О замыкающих уравнениях в моделях установившихся турбулентных течений в трубах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.517 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

Г. И. Курбатова, В. А. Павловский, Е. А. Попова, В. Б. Филиппов

О ЗАМЫКАЮЩИХ УРАВНЕНИЯХ В МОДЕЛЯХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ

Введение

В современных задачах транспортировки газа часто используются неизотермические режимы течения, характеризующиеся большими числами Рейнольдса и малыми числами Маха. В настоящей статье предлагается обобщение для этих режимов полуэмпирических моделей Прандтля, Прандтля—Никурадзе, Кармана и Новожилова— Павловского на сжимаемые среды.

Для модели Новожилова—Павловского найдено точное аналитическое решение задачи расчета профиля скорости установившегося течения в цилиндрической трубе несжимаемых жидкостей, а также решение задачи о профиле локального весового расхода сжимаемого газа.

Сравнение профилей скорости, рассчитанных по модели Новожилова—Павловского, со степенными профилями скорости позволило дать ответ на вопрос, поставленный еще в работах Прандтля и Кармана: какая полуэмпирическая замыкающая модель турбулентности приводит к степенным профилям скорости в трубах? В настоящей работе доказано, что с достаточной точностью такой моделью является модель Новожилова—Павловского. Для широкого диапазона изменений чисел Рейнольдса предложен алгоритм и представлены результаты расчета эмпирических констант в модели Новожилова—Павловского.

1. Постановка задачи для несжимаемых жидкостей

Математическая модель установившегося осесимметричного изотермического турбулентного течения несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах постоянного кругового сечения состоит из уравнения неразрывности, уравнения движения и из замыкающего уравнения, моделирующего связь тензора напряжений с дифференциальными характеристиками поля скорости осредненного течения. Перечисленные условия существенно упрощают постановку задачи и приводят к следующим уравнениям модели в цилиндрической системе координат (г, в, г): уравнение неразрывности

уравнение движения (проекция на ось г)

¿р 1 д . аг г дг

замыкающее уравнение

т = ^ (¿и), (3)

и — г-я проекция вектора скорости; р — давление; т — касательное напряжение (проекция на ось г поверхностной силы, действующей на площадку с нормалью, направленной вдоль радиуса трубы).

© Г.И.Курбатова, В.А.Павловский, Е.А.Попова, В.Б.Филиппов, 2003

Сама постановка задачи и выводы из уравнений (1), (2) являются хрестоматийными. Так, из уравнения неразрывности следует, что скорость и зависит только от г, это совместно с замыкающим уравнением в форме (3) позволяет разделить переменные в уравнении движения и записать его в виде

¿р 1 с!

¿г

¿г

(гт) = -с,

(4)

С — положительная константа. Из уравнения (4) можно найти касательное напряжение т, это приводит к линейной зависимости т от г:

сг

Ю =

2 '

в частности, для касательного напряжения на стенке получаются соотношения

СЕ

(5)

(6)

2

Е !р

Е — радиус трубы. Эти соотношения для т и выполняются независимо от вида функции Г в замыкающем уравнении (3).

2. Полуэмпирические модели турбулентности

Важной особенностью течений жидкостей в трубах при сделанных в 1 допущениях является возможность надежного измерения их интегральных и локальных характеристик. Интегральные характеристики — расход Q, падение давления (р2 — Р1) и определенные по ним средняя скорость иа и касательное напряжение на стенке — измеряются точнее, чем локальные характеристики, например, профиль скорости и(г).

При решении практических задач оказываются достаточными простые полуэмпирические модели турбулентности, задающие явный вид функции Г в замыкающем уравнении (3). Эти полуэмпирические модели основаны на эвристических соображениях и на надежном экспериментальном материале, позволяющем определить эмпирические константы модели. В теоретическом плане интерес представляют интерпретация моделей и их обобщение на более сложные турбулентные течения, в которых надежных экспериментальных данных нет.

