CC BY
29
68
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 621.397
ОБ АНАЛИЗЕ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ КОСИНУСНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1
А.А. ЧЕРНОМОРЕЦ Е.В. БОЛГОВА
Белгородский государственный национальный исследовательский университет
e-mail:
chernomore ts @ bsu.edu. ru
В работе рассматривается математическая модель анализа двумерных наборов данных на основе косинус-частотных представлений, которая позволяет осуществлять одновременный анализ изменения состояния анализируемых объектов или явлений как в пространстве, так и во времени.
Ключевые слова: косинусное преобразование Фурье, косинус-частотные представления, квази-энергия, интегральная оценка коэффициентов ДКП.
При решении многих научных и хозяйственных задач возникает потребность анализа и обработки результатов измерений, наборов зарегистрированных данных.
В настоящее время для анализа зарегистрированных данных используются различные методы: экспертные оценки, линейные и нелинейные регрессионные методы, авторегрессионные методы, методы экспоненциального сглаживания, искусственные нейронные сети, методы на базе цепей Маркова, методы на базе классификационнорегрессионных деревьев, методы вейвлет-анализа, преобразование Фурье, дискретное косинусное преобразование и др. Известно, что косинусное преобразование Фурье преобладает свойством концентрации значений коэффициентов преобразований в области низких частот. Поэтому представляет интерес разработка метода обработки данных на основе косинус-частотных представлений [1].
В работе в качестве данных, иллюстрирующих необходимость разработки математической модели анализа зарегистрированных данных, используются сведения о загрязненности рек. В настоящее время существует потребность обработки данных на примере информации о загрязненности рек как в различные моменты времени, так и в различных точках русла реки. В данной работе предлагается математическая модель анализа двумерных наборов данных о геоэкологическом состоянии малых рек, представленных в виде значений функции f (x, x), которую в дальнейших исследованиям будем рассматривать в дискретном виде в виде матрицы Ф = (fik), i = 1,2,...,N, k = 1,2,...,N2. Двумерная мо-
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 14-47-08052
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1
69
дель позволяет осуществлять одновременный анализ изменения состояния рек как в пространстве (первая координата матрицы), так и во времени (вторая координата матрицы).
В большинстве работ по анализу состояния рек используется одномерное представление значений зарегистрированных данных. Так, на рисунке 1а представлен график, отображающий данные, которые были зарегистрированы в конкретных точках русла «модельной» реки в различные моменты времени. При этом интервал времени между моментами регистрации может составлять 1 час, 1 день, неделю, месяц, год или другой промежуток времени.
На рисунке 1б представлен график, отображающий данные, которые были зарегистрированы в заданный момент времени в зависимости от местоположения точки регистрации данных.
Во многих случаях, указанное на рисунке 1 представление зарегистрированных данных не позволяет представить целостную картинку изменения характеристик состояния реки в зависимости от времени и местоположения проведения измерений.
В работе предлагается хранить и обрабатывать данные результатов измерений в виде матрицы, размерность которой соответствует количеству измерений и, в которой по вертикали (столбцы в матрице) указаны значения зарегистрированных измерений в различных пространственных точках (различное местоположение на русле реки) в одно и то же время, по горизонтали (строки матрицы) указаны значения зарегистрированных измерений в одной точке в разное время.
Рис. 1. Пример отображения данных: а - зарегистрированных в одной точке русла «модельной» реки в зависимости от времени; б - зарегистрированных в одно время в зависимости
от местоположения точки регистрации
Для многих задач обработки двумерных наборов зарегистрированных данных, представленных в виде матрицы ф = (f), i = 1,2,...,N, k = \,2,...,N2, значений результатов измерений, адекватной математической основой служат частотные (косинус-частотные) представления [2], позволяющие анализировать повторяемость, периодичность изменений регистрируемой величины f ,
fik =■
л
л л | |
(u, v) cos(u(i ))cos(v(k--------))dudv,
r) r)
(1)
0 0
2
где частотная характеристика F'C (u, v) - результат косинус-преобразования Фурье,
2 Ni N 2 1 1
FC(u,v)=-Z Z fikcos(u(i - -))cos(v(k - -)), (2)
л t- k=1 2 2
u, v - пространственные частоты (ПЧ).
Значительное количество методов частотной обработки наборов данных основаны на анализе так называемых энергетических характеристик [3]. Данный анализ во многих случаях базируется на следствиях из фундаментального соотношения, называемом
70
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1
равенством Парсеваля: энергия двумерного набора зарегистрированных данных Ф определяется соотношением
л л
||Ф||2 = ГГ^Ф
Я (F1 (u, v))2 dudv.
