CC BY
30
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Уточнение некоторых оценок
для значений гипергеометрических функций
# 04, апрель 2014
В01: 10.7463/0414.0704694
Иванков П. Л.
УДК 511.361
Первые оценки неоднородных линейных форм от значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами были получены с помощью эффективной конструкции линейных приближающих форм [1]. В работе [2] предложен некоторый вариант метода Зи-геля, который позволил получить аналогичные оценки в более общей ситуации. При этом в обоих случаях были использованы сведения из теории делимости в полях алгебраических чисел. Оценки линейных форм, содержащиеся в указанных работах, значительно отличаются от оценок сверху, которые можно получить с помощью принципа Дирихле. Оказалось, однако, что упомянутые оценки можно в некоторых случаях уточнить, причем это уточнение осуществляется за счет оптимального выбора степени нулевого многочлена без привлечения теорем о делимости в полях алгебраических чисел [3]. Метод, использованный в последней работе, можно применить и в случае, когда рассматриваемые неоднородные линейные формы содержат также и производные соответствующих функций по параметру. Заметим ещё, что оценки, полученные в данной работе (как и в работе [3]), все еще весьма далеки от ожидаемых.
к = 1, ..., I, ¡к = 0, 1, ... ,тк — 1, ] = 1, ..., и, где Ь(х) = (х + )... (х + вш) — многочлен, первые у1 — 1 корней которого рациональны (^1 > 1), а (х + вуг)... (х + вш) £ 1[х]; I — некоторое мнимое квадратичное поле; и = т +1;
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Введение
1. Результаты
Рассмотрим функции
(1)
ть ..., ть — натуральные числа. Будем считать, что А1, ..., АЬ — дробные рациональные числа, причем Ак1 — Ак2 ф Z при к1 = к2, к1, к2 = 1, ..., Потребуем также, чтобы Ь(х)(х + А1)... (х + АЬ) не равнялось нулю при х = 1, 2, ... Перечисленные условия обеспечивают линейную независимость функций
1, ^(г), к = 1, ...,£, 1к = 0, 1, ...,Тк — 1, ^ = 1, ..., и, (2)
над полем рациональных дробей [4, теорема 1].
Теорема 1. Пусть 0 = £ € I, V = и — и выполнены все перечисленные выше условия; £ — произвольное положительное число, Л0, Лк1к., к = 1, ..., 1к = 0, 1, ..., тк — 1, ] = 1, ..., и, — нетривиальный набор целых чисел из поля I. Обозначим
Н = тах(|НЫкj|, к = 1,... ,£, 1к = 0,1,... , 7к — 1, = 1,... ,и).
Тогда, если Н достаточно велико (нижняя граница зависит от £), то выполняется неравенство
Ь Тк — 1 и
Л0 + ^ ^ ^ Лк1к j Рк1к j (£)
к=1 1к =0 .7 = 1
> Н , (3)
где т = иТ, Т = т1 + ... + тк.
В [5, теорема 3] получена аналогичная оценка линейной формы, но с заменой в показателе
, V и2Т + шв степени в правой части (3) величины т +--на-—, где
v1 и — шв
в=1—1 (-1+...+-I-),
т \К1 кт)
а х1, . .., ят — степени соответственно чисел въ . .., вт. Во многих случаях
V и2 Т + тв
т + - < -т-, (4)
v1 и — тв
и оценка (3) оказывается точнее оценки из упомянутой работы. Пусть, например, Ь(х) =
1 19
х2 + 1, £ = 1, 71 = 2. Тогда т = 6, V = 2, v1 = 1, в = - и (4) приводит к неравенству 8 < —.
2. Доказательства
Для доказательства теоремы применяются совместные приближения, которые строятся с помощью принципа Дирихле, хотя в рассматриваемом случае можно было бы применить и эффективную конструкцию, см. [6]. При этом специальным образом выбирается степень нулевого многочлена. Нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Пусть N — натуральное число, I — неотрицательное целое рациональное число. Тогда
а т-т 1 т-г 1 ±1
ТТ—^ = П—
А А \ I А А \ I ¿-^
ал1 11 А + х А + х ^ (А + х1)... (А + хЛ
Ж=1 Ж=1 4 ' 4 '
где сумма состоит из не более чем (Ж + /)г слагаемых, а жь . .., ж — числа (среди которых могут быть и повторяющиеся), соответствующим образом выбранные из множества {1, ..., N}.