К наиболее известным и опробованным полуэмпирическим моделям турбулентности в трубах относятся: классическая .модель Прандтля

т = р12

модель Прандтля—Никурадзе т = р12

модель Кармана

!и ¿г

!и ¿г

!и ¿г '

¿и

-, 1=Х1Щ 1-г)

I = Е(0.14 — 0.08 г2 — 0.06 Г4);

т = р12

¿и ¿г

¿и ¿г '

I = К2

¿и / ¿2и

¿г / ¿г2

(7)

(8)

(9) 77

г

¿и 1 аи 3 / а2 и

Т = риип1 — , ат Т= - V аг / ат2

р — плотность жидкости; т — безразмерный радиус (т = т/К); к\, к — безразмерные константы.

Задача (1)—(3) с любой из этих моделей может быть решена.

Анализ профилей скорости, соответствующих моделям (7)—(9), есть во многих курсах гидромеханики, например в монографии Шлихтинга [1], в которой изложение отличается особой тщательностью.

В 80-х годах 20 века В.В.Новожиловым [2] была предложена полуэмпирическая модель турбулентности, являющаяся обобщением модели Кармана (9). В дальнейших публикациях модель получила имя обоих ее исследователей, и стала называться моделью Новожилова—Павловского, (далее сокращенно модель Н-П).

Модель Новожилова—Павловского

1 ¿и 3 / гР'и 2

(10)

V — коэффициент кинематической вязкости (V = ц/р); ц — коэффициент динамической вязкости; п, кп — безразмерные эмпирические константы.

Модель Н-П обладает рядом преимуществ и недостатков, они подробно рассмотрены в работе [3]. Отметим, что модель Н-П позволяет непосредственно удовлетворить граничному условию прилипания на стенке трубы, тогда как классические модели (7)—(9) требуют введения вязкого подслоя и расчета его толщины 5. Модель Н-П, как и модель Кармана (9), в отличии от моделей Прандтля (7), (8), допускает инвариантную запись, что позволяет ставить задачу ее обобщения на трехмерный случай. По сравнению с классическими моделями (7)—(9), модель Н-П приводит к более громоздким вычислениям, так интегралы, входящие в выражение для профиля скорости, могут быть представлены через элементарные функции только при п = 2/3 и при п = 3/4. Исследование задач различной геометрии для изотермических турбулентных течений несжимаемых жидкостей с замыкающей моделью Н-П при п = 3/4, кп = 0.53 содержится в монографии [3] авторов этой модели. Эмпирические безразмерные константы п, кп в модели Н-П могут зависеть только от числа Рейнольдса Ие

Ие = ua(2R)/v (11)

(иа — средняя по сечению скорость потока), поскольку оно является единственным безразмерным комплексом, характеризующем установившееся изотермическое течение несжимаемых жидкостей. Для небольших чисел Рейнольдса модель Н-П переходит в реологический закон Ньютона вязкой жидкости, этому соответствуют значения п = 0, кп = 1. При больших числах Рейнольдса модель Н-П переходит в полуэмпирическую модель Кармана (9), этому соответствуют значения п =1, кп = .В широком диапазоне изменений чисел Рейнольдса показатель п в модели Н-П меняется в пределах 0 < п < 1. В книге [3] даны некоторые рекомендации по выбору констант (п, кп) в зависимости от числа Рейнольдса Ие т, определенного по максимальной скорости ит

Ие т = ит К/V. (11')

Это несколько затрудняет выбор констант (п, кп) в реальных задачах, для которых известной величиной является Ие (11); для того чтобы рассчитать Ие т (11'), надо найти значение максимальной скорости ит, т.е. надо решить задачу (1)—(3) с замыкающей моделью Н-П (1) для произвольных значений п, кп.

В настоящей работе предложен алгоритм и проведены расчеты значений констант (п, кп) в модели Н-П в зависимости от числа Рейнольдса Ие (11).

3. Аналитическое решение задачи расчета профиля скорости в модели Н-П при произвольных п

Профиль скорости и(г) находится в результате интегрирования системы уравнений (1)—(3), в рассматриваемом случае замыкающее уравнение (3) выбирается в форме модели Н-П (10). Подставим в линейную зависимость т(г) (5) выражение для касательного напряжения (10)

рикпТпи = -Ог/2, (12)

и' = йи/йг. Полученное уравнение представляет собой обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Дополним его двумя граничными условиями: условием прилипания на стенке трубы

и|г=д = 0 (13)

и условием Кармана для производной скорости

которое, как известно [1], хорошо моделирует поведение и' для гидравлически гладких труб.

