О зависимости волнового числа от скорости движения упругой полосы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3, 517.518.865

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4

О ЗАВИСИМОСТИ ВОЛНОВОГО ЧИСЛА ОТ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ

В. К. Лащенов1, М. Г. Сулимов2

1. С.-Петербургский государственный университет водных коммуникаций, канд. физ.-мат. наук, профессор

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент

1. Предварительные сведения и основные результаты. В [1] изучалась задача об установившемся поступательном движении упругой полосы в условиях скользящей заделки нижнего основания и отсутствия напряжений на верхнем основании. Характеристическая функция задачи имеет вид

Ni (p) = p2 [4ab sin ap cos bp — (1 + b2)2 cos ap sin bp] ,

Здесь С1, С2 — скорости распространения волн сжатия и сдвига в материале — положительные константы, связанные с постоянными Ламе А, р и плотностью р формулами с\ = \/(X + 2р)/р, С2 = л/р/р', с — скорость движения полосы, 0 < с < С2.

Замечание. Отметим неравенства 0 < С2 < с\, Д = с^/с^ > 2, 0 < Ь < а < 1.

■

Каждой паре (в случае существования) чисто мнимых нулей р = ±гв, в > 0, функции N (р) соответствует упругая гармоническая волна с волновым числом в и угловой скоростью св. Запишем уравнение ^(гв) =0 в виде

Я - м = 0, (1)

где

q _ sh (а — b)ß 4а6-(1 + 62)2

4 sh (а + b)ß' 4аЬ+(1 + Ь2)2'

Известно, что функция (0, С2) Э c ^ 4ab - (1 + b2)2 имеет единственный нуль сд, называемый скоростью волн Рэлея, и что для 0 < с < сд уравнение (1) однозначно разрешимо относительно ß > 0, в то время как для сд < c < С2 оно неразрешимо из-за того, что тогда Q-M > 0 при любом ß > 0. Эти результаты частично воспроизведены в лемме 2 и в следующем за ней замечании.

Начиная с этого места безразмерную переменную b будем рассматривать как альтернативную независимую переменную вместо с. Корректность такой замены переменной основывается на очевидном наблюдении, что C^-отображение (0, С2) Э c ^ b является строго убывающим, т. е. обратимым. Кроме того, исходный b-диапазон (0, 1) сужается до интервала 1д = (Ьд, 1), где Ьд соответствует рэлеевской скорости сд.

© В. К. Лащенов, М. Г. Сулимов, 2012

Напомним, что для любого Ь € Тд уравнение (1) имеет единственное решение относительно в > 0, и, таким образом, отображение В : Тд ^ М+ определено корректно. Заметим, что а, М являются С ^-функциями от Ь € Тд, а Q = ^(в, Ь) является С ^-функцией на х Тд .В силу теоремы о неявной функции отсюда следует В € Сто(/д).

В теореме 1 обоснована строгая монотонность функции В(Ь). В заключительной части статьи получены асимптотики функции в = В(Ь) в окрестностях концов интервала Тд, т. е. при с ^ 0+ и с ^ сд — 0 .

2. Разрешимость уравнения (1) относительно в- В следующей лемме устанавливаются неравенства для некоторых частных производных функции Q = Q(в, Ь).

Лемма 1. Для 0 < в, 0 <Ь<а< 1 справедливы следующие неравенства:

Доказательство. Производные первого порядка функции Q = Q(в, Ь) имеют вид Ь

д<3 _ а вЬ26/3 - 6 вЪ2а(3 <9д _ ^д вЬ 26/3 - зЬ 2а/3

~дР~ эЬ2 (а + 6)/3 ' зЬ2 (а + 6)/3 '

Из строгой выпуклости функции у ^ вИу, 0 < у, равенства = 0 и неравенств 0 < Ь/а < 1 из условий леммы следует вИ2Ьв < Ь/а вИ2ав. Это сразу обосновывает (2, 1), а также и (2, И) с учетом того, что Ь2/(а2Д) < 1. В представлении

<92д _ /з(Д-1) вЬ2Ь/з

а3Д2 8Ь2(а + Ь)/3 +

ь2

2 / 2а/3--2-2 26/3 4/326 8}1(а_6)/3 + 2/3 сЬ а + 6 /3-„ а А-+ —А--^-—

все слагаемые в правой части положительны: 2-е с учетом того, что Ь3/(а3 Д2) < 1. ■

Лемма 2. Для каждого фиксированного 0 < Ь < 1 уравнение (1) разрешимо относительно 0 < в, если и только если 4аЬ — (1 + Ь2)2 > 0. При этом решение в единственно.

