О законе взаимодействия движущихся масс в неидеальных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

О законе взаимодействия движущихся масс в неидеальных средах

С.Г. Псахье, Ю.В. Гриняев, А.И. Дмитриев, Н.В. Чертова, С.Ю. Гриняев1

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Взаимодействие движущихся масс в неидеальных средах анализируется на основе компьютерного моделирования в рамках дискретного подхода (метода подвижных клеточных автоматов) и аналитического описания на основе теории дефектов. Показано, что взаимодействие частиц зависит от направления их относительного движения. Так, в случае однонаправленного движения, взаимодействие носит характер отталкивания; в случае встречного движения — притяжения. В работе анализируется природа дальнодействующего взаимодействия движущихся масс в средах, состоящих из элементов с радиусом взаимодействия, не превышающим радиуса ближайших соседей. Общность данных эффектов с явлениями, наблюдаемыми в жидкостях, обусловлена дискретной природой обеих сред. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при анализе явлений, протекающих в сложных геологических средах, таких как поднятие и расщепление мантийных струй (плюмов), движущихся из глубин мантии к поверхности, а также при изучении процессов массопереноса в сыпучих и слабосвязанных грунтах.

1. Введение

Изучение особенностей взаимодействия движущихся масс в неидеальных средах является одной из наиболее актуальных задач механики. В частности, это важно при исследовании закономерностей поведения сложных геологических сред, таких как внешнее ядро Земли, которое в пограничном слое нижней мантии находится в вязко-текучем или высокоэластичном состоянии [1], или слабосвязанные грунты в процессе «разжижения» при динамических воздействиях, например во время землетрясений [2, 3]. К неидеальным средам часто относят также гранулированные и сыпучие материалы, исследование которых позволяет осветить ряд вопросов, связанных с поведением сложных гетерогенных систем [4-7].

Для этой цели могут быть эффективно использованы методы компьютерного эксперимента. При этом прямое моделирование связано с вполне определенными трудностями, обусловленными, прежде всего, интенсивными процессами движения и перемешивания масс, что делает невозможным применение континуальных методов. Поэтому в настоящей работе для изучения данной проблемы был использован дискретный вычислительный метод — метод подвижных клеточных автоматов [8-13] (английская аббревиатура МСА от movable cellular automata). В работе [11] показано, что при стремлении характерного размера автомата к нулю формализм

метода подвижных клеточных автоматов позволяет перейти к классическим соотношениям механики сплошной среды. Данный метод, благодаря своим уникальным возможностям, хорошо зарекомендовал себя как при моделировании сплошных тел, так и при изучении поведения сложных гранулированных и сыпучих сред. Одним из основных преимуществ МСА-метода является возможность явным образом моделировать как формирование несплошностей различного типа (от генерации отдельных повреждений до распространения магистральных трещин), так и эффекты перемешивания масс. Это делает его эффективным инструментом для изучения поведения сложных геологических сред, где при динамических воздействиях подобные процессы протекают крайне интенсивно.

С другой стороны, закон взаимодействия движущихся масс был получен на основе уравнений полевой теории дефектов, использующей представления об обобщенных дефектах [14]. К понятию обобщенного дефекта можно прийти из следующих соображений. Поведение неидеальных сред следует рассматривать как эволюцию сложной системы, состоящей из большого числа взаимодействующих структурных элементов при их относительном перемещении. Структурный элемент представляет область материала, которая сохраняет целостность в процессах деформации. Размеры этой

© Псахье С.Г., Гриняев Ю.В., Дмитриев А.И., Чертова Н.В., Гриняев С.Ю., 2002

области гораздо больше межатомных, но меньше размеров рассматриваемой системы. Относительные перемещения структурных элементов удобно описать в терминах дефектов, используя определение обобщенного трансляционного дефекта. Трансляционные дефекты могут быть введены для любых сред, размеры структурных элементов которых могут изменяться в широком диапазоне масштабов, при условии, что они удовлетворяют упомянутым выше требованиям.

Увеличение числа дефектов в ходе деформации позволяет от их индивидуального описания перейти к континуальному и ввести параметры, характеризующие непрерывное распределение дефектов. В этом случае структурные процессы, происходящие в неидеальных средах, могут быть описаны с помощью полевых динамических уравнений теории дефектов [15].

2. Анализ результатов компьютерного эксперимента

2.1. Описание компъютерного эксперимента

Моделируемая система представляла собой слабосвязанную дискретную среду, первоначально имеющую квадратную упаковку. При динамических воздействиях такая упаковка является неустойчивой и трансформируется в более сложную и неоднородную структуру, адаптируясь к локальным условиям нагружения.

Характерная схема моделируемой системы приведена на рис. 1. Сверху и снизу перемещение частиц было ограничено граничными блоками I и II. На боковых границах вдоль оси ОХ использовались периодические граничные условия, позволяющие избежать влияния краевых эффектов. Параметры автоматов соответствовали усредненным механическим свойствам грунта [16]. В расчетах использовались фрагменты, содержащие до 5 300 частиц. Размер автоматов во всех вычислениях соответствовал 1 мм. Проводилось несколько серий расчетов с различными начальными и граничными условиями.