Введем среднюю по сечению трубы скорость

я

2

и.

2 [

/ u(r)r dr (14)

о

и перейдем к безразмерным скорости v и радиусу r, определив их соотношениями

v = u/ua, r = r/R.

Опустим громоздкие, но несложные выкладки, и выпишем результат интегрирования дифференциального уравнения (12) при граничных условиях (13), (13') в безразмерной форме:

2 п 1 1

N / 2п — 1 \ "+1 f С\ \ n+1 Г/ , , N

= i^TT J It J J[}-X2n) dx. (15)

r

Безразмерная константа Ci выражается через параметры задачи по формуле

Г"1 ~DOn— 1

Cl = —^--. (16)

ри1хп Re™-1 V ;

Представим интеграл, входящий в профиль скорости (15), через неполную бета-функцию Beta (x, y, z)

тг

0 (17)

2n

Beta (x, y, z),

2n - 1

x

Х=1-Л~), у = (1 -n)/(l + n), z = 2n/(2n — 1). (17')

Для касательного напряжения tw на стенке трубы из соотношений (6), (16) следует:

К | = ClPu2aKn Re n~1/2n. (18)

В задачах о течениях в трубах задается одна из двух величин: либо расход Q, либо падение давления dp/dz, которое в задачах о несжимаемой жидкости, как следует из уравнения движения (4), является постоянным. При переходе к моделированию установившихся течений сжимаемых сред постоянное значение сохраняет только весовой расход Q. В дальнейшем (6) исследуется моделирование сжимаемых сред, поэтому в отличии от работы [3] рассмотрим вариант задачи не при заданном падении давления dp/dz, а при заданном весовом расходе Q (кг/с)

Q = pUa(nR2). (19)

Это равенство служит условием для определения безразмерной константы Ci как функции n

i 1 Q = f^^J V(r,n)rdr ^ 1 = 2j V(r,n)r dr. (20)

0 0 С учетом вида профиля v (15) приходим к следующему выражению для Ci(n):

Ci(n) =

V n + i J V2«--1 J

(21)

1 x

Можно показать [4], что интеграл J(n) (22) сводится к полной бета-функции Beta (1, y, z), а именно

1

J{n)= Beta (1, у, z), (23)

о

y = (1 - n)/(1+ n), z = 6n/(2n - 1). (23')

Найденные выражения для J(n) (23), Ci(n) (21) и для v(r,n) (15) представляют собой аналитическое решение .задачи расчета профиля скорости несжимаемой жидкости в постановке (1)—(3) с замыкающей .моделью Н-П для любых значений n из интервала (0,1).

Значение максимальной безразмерной скорости vm (n), реализующееся на оси трубы, дается равенством

2 п 1

, ч (2п — 1\ "+1 /СЛ-+1 ( 2п , ^=Utt) (f) (^тт) Beta(l,y,z), (24)

аргументы бета-функции в (24) определены соотношениями (17').

4. О связи профиля скорости в модели Н-П со степенным профилем скорости

Давно известно [1], что простая степенная зависимость

w(r , к) = wm (1 - r)

1/к

(25)

в которой показатель (1/к) слабо зависит от числа Re , хорошо передает распределение скорости в гладких трубах, найденное в экспериментах Никурадзе для чисел Рейнольд-са Re из интервала Re G [4 • 104 ; 3.2 • 105] (wm — максимальное значение скорости, wm = w|i0). Кроме того, существует связь между степенным законом сопротивления и степенным профилем скорости, на которую впервые указал Л.Прандтль. Начиная с работ Т. Кармана, предпринимались попытки найти такую замыкающую полуэмпирическую модель турбулентности для течений в трубах, которая бы приводила к степенному закону сопротивления и к степенному профилю скорости. Модель Н-П дает приближенное решение этой задачи с высокой точностью. В пункте 5 (таблицы 2, 3) продемонстрировано, что при соответствующем выборе констант п и к в этих моделях профиль скорости v{f, п) совпадает со степенным профилем скорости (г, к) с точностью до 1% от величины средней скорости ua = wa практически во всем сечении трубы. В п.5 найдена связь констант n и к, обеспечивающая подобное совпадение. Установление зависимости п(к) позволяет решить проблему определения зависимости n( Re ) в модели Н-П, поскольку известна [1] зависимость к( Re ), обеспечивающая совпадение степенных профилей с экспериментальными профилями Никурадзе.