Доказательство проводится индукцией по /.
Пусть п — достаточно большое натуральное число, а числа £ь £2, .. . лежат на интервале (0, 1). Через 71, 72, ... будем обозначать положительные постоянные, зависящие от параметров функций (1), от поля I, а также, возможно, от £ и (или) от £1, £2, .. . Обозначим
N1
п( 1 + К1 - £1)
N2
п
1_т]
1,
N3
11
п( 1 + ^ - ^
Лемма 2. При любом £2 из указанного выше интервала существует нетривиальный набор целых рациональных чисел
$0, 01, ..., 0га, (5)
для которых выполняются равенства
Е $
я=0
5(5 - 1)... (в - а + 1)
А
а!
к1к я
(6)
где
А
п! б1к П—
к1ия = "77 ТТьГ Ц
в! бАкк Ак + N1 - п + ж'
к х=1
к = 1, ...,£, 1к = 0, 1, ..., Тк - 1, 0 ^ а ^ N2(1 - £2) - 1;
при этом
|$я| ^ в71", 5 = 0, 1,
п.
(7)
Доказательство. Равенства (6) представляют собой систему из не более чем п(1 - £2) уравнений относительно п + 1 неизвестных (5). Применим лемму Зигеля [7, лемма 11, с. 109]. Сначала оценим общий наименьший знаменатель коэффициентов рассматриваемой системы. Числа - 1)... (в - а + 1)/а! являются целыми. Далее, используя лемму 1, получаем
Ак1к5 п—я
п!
5! п (Ак + N1 - п + ж)
Х=1
Е
1
(Ак + N1 - п + Ж1)... (Ак + N1 - п + х1к)'
(8)
Общий наименьший знаменатель для множителей перед суммой в правой части этого равенства (при всевозможных допустимых значениях к и 5) оценивается сверху величиной в72". Чтобы доказать последнее утверждение, надо сравнить степени, в которых простые числа входят в числители и знаменатели рассматриваемых дробей, а затем применить асимптотический закон распределения простых чисел. Соответствующее рассуждение является стандартным (см., например, [7, лемма 2 с. 186]). Хорошо известно, что общее наименьшее
0
1
кратное чисел 1, .. ., п есть величина порядка в0(п). Отсюда нетрудно вывести, что общий наименьший знаменатель дробей, входящих в сумму из правой части равенства (8), не превышает в73п. Из сказанного следует, что коэффициенты системы (6) станут целыми рациональными числами после умножения на натуральное число, не превышающее в74п. Модули коэффициентов такой преобразованной системы также легко оцениваются: они не превышают в7бп. Применяя вышеупомянутую лемму Зигеля, получаем требуемое утверждение. Лемма доказана.
Определим многочлен от г
Р (*) = £ Ps г», (9)
«=0
где
Р» = ^ П Ь(х), (10)
3!
x=N 1 —п+1
и пусть
те
гк1кз(г) = Р(г) Рк1ку) = ^ ск1к^ги. (11)
^=0
Лемма 3. При достаточно большом п в равенстве (11) ск1к^ = 0, если N ^ V ^ N и
е2 < е1; к = 1, ...,/, ¡к = 0, 1, ..., тк, = 1, ..., и.
Доказательство. При V ^ п имеем:
п V—» 1 ^ 1к V—» 1 п| п 0
ск1у = Е — з)у—1П ьтх) ^ П = N1—?— Е — з)у—1 х
ь(х) ^Акк х=1 Ак + х 6(х)
»=0 х=1 4 ' х=1 к тт Ь(х) »=0
х=1
N1 /N1— п N1 — » N1
> 1к /"1—п 1 —» 1 х П+1 ь(х—^ П Ак+х П Ак+х П+1(х+Ак—.)
x=v+1 к \ х=1 x=N1—п+1 x=v+1
п! ^ ¡к!
