Граничные условия локальной задачи в методе подсеток Текст научной статьи по специальности «Математика»

Результаты моделирования показали, что СКО по модели, полученной по схеме, изображенной на рисунке 2, составило 3,3. Очевидно, что такой подход обеспечивает еще более низкую погрешность моделирования.

Таким образом, система конструирования алгоритмов синтеза моделей сложных систем обеспечивает возможность создания наиболее адекватной модели объектов мониторинга окружающей среды при условии использования и комбинирования нескольких современных методов эвристической самоорганизации. Экспериментально подтверждена эффективность использования конструктора алгоритмов синтеза моделей, спроектированного по вышеописанным принципам. Определено, что интеграция методов конструирования

алгоритмов моделирования на уровне компонентов может быть более эффективной, чем объединение на уровне алгоритмов. Дальнейшие исследования будут проводиться в направлении определения закономерностей, которые позволяют обеспечивать максимальные системные свойства в моделях, сгенерированных по описанным принципам.

Литература

1. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наук. Думка, 1981. 296 с.

2. Голуб С.В. Багатс^вневе моделювання в технолопях мошторингу оточуючого середовища. Монографiя. Черкаси: Вид. вщ. ЧНУ iменi Богдана Хмельницького, 2007. 220 с.

3. Леоненков А.В. Самоучитель UML. СПб: БХВ-Петер-бург, 2001.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В МЕТОДЕ ПОДСЕТОК

Н.С. Мельниченко (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

nikita. melnichen ko@gmail. com)

Рассмотрена проблема корректной пространственной аппроксимации потока в задаче фильтрации вязкой сжимаемой жидкости при использовании многоточечного метода подсеток. Приведены алгоритм выбора параметров метода и доказательство оценки погрешности аппроксимации в однородном изотропном случае.

Ключевые слова: задача фильтрации, многоточечная аппроксимация, метод подсеток, граничные условия, оценка погрешности.

приближения потока Js

При пространственной аппроксимации задачи фильтрации вязкой сжимаемой многофазной смеси в пористой среде в трехмерной области [1] методом конечных объемов возникает проблема

К^^ -у 1 Vd),n

через грань S сетки, блоки которой - это стыкующиеся шестигранники, где К=К1>0 - тензор абсолютной проницаемости; kr;г - относительная проницаемость фазы I; ц - вязкость фазы I; pг - давление в фазе I; уг=5»рг, рг - плотность фазы I; d -функция глубины; п - нормаль к грани S.

В наиболее часто используемой двухточечной аппроксимации этот поток приближают по значениям в двух соприкасающихся блоках, содержащих S, однако это приводит к большой погрешности в случае неортогональной сетки [2] и является причиной существенной ошибки в результатах расчета гидродинамической модели. Современные программные комплексы моделирования предлагают возможность использовать различные многоточечные методы, которые позволяют сократить эту погрешность за счет большего количества точек в окрестности грани и, как следствие, увеличения времени расчета. В данной статье рассмотрены авторская разработка многоточечного метода подсеток [3] и способ выбора его параметров,

при котором погрешность приближения потока остается на низком уровне.

При вычислении потока в методе подсеток рассматривается каждая вершина V грани S, строится область взаимодействия Q(V), состоящая из всевозможных базовых тетраэдров PMEV, где E -центр содержащего узел V ребра; M - барицентр содержащей его грани; P - барицентр содержащего ее блока. Каждый из этих тетраэдров разбивается на меньшие тетраэдры, в результате Q(V) разбита подсеткой. Методом конечных элементов на ней решается задача divKVu=0, и полученное решение используется для определения потока через SHQ(V), части полного потока через S. Необходимо задать граничные условия локальной задачи на подсетке таким образом, чтобы погрешность приближения потока была как можно ниже.