2.2. Моделирование в условиях подвижных границ со сжимающими напряжениями

В первой серии вычислений на автоматы блоков I и II действовала внешняя сжимающая сила, соответствующая давлению 100 Па. В горизонтальном направлении движение граничных блоков не ограничивалось. В моделируемом фрагменте выбирались два автомата 1 и 2 (далее будем называть их выделенными), взаимное расположение которых в начальный момент времени показано на рис. 1. Расстояние между автоматами 1 и 2 в направлении оси OY в различных задачах варьировалось. Выделенным автоматам задавалась постоянная скорость, имеющая фиксированное значение в направлении оси ОХ. Моделировались два случая: противоположно направленное движение выделенных частиц

Рис. 1. Структура моделируемого фрагмента в начальный момент времени

со скоростями 1 и -1 м/с и однонаправленное движение со скоростями 1 и 0.8 м/с. Вертикальные компоненты скоростей обоих автоматов рассчитывались на основе решения уравнений движения и, следовательно, определялись воздействием окружения. Необходимо отметить, что периодические граничные условия, заданные на боковых поверхностях, моделируют последовательность выделенных частиц, движущихся с постоянной скоростью в горизонтальном направлении на расстоянии, равном ширине моделируемого фрагмента. Анализ влияния выделенных автоматов 1 и 2 друг на друга проводился на основе изменения расстояния между частицами в направлении OY с течением времени.

Анализируя случай противоположно направленного движения выделенных частиц, отметим, что на этапе установившегося движения наблюдается разбиение моделируемого фрагмента на два плотных слоя (в верхней и нижней частях) и центральный слой. Направления движения слоев, прилегающих к граничным блокам I и

II, совпадают с направлением движения соответствующей выделенной частицы. При этом сами выделенные частицы постепенно смещаются в центральную область, в которой интенсивно идет перемешивание материала и одновременно наблюдается уменьшение плотности (рис. 2, а). Приведенная на рис. 2, б временная зависимость изменения расстояния между выделенными автоматами также наглядно демонстрирует постепенное сближение частиц с последующей осцилляцией вблизи нуля.

В случае однонаправленного движения выделенных частиц практически весь моделируемый фрагмент имеет тенденцию к переходу в более плотную упаковку. Зоны пониженной плотности наблюдаются вблизи граничных блоков I и II и в центральном слое между выделенными частицами. Несмотря на разницу в 20 % горизонтальных составляющих скоростей частиц, значительного перемешивания в центральном слое не про-

Время, с

Время, с

Рис. 2. Моделирование системы в условиях внешних сжимающих напряжений: структура системы на установившихся этапах движения (а, в); временная зависимость расстояния по оси OY между выделенными частицами (б, г)

исходит (рис. 2, в). Отметим, что в данном случае заметного изменения расстояния между частицами не наблюдалось. Незначительное сближение выделенных автоматов, которое хорошо видно на диаграмме рис. 2, г, обусловлено лишь перестройкой структуры.

Можно предположить, что в проведенной серии вычислений большое влияние на взаимодействие выделенных частиц оказывала внешняя сжимающая нагрузка. Для выявления особенностей взаимодействия выделенных частиц в отсутствие внешнего воздействия в настоящей работе была проведена аналогичная серия вычислений при фиксированных положениях граничных блоков I и II.

2.3. Моделирование фиксированных граничных блоков

Как и в предыдущей серии вычислений, моделировались два варианта: противоположно направленное и однонаправленное движение выделенных частиц.

В случае противоположно направленного движения также наблюдается разбиение моделируемого фрагмента на два плотных слоя вблизи неподвижных границ I и II и центральный слой. Сами частицы при этом, как и ранее, постепенно смещаются в центральную область, где наблюдается понижение плотности и идет процесс интенсивного перемешивания. Отметим, что в отсутст-

вие внешних сжимающих напряжений толщина слоя перемешивания заметно увеличивается, что хорошо видно из рис. 3, а, б, где приведены структура моделируемых фрагментов на установившемся этапе движения, а также изменение расстояния между выделенными частицами.

Наиболее заметные отклонения по сравнению со случаем внешних сжимающих напряжений наблюдаются при однонаправленном движении частиц. На рис. 3, в хорошо видно, что квадратная упаковка перестраивается в более плотную не полностью, а отдельными фрагментами. При этом, в отличие от случая с противоположно направленным движением частиц, увеличение плотности наблюдается в центральной части фрагмента, а слои с пониженной плотностью формируются вблизи неподвижных границ. Выделенные частицы расходятся друг относительно друга и располагаются по краям центральной уплотненной зоны. Это хорошо видно из рис. 3, г. Отметим, что подобное поведение хорошо согласуется с результатами, полученными в [17], где моделировалось прохождение гранулированной среды сквозь трубы различного диаметра.

