О значениях продифференцированных по параметру гипергеометрических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 511.361

О ЗНАЧЕНИЯХ ПРОДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫХ ПО ПАРАМЕТРУ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Ключевые слова: гипергеометрические функции, дифференцирование по параметру, иррациональные параметры, линейная независимость значений

В работе с помощью эффективной конструкции аппроксимаций Паде для гипергеометрических функций общего вида (в том числе и продифференцированных по параметру) доказывается линейная независимость совокупности значений таких функций в случае иррациональности одного из параметров.

Keywords: hypergeometric functions, differentiation with respect to parameter, linear independence of the values, irrational parameters.

In this paper we consider linear independence of the values of hypergeometric functions with irrational parameter; some of these functions are differentiated with respect to parameter. The corresponding theorem is proved by means of the effective construction of Pade approximation for such functions.

Пусть a(x) и b(x) — многочлены, старшие коэффициенты которых равны единице, и пусть и = 1 + degb(x) ^ dega(x). Рассмотрим при к = j = 1,... ,и, следующие функции

П. Л. Иванков (г. Москва)

Аннотация

Abstract

а также функции, полученные из них дифференцированием по параметру Хк: гг / \ V 1-1 тт- а(х) $к -|^ 1 , .

Рк1к3(г) = 52 7" П Ьх (х + \,) ’ ^

0 ь(х) $Х1к 1 (х + Хк):

v=0 х=1 4 7 к х=1

к = 1,... ,Ь, 1к = 0,... ,ти — 1,з = 1,... ,и; т\,... ,тЬ — натуральные числа. При некоторых естественных ограничениях на параметры функций (1) можно эффективно построить нетривиальную функциональную приближающую форму

Ь Тк — 1 и

К(г) = Ро(г) + ЕЕЕ Рк7к3 (г)Рк1к3 (г)> (2)

к=1 1к =0 3=1

имеющую при г = 0 максимально возможный порядок нуля; коэффициенты Р0(г), Рк1кз (г) формы (2) являются многочленами степени п. Возможно также построение аналогичной однородной формы, если предположить дополнительно, что 6(0) = 0. Эти аналитические конструкции можно использовать для получения различных результатов об арифметической природе значений функций

(1). Мы рассмотрим здесь лишь одну теорему.

Пусть I — мнимое квадратичное поле, Х Е I Х = —1, — 2,... , и пусть при 3 = 1, 2

^ V 3 — 1

ж—> 7 V3 1

К"3 (7) = £ "!(Х + 1) ... (Х + V) • <3>

а функции

Г.- , > ^ 7 V3—1 ( 1 1 \

— £ "ИХ + 1)...(Х + х+Г + ••• + Т+1)

Х

Теорема 1. Для любого ненулевого целого д Е 1 щи |д| ^ д0, где д0 зависит

от Х и от поля I, числа К^(1/д), I = 0,1,3 = 1, 2, линейно независимы над

полем I.

Можно получить и количественный результат в виде оценки снизу абсолютной величины линейной формы

Ё Ё ^ К (1)

7=0 3=1 \У/

1=0 3=1

в зависимости от максимума модулей коэффициентов Н73. В ранее опубликованных результатах об арифметических свойствах значений продифференцированных по параметру обобщённых гипергеометрических функций всегда предпо-

Х

нальным числом; см. [1, замечания к главе 71.

Доказательство теоремы основано на эффективном построении вышеупомянутой нетривиальной линейной однородной приближающей формы для совокупности функций К^(г), имеющей при г = 0 максимально возможный порядок нуля. Пусть Аі и А2 — комплексные числа, отличные от -1, -2,... , причём разность этих чисел не является целым рациональным числом, и пусть ті(А,£) = £ + А, г2(А,() = 1. Положим

2п

П(Ак +х) 1 , * 1

Ркі- = ’Л»!)2 2Пі Г ВкК)т>(Ак’<■ - 8)П (С - + Ак - х)

где Г — положительно ориентированная окружность, охватывающая все полюсы подынтегральной функции,

2п+1 / 2и+1-а а—1

Вк (С) = 2 2п+1-------------------------- П А + 2п +^+ х) П(С + Ак — х),

ст=0 П П *(Ак - Хк! + а - а) х=0 х=0

кх = 1стх=0

символ * в знаменателе означает, что равную нулю скобку следует вычеркнуть. В работе [2] доказано, что при таком выборе чисел при всех V = 0,1, 2,... выполняется равенство

2 2 П л 8—1 V л ^-1

Е Е Ерк:- 8)3 — 1 - х) П Х^П (У + Ак — х) =

к=1 3=1 «=0 х=0 х=1 х=0

4п+2

П (С + х)

х=1

1 (п!)2 Г

V! 2ПІ V 2 2п+1

! с П(С + х)П П(С - Ак + а)

х=1 к=1 <г=0

(4)

В последнем выражении через С обозначена положительно ориентированная окружность радиуса 4п + | с центром в начале координат.

