О значениях некоторых функций, удовлетворяющих однородным дифференциальным уравнениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 511.361

О ЗНАЧЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

П. Л. Иванков (г. Москва)

Аннотация

В работе рассматриваются гипергеометрические функции и их производные (в том числе и по параметру). С помощью новой конструкции однородных совместных приближений получена оценка снизу модуля линейной формы от значений таких функций.

Ключевые слова: Аппроксимации Паде второго рода, обобщенные гипергеометрические функции, дифференцирование по параметру, оценки снизу линейных форм.

ON THE VALUES OF SOME FUNCTIONS SATISFYING HOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS

P. L. Ivankov (Moscow)

Abstract

In this paper we consider hypergeometric functions and their derivatives (including with respect to parameter). By means of a new construction of homogeneous simultaneous approximations low estimate of the modulus of linear form in the values of such functions is obtained.

Keywords: Pade approximations of the second type, generalized hypergeometric functions, differentiation with respect to parameter, low estimates of linear forms.

Пусть

a(x) = (x + a\)... (x + ar), b(x) = (x + ^i) • • • (x + вт), m ^ 1, 6(0) = 0;

a(x)b(x) = 0 при x =1, 2,... ;

Ak, Ak-i — Ak2 , ai — fij > ai — Ak

k\ = k2, k,k\,k2 = 1, • • • ,t, j = 1,... ,m, i = 1,... ,r. (1)

Предположим также, что 0 < г < и, и = т +1,и все числа

А1у • • • 1 а1, ■ ■ ■ ,аг ) Рі, ■ ■ ■ , А-і

рациональны, а многочлен (х + вг) ■ ■ ■ (х + (Зт) лежит в кольце 1[х], где I некоторое мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел. Рассмотрим при к = 1, ■ ■ ■ ,і, і = 1, ■ ■ ■ ,и следующие функции

ГО V / \

^(г) = £ -V- П а(Х)

v=0

Х=іЬ(х)(Хк + х)’

а также функции, полученные из них дифференцированием по параметру \к.

і А а(х) А1к А 1 _

СЮ

0 _ Ь(х) А-_ Хк + ж’

и=0 х=1 4 7 к х=1

к = 1,... ,Ь, 1к = 0,... ,Тк — 1,3 = 1,... ,и; т1,... — некоторые натуральные

числа. При выполнении всех перечисленных условий справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть степени алгебраических чисел вг ,...,вт равны соответственно кг,..., кт, и пусть

1 1 1

П — 1------------I-------+ ''' +-------

и - Г \ Кг Ят,

а число £ отлично от нуля и лежит в поле I. Тогда для любого є и для любого нетривиального набора целых чисел из этого поля

Нщ’, к =1,■■■,t,lk = 0, ■ ■ ■ ,Тк - 1, і = 1,■■■,u, (3)

выполняется неравенство

£ Тк — і и

ЕЕЕ Нк1к’ Рк1к’ (£) к=і 1к =0 ’=і

■ю — 1 + п -

> И-^-^—\

где Н есть максимум модулей коэффициентов (3), причем Н достаточно велико (нижняя граница зависит от е);

,ш = иТ, Т = т1 + ■ ■ ■ + Т1.

Заметим, что если применить в рассматриваемой ситуации теорему из работы [1], положив в ней к0 = 0, то мы получим аналогичную, но менее точную оценку: в показателе степени заменится на . Таким образом, учет

однородности (т.е. условия Ь(0) = 0) приводит к уточнению соответствующей

оценки. Это явление хорошо известно в теории трансцендентных чисел; см., например, теоремы 1 и 2 из [2, гл. 11, § 2].

