.) (Легко видеть также, что характерный масштаб длины l = e2 /(kT)« 610-6 см, т.е. значительно меньше дебаевского радиуса для электронов.) Безразмерное электрическое поле у = E/E0, где E0 = kT/(el) - это такое электрическое поле, которое на расстоянии l совершает работу

над зарядом e, равную энергии тепловых колебаний кТ.Время

2 2 /

т0 = mvl /(кТ) = l /D (D = kT/(mv) - коэффициент диффузии)

определяет характерное «диффузионное» время, за которое исходно неоднородная концентрация заряженных частиц на расстоянии l существенно выравнивается. Проинтегрировав первое уравнение по параметру и полагая теперь N0 равным нулю, получим уравнение типа уравнения Бюргерса:

-y,]l> +cons,. (5)

дт д£21

где cons, может зависеть только от времени. После замены y(^,T) - y0 ^ у(£,т) уравнение (5) представляет собой известное

уравнение Бюргерса с нестационарной правой частью [9-13]. В соответствии с многочисленными наблюдениями молния представляет собой разряд, в котором возникает так называемый лидер - область высокого значения электрического поля и концентрации зарядов, которые перемещаются в пространстве с очень большой скоростью, сравнимой со скоростью света. Природа возникновения лидера остается неясной, несмотря на значительные теоретические усилия, предпринятые для объяснения его возникновения [2-4, 7, 8].

Тот факт, что молния (одна или несколько) представляет собой неоднородность поля и зарядов, которые перемещаются в пространстве, означает, что необходимо искать решения уравнений гидродинамики волнового (или автомодельного) типа, представляя зависимость от пространства и времени в виде

У(£т\ ^ y(%- wrX wrX (6)

где w - скорость движения лидера, которая еще не определена. Используя условия автомодельности (6), из уравнения (4) можно получить уравнение для безразмерного электрического поля

д2у(%-wt) г _ ч ,ду(£-wt) 4пр0

* 2---[-wt) - У0 ]----^ у(£- wt) +

дГ S0

4nmvl, _

+-k1 (P0V0 + C1) = 0, (7)

¿>0 к 1

аУ(Е-ш г) 4п ^ л 1 у /3 ту/V + ш)

* =--г)] Р0-no/% У0--70--

ад £0 кТ

Здесь С1 произвольная константа, которую можно найти, сравнив полученное из уравнения (7) решение для нелинейной и неоднородной задачи с решением, которое известно для однородной задачи, когда все производные равны нулю. (Нужно понимать, что вначале необходимо получить решения, а затем находить однородные решения, а не отбрасывать производные в самом уравнении.) Можно показать, что С1 = (п(Е- ш г ^(Е - ш г))sign(v), где скобки означают

усреднение по времени и пространству.

Решения уравнения (7) для безразмерного поля у(Е, г) пока неизвестны. Однако для слабоионизованной плазмы, у которой заряды одного знака, например электроны, а заряды противоположного знака отсутствуют, т.е. Р0= 0, решение можно найти в аналитической

форме. Из уравнений (7) в этом случае следует уравнение для безразмерного электрического поля

+ = 0. (8)

дд дд £0кТ

Если же заряды противоположного знака присутствуют, уравнение (8) принимает вид

д2 у (д- ш г) г лду(д- ш г ) Ляту/^^

—1" У-ш г )-У0] дд + —кТ~С1 = 0. (8а)

дд дд г0кТ

Для того чтобы найти решение уравнения (8), проведем замену переменной, используя преобразование Хопфа - Коула:

1п 1 (Е- ш г)

У(Е- ш г) = -2-дЕ-1' (9)

дд

и тогда для новой функции 1 (£- ш г ) вместо уравнения (8) получим линейное уравнение

д 1 Г ) -(Ь(Е-шг) + С1)2{Е-шг) = 0, (10)

од

где Ь - константа, выраженная через свободный член в уравнении (8). Решение уравнения (8) выражаются через функции Эйри:

Z (£- wt) = C1Ai

C1 + b(g- wt) 4

+ C2 Bi

C1+b(g-wt) ~

. b32 .