5. Расчет по экспериментальным данным констант п, кп в полуэмпирической модели Н-П; расчет профиля скорости для различных чисел Re

Несмотря на незначительные отклонения профилей скорости в модели Н-П от степенных профилей скорости (есть основания полагать, что профили скорости Н-П точнее аппроксимируют экспериментальные данные, чем степенные [3]), значения средних по сечению скоростей, вычисленные по обеим моделям, должны совпадать. Это позволяет предложить следующий алгоритм определения зависимости п(к): требуем совпадения безразмерных максимальных скоростей vm = ^ (п) и vm = (к), рассчитанных по модели Н-П и по степенному закону, приняв во внимание, что ua = wa = v Re /(2R). Это дает соотношение

(n) =vm = — («)• (26)

Vm

um / \ wm - (П) =Vm = -

ua wa

Значение средней скорости wa легко выражается через к:

1

2 У wm(1 - r )1/Krdr,

о

что позволяет в явной форме записать зависимость безразмерной скорости = от к:

1

wm / ч

Vm = - (к) =

2 J(1 - r)1/кrdr

= (1 + 3к + 2к2)/(2к2)

w

a

a

и определить левую часть в выражении (24) для безразмерной максимальной скорости Vт (п) в модели Н-П с учетом требования (26). При заданном значении к величина п рассчитывается по формуле

2 п , . _1

1 + Зк + 2к2 (2п — 1\ Г1+1 (С\ \ Г1+1 ( 2п ,

Ве1а (1, у, г), (27)

2к2 V п + 1 / V 2 ) \2п - 1

в которой безразмерная константа С и аргументы у, г бета-функции — известные функции от п, заданные соотношениями (21) и (17'). Уравнение (27) в неявной форме определяет зависимость п(к). Эта зависимость позволяет найти искомую зависимость эмпирической константы п в модели Н-П от числа Рейнольдса Ие , т.е. п( Ие ), поскольку данные о зависимости к( Ие) известны (например, [1]). В результате находим

п( Ие )= п(к( Ие )). (27')

Расчет кп

Константы (п, кп) в модели Н-П, как и константы, входящие в другие полуэмпирические модели турбулентности, выбираются так, чтобы возможно точнее обеспечить совпадение теоретических расчетов с экспериментальными данными.

Экспериментальные исследования течений несжимаемых жидкостей в трубах обобщены в форме .закона сопротивления, связывающего безразмерный коэффициент сопротивления Л, безразмерное число Рейнольдса Ие и безразмерный коэффициент относительной шероховатости к. Этот закон можно записать в форме, предложенной К. Ф. Коулбруком и Уайтом [1]:

1 / к 2.51 \ , ч

\т I

Л = 8 , (29)

Риа

к = к8/Я, (30)

к8 — эквивалентная равномерно-зернистая шероховатость [5]. Закон сопротивления (28) хорошо интерполирует экспериментальные данные во всем диапазоне течений: от режима гидравлически гладких труб (к ^ 0) до режима развитой шероховатости (Ие ^ ж). При к = 0 соотношение (28) переходит в закон сопротивления Прандтля—Никурадзе, а при Ие ^ж — в закон сопротивления режима развитой шероховатости.

Для расчета константы кп в модели Н-П воспользуемся выражением для касательного напряжения на стенке трубы (18) и перейдем в нем к коэффициенту сопротивления Л (29), это позволит записать следующую зависимость кп = кп(п, Ие):

(31)

С1 Ие

п-1

Равенство (31) завершает решение задачи расчета эмпирических констант (п, кп) в модели Н-П для заданного числа Рейнольдса, поскольку зависимость п( Ие ) определена выше (27'), а зависимость Л = Л( Ие) дается законом сопротивления (28), что делает правую часть равенства (31) известной функцией числа Рейнольдса Ие.