П Ь(х) М1+М2+М3=1к
х=1
1Ш N1— п 1 п л ,и п—»
^ ТГ 1 ^ 0^ , ,
X тт^ I I --:— > — Пку(3
х=1 к »=0 к х=1
^А^1 П Ак + х »=0 Пк^(3) (¿А^3 П Ак + N1 — п + x, (12)
где
N1 #2 N1 (з) = ^ — з)у —11 П ь(х — 3) ^Д^ П (х + Ак — з). (13)
x=v+1 к x=v+1
Нетрудно проверить, что (при достаточно большом п и при выполнении условия е2 <
степени многочленов Пк/и2У> (з) не больше N^1 — е2) — 1. Поэтому такие многочлены пред-
г в(в — 1)... (в — а + 1)
ставляются в виде линейных комбинаций многочленов-;-от з, входящих
а!
в (6):
П ( ) = С ^(з — 1)... (з — а +1) (14)
—' а!
£2) —1
Подставляя последнее выражение в (12), в соответствии с леммой 2 получим требуемое. Лемма доказана.
Пользуясь леммой 3, можно построить совместные приближения для функций (1). Положим
Як1кз(*) = Рк1кз(г) + Р(г) ^з(г), (15)
где
N3-1
Рк1кз(г) = - ^ сЫкз^, к = 1, ..., ¿, /к = 0, 1, ..., Тк - 1, 3 = 1, ..., и; (16) ^=0
коэффициенты ск1копределяются равенствами (11). Из леммы 3 следует, что при таком определении многочленов Рк1к3 (г) функциональные формы Як1к3 (г) будут иметь при г = 0 порядок нуля не меньше, чем N + 1.
Лемма 4. Для любого £3, 0 < £3 < 1, можно подобрать £1 и £2 так, что при всех достаточно больших п будут справедливы оценки
■¡г) , |Р(£)1 ^ в^7п(п!)и, |ДИкЗ(£)1 ^ (п!)-^.
Лемма носит чисто технический характер. Первая оценка следует из (10), вторая вытекает из первой, а третью можно получить, если первую оценку применить к (непреобразованному) выражению для ск1к, см. (12). При этом надо принять во внимание сделанное перед формулировкой рассматриваемой леммы замечание о порядке нуля функции Як1к3 (г).
Для дальнейшего важно иметь оценку общего наименьшего знаменателя коэффициентов многочленов (16). Общим знаменателем некоторого множества X чисел из поля I будем называть любое ненулевое целое число из этого поля, после умножения на которое каждое число из X становится целым в I. Наименьший по модулю знаменатель множества X будем называть наименьшим общим знаменателем этого множества.
Лемма 5. Модуль наименьшего общего знаменателя множества чисел
Сиз, к = 1, ..., ¿, /к = 0, 1, ..., Тк - 1, 3 = 1, ..., и, V = 0, 1, ..., N1 - 1, (17)
V
оценивается сверху величиной в78П(п!) V1T.
Доказательство. Выражение для коэффициентов (17) при V ^ п уже было фактически выписано по ходу доказательства леммы 3. При 0 ^ V < п имеем
Ск1кз> = $1 - $2, (18)
где совпадает с последним выражением из (12), а
п! А 0,, ,, -N1 ,, , б 'к /п-гя 1
$2 = N1—Г £ ^ - 5)3-1 П Ь(ж - 5) -Глк П АТГ^ П (ж + Ак - *) , (19)
1- Ь(ж) я=^+1 5 х=^+1 бАк \х=1 Ак + х х=^+1
х=1
или, после очевидных преобразований, использующих лемму 1,
N1 —V
п П + V - в) 1к . ч
= V «.(V - .У-'--—^- V Г) X
/ V ^ ' N1—п п-в / у
г^1 П 6(ж) в! П (Лк + х) М=0
Ж=1 Х=1
х^У^--гП (х + Лк - в). (20)
^ (Лк + х')... (Лк + х^У <к—^Д/ к ) К }
Знаменатель дроби, содержащей значения многочлена Ь(х), полностью сокращается в силу условий 0 ^ V < п и V +1 ^ в ^ п. Рациональность чисел Лк позволяет, как и при оценке общего наименьшего знаменателя множества чисел (8), применить соответствующую стандартную технику [7, лемма 2, с. 186]. Для оценки общего наименьшего знаменателя суммы в скобках применяются те же соображения, что были использованы в аналогичной ситуации для суммы из правой части (8); см. доказательство леммы 2. Очевидна и оценка общего наименьшего знаменателя последнего (продифференцированного по Лк) произведения — здесь даже не нужна рациональность чисел Лк. В результате получаем, что модуль общего наименьшего знаменателя чисел (20) не больше, чем е79П.
