CC BY
44
Шаг 4. Повторяя рассуждения, аналогичные рассуждениям в пункте В) шага 2 и в шаге 3, получаем при д > I
|SKq+1 (g)! =
Kq
£ Xk (g)
k=0
'2Kq+i-Kl-(ml+...+rnq) |a|, если g є VKq+1 и Vk^ RE = 0,
о,
если g є VKq
VKq + 1 П E = 0.
Видно, что полученный таким образом ряд вида (7) сходится к нулю всюду на Ъ2 вне Е и расходится во всех точках множества Е.
В случае конечного множества I, когда все исчерпаны, дальнейшие шаги описываются следующим образом.
Пусть ^ е I и для любого ] е N ^ + ] 0 I, тогда полагаем
Xkl
+j+i
(g) =
о, если Skl +j (g) = О,
-Skl +j(g), если g є Vkl+j+i и V^+j+iflE = 0,
Skl+j(g), если g є Vkl+j+i и Vfcl+j+iRE = 0.
kl +j + 1
E Xk (g)
k=0
Аналогично 2) доказывается 3).
При этом | Skl +j+i (g)l =
2j |Ski |, если g є Vki +j+i и Vki+j+1 П E = 0, 0, если g є Vfc; +j+i и VkI+j+if| E = 0.
Работа поддержана грантом Президента РФ для государственной поддержки коллективов ведущих научных школ (проект НШ-2970.2008.1).
Библиографический список
1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубин- 2. Морева Н.С. О единстенности кратных рядов Уолша
для сходимости по двоичным кубам // Мат. заметки.
штейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981.
2007. Т. 81(4). С. 586-598.
УДК 517.5
ОБ АСИМПТОТИКЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ
Э.Ш. Султанов
Дагестанский научный центр РАН, Махачкала Отдел математики и информатики E-mail: math.dag@mail.ru
В настоящей работе исследуются асимптотические свойства полиномов Чебышева Tn(x, N) (0 < n < N — 1), ортогональных на равномерной сетке = {0,1,..., N — 1} с постоянным весом ^(x) = N (дискретный аналог полиномов Лежандра) при n = O(N1), N ^ то. Установлена асимптотическая формула, связывающая полиномы Tn(x, N) с полиномами Лежандра Pn(t) для x = N(1 +1) — 1, для остаточного члена которой получена равномерная относительно t е [—1,1] оценка, которая, в свою очередь, позволяет доказать неулучшаемую весовую оценку для полиномов Чебышева Tn(x, N).
About Asymptotics of Chebyshev Polynomials Orthogonal on an Uniform Net
E.Sh. Sultanov
Dagestan Center of Science RAN,
Department of Mathematics and Informatics E-mail: math.dag@mail.ru
In this article asymptotic properties of the Chebyshev polynomials Tn (x,N) (0 < n < N - 1) orthogonal on an uniform net Qn = {0,1,..., N - 1} with the constant weight ^(x) = N (discrete analog of the Legendre polynomials) by n = O(N2), N —— to were researched. The asymptotic formula that is relating polynomials Tn(x,N) with Legendre polynomials Pn(t) for x = NN (1 + t) - 2 was determined. The uniform estimation of remainder term of the formula relative to t e [—1,1], that in turn allows to prove unimprovable estimation of Chebyshev polynomials Tn(x, N), was obtained.
Ключевые слова: ортогональные многочлены, асимптотика. Key words: orthogonal polynomials, asymptotics.
и
© Э.Ш. Султанов, 2GG9
ВВЕДЕНИЕ
Пусть N — натуральное число, = {0,1,..., N — 1},
Т„(ж) = ТП(ж, N) = п — 1)МА,‘{(х — N(0 < п < N — 1), (1)
где здесь и далее а[0' = 1,а[п' = а(а — 1)... (а — п + 1), Ап — оператор конечной разности порядка п с единичным шагом. Как было показано впервые П.Л. Чебышевым в работе [1] (см. также [2,3]), равенство (1) определяет для каждого п (0 < п < N — 1) алгебраический многочлен Тп (ж) степени п, а в совокупности Т0(ж),... _і(ж) образуют ортогональную систему на , точнее,
2 ___
N £ Тп(ж, N)Тт (ж, N)= ¿пш, (2)
где
, 2 ^ + п)М (3)
п'" 2п + 1 (N — 1)[п'' ( )
Многочлены (1) представляют собой дискретный аналог классических полиномов Лежандра
Рп(‘Н^ {(1 — ‘2)П}<П> ■
1
2
образующих ортогональную систему в следующем смысле [2]: / Рп(‘)Рш(‘) = ---- ¿пш.