Результаты расчета эмпирических констант п, кп в модели Н-П по предложенному алгоритму для гидравлически гладких труб (к = 0) в диапазоне чисел Рейнольдса

4 • 103 < Ив < 3, 2 • 106

приведены в табл. 1.

Зависимость константы к (в степенном законе распределения скорости) от числа Рейнольдса Ие выбиралось по данным монографии Шлихтинга [1]; величина п в модели Н-П рассчитывалась по уравнению (27) методом итераций; величина кп рассчитывалась по формуле (31), в которой значение коэффициента сопротивления Л определялось из закона сопротивления (28).

Таблица 1

Яе Л к г>т га

4 • 10^ 0.03950 6 1.26389 0.665 0.410

2.3 • 104 0.02478 6.6 1.23800 0.695 0.471

1.1 • 10ь 0.01747 7 1.22450 0.710 0.534

1.1 • 10ь 0.01134 8.8 1.17691 0.762 0.626

2 • 10ь 0.01027 10 1.15500 0.785 0.642

3.2 • 10ь 0.00953 10 1.15500 0.785 0.661

В табл. 2, 3 приведены профили скоростей и>(г) и г>(г), рассчитанные по степенному закону (25)

т(г) = — (г) = *т(1-г)1/к и по модели Н-П (15) при значениях констант к и п, выбранных в соответствии с табл. 1.

Таблица 2

Яе = 1.1 • 10Б, к = 7, га = 0.71

г 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

Ч! 1.21 1.19 1.16 1.14 1.11 1.07 1.03 0.97 0.88 0.79

V 1.21 1.19 1.16 1.15 1.12 1.08 1.03 0.97 0.87 0.78

Таблица 3

Ле = 2 • 106, к = 10, га = 0.785

г 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95

й! 1.14 1.13 1.11 1.10 1.08 1.055 1.02 0.98 0.92 0.85

V 1.14 1.13 1.12 1.105 1.08 1.06 1.02 0.98 0.91 0.84

При числах Ие , превышающих Ие = 5 • 106, на течение в реальных трубах начинает существенно влиять шероховатость стенок. Это приводит к необходимости видоизменения граничного условия Кармана (13') в модели Н-П и к существенному усложнению аналитического решения по этой модели [4]. Предварительные оценки показали, что для

таких задач достаточно использования предельного варианта модели Н-П, т.е. модели Кармана, с граничным условием для и', позволяющим учесть шероховатость стенок. В следующих работах этот вопрос будет рассмотрен подробнее.

6. Постановка задачи для сжимаемых жидкостей при малых числах Маха

Рассмотрим постановку задачи о турбулентном течении жидкости в трубах в более общей постановке, а именно, предположим, что жидкость сжимаемая и течение неизотермическое, но ограничимся случаем малых чисел Маха М (М = и/а, а — скорость звука). Остальные требования п.1, как то осесимметричность, стационарность и постоянство кругового сечения трубы, остаются без изменений.

Математическая модель указанной задачи состоит из уравнения неразрывности

дри

(32)

уравнения движения

замыкающего уравнения

риди = Ф ! 1 д(гт) дг ¿г г дг '

т = ^ (¿и), (34)

которые должны быть дополнены еще тремя уравнениями, задающими:

• баланс внутренней энергии,

• уравнение состояния,

• связь внутренней энергии с температурной и плотностью.

Постановка подобных задач исследовалась в работах [6, 7, 9, 10] и в книге [8]. В настоящей статье рассмотрим использование известных замыкающих полуэмпирических моделей турбулентности для моделирования сжимаемых сред, в которых допустимо считать плотность р медленно меняющейся функцией г и пользоваться квазипараметрической зависимостью касательного напряжения т от плотности р в той же форме, что и для несжимаемых сред. Похожий подход использовался в работах Д. Б. Сполдинга, С. В. Чи, Э. Р. Ван-Дрийста и ряда других авторов [1].