(11)

Здесь С1 и С2 - произвольные константы. Переходя в (11) вновь к переменной у(£— ъ?т), согласно соотношению (9), получим выражение для безразмерного электрического поля, которое имеет вид

2 1 23 j 3

y(£-wt) = Уо--

Bi

ГпЛЗ ((р-

j)

wt) . C1

j+T

Bi

((P-

j)

wt) . C1

j +T

+

Ai'

+

((P-

j)

wt) . C1

j +T

C2

+Ai

((P-

j)

wt) . C1

j +T

C2

(12)

где Лг(х) и Вг(х) - независимые решения уравнения Эйри: 5 2 7 (х)

дх2

- - xZ (х) = 0, Z(х) = C1 Ai(х) + C2Bi(х),

. йЛ1(х) йВ1(х) „ а Лг (х) =-, Вг (х) =- - производные функций Эйри по

дх

своим аргументам, ] =-

дх 4nmvl

s0kT

С1 - величина, определяемая потоком.

Можно показать (сравните выражения (4) и (7), (8)), что

j =-

4nmvl s0kT

< nv0 > sign(v) - безразмерный поток заряженных частиц,

определяемый внешним полем и соударениями с нейтральными частицами. Существенно, что выражение (12) является точным решением нелинейного уравнения (8), это решение было найдено в работе [15].

Константы С1, С2, находят с учетом соответствующих начальных и граничных условий. Для определения скорости как и в случае ударных волн [14], необходимо с самого начала учитывать

отброшенные члены (см. условие(2)) в уравнении Навье - Стокса, однако это выходит за пределы рассматриваемого приближения. Поэтому значение w остается неопределенным и может быть взято из экспериментальных наблюдений. Что же касается постоянных С1, С2, то их можно определить из соответствующих граничных условий для уравнений (7). Например можно потребовать, что полный заряд в облаке задан и тогда

|n(x, t)dx = Q,

(13)

где Q - полный заряд облака, х=Ь, х=а условия (13) имеем

границы облака. В силу

dy

dg

dy

dg

=Q,

(14)

где Q - безразмерный полный заряд облака. Другое условие можно сформулировать следующим образом: вне облака зарядов нет, т.е.

«(V )х>Ь = 0 и и(х,0 х<а = 0. (15)

Вместо условия (15), например, можно потребовать, чтобы значение электрического поля на краях облака совпадало со значениями полей сверху и снизу вне облака. Очевидно, что решение уравнений (14), (15) и нахождение констант С1, С2 можно осуществить лишь численными методами, поскольку эти уравнения являются трансцендентными. Для последующего анализа важно показать, что эти решения существуют и их можно сделать графическими методами.

Отметим также, что характер решений уравнений(8) и (8а) и зависимостей получаемых решений от начальных условий в общем случае можно исследовать с помощью фазовой плоскости. Нетрудно показать[15], что уравнение (8а) имеет единственную особую точку типа асимптотически неустойчивого седла, характер решений вблизи которой описывается функциями:

У1(3) = С1^, у2(3) = С2^, (3 = д-wт),

где С1, С2 - произвольные константы; Л12 - корни характеристического уравнения для уравнения (8), т.е. = - ] + Уо—— ±,/[ ] + Уо—I +1.

(Отметим, что дисперсионное уравнение линейной задачи и характеристическое уравнение при у =' совпадают.) Корни характеристи-

ческого уравнения имеют разные знаки, независимо от знака и величины безразмерного тока ] и дрейфа у0. Отсюда следует, что автомодельные (волновые) решения уравнение (8), вообще говоря, неограниченно растут при 3 — ±ю. Это означает, что в среде может возникнуть сильное и неоднородное электрическое поле, которое перемещается в пространстве со скоростью, определяемой суммой у + Уо. Фазовые траектории вблизи точки неустойчивого равновесия

показаны на рис. 1, из которого следует, что начальные значения, определяемые константами С1 и С2, существенно влияют на характер решений. Требование ограниченности решений при3—±да может быть выполнено лишь при С1 = С2 = 0, а для полуограниченной среды необходимо, чтобы одна из этих констант была равна нулю (случай дебаевской экранировки). Если же рассматривать ограниченную среду, можно удовлетворить граничным условиям и при С1 и С2, не равных нулю. Таким образом, эти исследования показывают, что система, описываемая уравнениями (8), является неустойчивой.

