CC BY
26
УДК 517-53
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ КЛАССОВ Na (—1 <a< ON ANALITICAL FUNCTIONS CLASSES Na (-1 < a <
И.В. Оганисян I.V. Hovhannisyan
Национальный Политехнический Университет Армении, Армения 0082, Ереван, ул. Киликия 6, 4 National Polytechnic University of Armenia, 6, Kilikia 4 st., Yerevan, 0082, Armenia
E-mail: ishkhanh@gmail.com
Аннотация. Пользуясь аппаратом интегродифференцирования Римана-Лиувилля, М.М. Джрбашян обобщил класс Р. Неванлинны Nq = N мероморфных в единичном круге функций, определив классы Nа и произведения Ba , — 1 < а < . В работе приведены две теоремы о граничных свойствах ограниченных
аналитических функций специального вида из классов na С Nq при —1 < а < 0 и одно интегральное представление для аналитических функций классов Na (—1 < a < +œ) -
Resume. Using the Reimann-Liouville integration-differentiation operator M. M. Djrbashyan generalized the class of R. Nevanlinna's meromorphic functions Nq = N in the unit circle by including classes Na and products B , — 1 < a < . In this work we prove two theorems about boundary properties of bounded analytic functions of
special type from classes na с nq , with —1 < a < 0 and one integral representations for analytic functions in classes Na ( — 1 < a < +œ) -
Ключевые слова: оператор интегродифференцирования Римана-Лиувилля, произведение Джрба-шяна, емкость множества, класс Р. Неванлинны, коэффициенты Тейлора, интегральное представление.
Keywords: Riemann-Liouville integration-differentiation operator, Djrbashyan product, set capacity, Nevan-linna class, Taylor coefficients, integral representation.
Введение
М.М. Джрбашяном ([1, глава IX]) введены в рассмотрение классы Na (—1 < а < мероморфных в единичном круге функций и установлено их параметрическое представление.
Класс ма (—1 < а < определяется посредством а -характеристики
Га (г, F) = Ша( r, F) + Ма (г, F)
как множество таких мероморфных в круге |z| < 1 функций F (z), для которых
suP {Ta (r, F)}<+<».
О < г<1
При этом функции ma (г, F), Na (г, f) и та (r, f) представляют собой своеобразные аналоги известных неванлинновских функций m (г, F), N (г, F) и T (г, f), совпадая с ними при значении параметра а = 0 так, что класс N0 совпадает с классом N Неванлинны.
Вместе с тем важной особенностью классов Na является то обстоятельство, что для любых значений —1 < а < а2 < имеет место строгое включение щ с щ и, в частности,
Na с N0 = N, (—1 < а < 0) .
Оператор интегродифференцирования Da (при —1 < а < ) в смысле Римана-Лиувилля с началом в нулевой точке определяется следующим образом:
. Г
Р (г)} = ТЩ 1(г _ 'ГР'^) ( 0 <а<+Ж)'
В0 {р(г)} = р(г) ,
В^Н г )} = |в-(1+а)Цг)} (_1 < а < 0).
Множество аналитических функций класса Ма обозначаем через Аа . Для f (г) е Аа функция т„ (г, /) определяется следующим образом:
где
Л
Та (гг,/)={В_а Ц/(ге'в)\ае,
_Л
В(+) г)} = тах {В а {р(г)}; о} .
Известно, что (см. [1, 2]) аналитическая функция класса Ма имеет вид
/ (г) = е ^а Ва (фп}) ехр К Л ¿а (е-е г) а^(е)
(1)
где 1 - произвольное вещественное число; X - произвольное натуральное число;
ад |
к: = а 7 -7 ; 1^(е) - вещественная функция с конечным полным изменением на Г_Л Л1,
^ п(п + :) у '
Ва (}) = П|1 -
п=1
2 а„)
п ) Ж
' а
~п /
(«)=] (1-х:
Л х
Щ
ах _
Г(1 + а+ к)
Г(1 + а)Г(1 + к) 1
Щ
щ-к 1(1 _ х )а хках _щк |(1 _ х )а хк о Щ
ах
г , г <
1 Щ<1,
а г )=
Г(1 + а)
(1 _ 2 )
1+а
_1
и\ < 1.
