CC BY
43
УДК 533.9
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЕ. ВЛИЯНИЕ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ
Ю. Ф. Гунько1, Н. А. Гуньке?
1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
2. Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., [email protected]
Актуальность работы по данной тематике была недавно подтверждена событиями, связанными с выходом из строя аппаратуры космической лаборатории «Фобос», которая должна была направиться к спутнику Марса. Одна из версий случившегося— столкновение с плазменным облаком.
Дело в том, что на поверхности твердых тел, находящихся в плазме, может резко возрастать напряженность электрических полей. Увеличение напряженности может приводить, а иногда и приводит к явлению пробоя. На границе плазма—твердое тело напряженность электрического поля обратно пропорциональна дебаевскому радиусу В а последний, вообще говоря, убывает с увеличением плотности плазмы. Уменьшение радиуса кривизны также приводит к росту напряженности электрического поля.
Определение структуры течения и напряженностей электрических и магнитных полей в окрестности покоящихся и движущихся в плазме тел — одна из основных задач ионосферной аэродинамики. Постановка ее может осуществляться как на кинетическом, так и на газодинамическом уровнях описания. И в том и в другом случае все искомые величины ищутся как совместные решения системы уравнений, описывающих среду и электромагнитное поле, которые удовлетворяют определенным граничным и начальным условиям. Последние определяются физической постановкой решаемой задачи.
При решении задач обтекания тел сильно разреженной плазмой в электростатической постановке исходной является следующая система уравнений [1, 2]:
Здесь (1) — система уравнений Власова для функций распределения ионов и электронов; (2)—уравнение Пуассона для определения потенциала электрического поля у.
Напряженность магнитного поля Н в (1) считается заданной, а само поле — связанным либо с внешней средой, либо с движущимся или покоящимся объектом. Во втором случае оно называется собственным магнитным полем.
© Ю. Ф. Гунько, Н. А. Гунько, 2013
(1)
Ду = —4 пр,
(2)
Граничные условия для функций распределения имеют для целого класса задач следующий вид:
где (3)—условие того, что в невозмущенной плазме электронная и ионная компоненты находятся в состоянии теплового равновесия, каждая, вообще говоря, со своей температурой (как правило, они одинаковы); (4) —граничные условия для функций распределения на поверхности тела.
К граничным условиям (3) и (4) следует добавить граничные условия для потенциала у на бесконечности и на поверхности тела. На поверхности проводящих тел, в первую очередь металлов, = уо, где уо —потенциал поверхности; уо может либо задаваться, либо определяться в ходе решения задачи. Для диэлектриков потенциал на поверхности есть функция точки, и находится приравниванием суммарной плотности потока заряда нулю.
Хотя постановка задачи обтекания в сформулированном виде и не является самой общей, в таком виде ее решение неосуществимо. Поэтому при решении конкретных задач следует делать дальнейшие разумные предположения относительно влияния тех или иных факторов.
Рассмотрим дополнительные предположения, позволяющие довести решение исследуемой задачи до числа, а также ход ее решения на примере задачи об экранирующем приповерхностном слое.
Наиболее простой и достаточно важный частный случай этой задачи — задача об экранировании электрического поля в однокомпонентной плазме (заряженном газе).
В такой постановке данная задача имеет много общего с классической задачей о прохождении термоэлектронного (термоионного) тока через вакуумный диод. Но и этот вариант требует дальнейших упрощающих предположений.
Примем в качестве таковых, во-первых, предположение о стационарности всех физических величин, характеризующих структуру приповерхностного слоя; во-вторых, предположение об одномерности, то есть будем считать все величины зависящими только от одной координаты; и, в-третьих, будем считать газ из заряженных частиц холодным. Отметим также, что в случае плоской, цилиндрической и сферической симметрий в заряженном газе или плазме индуцированные магнитные поля отсутствуют.
Случай одномерного движения однокомпонентного заряженного газа в плоском диоде подробно рассмотрен [3]. В данной работе рассматриваются задачи об определении характера движения и электрического поля в случаях цилиндрической и сферической симметрий. Аналогом этих задач в эмиссионной электронике являются задачи об определении течений в цилиндрическом и сферическом диодах [4-5].
Для определенности в качестве заряженного газа возьмем холодный газ из свободных электронов, движущихся в пространстве по законам классической механики. В соответствии со сказанным выше, будем считать поток стационарным и одномерным.
(3)
з
(4)
Одним из следствий кинетического уравнения Власова (1) является закон сохранения электрического заряда (на макроскопическом уровне к нему приходят феноменологическим путем). Записанный в дифферененциальной форме он выглядит следующим образом:
^ + <Цу/= 0. (5)
Здесь /— вектор плотности электрического тока. Предположение о стационарности приводит к упрощенной форме записи уравнения (5):
з = 0. (6)
Обозначим через п концентрацию электронов на расстоянии Д от оси симметрии в цилидрическом случае и на расстоянии г от центра симметрии в сферическом случае, а через е обозначим абсолютную величину заряда электрона. В обоих рассматриваемых нами случаях
Ре = р = -еп, (7)
где ре — объемная плотность электрических зарядов, зависящая либо от Д, либо от г.