Рис. 1. Фазовые траектории вблизи точки неустойчивого равновесия

Согласно полученному волновому решению (12), в некоторых точках, электрическое поле испытывает разрыв, и решение формально стремится к бесконечности (рис. 2). Однако с физической точки зрения ясно, что такого не может быть и поэтому необходимо выяснить, какие математические ограничения в рамках рассматриваемой

Е(х)

£ —со

Рис. 2. Зависимость безразмерного электрического поля у(г) от координаты и времени. Одновременно на графике приведены функции Эйри Л1(г) и ы(г)

модели исключают эти области. Покажем, что условия применимости рассматриваемой модели (2) исключают эти области. Действительно из условия (2) следует, что

y-1(g-wt)

fy(g~wt)

dg

v-

kTv

(16)

и тем самым исключается область вблизи разрыва. Здесь V- эффективная частота соударений; V - скорость электронов. Из условия (16) следует, что чем выше скорость электронов, тем шире область вокруг точки разрыва, в которой справедливо решение (12). Качественная зависимость выражения

1

dy (g- wt)

y(g- wt) dg

содержащая точки разрыва от параметра д, представлена на рис. 3. Ясно, что все области вблизи разрывов, в соответствие с условием (16) должны быть исключены из рассмотрения.

Вернемся к анализу полученного решения для пространственно-временного распределения электрического поля, описываемого выражением (12). Это распределение показано на рис. 4, там же показаны

2

25 20 15 ] Z)

y(C-wz) e2 v- kT v

\ / 1 / К] \ / \j ^--' 10 1 \ \ 5 \ V 9 - wr

5 -4 -3 -2 -1 1

Рис. 3. Определение областей существования решения в соответствии с неравенством (16): решения существуют везде, кроме областей отмеченных серым цветом

зависимости функций Эйри от аргумента z = % — wт. Переходя к размерным переменным, получим окончательное выражение для электрического поля молнии и концентрации заряженных частиц:

™ ч ^ (4™, , |Х У/3 . / В!'(в)+С2Л! \в)

где G =

4ne mv / .

Цл

\1/3

^о (kT )2

x + (—- + w)t

n( x, t) =

(g0 mv) 4ne 2kT

1/3

mv dG

sign(v);

Bi'( G ) + C2 Ai\G) Bi (G ) + C2 Ai (G)

При движении заряженных частиц под действием ветра, когда v ф 0, как следует из выражения (17), распределения поля и концентрации существенно отличаются от своих равновесных значений. Решения (17) имеет особенности в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, однако, число этих точек существенно зависит от знака аргумента у функции Эйри. Если v >0 (движение заряженных частиц

происходит по направлению полю Е0), число корней в знаменателе

(17) будет не более одного; если же V <0, то число корней в знаменателе формулы (17) будет определяться размером облака. Схематически распределение электрического поля и концентрации заряженных частиц в соответствие с формулой (17) показано на рис. 4.

Рис. 4. Распределение электрического поля в зависимости от аргумента

г = х - ^

Оценим значение величин, входящих в формулы (17). Необходимо отметить, что это весьма неопределенная задача, поскольку наши знания относятся к начальному состоянию облака, в то время как выражения (17) оперирует с величинами, относящимися к области разряда. Поэтому проведем оценки, используя имеющиеся данные как ориентировочные.

Полагая кТ = 3,210-14 эрг, п = 103 см-3, V =102 см/с, у = 106 с-1, Ео =100 В/см, для аргумента у функций Эйри получаем О =

= 0,125 х[см] + 8,106 — /[с] I Ясно, что для этих значений па-

V с у

раметров расстояние между максимумами поля и плотности частиц, определяемое как расстояние между двумя ближайшими нулями функций Эйри, оказывается порядка 16 см, а скорость движения области с повышенной концентрацией заряда равной 8-106 см/с. Эти результаты хорошо согласуются с наблюдениями. Как следует из формулы (12), в среде образуются почти периодические области повышенной концентрации заряженных частиц и поля, значения которых формально стремятся к бесконечности. Разность потенциалов