Из уравнения неразрывности (32) следует, что для сжимаемых сред в рассматриваемых задачах не скорость и, а произведение ри (локальный расход) является функцией только радиальной координаты г

ри = р(г)и(г, г) = р(г). (35)

Это приводит к ненулевому инерционному слагаемому ри ^ в уравнении движения (33). При малых числах Маха влияние инерционных сил мало, это позволяет воспользоваться процедурой решения, предложенной Б. В. Филипповым для подобных задач [9]. Нелинейное слагаемое ри ^ в уравнении движения (33) заменяется своим средним по сечению трубы значением, причем осреднение проводится по заранее неизвестному профилю функции у>(г), который рассчитывается в ходе решения задачи

ди / ди\ а (1\

РиТг^\РиТг) = К1Тг (р] ' (36)

К1 = Д2 ¥ {г)гЗ,г.

(37)

Операция осреднения, обозначенная символом (}, определена равенством

я

(/) = д2 / Кг)г(1г-

После такой замены уравнение движения (33) можно преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Для этого представим замыкающее уравнение (34) в терминах плотности р(г) и функции р(т) (35). В полуэмпирических моделях турбулентности Прандтля (7), (8), Кармана (9), Новожилова—Павловского (10), касательное напряжение т можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от р(г), а другая — только от р(т). Например, в классической модели пути перемешивания Прандтля (7) это приводит к соотношению

-\е

Р.

др

дт

др дт

- ФЛф), Р

в классической модели Кармана (9) — к соотношению

3 , , ,9 X 2

ар

дт

1

т = — к Р

дт

дт2

в модели Новожилова—Павловского — к соотношению

1 яп др др 3п I 2п

р р"-1 дт дт / дт2

Ф2(<Р),

фз(р).

Эти равенства демонстрируют возможность записи замыкающего уравнения (34) в виде

т = - ф(<р(г)). Р

(38)

Уравнение движения (33) с учетом приближенного равенства (36) и замыкающего уравнения (38) преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными

Р

Рассмотрим уравнение

(I

дг

+ ±

р) дг

1 (I

т дт

(тф) = -С,.

1 с1

т дт

(тф) = -С,

его интегралом является линейная зависимость ф от т

(39)

(40)

(41) 85

я

1

1

из которой, как и в случае несжимаемой жидкости, следует линейная зависимость касательного напряжения т от г:

1 1 С г

Г = -ФШ)=--^. (42)

Р Р 2

Уравнение (41) при задании конкретного вида ф, соответствующего выбранной полуэмпирической модели турбулентности (например, для модели Н-П ф = фз), может быть проинтегрировано при граничных условиях для у, следующих из граничных условий для скорости.

В результате этого профиль функции у(г,С*) находится с точностью до константы С*. Величину С* можно определить двумя способами. Во-первых, она может быть рассчитана по заданному весовому расходу Q = рпап^2:

я

Q 2

nR2

= Pua = jp J ^(r,Ct )rdr. (43)

При найденном профиле функции у(г,С*) уравнение (43) позволяет рассчитать С*. Значительно проще оказывается второй способ. Из реологического закона (28) по заданному числу Рейнольдса Ие (которое однозначно определено расходом Q: Ие = 2Q/(пRp)) и по заданной относительной шероховатости к находится величина коэффициента сопротивления Л. Равенство (42) при г = R позволяет записать выражение для касательного напряжения по стенке:

= (44)

Р • 2

приняв во внимание выражение Л через \ (29), приходим к равенству

А = 4 ■

Cn2R5

Q2 '

из которого следует выражение константы C* через известные в рассматриваемой задаче величины

= <«>

Оба подхода к определению C* должны давать один и тот же результат, поскольку какая бы полуэмпирическая модель турбулентности ни использовалась, ее эмпирические константы определены таким образом, чтобы закон сопротивления (28) выполнялся. Предположение о допустимости квазипараметрического обобщения на сжимаемые среды полуэмпирических моделей турбулентности для несжимаемых сред эквивалентно предположению о выполнении закона сопротивления (28) на участках трубы, для которых допустимо считать р « const.

