Об адаптивной аппроксимации задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в трещиноватой пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

51

УДК 519.6

ОБ АДАПТИВНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ

ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТОЙ

ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Н. С. Мельниченко1

Для задачи фильтрации вязкой сжимаемой многофазной смеси в пористой среде рассмотрена проблема корректной пространственной аппроксимации в области с высокой анизотропией, вызванной трещинами. Проведено сравнение адаптивного метода подсетки с другими методами многоточечной аппроксимации.

Ключевые слова: адаптивная аппроксимация, метод подсетки, L-метод, фильтрация, трещиноватая среда.

A filtration problem for a viscous compressible multiphase fluid mixture in a porous medium is considered in the case of high degree anisotropy caused by fractions. A correct spatial discretization is discussed. A comparison between the subgrid method and other multipoint methods is performed.

Key words: adaptive approximation, subgrid method, L-method, fluid filtration, fractured media.

Рассмотрим задачу фильтрации вязкой сжимаемой многофазной смеси в пористой среде в трехмерной области [1]. При пространственной аппроксимации методом конечных объемов возникает проблема приближения потока

JE\

через грань Е сетки, где к = кт > 0 — тензор абсолютной проницаемости, кг,г — относительная проницаемость фазы I, — вязкость фазы I, рг — давление в фазе I, ^г = дрг, р1 — плотность фазы I, с! — функция глубины, п — нормаль к грани Е. В наиболее часто используемой двухточечной аппроксимации [2] этот поток приближают по значениям в двух соприкасающихся блоках, содержащих Е, однако это приводит к большой погрешности, если линия, соединяющая центры масс блоков, неортогональна Е [3], и не позволяет использовать недиагональный тензор проницаемости к. Более широкую область применимости имеют различные многоточечные методы. В числе самых распространенных из них можно назвать О-метод и Ь-метод [4], которые в настоящее время активно используются при расчетах с помощью современных промышленных комплексов гидродинамического моделирования. Среди недостатков этих подходов помимо серьезного увеличения времени расчета можно назвать так называемый ориентационный эффект [5], когда мгновенное значение потока в пространстве зависит от выбора сетки. Корректная аппроксимация очень важна при моделировании трещин, возникающих при гидроразрыве пласта (ГРП), который широко применяется для увеличения нефтеотдачи действующих добывающих скважин. Мы проведем сравнение Ь-метода и разработанного нами метода подсетки [1] для гидродинамических моделей с трещинами.

Зачастую полученная с помощью ГРП трещина не проходит вдоль координатных осей, а имеет сложную структуру. Мы будем для удобства рассматривать такой случай, когда сетка является равномерной и ортогональной, среда изотропна с единичным тензором к, трещина лежит в одном слое, сонаправлена с вектором (1,1, 0) и проводимость вдоль нее равна Л > 1. В таких случаях тензор в блоках, через которые проходит трещина, полагают равным

(Л 0 0\ Л (Л + 1Л - 10>

к=д© нИтИ л-1л+1°

4 \001/ 2 \ 0 0 2,

где Я(ф) — матрица поворота на угол ф в плоскости Оху. Таким образом, при больших Л мы имеем сильную анизотропию с недиагональным тензором проницаемости. При наличии ГРП прорыв воды может

1 Мельниченко Никита Сергеевич — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

52

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

произойти значительно раньше, что может существенно сказаться на режиме работы скважины. Наши исследования показывают, что время обводнения скважины зависит от метода аппроксимации потока (рисунок). В таблице приведено время, когда блок с перфорацией скважины, от которой идет трещина, оказался обводнен на 10% при использовании метода подсетки и Ь-метода.

Оказывается, что при измельчении сетки в области скважины метод подсетки дает более адекватный с физической точки зрения результат. Вычисление потоков в этом методе основано на решении задачи ё1укУи = 0 в локальной подобласти О, называемой областью взаимодействия, с граничными условиями первого рода, полученными интерполяцией значений и в соседних блоках. Для решения этой задачи методом конечных элементов в О строится временная сетка, что сравнимо с локальным сгущением сетки. Это позволяет обнаружить сильный переток между расположенными по диагонали блоками с высокой проводимостью, который оказался не учтенным другими методами аппроксимации.

Параметр А 1 2 5 10 20 50 100

L-метод 497,7 488,6 475,9 468,2 463,0 459,5 458,8

Метод подсетки 497,6 476,6 442,8 418,7 400,5 392,1 390,9

Метод подсетки в случае однородной среды и ортогональной сетки не превращается в двухточечный метод, т.е. в этом смысле он не является адаптивным алгоритмом в отличие от О- и Ь-методов. С одной стороны, это преимущество, так как снижает ориентационный эффект на любой сетке, но, с другой стороны, это увеличивает время расчета, так как возрастает число ненулевых элементов в разреженной матрице. Поскольку количество блоков с трещинами обычно невелико, то нами был построен адаптивный вариант метода подсетки, в котором оригинальный метод применяется в подобласти, содержащей трещины и их окрестность, покрываемую областями взаимодействия. В остальной же части области используется двухточечная аппроксимация. Численные эксперименты на большом количестве реальных моделей с трещинами показали общее увеличение времени расчета не более чем 0,5%. Это подтверждает эффективность адаптивного метода подсетки для аппроксимации задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в трещиноватой пористой среде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богачев К.Ю., Мельниченко Н.С. О пространственной аппроксимации методом подсеток для задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9. 191-199.

2. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Science Publishers, 1979.

3. Aavatsmark I. An introduction to multipoint flux approximations for quadrilateral grids // Comput. Geosci. 2002. 6, N 3-4. 405-432.

4. Aavatsmark I., Eigestad G.T., Mallison B.T., Nordbotten J.M. A compact multipoint flux approximation method with improved robustness // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2008. 24, N 5. 1329-1360.

5. Zhangxin C, Guanren H., Yuanle M. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. Philadelphia: SIAM, 2006.

Поступила в редакцию 06.05.2009

УДК 539.4.25

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В СИММЕТРИЧНОЙ И НЕСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ

В. И. Горбачев1

В работе получены новые интегральные представления решений задач теории упругости (моментной и немоментной) для неоднородного тела через решения таких же задачдля

1 Горбачев Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].