Будем считать, и это еще одно предположение, что все электроны стартуют с поверхности тела с одинаковыми по величине скоростями в направлении местной нормали в точке старта. Обозначим через «д(Д) («г(г)) проекцию скорости электронов на направление оси Д (г) на расстоянии Д (г) от оси (центра) симметрии. Если при Д = До (г = го) скорость электронов равна «о, для цилиндрического случая
ЗоПо (8)
Rv(R)' для сферического случая
r2v(r)
Для электронного газа уравнения движения можно рассматривать как следствия кинетического уравнения, для которого траектории движения являются характеристиками. В условиях сделанных предположений уравнения движения в проекции на направление оси Д (r) имеют вид
dv dy
rriPv—— = е——, (10)
dR dR У '
dv dip
rriev— = e—. (11)
dr dr
Отметим также, что уравнения (10) и (11) формально совпадают с уравнениями движения одной отдельно взятой частицы, хотя, по существу, смысл соответствующих величин и уравнений различен.
Интегрирование уравнений (10) и (11) приводит к одной из форм записи закона сохранения энергии, выполняющегося как при движении вдоль характеристик уравнения (1), так и для каждой отдельно взятой частицы:
2
Значение постоянной С определяется граничными условиями для потенциала электрического поля и скорости вылетающих частиц.
Так как потенциал электрического поля определяется с точностью до произвольной постоянной, то, не уменьшая общности, можно считать, что
т
¥>\к=ко = ¥>\г=г0 =¥>о= ° '
При выполнении условия (13) значение постоянной С, входящей в уравнение (12), будет равно нулю. Откуда получаем
/2еф)^
V те
Выбор знака перед корнем определяется граничными условиями и некоторыми особенностями решаемой задачи. Если в потоке все частицы движутся в одном направлении (положительном направлении оси Д (г)), то перед корнем всюду следует брать знак плюс.
Подставляя (14) в (8) и (9) (с учетом выбранного перед корнем знака), а полученное выражение в уравнение (2) и переходя к новым безразмерным переменным, получаем (с учетом одномерности задачи) следующие уравнения для потенциала электрического поля:
А. = 1
¿г 1 \ 1 ¿г 1 у фр^
(16)
где = 2е^>/(те-у2) и К\ = Д(8е2попДо)/(те«2) —безразмерные потенциал и координата.
[Некоторые вспомогательные формулы, использованные при выводе уравнения (15): ^ = Зо&о = ЗБ, Б = 2пД, Бо = 2пДо, jо = епо^о, .1о = 2пепо«оДо.] Выражения (15) и (16) удобны тем, что они не содержат ни размерных, ни безразмерных параметров.
Для случая сферической симметрии
г = Г1 • го, С^ = (8п2 теепо«2г4 )1/3, (17)
^ = С^2.
Проверка размерности С^ приводит к ожидаемому результату. Этот коэффициент обладает размерностью потенциала, а уравнение для потенциала приводится к виду (16).
Для уравнения (15) известно частное решение, подобное решению Лэнгмюра для плоского зонда. Найдем его и выпишем в удобной для нас форме. Искать требуемое решение будем в следующем виде:
= С1Д7. (18)
Подставляя (18) в (15), приходим к следующему соотношению:
и
Для обращения (19) в тождество при всех значениях Д1 достаточно, чтобы
2 3 / 3 \1/з
7=3' ^2'Ы • ^
Итак, искомое решение имеет вид
Получим теперь соотношение между силой тока в цилиндрическом диоде и напряжением между электродами в этом частном случае. Пусть Да —радиус анода — цилиндрической поверхности, коаксиальной с поверхностью катода, также выбранного в форме цилиндра, а уа —потенциал поверхности анода. Тогда в безразмерных переменных
_3 /Зу/3р2/з 2 Ы
Возведя обе части соотношения (22) в степень «3/2», получим:
о К1а- (22)
или
Ы а?'2 = (23)
Вернемся в формуле (23) к размерным переменным. Тогда (23) примет вид
(2еуа)3/2 = 9 8е2пр7гДо (тег> о)3/2 4 а тое-у2
3/2 9^/гп^2тгВ,0епоУоНа 9 /те
=-я-= 0 а- (25)
Разрешая формулу (25) относительно ^, приходим к следующей формуле:
о /о /- 3/2
(26)
9 у Ше Да
Соотношение (26) формально имеет вид закона «степени 3/2». Однако надо иметь в виду, что в формулу, определяющую закон «степени 3/2», входит, вообще говоря, напряжение, существующее между поверхностями электродов. Так как и = уа — уи, где и — напряжение, для рассматриваемого решения соотношение (26) можно переписать следующим образом:
2 а/2 + 2 а/2 Г~ё~ (и + (тег12)/(2е))3/2
,7о~ 9 У«е Да ~ 9 V те Да • (27)
Вычислим теперь проекцию градиента потенциала электрического поля на направление нормали к поверхности на катоде. Начнем с того, что выпишем выражение для потенциала в размерной форме. Используя выражение (21) получаем