Пусть п — натуральное число; рассмотрим многочлен с неопределенными коэффициентами

N1

Р ) = £ Р,^, (4)

^=0

где N1 = [ ¿п ]. Пусть

ГО

Р(г) Рк1к3 (г) 'У ' Рк1к]у.2^; (5)

^ = 0

N1

Рк1к3(г) 'У ' Рк1к3^%^. (6)

^=0

При любых исходных коэффициентах р^ многочлена (4) функция

Рк1к3 (г)Рк'1’к'3' (г) — Рк'1'к/3' {г)Рк1к3 (г) (7)

при всех допустимых значениях индексов будет иметь порядок нуля при г = 0 не меньше N1 + 1. Пользуясь этим, можно построить совместные приближения (учитывающие специфику однородного случая) для функций (2). Подберем коэффициенты многочлена (4) так, чтобы в равенстве (6) было

Рк1кV = 0, V = п +1,...,^. (8)

Если условие (8) будет выполнено, то для совместных приближений можно взять многочлены

1 п

Рк1к3 {г = ((^ — п)!)и Рк1к3^. (9)

Из вышесказанного следует, что функции

Ркз (г) — РЦч-з Ш„1к 3 (г) (10)

имеют при г = 0 порядок нуля не ниже N1 + 1. Свойства многочленов (9)

рассмотрим ниже, а нашей ближайшей задачей будет подбор коэффициентов

многочлена (4).

Определим вспомогательную функцию

г N2-1

Я(г) = П П (г — ^к + аУк ) (11)

к=1 а=0

где N2 = [¿пт]. Т.к. ^Т ^ N1, то существуют числа $^, такие, что тождественно по г выполняется равенство

N1 N1

XX П (г+х) = ®(г)’ (12)

^=0 x=Nl —^+1

и, как следствие,

N1 N1 —• 1 N1 1

£ М1 т+х = <^> П — ■ <13>

•=0 х=1 х=1

Из теории рядов Ньютона известно (см., например, [3, с. 40-41]), что последние равенства будут выполняться, если положить

^ =2_ г(14)

• Г й +х)• ‘1

x=Nl—•

где Г — какая-либо положительно ориентированная окружность, охватывающая все полюсы подынтегральной функции.

Лемма 1. Пусть В (м) — произвольный многочлен, степень которого не превосходит N2 — 1. Тогда при 1 ^ к ^ I, 0 ^ 1к ^ тк — 1 выполняется равенство

^ й 1к ^—• 1

£ »-В(м)щ П лкгх = 0- (15)

•=0 к х=1

Доказательство. При фиксированном к применим индукцию по 1к. Пусть

1к = 0; при 0 ^ а ^ N — 1 из (11) и (13) следует равенство

ч N1 N1—•Л N1 N1—•

0 = N1 ^ — а = £ *• П Лк—Отх = £ ^(м) П лк+х ■ (!«)

П(Лк — а + х) •= х=1 •= х=1

х=1

где

О ( \ 1Т Лк + N1 — М — Х

Вк0а (м) = Ц -

0 Лк — Х

х=0

Поскольку любой многочлен от М степени не выше N2 — 1 является линейной комбинацией многочленов Вк01 (у), то из (16) следует (15) при 1к = 0. Пусть требуется доказать равенство (15) при некотором положительном 1к ^ Тк — 1. Имеем при 0 ^ а ^ N2 — 1, используя (11) и (13),

й1к Я(г)

йг1к N / ч

П(г + х)

х=1

йг1к АА г + х

г=Хк—1 •= х=1

г=Хк—1

N1

N1— •

N1

П

= 'Л лк— а + х злЧ

(

N1— •

XX я \1 к Вк01 (М) П

1

х=1

лк + х

)

£( ::)£ «•?* _ (м) ¿Лк п лк+х:

эк=0 у к' •=0 к х=1 к

N1— •

1

где

д 1к “к

Вк,1к — 3к,а (р) = Вк0а (р)^

По предположению индукции получаем отсюда равенство

М1 А Ік Иі—^ 1

£ КВ** р -щ П Ак+х = 0 ■

1=0 к х=і

и рассуждение можно завершить, как указано выше. Лемма 1 доказана.