Рассмотрим теперь уменьшаемое 51 из правой части (18), которое записывается в виде последнего выражения из (12). Многочлен (13), входящий в (12), запишем с помощью (14), выразив коэффициенты Ск№^ через соответствующие интегралы; мы имеем равенства
о! / (¿О^г
2пг У — 1)... (г — о)
С I (21)
Г
где Г — какая-либо положительно ориентированная окружность, охватывающая все особые точки подынтегральной функции. В данном случае уже нельзя утверждать, что о ^ N2(1 — е2) — 1, так как неравенство V ^ N3 из леммы 3 не выполняется. Поэтому надо заменить верхнюю границу изменения о в правой части (14) на N4, где N4 — степень многочлена Фк^.(в). Поскольку (14) является разложением многочлена из левой части этого равенства в ряд Ньютона, то здесь можно использовать готовые формулы соответствующей теории (см., например, [8, с. 40-41]). Подставим теперь (14) с учетом (21) в последнее выражение из числа входящих в (12), отбросив при этом нулевые слагаемые. Таковыми в соответствии с леммой 2 будут те, у которых о ^ N^1 — е2) — 1. В результате при 0 ^ V ^ N — 1 получим такое равенство:
_ = п! ул 'к! ^ ^ 1
1 ^п ^2^3! да П Лк + х ^ 2п Х
П Ь(Х) 1 к Х=1 к ' N2(1—£2) —'<^^N4
Х=1
[ (г ^ ^ в(в — 1) ... (в — о +1) П—Г 1 (22)
У ф — 1)... (г — о) в! о! А* Лк + N1 — п + X ( )
Г 4 ' 4 ' в=0 к х=1
Для оценки общего наименьшего знаменателя получившегося выражения следует заметить сначала, что общий наименьший знаменатель интегралов и дробей вида
п! #3 д 1
х=1
в! П \к + N1 - п + х (23)
оценивается сверху величиной в710™. Для интегралов это становится очевидным, если записать их в виде вычетов относительно точки г = то, а для дробей (23) следует применить лемму 1 и стандартную технику, использующую рациональность чисел Ак, о которой неоднократно говорилось выше. После этого останется лишь оценить (с учетом того, что в (22) выполняется неравенство а>Ж2(1 — £2) — 1) общий наименьший знаменатель дроби
[N2(1 - £1)]! ^ ^ 1
^ П Ак + х
п ь(х) к Х=1
Х=1
Перепишем, используя лемму 1, последнее выражение как произведение двух сомножителей:
_[N2(1 — £2)]!_у-_±1_
^ .¿П Г мй V . X ^ (Ак + Х1) ••• (Ак + )
Ц (х + вО • • • (х + в«1-1)(х + Ак)
х=1
и
1
(24)
М1-га
П (X + Дц) ••• (X + вт)
х=1
Сравнивая степени простых чисел, входящих в числитель и знаменатель дроби (24), а также применяя известное замечание об общем наименьшем кратном чисел 1, .. ., п, — все это неоднократно использовалось выше — получаем, что общий наименьший знаменатель всех этих дробей оценивается сверху величиной в711™; при этом принимается во внимание и неравенство £2 < £1 из леммы 3. К полученному таким способом общему наименьшему знаменателю дробей (24) добавим множитель
М1-га
р^1-™ П (х + в*1) ••• (х + вт),
х=1
где натуральное число р таково, что все коэффициенты многочлена р(х + в^1) • • • (х + вт) лежат в Z][. В результате мы сможем получить оценку модуля общего наименьшего знаменателя чисел 51. Вспоминая оценку модуля общего наименьшего знаменателя чисел (19), получим требуемое утверждение. Лемма доказана. Теорема доказана.
