ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МИНИМАКСНОГО ПОДХОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Водолазов A.M. Алгебры целозначных функций для алгебраических торов малой размерности // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008. Вып. 10. С. 9-12.

7. Водолазов А. М. Алгебры целозначных функций для квазиразложимых торов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. № 5. С. 3-7,

8. Водолазов А. М. Алгебры целозначных функций для разложимых алгебраических торов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 20-23.

9. Водолазов А. М. Кольцо целозначных многочленов для алгебраических торов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. № 7. С. 122-129.

10. Schikhof W.H. Ultrametrie calculus. Cambridge University Press., 1984.

УДК 517.518.8

И. Ю. Выгодчикова, Е. М. Фарвазетдинова

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МИНИМАКСНОГО ПОДХОДА

В работе представлены методы аппроксимации параметров динамического процесса, обоснованные применением двух оптимизационных задач. Для этих целей применены два минимаксных критерия аппроксимации. Приведены алгоритмические процедуры и результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие целесообразность использования каждой из рассмотренных моделей для аппроксимации процессов экономической динамики.

1. Критерии аппроксимации. Математическую модель динамического процесса из диапазонов [y1;k ; y2,k], V2,k < V\,k, k = 0, N, заданных в узлах tk сетки T = {t0 < ... < tN}, представим в виде полиномома степени п: pn(A, t) = a0 + a1t + ... + antn, A = (a0, a1, ...,an) £ Rn+1. Рассмотрим критерии аппроксимации для диапазонов ряда и многомерных данных, составленных из границ диапазонов.

Для первого (интервального) случая [1], в качестве критерия аппроксимации используется максимум из расстояний Хаусдорфа между диапазонами ряда [yi,k ; y2,k] и значениями полинома в узлах tk сетки T = {to <...<tN }[2]:

p(A) = maxmax{y2,k -Pn(A,tk); Pn(A,tk) - yi,k} ^ min . (1)

k£0,N AeRn+1

Для второго случая в качестве критерия аппроксимации используется максимум из квадратичных функций [2]:

C(A) = max c (A,tk) ^ min , (2)

k£0,N AeRn+i

где c (A, tk) = (y2,k - Pn(A, tk)) (pn(A,tk) - yi,k)•

Если yi,k = y2,k для всех k = 0, N, то задача (2) сводится к известной задаче П. Л. Чебышёва. Если это не так, задачи (1) и (2) имеют принципиально отличные друг от друга методы решения.

Целью исследования является развитие методологии аппроксимации динамического процесса с использованием минимаксного подхода.

2. Теоретические сведения. В [2, 3] приводятся свойства решения задач (1) и (2), необходимые для построения алгоритма. Обозначим р* =

/Л\ (y2,k - yi,k) f. ^ } гг

= minAGRn+i р(А) m = max———. а = {tJO < ... < tj А С T

k=0,N 2 J

(базис).

Теорема 1 [3]. Для того чтобы вектор A* £ Rn+1 являлся решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы было справедливо хотя бы одно из условий: (а) р(А*) = m; (б) для некоторого базиса а С T для i—О или i—1 выполняются соотношения

h(а) = |y2,jfc -Pn(Ao(a),tjfc), если(к + i) - четно,

1 -y1,jk + Pn(A1(a),tjk), еели(к + i) - нечётно,

к = 0, n + 1, A* = Аг(а), р(А*) = h(а). Яри зтод4 р* = р(А*).

Теорема 2 [3]. Длл того чтобы задача (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (б) теоремы 1 или условие (а) с требованием существования во множестве M = {tk £ T : y2,k - y1;k = 2m} не менее чем (п+1) элементов.

Теорема 3 [2]. Пусть A £ Rn+17 C(A) > 0. Для того чтобы А был решением задачи (2), необходимо, чтобы для некоторого а выполнялось условие: если jk £ R1 (A)(R2(A)); то jk+1 £ Ä2(A)(Ä1(A)), k = 0,П где I(A) = jk = 0,N : C(A) = c(A,tk)}, R1(A) = {k £ I(A) : pn(A, tk) £ (-ro; yM) U ((yM + y2,k)/2; y2,k)} R2(A) = {k £ I(A) : pn(A, tk) £ (y1,k; (y1,k + y2,k)/2) U (y2,k; +ro)}.

Далее считаем A = (a0,a1) n = 1.

3. Метод решения задачи (1) для частного случая (п=1). Базисом будет множество а = {tj0 < tj < tj2} С T. Из теорем 1, 2 вытекает следующая процедура решения задачи (1).