2п + 1
-і
Ставится задача об исследовании асимптотической связи между полиномами Чебышева Тп(ж,N) и полиномами Лежандра Рп(‘) при п, N ^ го. Нам будет удобно рассмотреть поставленную задачу для ортонормированных полиномов Чебышева
тп(ж, N) = Тп(ж, N) {^}_1/2 , (4)
сопоставляя их с ортонормированными полиномами Лежандра
Р"(‘)' (5)
Для
N - 1
Ж = -^(1 + г) (6)
в работах И.И.Шарапудинова [4-6], в частности, была установлена следующая асимптотическая
формула
Тп,м(г) = т„ ^^ 2 1 (1 + г), ^ = Рп(г) + (г), (7)
в которой для остаточного члена гп,^ (г) при 1 < п < аЫ1/2 получена оценка
n
K,n(t)| < с(а)
(1 - t2)1/2 +
1
n
-1/2
где здесь и далее через c, c(a), c(a, в),•••, c(a, в, • • •, Y) обозначаются положительные числа, зависящие лишь от указанных параметров, вообще говоря, различные в разных местах. Если мы введем замену переменной t = cos 0, то эта оценка приобретает следующий вид:
n
|vn,N(cos 9)| < c(a)
sin 9 +—
n
1/2 , , n f9 1/2, если n 1 < 9 < 2,
< c(a) ^ _ ’ _ _ 2 (8)
л/N [n1/2, если 0 < 9 < n 1.
Следует также отметить, что при соблюдении условий —1 < г < 1 и 0 < п < N — 1 была установлена следующая асимптотическая формула [3, гл. 3, §3.8, теорема 3.8.2]:
(Ы — 1)М Тп (Ы(1+ ^),Ы^ = Рп (г + 1) + Шп,№(г), (9)
N n n V 2 / n V N
Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2 для остаточного члена эдп>^ (г) которой справедлива оценка
(6 + 2\/2)2е2/3 / п \2 ч-5/4 / п(6 + 2\/2)е1/3
|Ю»-«(г)1 < (п + 1)1/2 Ы (1 — г)- / N(1 — ¿'2)1/2
п4е(6 + 2^2^ +2\-1/4\2^ \п2
+
+ N 2 (П + 1)1/2 (1 — ^ Г7 ехр^ ^(2 + х/2)), (10)
где Л = (1 + ¿)-1/2 + (1 — ¿)-1/2 + (1—2+1’/22)п2 .
Заметим, что в асимптотической формуле (9) переменные г и ж связаны между собой равенством
N 1
ж = т(1+ г) — 2, (11)
при этом оценка (10) для ее остаточного члена эдп>^ (¿) ухудшается при стремлении переменной г к 1 и —1. Вопрос о получении оценки остаточного члена формулы (9), справедливой на всем отрезке
[—1,1], оставался открытым. В настоящей работе предпринята попытка восполнить этот пробел. При
этом будет удобно вести изложение в терминах соответствующих ортонормированных полиномов. С этой целью положим
Тп,м (г) = Тп (ж,Ы ), (12)
где связь между ж и г определяется равенством (11).
Для формулировки и доказательства основного результата настоящей работы нам понадобится интегральный аналог известного неравенства типа Маркова об оценке производной алгебраического полинома, который имеет следующий вид. Для произвольного целого т > 1 найдется положительное
число с = с(т), зависящее лишь от т, что для произвольного алгебраического полинома дп (ж)
степени п справедливо следующее неравенство:
1 1
J |д(ш)(г)| ¿г < с(т)п2^^ |?п(г)| ¿г. (13)
-1 -1
Обозначим через к(т) нижнюю грань чисел с(т), для которых справедливо неравенство (13). Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема. Пусть Ь = 8к(2), 0 < а < Ь-4. Тогда имеет место асимптотическая формула
Тп,^ (г) = Рп (г) + Гп,^ (г), (14)
в которой для остаточного члена Гп,^ (г) при 1 < п < аЫ1/2, д > 0 справедлива оценка
П 2
в 1/2, если дп 1 < в < 2,
|гп,^(сов)| < с(д)N 1 ^ 1 1 1 — V- - _2’ (15)
Ж \1 — -дТ2 у 1п 2, если 0 < в < дп 1.