£
Функция ^к01(г) удовлетворяет уравнению 6(8)(8 + Ак)у = гу + Ак6(0), 8 = г—. Дифференцируя это уравнение по Ак соответствующее число раз, можно получить уравнение, которому удовлетворяет функция к 1(г), а затем составить систему дифференциальных
уравнений, которой удовлетворяют функции (1). Перенумеруем эти функции в произвольном порядке и обозначим их через
/х(*), ..., /»(*). (25)
Систему уравнений, которой удовлетворяют функции (25), запишем в матричной форме:
¿У = АУ + Ао,
где
У
/уЛ
(
А
ап
а1ад
\
( ао1 \
Ао
\ аад1 . . . адаю /
\ а0ад /
А и А0 — матрицы, элементами которых являются многочлены от г. Пусть
Р (г)
( )
(г) /
Р (г)
( ВД N
\Р«<(г) /
(
Я(г)
Я1(г)
\
(г) у
где компоненты столбцов Р(г) и Л(г) суть соответствующим образом перенумерованные многочлены (16) и функции (15). Тогда
Я(г) = Р (г)Р (г) + Р (г).
Дальнейшие рассуждения проводятся по схеме, предложенной в работе [9]. Положим
Яд(г) = г9(Д - А)9ВД, д = 0, 1,
где Д = ---оператор дифференцирования. Ясно, что
йг
где
Яд (г) = Р, (г)Р (г) + Р, (г),
Р (г) = г9 £ р (г),
а Р9 (г) есть столбец высоты ад, составленный из многочленов; компоненты этого столбца обозначим Р19(г), ..., (г). Далее, рассуждая, как в [9], установим, что при достаточно большом п функциональный определитель, строками которого служат Р9(г), Р19(г), .. ., Рад, (г), д = 0, 1, ..., ад, отличен от тождественного нуля; справедливость последнего утверждения обеспечивается линейной независимостью функций (2) над полем рациональных дробей. Если система уравнений, которой удовлетворяют функции (1) неоднородна (т.е. если 6(0) = 0), то фигурирующая в соответствующем рассуждении сопряженная система имеет вид
' у0 = -АТУ
у = _ АТ У.
После этого от функциональных приближений перейдем к числовым. Получающийся при этом результат оформим в виде леммы.
Лемма 6. При любом е4, 0 < е4 < 1, можно так выбрать е1, е2 и £3, что в поле I найдутся числа
209), ..., А д = 0, 1,...,ад, (26)
удовлетворяющие следующим условиям:
1) определитель, строками которого служат числа (26) отличен от нуля;
2) числа являются целыми в поле I, а модуль общего наименьшего знаменателя
V
остальных чисел из (26) оценивается сверху величиной в712П(п!) V1т;
3) |^0?)/г(С) + ^ (п!) 1-т , г = 1, ..., ад, если п достаточно велико;
4) |^0?)| ^ в713П(п!)и; два последних неравенства справедливы при д = 0, 1, ..., ад.
Из этой леммы утверждение теоремы выводится хорошо известным способом; см., например, [10, с. 60].
Заключение
Возможности метода, примененного в данной работе, не исчерпаны. Дальнейшие результаты могут быть связаны с обобщением теорем работы [4]. Здесь, по-видимому, имеют место теоремы о линейной независимости гипергеометрических функций и их производных (в том числе и по параметру) над полем рациональных дробей, условия которых совпадают с условиями соответствующих теорем работы [11].
Список литературы
1. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций// Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, №6. С. 1220-1235.
2. Галочкин А.И. О некотором аналоге метода Зигеля // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 1986. №2. С. 30-34.
3. Иванков ПЛ. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм // Математические заметки. 2005. Т. 77, вып. 4. С. 515-521.
4. Иванков ПЛ. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. С. 145-151.
5. Иванков ПЛ. О дифференцировании по параметру некоторых функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. №5. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/398478.html (дата обращения 01.03.2014). Б01: 10.7463/0512.0398478
6. Иванков П.Л. Об использовании совместных приближений для изучения арифметической природы значений гипергеометрических функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 12. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/500464.html (дата обращения 01.03.2014). DOI: 10.7463/1212.0500464
7. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 448 с.
8. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 312 с.
9. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Applications of Pade approximation to Diophantine inequalities in values of G-functions // Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1985. P. 9-51. (Ser. Lect. Notes in Math.; vol. 1135). DOI: 10.1007/BFb0074600
10. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. 1993. Т. 34, № 5. С. 53-62.
11. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New Advances in Transcendence theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. P. 207-215.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Refinement of some estimates
for values of the hypergeometric functions
# 04, April 2014
DOI: 10.7463/0414.0704694
Ivankov P. L.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation ivankovpl@mail.ru
In this paper we consider the arithmetic properties of values of generalized hypergeometric functions and their derivatives (including those with respect to parameter). Some parameters of these functions are irrational. The research aims at refining the lower bound estimates of the modules of heterogeneous linear forms with coefficients from some imaginary quadratic field of the abovementioned values (heterogeneity here is understood in the sense that the function values are considered together with the unit). To solve this problem we use the effective construction of simultaneous approximations. The degrees of polynomials to form such a construction we choose in a special way. The latter circumstance allows more accurate estimates of the modules of corresponding linear forms.
To solve similar problems a Siegel's method is, usually, used. This is well known in the theory of transcendental numbers method in which functional approximations are constructed by Dirichlet principle. The advantage of this method is the generality of results. In case of irrational parameters such method cannot be applied directly because the minimal common denominator of the hypergeometric series coefficients with irrational parameters grows too fast. Therefore, the first estimates of linear form modules from the values of hypergeometric functions with irrational parameters have been obtained via effective construction of linear approximating forms. Subsequently, the method has been developed, comprising both the elements of Siegel's method and those of the method based on the effective construction of linear approximating forms. Using a combined method enables us to estimate the linear forms under consideration in the most general situation. This method, however, has not been used yet to study the arithmetic nature of hypergeometric function values differentiated with respect to parameter.
Note that all known estimates of the type under consideration still fall far short of expectations. This remark refers just to the heterogeneous case; some of the known estimates of homogeneous
linear forms in most cases cannot be further refined. Generalization of the results in this paper seems to be accomplished by abovementioned combined method, which includes both the generality of Siegel's method and the capabilities of effective constructions.
Publications with keywords: estimates of linear forms, simultaneous approximations, generalized hypergeometric functions, differentiation with respect to parameter
References
1. Galochkin A.I. [On the arithmetic properties the values of certain entire hypergeometric functions]. Sibirskii matematicheskii zhurnal—Siberian mathematicaljournal, 1976, vol. 17, no. 6, pp. 1220-1235. (in Russian).
2. Galochkin A.I. [Analogue of Siegel's method]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1. Matematika, mekhanika, 1986, no. 2, pp. 30-34. (in Russian).
3. Ivankov P.L. [Refinement of estimates for some nonhomogeneous linear forms]. Matematich-eskie zametki, 2005, vol.77, iss. 4, pp. 515-521. (English translation: Mathematical Notes, 2005, vol. 77, iss. 3-4, pp. 476-481. DOI: 10.1007/s11006-005-0046-7).
4. Ivankov P.L. [On linear independence of certain functions]. Chebyshevskii sbornik, 2010, vol. 11, iss. 1, pp. 145-151. (in Russian).
5. Ivankov P.L. [On differentiation with respect to parameter of some functions]. Nauka i obrazo-vanie MGTU im. N.E. Baumana — Science and Education of the Bauman MSTU, 2012, no. 5. DOI: 10.7463/0512.0398478 (in Russian).
6. Ivankov P.L. [On the application of simultaneous approximations for the investigation of arithmetic properties of the values of hypergeometric functions]. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana — Science and Education of the Bauman MSTU, 2012, no. 12. DOI: 10.7463/1212.0500464 (in Russian).
7. Шидловский А.Б. Shidlovskiy A.B. Transtsendentnye chisla [Transcendental numbers]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 448 p. (in Russian).
8. Фельдман Н.И. Fel'dman N.I. Sed'maia problema Gil'berta [Hilbert's seventh problem]. Moscow, MSUPubl., 1982. 312 p. (in Russian).
9. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Applications of Pade approximation to diophantine inequalities in values of G-function. In: Number Theory. Springer Berlin Heidelberg, 1985, pp. 9-51. (Ser. Lect. Notes inMath.; vol. 1135). DOI: 10.1007/BFb0074600
10. Иванков П.Л. Ivankov P.L. [On linear independence of values of entire hypergeometric functions]. Sibirskii matematicheskii zhurnal — Siberian mathematical journal, 1993, vol. 34, no. 5, pp. 53-62. (in Russian).
11. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms. In: New Advances in Transcendence Theory. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1988, pp. 207-215.