(3)
0 0
Справедливость соотношения (3) можно показать на основе следующих преобразований. Подставим выражение (2) для вычисления косинусного преобразование в левую часть соотношения (3) и выполним следующие преобразования
л л
JJ (F® (u, v))2 dudv --
0 0
лл 2 N N2 1 1 2 N N2 1 1
Я — £ X fk cos(u(i - -))cos(v(k - -))—£ £ flk cos(u(i - -))cos(v(k - -))dudv -
00 л i=i k=i
N N N N
2 Л i=1 k=1
N1 N2 N N2 лл 4 1 1 1 1
£ Z Z Z fik fhK Я —Tcos(u(l1 - -))cos(v(k1 - -))cos(u(i2 - -))cos(v(k2 - -))dudv-
0 0
л
2
N n2 n N
= filkl fi2k21 л >
l =1 k =1 i2 =1 k2 =1
где
1л =
}} 4 1 1 1 1
: I I — cos(u(ij — ))cos(v(k — ))cos(u(i2 — ))cos(v(k2 — ))dudv.
0 О л2 2 2 2 2
Представим интеграл (5) в виде следующего произведения,
т _ Я^л
1 л = gii2 gk.k2 ?
где
gл =
°Чг
} 2 1 1
I — cos(u(i — ))cos(u(i2 — ))du ,
о л 2 2
л 2 1 1
gkk = f -cos(v(k1 - -))cos(v(k2 - -))dv.
12 * TT 7 7
Тогда, имеем,
л ^ ^ "21
= f—cos(u(i-----))cos(u(l2--))du = f—-(cos(u(l1 - i2)) + cos(u(l2 +12 - 1)))du
12 i л 2 2 i л 2
1 r 1 r f1,
— I cos(u(^ - i2 ))du +—I cos(u(i2 + i2 - 1))du = \ ’
л 00 л J0 l0,
1, i- = i2,
0, в противномслучае.
Тогда, аналогично соотношению (7) можно показать, что
л f1, k1 = k^ gkk2 I г*
10, в прот ивномслучае.
Таким образом, значение интеграла в (14) имеет следующее значение,
f1, i1 = i2 , k1 = k 2,
[0, в противномслучае. подстановка которого в (13) позволяет получить следующее соотношение
\2 1 1 X ' X ' Г Г II ^11 2
!.=■
Я F (u, v))2 dudv = £ £ ff = 1Ф112 .
(4)
(5)
(6)
(7)
Тем самым показана справедливость соотношения (3).
Соотношение (3) можно рассматривать как равенство Парсеваля для косинусного преобразования Фурье.
0
0 0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1
71
Следствием соотношения (3) можно считать утверждение, что квадрат отдельного коэффициента косинусного преобразования Фурье двумерных наборов зарегистрированных данных является так называемой косинус-энергией (квазиэнергией) анализируемого двумерного набора зарегистрированных данных, соответствующего заданным нормированным пространственным частотам (u, v) .
Представляет интерес исследование возможности применения указанного следствия равенства Парсеваля к результатам косинусного преобразования Фурье, которое наряду с дискретным преобразованием Фурье используется при решении задач частотной обработки данных [4].
Косинусное преобразование Фурье двумерных наборов данных определяется следующим соотношением
2 1 1
(u, v)=- z i cos(u(i - -))c°s(v(k - -)),
l i=1 k=1 2 2
где FC (u, v) - результаты косинусного преобразования набора зарегистрированных данных Ф, представленного в виде матрицы Ф = (f.k), i = 1,2,..N, к = 1,2,..N2. При этом в качестве области определения косинусного преобразования обычно рассматривается
область нормированных пространственных частот D2n,
Dl = {(u, v)| 0 < u, v <i}. (8)
Можно привести различные формы записи косинусного преобразования Фурье двумерных наборов данных, представленных в виде матрицы Ф [5].
1. Косинусное преобразование Фурье двумерного набора данных Ф может быть
представлено в виде произведения матрицы Ф и векторов cu и cv,
9
FC (u, v) = -cTu Феу ,
i
где
1 1 1 T
Cu = (cos(u(1 - —)),cos(u(2--)),...,cos(u(N --)) ,
1 1 1 r
Cv = (cos(v(1 - —)),cos(v(2--)),...,cos(v(N- --)) ,
T - операция транспонирования матриц.
2. Коэффициенты косинусного преобразования Фурье можно основании следующего соотношения
-
FФ (u, v) = - tr(ФХ1) ,
i
где tr - операция вычисления следа матрицы,
Xuv = CuCv ,
(9)
(10)
вычислить на (11)
(12)
некоторый элементарный набор данных, образованный векторами cu и cv размерности NxxN2).