Шаг 1. Ищем решение в предположении, что оно единственно и р* = m. Для qo и qh qo = q1 и таких, что y^ - У1,ад = y2,qi - y1,qi = 2m, вычисляем: a = y2'g1 ao = ^fo -f^ +yi-qi ^0

2(tqi ^qo' 2(tqi ^90'

и проверяем, выполняется ли для всех k = 0, ...,N неравенство: max {а0 + — yi,k, y2,k — а0 — atk} < m. Если это так, то (ao,«i) ~ решение задачи, и алгоритм завершается. Иначе переходим к шагу 2.

Шаг 2. Ищем решение в предположении, что оно единственно и р* > > m. Осуществляем перебор базисов и на каждом из них вычисляем

а? = jj а0 = 2(Шо + yi,ji — ai(tj0 + j)) ho = yj — а0 — а}^,

и а1 = —УГ' ао = 2 (yi,jo + У2,л — ai(tjo + tji)) hi = а0 + aitjo — yi,jo-Выбираем в = 0 или в = 1 такое, что max {h0, hi} = h^.

Если для вс ex k = 0,1,...,N выполняется неравенство max Iаq + aftk — yi,k, y2,k — а^ — aftk j < h^, то (а^, af) - единственное решение задачи, и алгоритм завершается. Если решение не получено, а базисы исчерпаны, переходим к шагу 3.

Шаг 3. Остаётся проанализировать ситуацию неединственности. Имеем [3], р* = m и существует единственное q0 : y2,qo — yi,qo = 2m. Два решения можно найти, следуя процедуре. Берём i от 0 до N : i = q0 и вычисляем

2yi,i + 2m — yi,qo — V2,qo 1 _ (yi,qo + V2,qo )ti — 2(m + Ш,^

al — у ч , а0 —

qo

tq0) 2(ti tq0)

а2 = 2УМ - 2т - Ш,др - 2^о = (У1,до + У^о )ti + 2(т - у2,^о

2(ti — tqo ) ' 0 2(ti - tqo)

Если а0 + — у1,к < т, У2,к — а0 — < т, то (а0, а1) - решение, если а0 + а2^ — у1,к < т, У2,к — а0 — а2^ < т, то (а0,а2) - решение. Алгоритм завершается.

4. Метод решения задачи (2) для частного случая (п=1).

Берём произвольно базис а = < ^ < ^} С Т. Приведём процедуру решения задачи (2).

Шаг 1. Решаем относительно коэффициентов а0, а1 и Ь систему алгебраических уравнений^ £ { — 1,1} : (р(а0,а^к))2 — р(а0,а^к)(у1,к+ +У2,к) + У1,кУ2,к — (—1)6Н = 0, к = 0,1, 2.

Шаг 2. Из решений текущей системы, для которых выполняется равенство с(а0,а1) = |Н|, выбираем решения с минимальным значением |Н|, и все полученные коэффициенты запоминаем. Берём новый базис и переходим к шагу 1. Если базисы исчерпаны, переходим к шагу 3.

Шаг 3. Среди кандидатов на оптимальность выбираются коэффициенты (ао, а1) с минимальным значением с (а0,а1).

Применим эти критерии аппроксимации для оценки динамики взносов с использованием задач (1) и (2), соответственно.

5. Вычислительный эксперимент. Результаты эксперимента на основе моделей аппроксимации (1) и (2) (n—1) представлены на рисунке.

— —О--Нижняя граница (у 1) Верхняя гранила (у 2}

Аппроксимация гго задач» (1] A1111 ц п ггтпгятшт ттп .задаче (2) —-й- Адпроксклгягпядо задачг(1) (стяггвннзнавелнчинуг*) —¥.— Аппроксныашнпозадаче{1){сдЕИТЕверхнавеличннуг*)

— -4— Воос-тановлшие кгор ого ряда по задаче (2) (у 1+у2-аппрокмшяция по задаче (2))

Критерии аппроксимации для оценки взносов

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-06-00582) и РГНФ (проект № 17-32-00050).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Орлов А. И. Основные идеи статистики интервальных данных // Политематический сетевой электронный науч. жури. Кубанского гос. аграрного ун-та. 2013. № 94. С. 55-70.

2. Выгодчикова И. Ю. О приближении двузначной функции алгебраическим полиномом /У Изв. вузов. Математика. 2016. JYS 4. С. 8-13.

3. Выгодчикова И. Ю. Минимаксный метод моделирования многозначных динамических рядов в экономике Математика. Саратов, 2017. 116 с.