Составление граничных условий. Для вершины V, лежащей внутри расчетной области, граница области взаимодействия Q=Q(V) оказывается состоящей из треугольников PME. Значение в точке P считаем известным. Построим приближенные значения в точках M и E (далее будем обозначать через Л любую из этих точек). Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть функция u задана и непрерывна на всем пространстве, которое разделено на полупространства ©1 и ©2 плоскостью п. В ©1 заданы точка P1, значение

Ui=u(Pi) и тензор проницаемости Кь в ©2 - точка P2, значение u2=u(P2), тензор К2. Известно, что функция u линейна в каждом полупространстве и имеет место равенство потоков через некоторую поверхность осп:

£-1(Kivu* )ds = ie - (K2Vu02 ) ds, (1)

где n - нормаль к п. Требуется найти ограничение

на V ul .

i®i

Обозначим V u|в через g1, а V u|0 - через

¡2. В силу линейности u для любых точек D1? D2e п верно

u(Di) + ¡1 ■ DID = u(D2) = u(Di) + ¡2 • DID • Тогда для ортонормированного базиса V1,V2 плоскости п имеют место равенства ¡1 • Vi = ¡2 • Vi,

i=1, 2. Поскольку ¡15g2 являются константами и тензор проницаемости симметричен, уравнение (1) запишется как ¡1 • (K1n) = ¡2 • (K2n). Таким образом, связь градиентов ¡1 и ¡2 может быть представлена в виде Л^ = Л2^, где

A =

* 1,1 * 1,2 * 1,3

V2 1 V2 2 V2

i=1, 2.

'2,1 2,2 2,3

(к,П>2 (кЯ,

Матрицы Л1 в силу положительной определенности матриц Ki являются невырожденными. Пусть точка Бе п, тогда

и(Ц) + ¡1 • Р^ = и(Б) = и(Р2) + ¡2 1525.

Отсюда и2 - и = ( ¡2,БР2) + (¡1,Р15) = = ( ¡1,(Л-1Л1)Т2^ + РЬ).

Таким образом, получено ограничительное уравнение ¡1 • -12 = и2 - и1, где -12 = (Л-1Л1)ТБР2 +

+Р1Б. Отметим, что значение этого вектора получается не зависящим от Б, а в случае К1=К2 оператор (Л-1Л1)Т является единичным и

-12 = РР2 .

Для получения приближения Уи в блоке, содержащем Л, используем полученный результат для случая, когда п является плоскостью некоторой грани блока, а Р15 Р2 - барицентрами блоков, содержащих эту грань. Допустим, найдены такие

три соседних блока, что векторы -12, -13, -14 оказались линейно независимыми. В этом случае получим систему уравнений

¡ • W1,j = u -u1, j=2, 3, 4,

(2)

позволяющую определить вектор ¡ = Уи . Искомые значения могут быть вычислены по формуле

и(Л) = и(Р) + Уи • РЛ . (3)

Значения внутри треугольника определим линейной интерполяцией по значениям в точках Р, М и Е.

При вычислениях с ограниченной точностью условие линейной независимости векторов не является достаточным для получения удовлетворительного результата. Пусть векторы у1? ..., уп удовлетворяют П-критерию, если

п

(> С1ПII , || уЛ > С2Ь,

i=l

где (уь...,уп ) - объем п-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы; с1? с2>0 - константы; Ь -диаметр множества точек текущей области взаимодействия. В случаях, близких к вырожденным,

когда базис -12, -13, -14 не удовлетворяет П-критерию, вычислительная погрешность становится неприемлемой и следует отказаться от приближения градиента по найденной группе блоков.

Порядок аппроксимации потока. Найдем порядок аппроксимации потока для грани, имеющей вершинами внутренние узлы сетки, при приближении методом подсеток в однородном изотропном случае. Не нарушая общности, будем считать, что тензор равен единичному во всей области. Предположим, что в некоторый момент точно известны значения функции и в центрах блоков, а диаметр области взаимодействия равен Ь.

Лемма 1. При принятых предположениях значения функции ие вычисленные на гранях РМЕ базовых тетраэдров, определены с точностью 0(Ь2).

Доказательство. Рассмотрим вычисление

приближения градиента ¡ функции и в центре Р1

некоторого блока. Положим, группа соседних блоков с центрами Р2, Р3, Р4 такова, что векторы

-12, -13, -14 удовлетворяют П-критерию. Ис-

_„ * _,.*

пользуя базис сопряженных векторов -12, -13,

_„ *

-14 для решения системы (2), получим представ-

ление ¡ в виде

- -Л - * ¡ = X (u, - u1)W1,j.

j=2

Заметим, что

_..*

W12

(4)

II— 1II—

W13 X W14 W13 W14

^W12,W13,W14^ c1 W12 W13 W14

1

1 = O(h-1).