вблизи этих точек очень велика (формально равна бесконечности) и поэтому должна возникать ионизация молекул в облаке, что и приводит к образованию лидера, вдоль которого происходит разряд. Область повышенного значения концентрации заряженных частиц перемещается в пространстве и достигает границы облака. Подобная картина будет происходить также и в соседнем облаке и тогда между ними может произойти разряд, т.е. молния. Существенно, что, согласно формуле (12), электрический пробой происходит между областями, имеющими почти периодическую структуру, что, по-видимому, и наблюдается в реальной картине молнии. Такова общая картина возникновения молнии. Что касается моделирования процесса возникновения молнии в лабораторных условиях, необходимо отметить следующее. Решение (12) описывает одномерную затопленную струю ионизованного газа, когда заряженные частицы движутся таким образом, что электрическое поле тормозит их движение. Согласно (12), в такой системе должно возникнуть резкое усиление электростатического поля и перераспределение концентрации зарядов, однако эксперименты в такой постановке неизвестны.

Отметим также, что прямое численное решение уравнения (4) приводит к тем же результатам, которые получены аналитически.

Остановимся на общей картине возникновения молнии. В соответствии с приведенным анализом показано, что однородное распределение зарядов ионизованного газа не является устойчивым и распределения поля и зарядов стремятся к неоднородному распределению, найденному выше. Единственный случай устойчивого пространственного распределения реализуется при заданной внешним источником разности потенциалов и при выполнении условий квазинейтральности газа (лабораторные условия). В остальных же случаях заряженная среда является неустойчивой. Эта неустойчивость сильно проявляется при наличии заданных токов, которые стимулируют развитие неустойчивости. Найденные выше точные решения нелинейной задачи для сильно неоднородной среды показывают, что при наличии потока заряженных частиц, порождаемого ветром, в среде образуются области с весьма высокой разностью потенциалов, которые приводят к ионизации этого участка среды и, в конечном счете, к образованию молнии.

В заключение отметим, что полученные решения уравнений (1) в виде (12) относятся также и к многочисленным плазменным задачам, в том числе к физике плазменных разрядов в газах, в которых наблюдаются страты, к пылевой плазме [16], в которой образуются периодические структуры, а также к задачам гравитирующего истечения газа (джетам). В последнем случае вместо уравнения Пуассона для зарядов необходимо использовать уравнение Ньютона для гравити-рующих частиц, что с математической точки зрения, одно и то же.

Используя асимптотические значения функций Эйри и их производных можно найти более простые выражения для решения уравнения (12), которые здесь не приведены.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность К.И. Та-бачковой за помощь в оформлении этой работы.

Работа выполнена в рамках программы «Кадры» (контракт П780).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Френкель Я. И. Теория явлений атмосферного электричества. Л.; М., 1949.

2. Мучник В. М. Физика грозы. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.

3. Юман М. Молния. М.: Мир, 1972.

4. Базелян Э. М., Райзер Ю. П. Стримерно-лидерные процессы в искровом разряде и молнии, статья в книге «Энциклопедия низкотемпературной плазмы». 2000. Т. 2. С. 204-225.

5. Signature of antimatter defected in lightning. Science News. December 5th. 2009. Vol. 176. No 12.

6. Rudolf A. Treumann, Zbignev Klos, Michel Parrot. Physics of electric discharges in atmospheric gases // Space science reviews / 10 Apr. 2008. Vol. 137.

7. Гуревич А. В., Зыбин К. П. // УФН. 2001. Т. 171. № 11. С. 1177-1199.

8. Гуревич А. В., Караштин А. Н., Рябов В. А. и др. // УФН. 2009. Т. 179. № 7. С. 779-790.

9. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. Vol. 1. P. 171-179.

10. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

11. Уизем Дж. Линеные и нелинейны волны. М.: Мир, 1977.

12. Петровский С. Б. // ЖТФ. 1999. Т. 69. Вып. 3. С. 10-14.

13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1954.

14. Пустовойт В.И. // Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51. № 8. С. 996-1002.

15. Фортов В. Е., Храпак А. Г., Храпак С. А. и др. Пылевая плазма // УФН. 2004. Т. 174. С. 495.

Статья поступила в редакцию 24.11.2011