CC BY
32
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл №ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155М 1994-0408_
Исследование одномерной модели течения струи заряженного газа 77-30569/224791 # 08, август 2011 Кравченко О. В.
УДК: 51-73
МГТУ им. Н.Э. Баумана olekravchenko@gmail.com
1. Введение
Большинство исследуемых в технике нелинейных динамических систем являются неконсервативными. В таких системах энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неустойчивостей. Для таких систем принципиально новым явлением по сравнению с консервативными системами служит явление автоколебаний. То есть таких колебаний, поддерживаемых внешними возмущениями, вид и свойства которых определяются самой системой. Системы или среды в которых могут происходить автоколебательные процессы с точки зрения теории нелинейных волн описываются одним из модельных уравнений [1, 2]. Вид такого уравнения определяется характеристиками среды: дисперсией и нелинейностью. Подобное наблюдается в нелинейных консервативных средах, где для одномерных волн основным является нелинейное уравнение переноса
= С-:. - ^
и уравнение Бюргерса для сред с линейной вязкостью
, (2)
Если в среде присутствует только консервативная нелинейность, то низкочастотная неустойчивость при учёте вязкости также приводит к автоколебаниям [1], которые в одноволновом приближении описываются уравнением
Уравнение (3) является одним из основных (эталонных) в теории неравновесных волн в нелинейных средах [2]. Такое уравнение (3) называют модифицированным уравнением
Бюргерса. Если в уравнении (3) присутствует нагрузка /(£), зависящая от времени, то такое уравнение называют модифицированным уравнением Бюргерса с нагрузкой
32
XX
- *" (4)
На настоящий момент не существует физической модели и теории возникновения молнии в атмосфере. В работе [3] предложена простая модель возникновения молнии, основанная на уравнениях гидродинамики заряженного газа. Нелинейной средой здесь является атмосфера в целом, а в частности - облака, имеющие заряж. От системы гидродинамических уравнений осуществляется переход к более простому уравнению вида (4), для которого при у = О
найдено волновое решение. Вместе с этим, остаётся открытым вопрос об аналитическом решении в общем случае. Кроме того, в силу нелинейности задачи, решающее значение приобретает вопрос о влиянии начальных условий на характер решения.
Работа состоит из трёх частей. В первой части, согласно [3], изложена гидродинамическая модель течения струи заряженного газа. Во второй части представлено решение для уравнения типа (4) в общем случае. В третьей части, для стационарного случая рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение методом фазовой плоскости, с помощью которого установлены различные типы движений, реализуемые в модели.
2. Одномерная модель течения струи заряженного газа
Исследуемая модель состоит в следующем. Слабоионизированная газовая среда (облако в атмосфере) как единое целое движется под действием разности давлений со скоростью
Заряженные частицы (или ионизованный газ) движутся с незаряженными частицами как единое
целое. Однако, на заряженные частицы помимо гидродинамических сил действует электростатическое поле атмосферы, а также поле самих зарядов. Задача состоит в том, чтобы найти пространственное распределение электростатического поля и плотности зарядов. Такая задача сводится к совместному решению уравнений движения для заряженной среды (жидкости или газа), непрерывности и Пуассона, которые можно записать в виде системы
г—епЕ — кБТдхп — тгип/(у — г\,} = О, дТп + = 0, ( / = еш?)
...= (5)
Здесь [е] = Кл - заряд частицы, [тп] = кг - масса частицы, [гз] = м/с - скорость частицы, п -концентрация частиц, ДГ0 - концентрация частиц противоположного знака, [Г] = К - температура
среды, [&3] = 1,3В ■ 10“23 Дж/К - постоянная Больцмана, [г^] = 8,85 ■ 10-12 Ф/м -диэлектрическая проницаемость среды, [г-1] = 1/с - эффективная частота соударения. Систему (5) можно преобразовать к нелинейному уравнению в частных производных введением безразмерных переменных. Согласно [3] для случая электрически нейтральной среды, когда Лґ0 и п. одного порядка, система (5) переходит в уравнение относительно безразмерной напряжённости
заменив на и = у — у0, получим уравнение вида (4)
= с?-:. - _ (6)
Если среда не является электрически нейтральной (при п » Ат0). то система (5) переходит в уравнение
замена и = у — у0 приводит к уравнению
= с 7-:. - ..С: - ■; '“■. (7)
В [3] показано, что волновое решение уравнения (7) является разрывным
”(е) 1 9 (+ ,т' где С]_, с, Ъ0 - постоянные интегрирования, а Ai, Вг - функции Эйри. Разрывные решения имеют
следующую интерпретацию: в точках разрыва напряжённость поля формально имеет сколь угодно большое значение. Образуется почти периодическая цепочка заряженных сгустков, между которыми расположены незаряженные области. Исследование условий образования подобных сгустков - заряженных кластеров представляет физический интерес, а резульатты для случая статического поля изложены в [5-7]. Таким образом, возникает необходимость в отыскании аналитического решения уравнения (6), а также в выявлении роли начальных условий, которые определяют поведение решений нелинейного уравнения.