Числа ії^, определяемые равенством (14), используем для построения многочлена (4), положив

^—і

N1 —1 Л а(—х)

Р1 = ь(х) п^---------------------------■ (17)

х=1 П а(х — р)

х=1

Проверим выполнение равенств (8). Имеем при п +1 ^ V ^ Мі

V v—l ( ) а ік и—^ 1 N1 N1

ркік’V = Хр>—рУ—іЦ-^П= Е—рУ—іІІ ь(х—р)

V = /у РК" Р) М и \ 7Л Ік 1 1 \ I = "К" Р) 11 и(х—р>х

п ±лі Ь(х) ААІк ±лі Ак + х ¿-0 * +

(1=0 х=1 4 7 к х=1 1=0 x=v+l

Х П а(х — Р) П Ак+х П(х + Ак — Р))= £ Ск>

х=п+2 к \ х=1 x=v+l / “к =0 4 7

N1 N1 д 1к — Эк N1

ХХ — Р)3 — 1П ь(х — р) Ік—Зк П (х + А к — Р)х

1=0 x=v+l к x=v+l

А “к 1

х П а(х - м) щ П лк+х. (18)

х=п+2 к х=1 к

По ходу преобразований мы заменили верхний индекс суммирования V на N1, т.к. в силу условия Ь(0) = 0 все добавляемые при этом слагаемые равны нулю. Кроме того из условия (1) следует, что а(х) = 0 при х = 0, —1, —2,... . Входящий в выражение (18) многочлен от м

д 1к — 8к ”

(у — м)3—1 П Ь(х — М) дЛ1к—зк П (х + Лк — м) П а(х — М)

х=и+1 к х=и+1 х=п+2

имеет степень, ограниченную сверху числом N2 — 1, так что равенства (8) в силу леммы 1 выполняются, а тогда, как мы видели, функция (10) имеет при г = 0 порядок нуля не меньше N1 + 1.

Заметим, что многочлены (9) отличны от тождественного нуля. Например, из (14), (17) и (18) следует, что

N1 п+1 1

Р1010 = Ро = $о Д Ь(х)П = 0,

х=1 х=1 —(х)

и многочлен Р\0\(г) не равен нулю тождественно. Можно проверить отличие от тождественного нуля и других многочленов Ркгкз(г).

Наименьшим общим знаменателем некоторого множества чисел X из поля I будем называть наименьшее по модулю ненулевое целое число из этого поля, после умножения на которое любое число из X становится целым в упомянутом поле. Оценим абсолютную величину и общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов (9), которые определяются с помощью чисел (17).

Лемма 2. Модуль коэффициента при г" многочлена Рыкз (г) оценивается сверху величиной

fn'\ u-r

и) ; (19)

общий наименьший знаменатель всех таких коэффициентов при п ^ п0 не превосходит

(и-г)'П I

(п\)^ +, (20)

где число п определено в формулировке теоремы, а е — произвольное положительное число; п0 зависит от е; модуль значений функций (10^ при г = £ оценивается сверху величиной

eY2n(n\)-W-i ; (21)

Через Yi и обозначены положительные постоянные, зависящие от параметров функций (2) и числа £ (но не зависящие от n).

Доказательство. Из (4), (5), (9) и (17) получаем при 0 ^ v ^ n

р.-1

v Ni-р Л а( — Х) v-p . .

Pkkjv = 1 £^П b(x)ПГТ-(V - яГ1П ^X

((N. — n)!)u ((N. — n)!)и м И n+l J-J- b(x)

u 1 " u 1 J J v=° x=l П a(x — ц) x=i y }

x=1

x =_______1_____x

d\lkk + X ((N1 — n)!)u¿=¿ ^

Nl n+1 1 dlk v-^ 1

X (V — j Д b(X — ^ xH. OX-7) -ЩП —X ■ (22)

После выполнения несложной процедуры технического характера получаем отсюда (19). Используя оценку (19) нетрудно получить (21), опираясь на (7). Для оценки общего наименьшего знаменателя коэффициентов Рыкзр заметим прежде всего, что производная по А порядка I дроби

1

(А + 1)... (А + N)

может быть записана в виде

_________1_________V"___________±___________ (23)

(А + 1)... (А + ^¿^(А + х\)... (А + хг)у { ]

где сумма содержит конечное число слагаемых, а числа х\,...,хг выбираются из множества {1, 2,... , N}. Хорошо известно, что общее наименьшее кратное чисел 1, 2,..., N есть величина порядка е°^); отсюда следует, что общий наименьший знаменатель суммы, входящей в (23), не превосходит е°^\ Далее отметим лемму 2 из [2, с. 186]. Эта лемма позволяет получать оценку общего наименьшего знаменателя дробей вида