Доказательство. При фиксированном 0 < Ь < 1 частная функция в ^ Q(в, Ь) является строго убывающим отображением (0, ^ (0, (а — Ь)/(а + Ь)) —ср. (2, 1), т. е. уравнение (1) (однозначно) разрешимо относительно 0 < в, если и только если значения М = М(Ь) лежат в том же диапазоне. Неравенство М < (а — Ь)/(а + Ь), эквивалентное

4Ь2

< (1 + Ь2)2, выполняется при любом Ь =1. Таким образом, условие 0 < М, т.е. 4аЬ — (1 + Ь2)2 > 0, является критерием однозначной разрешимости уравнения (1). ■

Замечание. В терминах т = с2/с2 € (0, 1) неравенство 4аЬ — (1 + Ь2)2 > 0 имеет вид 0 < Т(т), Т(т) = Д (16 — 24т + 8т2 — т3) — 16 + 16т.

Функция Т(т) строго выпукла на (0, 1) и принимает значения разных знаков на концах интервала. Это обеспечивает существование единственного нуля тд € (0, 1) функции Т, и 0 < Т (т) при 0 < т < тд. Другими словами, решением неравенства 4аЪ — (1 + Ь2)2 > 0 на с-диапазоне (0, С2) является 0 < с < сд, где сд = С2л/тд.

3. Монотонность в = В(Ь) Лемма 3.

М''(Ь) < 0, Ь € /д. Доказательство. Вторая производная М'' может быть записана в виде

(3)

М'' =

8аЬ

(4аЬ +(1 + Ь2)2 )2

ЗЬ2-1 (1 +Ь2)Ь\ м+ д

Да2

Д2 а4Ь2

где

д = (1+6Ь2—3Ь4) Д2 — (2+11Ь2 —16Ь4+7Ь6) Д + 1+5Ь2 —11Ь4+15Ь6—2Ь8.

При фиксированном Ь € (0, 1) частная функция д(Ь, •) является квадратичным полиномом от Д с положительным старшим коэффициентом. Из

Д = 1

= 2Ь4 (1 + 4Ь2 — Ь4) > 0,

дд

дА

Д = 1

= Ь2 (1 + 10Ь2 — 7Ь4) > 0

следует д > 0 при 1 < Д, которое дает результат с учетом того, что 0 < М на Тд. ■

Теорема 1. Отображение В является строго убывающим С-диффеоморфизмом Тд ^ М+.

Доказательство. При фиксированном 0 < в определим функцию : Тд Э Ь ^ Q — М. Имеем

(1) 0 < у в(Ьд); действительно, М(Ьд) = 0, в то время как 0 < Q(в, Ьд) —в силу (2, и) и Q(в, 1) = 0;

(Ш) ^в(Ь) выпуклая функция на Тд —в силу (2, ш), (3).

Из (1)—(Ш) следует существование и единственность нуля Ьв функции у в на Тд, т.е. для каждого фиксированного 0 < в уравнение (1) однозначно разрешимо относительно Ь € Тд. Следовательно, отображение В : Тд Э Ь ^ в = В(Ь) € К+ обратимо (Ьв = В-1(в), и строгая монотонность отображения В теперь следует из его непрерывности на интервале. Из (2, 1) следует д/дв(Ьв) < 0, т.е. В-1, как и В, является строго убывающим отображением. ■

д

4. Асимптотика в = В(Ь) вблизи концов Тд. Асимптотика при Ь ^ 1 — 0.