( 2)
Классы Аа (_1 <:<+ад) определяются как множество аналитических функций /(2) из Ыа, для которых в представлении (1) ^(е) - невозрастающая функция.
Как известно, класс Аа (_1 < а < 0) является некоторым подмножеством ограниченных аналитических функций класса N (_1<а<0), причем для тейлоровских коэффициентов имеет место следующая оценка [2].
|/(п)| = о(па), п ^ад, /(2) е Аа (_1 <а< 0) (3)
В работе [3] для этих функций получена следующая оценка:
ад 2
Е| / (п)| па < +ад, / (2) е а) (_1 < а < 0). (4)
С другой стороны, для любой функции /(г) е а (_1 < а < +ад) известна неулучшае-
мая оценка [2]
\/(п)|
< ехр
: + 2
2 а+^С: (1 + :) п'+: (1 + О (1))
(5)
В дальнейшем, существенным образом будет использоваться следующее утверждение [4]: Теорема А. Пусть /(г) е А* (_1 < : < 0), тогда для любого ( из интервала (:, 0) функция
/(2)_х принадлежит классу А^ для всех |(|х|< 1) , кроме, быть может, некоторого множества
Е значений X , 1 = 1 емкость которого равна нулю.
Вообще, для любой ограниченной аналитической в |2| < 1 функции / (2), не принимающей там значение а, справедливо неравенство [5]:
|/(re'*) — а\ > exp {—|, (б)
где A - некоторая положительная константа.
С другой стороны, исходя из того, что класс ограниченных аналитических в |z| < i функций
является подмножеством класса Харди H2, имеем, что для любой ограниченной аналитической функции справедливо неравенство
2л 2
lim Л / (re'0) — / (e'0)| d (0) = 0 ,
r^1-0
0
где
f(е") = Л?-0'("") •
Используя оценку (3) в работе [6] доказано следующее утверждение. Теорема B. Пусть /(2) еа« [-1 < а < -- ], тогда
Л Г (е'вУ / (ге'в)\ ав = о (1 - г )3,
о
где 3 любое число из интервала (о; - 2а-1) •
В этой работе, используя оценки тейлоровских коэффициентов, получены граничные свойства для функций класса Аа (-1 < а < 0) а также интегральное представление для функций класса
(-1 <«<+«)•
Основные результаты
В следующем утверждении улучшается оценка теоремы B. Теорема 1. Пусть функция
ад
f (^ )=Е ап2", N < 1
п=а
принадлежит классу Аа (-1 < а < 0), тогда
2л 2
Л f И- f (ге'в)\ ав = о (1 - г )3,
где ß любое число из интервала (о;— а) • Доказательство. Имеем
7 ( r ) = fj|/(e 'в ) — / (re0) Г d0<£ h Г (1 - rn )2 =
2л о ' ' n=1
Для оценки величины i(r) возьмем N = неравенства,
получим
=Xhl2 (i—rn )2 + ¿1 hnlJ (i—rn )2 •
n=1 n=N+1
1
1 — r
1 — rn < n (1 — r), 1 — rn < 1
0 < ß < — а < 1 и, используя очевидные
N ю N ю
I (r)<(1 — r)2 jjH 2 n 2 + jj | hn|2 <(1 — r)2 jjhnl 2n ß n 2—ß +(1 — r )ß jj | hn|2 n ß <
n=1 n=N+1 n=1 n=N+1
, N { „ Л2— ß
ßVL \2„ß
<(1 — r)ß&„| nß n I +jh„| n [ n=1 VN J n=N+1
Используя (4), получаем сходимость ряда
0
II
п=1
|2 ( а Л п( < ад
<ад, (е(0;_а).