Замечание. Сопоставляя (8) и (15), нетрудно заметить, что если N ^ 0, то правая часть оценки (15) стремится к нулю в раз быстрее, чем правая часть оценки (8), в то время как при N ^ го
максимальное по в е [0, 2] значение правой части оценки (15) стремится к бесконечности в раз быстрее, чем аналогичное значение правой части оценки (8).
При доказательстве этой теоремы нам понадобятся некоторые результаты из теории полиномов Лежандра Рп(г) и Чебышева Тп(ж, N).
1. НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ ЧЕБЫШЕВА Тп(ж, N) И ЛЕЖАНДРА Рп(г)
Следующие свойства полиномов Чебышева Тп(ж, N) и Лежандра Рп(г) хорошо известны [2,3]: явный вид
\п^, ,Лкп[к](п + 1)кж[к]
Т„(ж, N) = (—1)«£(—1)к — 1)к] ■ (16)
2
Рп (¿) =
п
£
к=0
(-п)к(п + 1)к 1 - г
(к!)2
где (г) — символ Похгаммера,
симметрия
Тп (ж, N) = (-1)п Тп(ж - 1 - X, N), Рп (г) = (-1)п Рп (-г).
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
Начнем с оценки интеграла
-1
-1
-1
-1
Очевидно, что /2 = 1, поэтому остановимся на оценках для /1 и /3. Рассмотрим сначала
(17)
(гп,^(г))2 ¿г = /(гп,^(г))2 ¿г + / (Рп(г))2^ - 2 Тп,ж(г)Рп(г) ¿г = /1 + /2 - /з- (18)
/з = 2 J тп,^(г)Рп(г) ¿г. 1
(19)
Если мы воспользуемся свойством ортонормированности полиномов Лежандра Рп(г), то из (19) выводим
. кп,Л"
/з = 2
(20)
где кп,ж и ¿п — старшие коэффициенты полиномов тп,ж(г) и Рп(г) соответственно. Найдем явные выражения для кп,ж и ¿п .С этой целью обратимся к явным видам полиномов Чебышева Тп (ж, N) и Лежандра Рп(г). Из явного вида (16) и равенств (4), (11) и (12) можем записать
тп,Ж(г) = {^п,Ж} 1/2 Т
= {^п,Ж }
-1/2 (п + 1)пNr
n!(N - 1)М2
-Є +
Отсюда мы замечаем, что старший коэффициент кп,^ полинома тп,^(г) равен
Т _ гг, 1-1/2 (п + 1)nNп
кп’^ = |Лп’^} n!(N — 1)[п]2п '
Аналогично, из (17) и (5) находим старший коэффициент полинома Рп(г):
(21)
¿п —
2п + 1 (п + 1),
2 п!2п
(22)
Из (20)-(22) получим значение интеграла /3 = 2
N п
/з = 2-
1/2
(2п+1)ьп,„; (Ж=і)м - Отсюда и из (3) имеем:
{(N + п)[п]^ - 1)М}
1/2
=2
П
,к=1
N 2
(N + к)^ - к)
1/2
(23)
Рассмотрим общий член произведения в правой части равенства (23):
N 2
N 2
^ + к)^ - к) N2 - к2
= 1 +
к2
N2 - к2
> 1.
(24)
Из (23) и (24) получим оценку снизу для интеграла /3: /3 > 2.
Теперь оценим интеграл /1. Разобьем отрезок [—1,1] на части точками г^- = —1 + N, ^ = 0,..., N. Тогда точки ^ = — 1 + будут серединами отрезков [г^- ,г^+1] при ] = 0,..., N — 1. Формула Тейлора
к
1
1
1
1
1
для функции /(г) = (Тп,^(г)}2 относительно точек Т с остаточным членом в интегральной форме
имеет следующий вид:
/(г) = /(Т>) + /'(г>)(г — ) + / /"(Ж)(г — Ж) ¿Ж.