Соотношение (11) следует из преобразований:
FC v) = — Cl ФС v
l
2 2 2
- tr (фсх )=- tr (фсст )т)=- tr (фх:у ).
l l l
(матрица
Рассмотрим разбиение частотной области
D 2
на прямоугольные равновеликие по-
добласти A rr,
r- = 1,2,...,R,
r2
1,2,...,R,
A
rr
{(u v)|
r ^ r r ^ r, )
u < u < u 2 , v < v < V2i ,
(13)
72
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015 № 1 (198). Выпуск 33/1
u\ = (ri -1), = ri , ri - ,
Ri Ri
V? = (r2 - 1) ^ , V2 = r2 ’ Г2 = 1,2,'",R2 ■
R2 R2
При указанном разбиении в подобласти А переменная U принимает значения из интервала Д. (субполосы) оси абсцисс плоскости ПЧ
Д = К1, и2), (14)
тогда как одновременно переменная V попадает в интервал G (субполосу) оси ординат
Д = Ка v22) ■ (15)
Подобласть пространственных частот А rсхематично изображена на рисунке 2.
D
rl
G
r2
А,
i j.
ur 1 ri 1—1 w5
■ur--- i r u
Рис. 2. Подобласть пространственных частот А
Учитывая разбиение (13) частотной области, равенство Парсеваля можно записать в следующей форме,
Ф
2
JJ (F® (u, v))2 dudv
( u,v )<EDl
Ri
z
R2
z
Г —1 ri-1
JJ (F® (u, v))2dudv,
(u,v )eArir 2
(16)
Тогда, значение интеграла в правой части (16) можно интерпретировать как часть косинус-энергии (квазиэнергия, интегральная оценка коэффициентов дискретного
косинусного преобразования Фурье) Ес (Ф) анализируемого двумерного набора
зарегистрированных данных Ф , соответствующей подобласти А (13),
Есгл (Ф) = JJ (F® (u, V))2 dudv■ (17)
OT^rir 2
Многие задачи анализа и синтеза двумерных наборов зарегистрированных данных можно решать, используя разбиение области определения косинус-трансформант Фурье,
0<u<п, 0<V<ж,
на ряд подобластей Аr^ , ^ = i,2,...,R, r2 = i,2,...,R2, (13) пространственных частот (ППЧ), так что (1) принимает вид
2 Ri R2 .. i i
f,k = — Z Z JJ FC (u, V) cos(u(i - -)) cos(v(k - -))dudv, (18)
П r =i r =i (u.v)^ r2 2 2
Равенство Парсеваля в виде (16) позволяет построить множество различных ортонормированных базисов [6], обеспечивающих разложение анализируемого
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2015. №1 (198). Выпуск 33/1
73
двумерного набора зарегистрированных данных на его компоненты, соответствующие различным подобластям пространственных частот.
Одной из основных характеристик, используемых при анализе набора данных, является распределение его энергии в частотной области. Косинус-частотные представления позволяют получить количественные оценки распределения энергии набора данных по подобластям пространственных частот.
Соотношения (16), (17) и (18) представляют теоретическую основу для построения методов и алгоритмов анализа и синтеза двумерных наборов зарегистрированных данных на основе косинус-частотных представлений.
Литература
1. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Основы дискретного гармонического анализа. СПб.: НИИММ, 2003. 288 с.
2. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов [Текст] / Л. Рабинер, Г. Голд. - М.: Мир, 1988. - 512 с.
3. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст]: учеб. пособие для студ. вузов / А. Б. Сергиенко. - СПб.: Питер, 2002. - 603с. : ил.
4. Голд, Б. Цифровая обработка сигналов: пер. с англ. [Текст] / Б. Голд, Ч. Рейдер. - М.: Сов. радио, 1973.
5. Беллман, Р. Введение в теорию матриц [Текст] / Р. Беллман. -М.: Мир, 1990. - 368 с.
6. Жиляков, Е.Г. О субполосных свойствах изображений [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец, А.С. Белов, Е.В. Болгова // Научные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. - 2013. - № 8 (151). - Вып. 26/1. - С. 175-182.
ON THE ANALYSIS OF DATA BASED ON THE COSINE TRANSFORMATION
A A CHERNOMORETS E.V. BOLGOVA
Belgorod State National Research University
e-mail:
chernomorets@bsu.edu.ru
In this paper the mathematical model of the analysis of two-dimensional data sets based on cosine-frequency representation, which allows the simultaneous analysis of changes in the state of analyzed objects or phenomena, both in space and in time.
Keywords: cosine Fourier transform, cosine-frequency representation, quasi-energy, integrated assessment of DCT coefficients.