Таким образом, предложенный Б. В. Филипповым подход позволяет отделить задачу расчета функции y>(r) от решения общей задачи и рассчитать заранее значение константы Ki (37). Уравнение движения (39) при этом приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

Р 1 dz ^ dz^j *

для величин р(г), р(г). Вся задача расчета р(г), р(г), Т(г) сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений (второе уравнение следует из уравнения баланса внутренней энергии) и одному алгебраическому уравнению состояния. В результате их интегрирования находятся зависимости р(г), Т(г) и р(г), что совместно с решением задачи о виде профиля у(г) позволяет найти и вид профиля скорости и(г, г):

Указанная процедура решения была реализована в работах [9, 10] для задачи об установившемся неизотермическом течении сжимаемого газа с замыкающей моделью Прандтля—Никурадзе, а в работах [6, 7, 11] — для аналогичной задачи с замыкающей моделью Новожилова—Павловского.

Для установившихся турбулентных течений в цилиндрических трубах постоянного кругового сечения как несжимаемых жидкостей, так и сжимаемых при малых числах Маха, рассмотрены различные замыкающие полуэмпирические модели турбулентности. Более подробно исследована модель Новожилова—Павловского. Для нее получено точное аналитическое решение задачи расчета профиля скорости при произвольном значении эмпирической постоянной п, решение выражено через бета-функции. Продемонстрирована тесная связь степенных профилей скорости с профилями скорости в модели Н-П. Предложен и реализован алгоритм расчета для различных чисел Рейнольд-са эмпирических констант п, кп в модели Н-П. Рассмотрено обобщение на сжимаемые среды полуэмпирических моделей турбулентности Прандтля, Кармана, Новожилова— Павловского. С помощью метода Б.В.Филиппова проведено расщепление общей системы и выделение задачи расчета профиля локального расхода р(г)и(г, г) = у(г) для неизотермических турбулентных установившихся течений сжимаемых жидкостей при медленном изменении плотности. Продемонстрирована возможность решения этой задачи для известных полуэмпирических моделей турбулентности.

G. I. Kurbatova, V. A. Pavlovskii, V. B. Philippov, E. A. Popova. On a locking equation of stationary turbulence stream pipe models.

Classic semiempirical models of turbulence in pipes are generalized to the stationary mode of incompressible liquid stream. Semiempirical Novozhilov—Pavlovskii turbulence model is analysed in detail.

Литература

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1969.

2. Новожилов В. В. Установившиеся пристенные течения в свете обобщенной теории Кармана // ПММ АН СССР 1983. Т. 47. №4. С. 694-700.

3. Новожилов В. В., Павловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. СПб., 1998.

4. Филиппов Б. В., Филиппов В. Б. Профиль скорости турбулентного течения сжимаемого газа в шероховатых трубах // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПб., 2001. С. 73-84.

5. Альтшуль А. Д. Гидравлические сопротивления. М., 1970.

Выводы

Summary

6. Дерцакян А. К., Курбатова Г. И., Неизвестнов Я. В., Филиппов Б. В. Некоторые научно-технические проблемы освоения шельфа арктических морей России // Труды XIII сессии междунар. школы по моделям механики сплошных сред. СПб., 1996. С. 99-109.

7. Курбатова Г. И., Макаров М.В., Филиппов В. Б. Анализ тепловых режимов течения газа в донных трубопроводах// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2002. Вып. 1 (№1). С. 61-67.

8. Васильев О. Ф., Бондарев Э. А., Воеводин А. Ф., Каниболотский М. А. Неизотермическое течение газа в трубах. Новосибирск С. О., 1978.

9. Скробач А. В., Филиппов Б. В. Турбулентное стационарное движение газа в трубопроводе круглого сечения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1, 1996. Вып. 3 (№15). С. 89-95.

10. Скробач А. В., Филиппов Б. В. Модель Прандтля—Никурадзе для неизотермического турбулентного движения неидеального газа в круглой трубе // Физическая механика. Вып. 7. СПб., 1998. С. 9-21.

11. Макаров М. В., Попова Е. А. Обобщение модели Новожилова—Павловского для сжимаемых сред при малых числах Маха // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. Вып. 5. СПб., 2002. С. 59-64.

Статья поступила в редакцию 4 марта 2003 г.