(25)
Проинтегрировав обе части равенства (25) по отрезку [¿з, ¿з+1], получим
*3 + 1 *3 + 1 *3 + 1 *
^ = I / (г) ¿г = / (Тз )(гз + 1 — гз ) + / '(Тз ) У (г — Т ) ¿г + I ^ / ''(ж)(г — ж)
*з *з *з ¿3
Первый из интегралов в правой части этого равенства обращается в ноль, поэтому
*3+1 *
= /(Тз )(гз+1 — ¿з ) + / ¿г / /'' (ж)(г — ж) ¿ж =
¿3 * *3 + 1 *
= /(тз )(г3+1 — ¿з ) + J ¿г У /'' (ж)(г — ж) ¿ж + J ¿г у /'' (ж)(г — ж) ¿ж =
*3 ¿3 ¿3 ¿3
¿■3 ¿"3 *3 + 1 *
= /(тз)(г3+1 — ¿з) — [ ¿г [ /''(ж)(г — ж) ¿ж + J ¿г у /''(ж)(г — ж) ¿ж =
*3 *
*'3 X *3+1
С" Л™ / / Л?///
33 *3 + 1
= / (Тз )(гЗ+1 — гз) — / (ж) ¿Ж / (г — ж) ¿г + / / (ж) ¿Ж / (г — ж) ¿г = /(Тз )(гЗ+1 — гз)+ Гз(/), (26)
где
Гз (/) =
*3 *3+1
[ /''(ж)(ж — ¿з)2^ж + [ /''(ж)(гз+1 — ж)2¿ж
Тогда, поскольку ¿з+1 — ¿з = -2 для любого 3 = 0,..., N — 1, то из (26) и (27) выводим
(27)
^ = ^/(Тз) + Гз(/^ |гз(/)| < 2^2
|/''(ж)| ¿Ж.
Отсюда
^ N-1 *3 + 1 N-1
/ /(г) ¿г = £ / /(г) ¿г = £
-1 з=° * з=0
где |г(/)| =
-1
N-1
Е Гз (/)
з=0
/ (Тз) + Гз(/)
2 N-1
/(Тз)+ Г(/),
з=0
< 2 / |/''(г)| ¿г. Таким образом,
-1
1
1
1
з=0
(28)
причем
|г(п,N)| <
2N 2
{тп^ (г)}'
¿г.
(29)
*
*
3 + 1
1
1
Из (2), (11) и (12) имеем 2 ющем виде:
N-1 _ 2
N Е {тп,ж(г?)} = 1. Поэтому равенство (18)
3=0
можно переписать в следу-
/1 = J {Тп,ж(г)} ¿г = 1 + г(п, N). 1
(30)
Чтобы оценить сверху остаточный член г(п, N), мы обратимся к неравенству (13) типа Маркова [7] об оценке интеграла от производных алгебраического полинома дп(ж). Воспользуемся неравенством (13) при т = 2. Тогда, учитывая (13) и (29), находим
г(п, N) <
1
2N 2
1
{Тп,ж (г)}
(31)
где Ь = 8к(2). Из (30) и (31) имеем /1 <
примет следующий вид:
і ___ Ьп4
1 Ж2
= 1 +
Ьп4 N 2
і ___ Ьп4
1 N2
. В результате, оценка интеграла (18)
(гп^(г))2 ¿г < 1 +
Ьп4 N 2
1
1
Ьп4 N 2
+ 1 - 2 = Ь
(32)
Как известно [2, гл. 7, §7.71, теорема 7.71.2], для произвольного алгебраического многочлена дп(ж),
1
удовлетворяющего условию / |дп(ж)|2¿ж < А, имеет место следующее неравенство:
1
І9п (соб в)| < с(д)А1/2
в 1/2п1/2, если дп 1 < в < 2,
п,
если 0 < в < дп
1
(33)
где д > 0. Тогда из (32) и (33) получим
ІТп^(соб в) - Рп(соб в)і < с(д)
в 1/2п1/2, если дп 1 < в < П,
п,
если 0 < в < дп
1
где д > 0. Теорема доказана.
Выражаю благодарность научному руководителю И.И. Шарапудинову за поставленную задачу и помощь в работе, а также рецензенту за полезные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00143а).
Библиографический список
1. Чебышев П.Л. Об интерполировании величин равноотстоящих (1875) // Полн. собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1948. Т. 3. С. 66-87.
2. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
3. Шарапудинов И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала: Изд-во Даг. гос. пед. ун-та, 1997.
4. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Мат. сб. 1989. Т. 180, вып. 9. С. 1259-1277.
5. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем. Докторская диссертация. М.: МИ им. В.А.Стеклова АН, 1991.
6. Шарапудинов И.И. Об асимптотике многочленов Чебышева, ортогональных на конечной системе точек // Вестн. Моск. ун-та. 1992. Сер. 1, вып. 1. С. 29-35.
7. Даугавет И.К., Рафальсон С.З. Некоторые неравенства типа Маркова - Никольского для алгебраических многочленов // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. № 19, вып. 4. С. 18-24.
1
1
1
1
4
1
п
2
2
1
п
