CC BY
20Библиографический список
1. Macdonald I. Symmetric functions and Hall polynomials. 2nd ed. New York : Oxford Univ. Press, 1995.
2. Veselov A. P., Sergeev A. N. Grothendieck rings of the basic classical Lie superalgebras // Annals of Mathematics. 2012. Vol. 173.
3. Serganova V., Gruson S. Cohomology of generalized super grassmannians and character formula for basic classical Lie superalgebras // Proc. London Math. Soc. 2010. Vol. 101.
ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ НЕКОТОРЫХ HNN-РАСШИРЕНИЙ С ЦЕНТРАЛЬНЫМИ СВЯЗАННЫМИ ПОДГРУППАМИ
Е. В. Соколов (г. Иваново) E-mail: ev-sokolov@yandex.ru
Пусть G* = {G, t; t-1Ht = K, ф) — HNN-расширение группы G с подгруппами H и K, связанными посредством изоморфизма ф : H ^ K, и пусть подгруппы H и K лежат в центре группы G. В настоящей работе с помощью предложенного в [1] метода спуска и подъёма совместимых подгрупп получен ряд результатов об аппроксимируемости HNN-расши-рений указанного вида корневыми классами групп (по поводу корневых классов см. тезисы доклада Е. А. Тумановой в этом же сборнике).
Пусть H1 = H, K1 = K и, если подгруппы Hi и Ki уже определены, то Hi+1 = Hi П Ki, Ki+1 = Hi+1^>. Если для некоторого n ^ 1 имеет место равенство Hn = Kn, то, как легко видеть, подгруппа E группы G*, порожденная подгруппой Hn и элементом t, оказывается расщепляемым расширением подгруппы Hn при помощи бесконечной циклической группы с порождающим t. Приводимые ниже утверждения позволяют свести вопрос об аппроксимируемости HNN-расширения G* к решению, вообще говоря, более простой задачи об аппроксимируемости расщепляемого расширения E. Всюду далее будем предполагать, что C — корневой класс групп, содержащий хотя бы одну неединичную группу и замкнутый относительно взятия фактор-групп, G — C-аппроксимируемая группа, H и K — собственные центральные подгруппы группы G.
Теорема. Пусть класс C состоит только из периодических групп и для некоторого n имеет место равенство Hn = Hn+1. Пусть также существует нормальная подгруппа Q группы G, удовлетворяющая соотношению G/Q G C и хотя бы одному из следующих двух условий:
(1) подгруппа Q содержится в H П K и является p-инвариантной,
(2) H П Q = 1 = K П Q.
HNN-расширение G* C-аппроксимируемо тогда и только тогда, когда Hn = Kn и подгруппа E = (Hn,t) C-аппроксимируема.
Отметим, что если подгруппа Q имеет конечный индекс в G (а это верно, например, если класс C состоит только из конечных групп), то каждое из условий 1—2 влечет равенство Hn = Hn+1 для некоторого п.
Следствие 1. Пусть класс C состоит только из периодических групп, подгруппы H и K конечны. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Для некоторого п имеет место равенство Hn = Kn и потому ограничение p' изоморфизма p на подгруппу Hn является ее автоморфизмом конечного порядка.
2. HNN-расширение G* C -аппроксимируемо в том и только том случае, когда все простые делители порядка автоморфизма p' содержатся во множестве n(C) всех простых делителей порядков элементов всевозможных C-групп.
Следствие 2. Пусть класс C состоит только из периодических групп, подгруппы H и K имеют конечные индексы в группе G и для некоторого п справедливо равенство Hn = Hn+1. HNN-расширение G* C-аппрок-симируемо тогда и только тогда, когда
(1) G/H G C и G/K G C ;
(2) Hn = Kn;
(3) подгруппа E = (Hn,t) C-аппроксимируема.
Из приведенной выше теоремы и утверждения, анонсированного в [2], получается также следующее обобщение основного результата статьи [3].
Следствие 3. Пусть H П K = 1. Если существует нормальная подгруппа Q группы G, удовлетворяющая условиям H П Q = 1 = K П Q и G/Q G C, то HNN-расширение G* C-аппроксимируемо.
Библиографический список
1. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. Сер. : Биология, Химия, Физика, Математика. 2002. Вып. 3.
2. Соколов Е. В. К вопросу об аппроксимируемости корневыми классами HNN-расширений с центральными связанными подгруппами // Мальцевские чтения 2015 : тез. докл. междунар. науч. конф., посвящ. 75-летию Ю. Л. Ершова (г.Новосибирск, 3-7 мая 2015). Новосибирск : Изд-во НГУ, 2015.
3. Гольцов Д. В. Аппроксимируемость HNN-расширения с центральными связанными подгруппами корневым классом групп // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 5.
ПОЛУГРУППЫ ЭНДОМОРФИЗМОВ НЕКОТОРЫХ УНАРОВ С. В. Сыроватская (г. Волгоград) E-mail: svs_kagi@mail.ru
Через N0 будем обозначать множество целых неотрицательных чисел.
Унаром называется алгебра A = (A, f) с одной унарной операцией f. Элементы a и b унара A называют связными, если afm = bfk для некоторых m,k G N0. Унар связный, если любые два его элемента являются связными. Петлей называется элемент a унара A такой, что af = a. Через Cf обозначается унар (N0,g), где для любого m G No, mg = m — 1, если m > 0, и mg = 0, если m = 0. Элемент a унара A называется минимальным [узловым], если a не имеет прообраза при отображении f [если найдутся x,y G A такие, что x = y и xf = a = yf ]. Другие необходимые термины, применяемые в теории унаров, можно найти в [1].
Пусть R = (R, *), S = (S, *) — полугруппы. Сплетением R wrYS полугрупп R и S посредством правого S-полигона Y (см. [2]) называется полугруппа (Ry х S, *), где RY — множество всех отображений множества Y во множество R и для произвольных ti,t2 G Ry, si,s2 G S, (rbsi) * (T2,S2) = (T3,si *S2), где утз = (yTi) * ((ysi)T2) для любого y G Y. Делитель полугруппы S — это гомоморфный образ подполугруппы полугруппы S.
В данной работе мы будем рассматривать класс K всех связных унаров с петлей, не имеющих подунаров, изоморфных Cf. Отметим, что K содержит всякое нерегулярное многообразие унаров (о многообразиях унаров см. в [3]).
Теорема 1. Полугруппа эндоморфизмов любого унара из класса K является делителем полугруппы эндоморфизмов некоторого унара из K, не имеющего нециклических узловых элементов.