Для завершения доказательства остается показать, что при г ^ 1 _ 0 выражение в скобках можно сделать сколь угодно малым. На самом деле, для данного £ > 0 можно выбрать 1
N =
1 _ г
таким, что
1Ы2 п( <£.
п=N+1
Далее, вновь используя (4), получим
I
а I2 п(
/ \2_( ' п ^
N
1 N
<
1 ¥ п=1
д^2+: N
|2 2 а Л п = ■
N
1 N
2-В
а. I2п:п2+: <
Т2_(
Ца | п-: < с • .
N ,
По условию теоремы имеем а + ( < 0. Значит N можно выбрать и так, чтобы выполнялось также следующее неравенство.
N г ,„ Л2_(
II
а„ п
п
N )
< £ .
Теорема доказана.
Следующая теорема является усилением оценки (б) для специальных ограниченных, аналитических функций - из класса А* (_1 < : < 0).
Теорема 2. Пусть / (2) - любая функция класса А* (_1 < а < 0), не принимающая в щ < 1 значение а . Тогда существует такая положительная константа А , что оценка
/ ( ге'р)
_ а
> ехр <
:<(< 0
(1 _ г Г
справедлива для всех таких а , кроме, быть может, некоторого множества Е значений а , 1 = 1 емкость которого равна нулю.
Доказательство. Пусть функция / (2) принадлежит классу А: (_1 < : < 0) и не принимает
значение а. Тогда, согласно теореме А, кроме, быть может, некоторого множества Е значений а, 1 = 1 емкость которого равна нулю, функция / (2)_ а принадлежит классу А^ для любого ( из
интервала (а, 0). Так как / (г) ^ а , то, используя соотношение а - равновесия для а - характеристической функции [1]:
(0 <Р< 1),
Т:(Р;' ) = Т)Р; 7 ) + Г(1 + :)
получим, что ограниченную ( - характеристику имеет также и функция
1
/ ( 2 )_ а '
Значит, она принадлежит классам А^ для любого ( из интервала (а, 0). Применим для гармонической функции
1
1ом
/ (гер )_ а
обобщенную формулу Пуассона [1].
О
1
/ (ге'рР
_а
Р({р_е;г
2л I Ч Р) / рее
/ Ре)
-ае,
_а
п=1
п=1
0 < г <р< 1, 0 <"< 2л ,
где, имея в виду (2),
Рр\9-0;- | = Яе^
' в ^
получим
г(1+р)
f ( ге'""
— а
2л
Учитывая, что функция
(р- г У
1+3
Р
- +1
= г(1+3)
Яе-
[рев- ге'")1+3
-1
2л
f (Ре'')
-а
■с1 в.
(7)
f ( N )-а
имеет ограниченную р - характеристику, получим
принадлежит классу л^, р £ (а, 0) и, следовательно,
2л
Й, рл\ 108
0<р<1
f в)
- а
ёв =
= 8ир Шр
0<р<1
р;
f ( ^И
= 8ир Тр
0<р<1
р;
f ( ^)-
< ад.
Учитывая вышеуказанное, и переходя к пределу в неравенстве (7) при р ^ 1, получим
1о8
1
f (ге" )- а (1 - г)
1+3
где л - некоторая положительная константа. Теорема доказана.
Теорема 3. Если функция f (г) принадлежит классу Ла (-1 < а < +ад), то существует функция фа () £ ¿2 такая, что имеет место следующее интегральное представление:
f (N ) = ¡"а (,) ехр {с • ()} у, N < 1 •
Доказательство. Пусть f (г) = ^ап^п £ Ла (-1 < а < +ад).
п=0
Рассмотрим функцию
^ (г) = ехр |С*а (г )1 = ехр {- С Г(1 + 4 • ехр iCГ(-+I^i,
2
(1 - N )1
где
С >
с.