3. Аналитическое решение
Будем искать решение уравнения (6) в виде
Для определения функций '^рог'Фь подставим (8) в (6)
- - V = Л: -
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим систему
- . = -.
ф'0 = -фаф._ - ф0 - ь. (9)
Система (9) является интегрируемой. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что ей удовлетворяют функции
е^1_Т г - 0^1_Т
= в^-т-! И^0 = (ЪеТ -Ье *т +С2)1_дС'__т.
Таким образом, решение уравнения (6) в виде разложения (8) имеет вид
ПС±-Г „С!-Т
7 т- = -;£--7 - (10)
Формально, решение (10) найдено, но такое решение является вырожденным в силу линейности по координате £ Это означает следующее. Будем решать задачу Коши для уравнения (6) на
отрезке [а, Ь\. Граничными условиями примем однородные условия Неймана:
, (10)
■$=о *
Продифференцировав решение (10) по координате, в силу структуры решения, получим функцию, зависящую только от времени и не зависящую от координаты £. Отсюда, решение (10) является
нечувствительным к граничным условиям типа Неймана. По-видимому, можно предложить такое решение уравнения (10), в котором переменные £, т входят нелинейным образом, однако, автору оно в настоящий момент не известно.
4. Фазовый портрет в стационарном случае
Для ответа на вопрос о роли начальных условий используем методы теории фазового пространства [8],[9]. В стационарном случае уравнение в частных проихводных (6) перейдёт в обыкновенное дифференциальное уравнение
ии + ии1 — Тл + Ь = 0 (11)
Перенесём начало отсчёта в положение равновесия = Ь, то есть введём новую переменную у = и — и^. Такая замена преобразует уравнение (11) в уравнение вида
уГ' + ЪуГ+у + уу< = 0.
дин. уравнение нелин, слагаемое
Здесь первые три слагаемых представляют собой линейную колебательную систему, к которой сводится описание системы (11) при достаточно малых вариациях, когда нелинейное слагаемое ии1 становится величиной второго порядка малости и им можно пренебречь. Перепишем уравнение (12) в виде системы
кк лю+(.и
- (12)
Система (13) имеет следующий фазовый портрет рис. 1 а). Координата £ играет роль фазового времени, то есть парметра, изменияющего координаты некоторой точки на плоскости (у*2) Область В является область с такими начальными условиями, для которых временные решения уходят на бесконечность за конечное время. Характерные временные решения для областей А и В представлены на рис. 1 б),в).
а !і (// Щ\
^ | • і
в Ч
а) Ъ = 1
У і і /С \ : „ / -. . • 1
б) характерное временное решение области А
в) характерное временное решение области В
Рис.1, а) фазовый портрет на плоскости (у, г) б), в) временные решения
Ь 2{
5. Заключение
В начтоящей работе аналтически исследовалась модель течения струи заряженного газа (в одномерном случае) [3] в виде нелинейного уравнения (6). Представлено аналитическое решение уравнения (6), которое, однако, является вырожденным. Роль начальных условий в стационарном случае удалось определить при помощи метода фазовой плоскости. В зависимости от выбора начальных условий в той или иной области, существенно меняется характер поведения модели. При определённом выборе начальных условий решения модели возрастают очень быстро при малом изменении значений аргумента. Такое поведение нелинейной системы согласуется с наличием в модели разрывных решений.
Автор выражает благодарность своему руководителю - академику РАН, д.ф.-м.н., зав. Каф. РЛ3 МГТУ им. Н.Э. Баумана Владиславу Ивановичу Пустовойту за постановку задачи, а также профессорам Владимиру Георгиевичу Сапогину и Михаилу Владимировичу Капранову за ценные замечания, сделанные автору при выполенению работы.
Список литературы
1. Рабинович М.И. Автоколебания распределённых систем // Известия вузов. 1974. Т.14, №4. С. 477-510.
2. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. Нелинейные волны в неравновесных средах // Известия вузов. 1976. Т.19, №5-6. С. 721-766.
3. Пустовойт В.И. О механизме возникновения молнии // Радиотехника и электроника. 2006. Т.51, №8. С.996-1002.
4. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. Для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с.
5. Сапогин В.Г. Механизмы удержания вещества самосогласованным полем. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 254 с.
6. Сапогин В. Г. Неупругое взаимодействие электронного кластера с плоской поверхностью // Известия ТРТУ. 2001. №1. С. 165-168.
7. Сапогин В. Г. Бесстолкновительный кластер плоской динамической системы зарядов с V-образной потенциальной щелью // Вестник Южного научного центра РАН. 2005. Т. 1, №2. С.9-16.
8. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320 с.
9. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические
методы анализа и синтеза. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 520 с.