(р = 2/342/3(^0М 2/3(ДоД)2/3 = !^92/3Дв4/3д2/3д2/3 =
2е \4/ \ ШШе«о ' 2е
°92/3Дв4/3(1Дв)2/3Д2/3 = ^^32/3Дд2/3Д2/3, (28)
2е
где
Я
в
ье" 0
2ппое2
(29)
Величина Я в играет роль дебаевского радиуса в случае цилиндрической симметрии. Из выражения (28) находим производную от потенциала по направлению вд:
<кр_ = теу% 1/3 2/зд-1/з <1Я е в ■
И наконец, для искомой величины получаем следующее выражение:
1Я
Е=Е0
^З^/Зд^/Зд-!^
Ше«2 1
Я
в
(30)
Формула (30) позволяет определить поверхностную плотность электрических зарядов на поверхности катода для данного решения и напряженность электрического поля:
1 Ше«2 1
4п
Яг
Е = —
2
ге«2
1
Я
в
(31)
К сожалению, найти общее решение уравнений (15) и (16) в аналитической форме не удается. Поэтому для дальнейшего исследования использовались численные решения уравнений (15) и (16). Интегральные кривые, определяющие зависимость потенциала от координаты, приведены на рисунках 1, 2 и 3. Рисунок 1 относится к случаю плоской симметрии, 2 — к цилиндрической, а 3 — к сферической. Значения потенциалов и координат брались в безразмерной форме. Различным интегральным кривым соответствуют различные значения напряженности электрического поля на внутренней поверхности диода.
Рис. 1. Зависимость ^р(х) при различных значениях Ео для плоского диода.
На основе полученных решений были сделаны следующие выводы. 1. В областях (х1, <£>1); (Я1, <£>1); (г1 , <1) существуют три подобласти ^1, ^2 и П3, такие что:
2
в
в
в
Рис. 2. Зависимость ф(В>) при различных значениях Ео для цилиндрического диода.
<р
Рис. 3. Зависимость <^(г) при различных значениях Ео для сферического диода.
в О краевая задача имеет единственное решение;
в О краевая задача имеет два и только два решения;
в Оз решений краевой задачи (без учета возвратных частиц) не существует.
2. Для плоского, цилиндрического и сферического диодов существуют значения Е01, при которых формируется так называемый «виртуальный катод». Значения Е01 для различных симметрий различны. Для цилиндрического и сферического случаев они были определены численным путем.
3. В отличие от плоской симметрии в случаях цилиндрической и сферической симметрий напряженность электрического поля в межэлектродном пространстве стремится на бесконечности к нулю.
4. Получены аналитические выражения потенциала на больших расстояниях для плоской, цилиндрической и сферической симметрий (асимптотические выражения
приведены в безразмерной форме):
34 4/3
^ПЛОСК. 2 /
Уци
.4/3
4/3
Д2/3,
2/3
^сфера = ( - I (1П Г)2/3.
(32)
(33)
(34)
Литература
1. Филиппов Б. В. Обтекание тел сильно разреженной плазмой // Аэродинамика разреженных газов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1969. Вып. 4. С. 133-141.
2. Филиппов Б. В. Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973. 128 с.
3. Гунько Ю. Ф., Колесникова Э. Н. Структура течения вблизи плоской поверхности в сильно разреженной плазме // Модели неоднородных сред. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. С. 64-95.
4. Гапонов В. И. Электроника. Часть 1. Физические основы. М.: Наука, 1960. 516 с.
5. Капцов И. А. Электрические явления в газах и в вакууме. М.: Гостехиздат, 1950. 808 с.
Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.
3
2
ХРОНИКА
12 декабря 2012 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили доктора физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. А. А. Майлыбаев и А. П. Сейранян (Институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова) с докладом на тему «Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложение в механике».
Краткое содержание доклада:
В докладе излагаются фундаментальные основы и методы многопараметрической теории устойчивости с приложениями к задачам механики. В нем отражены современные знания и достижения теории бифуркаций собственных значений, анализа чувствительности характеристик устойчивости, теории устойчивости неконсервативных систем, анализа особенностей границ областей устойчивости, изучены вопросы устойчивости периодических систем и задачи максимизации критической силы потери устойчивости упругих систем при ограничении на полную массу. Материал доклада опирается на монографию авторов «Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложения в механике». М.: Физматлит, 2009. 400 с. и содержит новые сведения по рассматриваемой теме.