г(1 + а)'
Как известно [2], оценка достигается для функции Fа(z)£ Ла (-1 < а < +ад).
Следовательно,
где
С
^ ) = ехр = £ Ьа)
п=0
Ьп(а) = ехр
а + 2 а +1
•а+2СГ(2 + а)п1+а(1 + о(1))|, п
^ ад,
Поэтому, из неравенства Са < С т(1 + а), следует, что существует натуральное число
Nа , такое, что при п > N. имеет место неравенство
1
<
1
о
<
ад
ад
щап\ < n • exp<
a + 2 а +1
Ca(\ + a)nUa (l + o(l))
<
< exp J — • a+2C T(2 + a)nUa (l + o(l)) \ = bn(a).
a +1
Рассмотрим функцию
n=0 Ь
которая принадлежит классу H2, так как
2л
Фа(гЬЕОауzn,|z < 1,
0 n=0
Следовательно, по теореме Фихтенгольца, она представима интегралом Коши по своим уг-
ловым граничным значениям
То есть
1 / \ 2 lim— \\фЛгегв)\ de = T
ме Фихте
Фа(е"):
-1 2Л
* )=Л
а
(а)
< « .
Фа(е'в)
d в, \z\ < 1 .
— ze
ап 1
b (а) 2л
2л
^ |фа(ев)е—nede,
откуда
ад 1 2л . . ад . .
/(z) = ]TanZn =^1Фа(еЦХ b^zyUe-.
n=0 2Л 0 Ln=0 J
^ ^Фа(^)еХР ^Ц dt , И < 1 •
n=0
C „ 0 dt
i'i=1 -2 '
Теорема доказана.
Отметим, что доказанное представление для значений параметра ае(—1;0] получено С.С. Степаняном [7].
Список литературы References
1. Джрбашян М.М. 1966. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области М., Наука, 672.
Djrbashyan M. M. 1966. Integral transformations and representations of functions on the complex domain. M., Nauka, 672.
2. Джрбашян М.М., Захарян В.С. 1993. Классы и граничные свойства функций мероморфных в круге. -М.,Наука, 224.
Djrbashyan M.M., Zakaryan V.S. 1993. Classes and boundary properties of functions meromorphic in a circle. - M.: Nauka, 1993. P. 224.
3. Захарян В.С., Оганисян И.В. 2014. О коэффициентах Тейлора одного класса аналитических в круге функций. ДНАН РА, 114 (3) : 192-197.
Zakaryan V.S., Hovhannisyan I.V. 2014. On Taylor coefficients of a class of functions analytic in a circle. DNAN RA, 114 (3): 192-197.
4. Захарян В.С. 1969. О радиальном изменении и распределении значений одного класса аналитических и ограниченных в единичном круге функций. Изв. АН Арм ССР, Математика, N5: 305-318.
Zakaryan V.S. 1969. On radial variation and distribution of values of functions from a class analytic and bounded in unit circle. IAN Arm SSR, Matematika. No 5 : 305-318.
5. Оганисян И.В., Унанян А.Г. 2005. О свойствах аналитических в круге функций из обобщенных классов А. Островского. Математика в высшей школе, 1 (3) : 80-84.
Hovhannisyan I.V., Hunanyan A.G. 2005. On properties of analytic in circle functions from Ostrovsky's generalized classes. Mathematics in High School, 1 (3): 80-84.
6. Степанян С.С. 1984. Интегральные представления функций классов Aa и Hp (а). Кандидатская диссертация, Ереван, 71.
Stepanyan S.S. 1984. Integral representations of functions of classes A and Hp (a). PhD Thesis, Yerevan, 71.
7. Carleson L. 1950. On a class of meromorphic functions and its associeted exeptional sets. Thesis, University of Uppsala: 1950 : 78.
2
0