В левосторонней окрестности точки Ь = 1 разложение Тейлора функции М(Ь) и частной функции Ь ^ Q(в, Ь) при фиксированном в > 0 имеют вид

Д 1 Д2 Д + 2 М(1-/0 = _*--при /1 —> 0+, (4)

Д-1 1 + 2/3(Д+1) cth2/3 h2 t 2Д sh2/3 ' "Д2 sh 2/3

h2 + O(h3) при h ^ 0+ . (5)

Замечание. Остаточные члены O(h3) здесь подчинены оценке |O(h3)| < C h3, справедливой в некоторой окрестности точки h = 0, где C — постоянная, не зависящая от в, b. Например, оценка для O(h3) в (5) имеет вид

|0(fe3)|<4 sup \9lQ(p,b)\h3, Пн=Ш+х[1-Н,1)

(@,ъ)епм

при некотором фиксированном H > 0, и sup | • | —конечен по следующим причинам. Функция дъ3 •) может быть непрерывно продолжена вплоть до границы Ин (с нулевыми значениями на полупрямой b = 1), и так полученная непрерывная функция на замыкании Ин равномерно ограничена — с учетом того, что д3 Q(P,b) исчезает при в ^ —каким бы ни было допустимое b. Подобные замечания относятся ко всем встречающимся ниже O(-), o(^). ■

Подстановка в (1) разложений (4) и (5), где в качестве в берется в = B(1 — h) — решение уравнения (1), дает

2/3 sh 2/3

1 - K1 h + O(h2),

(6)

1

. /Д2-Д + 2 , од1 + 2/?(А + 1) сШ2/3 К1=2А{ Д — 1 +2/3--

Коэффициент К\, как функция от в > 0, равномерно ограничен относительно в & М+ (ср. замечание). Таким образом, 2в¡sh2в = 1 + О(Н), откуда в = °(1). В свою очередь отсюда следует К = Д/(Д — 1) + О(Н) и обратная подстановка в (6) дает несколько более простое соотношение 2в¡sh2в =1 — Д/(Д — 1) Ь + О(Ь?). Сравнение с 2вМ 2в =1 — 2/3 в2 + О(в4) при в ^ 0, приводит к

B(1 - h)

I 3Ah 2(A-1)

+ O(h) при h ^ 0 + .

Используя разложение Ь(с) = 1 — 1/2 с2¡с^ + О(с4), запишем последнею асимптотику в терминах с:

в(с) = А0 с + О(с2) при с ^ 0+,

где Ао = 1/(2 сг) \/ЗД/(Д — 1), и ß(с) = В(Ь(с)) означает решение — относительно ß > 0 — уравнения (1), записанного в терминах ß, c.

Асимптотика при b ^ bR + 0. В точке b = bR имеем 4ab = (1 + b2)2 так, что M(bR) = 0, и

MR = M '(bR)

(1 + Ь2)Д E

8ab2(A - 1 + b2)

E = 1 - 3b2 -

2 1 - 5b2 + 2b4

b=b

R

Д

Сначала убедимся, что МД > 0. Действительно, значение Ь = Ьд удовлетворяет уравнению Д = 16Ь2/(Ь6+5Ь4+11Ь2 —1), и подстановка в формулу для Е дает

(1 - 64)(266 + 564 + 1)

Е =-ш->0-

Пусть Ь = Ьд + Н и Н ^ 0+. Поскольку М ^ 0, решение в = В(Ьд + Н) уравнения (1) стремится к (ср. с аргументами в доказательстве леммы 2). Отсюда с учетом того, что оба а ± Ь являются непрерывными функциями от Ь с положительными предельными значениями в Ь = Ьд, получаем

1 -2(а-Ь) в о = е-2Ь13-_-__е-2ЬЛ/3

и сравнение с локальной формулой Тейлора М(Ьд + Н) ~ МД Н дает

В(ЪН + К) ~ —1п —, при /г 0 + . 2 Ьд Мд Н

Используя локальную формулу Тейлора Ь |с=сд-т ~ Ьд + сдДс^Ьд) т при т ^ 0+ получим Н = Ь — Ьд ~ сд/(с2Ьд) т, после чего предыдущие асимптотики для в = В(Ьд + Н) принимают вид

/?(сд - г) ~ —!— 1п — , при г —> 0+, 2Ьд т

где в(с) = В(Ь(с)) и Ад = с2 Ьд/(МД сд).

Литература

1. Лащенов В. К. О стационарном движении упругих балок по границе изотропной упругой полосы // Изв. РАН. МТТ. 2002. №4. С. 163-175.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.