(а + ^ ... (а + в) ^ = N

(в + 1)... (в + в) ,в = 0 1,...,!4, (24)

при рациональных а и в; здесь имеет место оценка вида е°^\ После этих предварительных замечаний перепишем выражение (22) для коэффициента при ги многочлена Рк1кз (г) следующим образом:

((^ - п)\)и ¿=о ^1- ^у. ^

V-0 п (Ак + х)

х—1

N1 ( т Ч

п и, , П ( (Ак + х - ^)!1(х + в3 - 1))

-р-|- Ь(х — Ц)(Ак + х — Ц) х—п+1 з-1 '

х х—}+1 —х-1) ((N1 - пУГ х

(V - 1)3-1 ^ ±1

X

—(п +1 - 1)^ (Ак + х1)... (Ак + хк) . (25)

Основной вклад в величину оценки общего наименьшего знаменателя рассматриваемых коэффициентов дает полученная с помощью леммы 6 работы [4, с. 1227] оценка типа (20) для общего наименьшего знаменателя чисел

N1 т

П П(х + в3 - 1

х—п+1з—г ()

((N1 - п).)и-г . ( 6)

Непосредственно применить данную лемму в рассматриваемой ситуации нельзя, но с помощью внесения очевидных изменений в ее доказательство можно убедиться, что даваемая этой леммой оценка общего наименьшего знаменателя справедлива и в случае дробей вида (26). Окончательный результат получается применением к выражению (25) леммы 2 из [2, с. 186] и сделанного выше замечания относительно общего наименьшего знаменателя суммы из (23). При этом могут потребоваться различные модификации упомянутой леммы (например, добавление в каждой скобке числителя дроби (24) одного и того же целого рационального числа). Оценивая общий наименьший знаменатель первого множителя из правой части (25), интеграл (14) надо записать в виде суммы соответствующих вычетов. Лемма 2 доказана.

Дальнейшие шаги стандартны. Имея совокупность совместных приближений (9), для которых функции (10) имеют порядок нуля, лишь на константу отличающийся от максимально возможного, можно построить целую совокупность таких форм, причем составленный из соответствующих многочленов определитель будет при этом отличен тождественного от нуля. При указанном построении используется система линейных однородных дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции (2). Линейная независимость этих функций над полем рациональных дробей (при выполнении условий теоремы) доказана в [5]. Более подробное изложение перечисленных соображений содержится в работе [6]; см. также [7]. После построения системы приближающих форм с отличным от нуля определителем осуществляется переход к числовым линейным формам; соответствующая процедура применялась во многих работах (см., например, [6]). Получающийся при этом результат оформим в виде леммы.

Лемма 3. Для любого е > 0 и для всех достаточно больших n найдется совокупность чисел

Qkik j, k =l,...,t,lk = 0, l,...,rk - 1, j = s =1, 2,... ,w,

лежащих в поле I и обладающих следующими свойствами:

1) det jj = 0 (в этом определителе индекс s означает номер строки, а столбец определяется набором индексов k,lk,j);

2) | «wkj | « (n'.)u-r+‘;

Z7 , i ^(s)

3) «kikjFk%j'(î)- %yk/jFkhj(o « (n!)

4) модуль наименьшего общего знаменателя чисел д$ з оценивается сверху

величиной (n!) w-

Из леммы 3 нетрудно вывести утверждение теоремы; краткое описание этого вывода имеется, например, в работе [7].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванков П. Л. Об использовании совместных приближений для изучения арифметической природы значений гипергеометрических функций // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. № 12. С. 135—142. URL: technomag.edu.ru/doc/500464.html(дата обращения: 20.05.2013)

2. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

3. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

4. Галочкин А. И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал.

1976. Т. XVII, № 6. С. 1220—1235.

5. Иванков П. Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышев-ский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. С. 145—151.

6. Chudnovsky D. V., Chudnovsky G. V. Applications of Pade approximation to Diophantine inequalities in values of G-function // Lect. Notes in Math. 1985. Vol. 1135. P. 9—51.

7. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая // Математические заметки. 2002. Т. 71, вып. 3. С. 390— 397.

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана Поступило 21.05.2013