В равенстве (4) перейдём к пределу при А1 ^ А и А2 ^ А. В правой части вычисление предела сводится к формальной замене А1 и А2 на А. В левой части А1 А

при А2 ^ А. При этом возникает неопределённость, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя. Фактически дело сводится к вычёркиванию скобок вида ±(А2 — А) с сохранением знака перед скобкой и дифференцированию получив-

А2 А2 А

Выполнив указанные действия, умножим обе части получившегося равенства на

2п

2

(п!)2/ П (А + х); равенство (4) преобразуется к виду

х=1

12 п 1 8—1 ( V л 8—1 \

—8)3—1 —х) Ж1\П х+дП(v+А — х)) =

1=0 3=1 8=0 х=0 \х=1 х=0 /

4п+2

( 1X2 1 ( 1X2 г П (С + х)

_ (п!)2 1 (п!)2 Г х=1 й,

П2п (х + А) V! 2П1 V 2п+1 С' ( )

Пх=1<х + Х) ■ С п (С + х) П (С — А + а)2

х=1 7=0

Из способа получения равенства (5) очевидным образом вытекают формулы ДЛЯ коэффициентов Р138\

=2п+1 (—1)СТ+1(п!)4 д 2П+1 1

Р°38 =Х^ а!(2п + 1 - а)! д\„ Н

а=0 а!(2п +1 — а)! дА2 ^=0 *(А — А2 + а — а)

2Ы Лзз(А,С) ^+

Л2=Л Г

, (п!)2 _^(ГЁаА + х) 2п+1 (—1)"(п!)4 ^

+ - ^ (п!)2 2=0 - -

П (х + Х) дА^ (п!)2 7=0 а!(2п +1 _ а)!

х=1 2п+1

Л2=Л

где

п+1 1 1 „ \

х П 7ТХ-----------а:,-)2“ / Л38(А2,С) ^

АА0 — А + а1 — а)2п% ] \

7х=0 4 Г '

2п+1 (п!)4 1 Г

Р138 = Е (а!(2п + 2 — а)!)2 2а / ^, С)

(7=0 Г

2п+1—а 7—1 8 1

Л38(Х,С) = т3(А,С — в) Д (А + 2п + : + х)Ц(С + А — х)Пт^х)(с + а-х)‘

х=0 х=0 х=0 (С )(С + )

В этих формулах символ * означает, что множитель ±(Х2 — А), входящий в соответствующее произведение, вычёркивается (знак его при этом сохраняется).

Заметим, что при 0 ^ V ^ 4п + 2 степень числителя подынтегральной функции из правой части равенства (5) по крайней мере на две единицы меньше степени знаменателя, причём контур интегрирования содержит все особые точ-

п

часть равенства (5) равна нулю при указанных значениях V. При V = 4п + 3 интеграл из (5) равен с точностью до знака вычету подынтегральной функции С = — 4п — 3 не равна нулю и правая часть (5).

Пусть

Р13(г) = ЕI = 0,1,3 = 1 2.

- з»

»=0

Равенство (5) показывает, что коэффициент при в разложении по степеням г линейной формы

1 2

Я(г) = Е Е рз (г)Кз(г)

1=0 з=1

равен правой части равенства (5). Отсюда с учётом сделанных ранее замечаний получаем, что линейная форма Я(г) не равна нулю тождественно и имеет при г = 0 порядок нуля равный 4п + 3. Построение формы Я(г) является основным элементом доказательства сформулированной выше теоремы, поскольку дальнейшие рассуждения более пли менее стандартны. С помощью формы Я(г) строится совокупность числовых линейно независимых форм

При этом можно считать, что форма Я1(г) совпадает с Я(г). Формы Ят(г) можно получить с помощью дифференцирования, как это сделано в [1, гл.3,§7]. При таком подходе необходимо предварительно проверить линейную независимость функций К13 (г) над полем рациональных дробей. Аналогичного результата можно добиться, варьируя степени многочленов, являющихся коэффициентами рассматриваемых линейных форм, см., например, [2]. После того, как формы (6) построены, надо произвести некоторые вычисления. Для доказательства теоремы потребуются следующие оценки