C1 IIW12 I

На основании формулы Тейлора имеем u(p) = = u(P + (Pi - P1)) = u(P1) + (Vu(P1 ),Pi - P1) + O(h2),

откуда, учитывая, что Wl,i = Р1Р1 в однородном случае, (¡,^,0 = ц -и = (Уи(РДр -р)+0(Ь2) =

= (УиЩ),^) + 0(Ь2).

Тогда получим

g = Y (uj - U1 )Wl'J = Y (Vu(pi )' Wl,j )Wl,j +

j=2 j=2

j , ч (5)

+O

h2 Y wi,j

. j=2 У

= Vu(Pi) + Ç

где || = O(h). Приближение значения и(Л) равно u(P) + g • РЛ = u(P) + Vu(P) • РЛ + O(h2) = = и(Л) + O(h2).

Значения во всех точках треугольника PME были получены линейной интерполяцией по значениям в его вершинах, а значит, не отличаются от них более чем на O(h2).

В силу принципа максимума для рассматриваемой дискретной задачи [4] приближение u е U функции ue C2(Q) отличается от нее в узлах под-сетки на O(h2). Рассмотрим поток через поверхность а = S П Û. Пусть тетраэдр ABCD удовлетворяет П-критерию, если векторы AB, AC, AD удовлетворяют П-критерию.

Теорема 1. Пусть все базовые тетраэдры области взаимодействия Q. удовлетворяют П-критерию. Тогда при принятых ранее предположениях порядок аппроксимации потока через поверхность а при расчете с помощью метода подсе-ток равен mes(a)O(h) для функции ue

Доказательство. Значения функции в узлах подсетки при расчете с помощью метода подсеток определены с точностью O(h2). Рассмотрим грань l подсетки, содержащуюся в рассматриваемой грани S сетки. Тетраэдры т1 и т2, содержащие ее,

подобны своим базовым тетраэдрам с некоторым постоянным коэффициентом v [3] и удовлетворяют П-критерию с параметром hv-1. Как видно из доказательства леммы 1, порядок приближения V u| т по формуле (5) равен O(h), учитывая, что

значения в вершинах тетраэдра известны с точностью O(h2). Из этого следует, что поток через треугольник l вычислен с точностью mes(/)O(h), откуда полный поток определен с точностью mes(o)O(h).

Таким образом, теорема показывает, что при естественных ограничениях (П-критерий позволяет исключить из рассмотрения вырожденные случаи) в однородном изотропном случае метод под-сеток дает приемлемую аппроксимацию потока. Проведенные численные эксперименты [5] на различных тестовых и реальных задачах с помощью программного комплекса гидродинамического моделирования, в составе которого был реализован данный многоточечный метод, подтверждают аналитические выводы и показывают, что данный подход так же корректно работает и для неоднородной анизотропной среды.

Литература

1. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Science Publishers, 1979.

2. Aavatsmark I. An Introduction to Multipoint Flux Approximations for Quadrilateral Grids // Computational Geosciences. 2002. № 6, № 3-4. С. 405-432.

3. Богачев К.Ю., Мельниченко Н.С. О пространственной аппроксимации методом подсеток для задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде // Вычислительные методы и программирование. 2008. № 9. С. 191-199.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

5. Богачев К.Ю., Мельниченко Н.С., Шелков В.Г. Применение метода подсеток для гидродинамического моделирования в анизотропной среде на нерегулярных сетках // Нефтех. 2008. № 4. С. 8-12.

4

4

МЕТОД ДЕРЕВА ЦЕЛЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ

О.В. Стоянова, к.э.н.; О.В. Зайцев (Филиал Московского энергетического института (технического университета) в г. Смоленске, tatjank@yandex.ru)

В статье рассматриваются особенности задачи оценки эффективности использования предприятиями информационных ресурсов. Выявляются проблемы, возникающие при использовании традиционных методов решения данной задачи. Предлагается отличный от существующих подход, основанный на использовании метода дерева целей, позволяющий повысить адекватность и достоверность оценки эффективности использования информационных ресурсов.

Ключевые слова: оценка эффективности, информационные ресурсы, метод дерева целей.

Каково значение информационных ресурсов (ИР) для современного российского предприятия? На первый взгляд, ответ очевиден. Однако не все так просто. С одной стороны, любому современ-

ному человеку, живущему в эпоху глобальной информатизации, понятно, что информация приобретает все большую ценность, особенно когда обесцениваются другие виды ресурсов. С другой