р ■1

р т13

ч,

которые нетрудно вывести из приведённых выше формул (с учётом способов получения форм Ят(г), т = 2, 3, 4). Через ^1,12, ■ ■ ■ обозначаются положительные постоянные, зависящие от А и от поля I. Для оценки общего наименьшего знаменателя коэффициентов многочленов Рт1з- (г) используется лемма 2 [1, с. 186] об общем наименьшем знаменателе чисел

V .

Па1 + х 1 0

------, V = 1, 2,... ,п,

а2 + ж’

Х=1

а1 а2

риваемых многочленов входят также интегралы по окружности Г; чтобы оценить их общий наименьший знаменатель, надо записать эти интегралы в виде вычетов относительно бесконечно удалённой точки. После этого станет ясно,

что указанный общий наименьший знаменатель оценивается сверху величиной е12п. Когда речь идёт об общем наименьшем знаменателе некоторого множества чисел из мнимого квадратичного поля, имеется в виду наименьшее по модулю ненулевое целое число из этого поля, после умножения на которое все числа данного множества становятся целыми. Перечисленные соображения приводят к такому результату: модуль общего наименьшего знаменателя коэффициентов многочленов Рт1з (г) оценивается сверху величиной е1зп. В выражения для коэффициентов многочленов Рт0з (г) входит величина

1

А + 1

+ • • • +

1

А + 2п'

(8)

А ПХ=1(А + ж). В

качестве знаменателя числа (8) можно взять, например,

2п

а2п П (А + ж)

Х=1 [ Р ]-74[ ]

П р

р^2п

(9)

где а — такое натуральное число, что аА Е произведение в знаменателе распространено на все простые числа р, те делящие число а и дискриминант поля I и такие, что р распадается в поле I в произведение двух простых идеалов. Модуль знаменателя (9) оценивается сверху величиной е1ъп,пп. Чтобы убедиться в справедливости сформулированных утверждений следует использовать соображения, изложенные в ходе доказательства леммы 4 из [2]. Суммируя всё вышесказанное относительно общего наименьшего знаменателя коэффициентов

Рт0з

ется сверху величиной е1&ппа. При получении последней оценки полезно также использование того обстоятельства, что наименьшее общее кратное чисел 1, 2,п есть величина порядка е°(п\

Теперь можно непосредственно перейти к доказательству теоремы. Если имеется нетривиальное соотношение

Е Е кч кч( ч)

1=0 з=1 кч/

то можно с помощью линейных форм (6) составить отличный от нуля определитель, одной из строк которого будет строка коэффициентов Нгз] пусть, для определённости, это будет первая строка:

А

^01 ^02 hll Ь,12

Р201(1/ч) Р202 (1/Ч) Р211(1/Ч) Р212(1/Ч)

Рз01(1/ч) Р302 (1 /ч) Рзп(1/ч) Р312 (1 /ч)

Р401 (1/Ч) Р402(1/Ч) Р411(1/Ч) Р412(1/Ч)

0

Степени многочленов, входящих в этот определитель, ограничены сверху величиной п + 77. Используя сведения об оценках общих знаменателей коэффициентов указанных многочленов, нетрудно получить такую оценку снизу:

\А\ ^ \ч\-3п-18е-78п-2п

(10)

С другой стороны, если, например, К01(1/ч) = 0 то определитель А можно

• 5МП ИОМТЬ В ВИД6

А=(К01(1/ч))

1

0

к

02

к

11

к

12

Я2(1/ч) Р202 (1/Ч) Р211(1/Ч) Р212(1/Ч)

ЯзШ Р302 (1/Ч) Р311 (1/Ч) Р312(1/Ч)

Я4(1/Ч) Р402(1/Ч) Р411(1/Ч) Р412 (1/Ч)

Отсюда, с учётом (7) получаем

4п 2п

\А\ ^ Ие19п\ч\-4пп

что противоречит (10) при Ч ^ ч0 и при достаточно большом п; через Н обозначен максимум модулей чисел кз- Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. — М.: Наука, 1987.

[2] Иванков П.Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами // Фундаментальная и прикладная математика. — Т. 11, №6. — 2005. — С. 65 — 72.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана Получено 24.04.2012