Начальное расстояние между выделенными частицами влияет, главным образом, на наклон спадающей части диаграммы в случае противоположно направленного движения частиц (рис. 3, б) и наклон возрастающей

Время, с

Время, с

Рис. 3. Моделирование системы при фиксированных границах: структура системы на установившемся этапе движения (а, временная зависимость расстояния между выделенными частицами вдоль оси ОУ (б, г)

части диаграммы в случае однонаправленного движения частиц (рис. 3, г). Другими словами, при увеличении расстояния между частицами время выхода на установившийся режим увеличивается, и наоборот.

Для контроля полученных результатов в работе была проведена дополнительная серия расчетов, в которых задавалось движение только одного выделенного автомата. Начальное положение автомата по оси ОУ варьировалось. Результаты показали, что в отсутствие возмущения, вызванного движением другого автомата, преимущественной направленности движения выделенной частицы не наблюдается. Частица под действием случайных воздействий может с одинаковой вероятностью менять свою У-координату, как в сторону ее увеличения, так и в сторону уменьшения.

Таким образом, в отсутствие внешних воздействий и при наличии свободного объема в системе наблюдается взаимное сближение противоположно направленных частиц и расхождение частиц, движущихся в одном направлении. Результаты моделирования показали устойчивость данного эффекта.

3. Аналитическое рассмотрение взаимодействия движущихся масс

Как отмечалось ранее, закон взаимодействия движущихся масс в неидеальных средах может быть получен

на основе уравнений полевой теории дефектов. Исходная система динамических уравнений трансляционных дефектов была получена в работе [15] в форме, подобной уравнениям электродинамики:

(1)

V-Е = +pV, V-Н = 0,

УхЕ = -——, VxН = — — +—(П + pVV).

С д? С дt С

Здесь введены следующие обозначения:

Е = -В1, Н = л/В?а, П = -а, С = .Щв,

где а — тензор плотности дефектов; I — тензор плотности потока дефектов; а —тензор эффективных напряжений; pVV — тензор плотности потока импульса; V — скорость; р — плотность; В, £ — константы теории. С учетом введенных обозначений выражение для силы взаимодействия поля дефектов, характеризуемого напряженностями Е и Н, с напряженными и движущимися областями примет вид:

F =-— В

EpV + -1Н X (П + pVV)

(2)

Чтобы определить взаимодействие двух движущихся или напряженных объемов среды, характеризуемых

импульсами или напряжениями, запишем исходную систему уравнений (1) в виде волновых уравнений относительно напряженностей поля Е и Н:

АН -

1 д 2Н

= -—Ух (П + pVV),

1 Э2Е „ 1 Э(П + pVV)

АЕ - —------^ = VpV + - v '

С2 д?2

С2

э?

Предположим, что напряженности поля Е и Н изменяются со временем медленно, так что их производными по времени можно пренебречь:

АН = - С Ух (П + pVV),

„ ,, 1 Э(П + pVV)

АЕ = VpV + ----------------

(3)

(4)

С2 д?

Решения уравнений Пуассона (3), (4) для величин Е и Н имеют вид:

Н =-

1 ^'х (П' + p'V'У')

4пС ■

г - г

Е = -

-Ч

4п J

V'p' V'

dw/ -

г - г

(5)

(6)

Г

4пС2 К

ЭV'x (П'+^ V'У') dw/ д? I г - г'

Из выражений (5), (6) следует, что для заданных распределений напряжений П' + p'V'V' и импульсов p'V' в некотором объеме М (радиус-векторы точек которого обозначены как г') можно определить значения напряженностей поля дефектов Е, Н в любой точке с радиус-вектором г вне объема М. Учитывая равенства

V'x (П' + p'V'V') =

I г - г' |

П^'У'У' R х (П^'^')

= V х- VI-/

R

V'p' V' = V' p'V' Rp'V'

R3

г-г

R

R3

где R = г - г', решения (5), (6) можно представить следующим образом

1 Ьс' П' + p'V'V'

Н =------х-----------------

4пС ^ Я

£

1 Г Я х (П^^')

4пС ■

Я3

Е = -

Б'

Я 4п

4п Л

Rp' V'

Я3

dw/ -

4пС‘

Г

Э(П' + p'V'У') dw/

д?

Я

Здесь £ — поверхность, ограничивающая объем М. Рассматривая взаимодействие только систем напряжений или систем импульсов, положим, что импульсы и потоки импульсов обращаются в нуль на границе £ области м, а плотность потока импульса не зависит от времени. При этих условиях решения примут вид

Н = --

4пС

Я х (П^' V'У')

Я3

Е =

Rp' V'

4п Л Я

dw/.

(7)

(8)

Если в точке наблюдения с радиус-вектором г находится некоторый объем м, в котором сосредоточены импульсы pV, то выражение (2) позволяет вычислить силу, с которой взаимодействуют системы импульсов, расположенные в объемах м и м :

—ГГ

ВС J J

4пВС

Rp' V'pV

Яъ

dw/dw.

(9)

Соотношение (9) для точечных масс ф = 8(г)т, где 8(г) — дельта функция) запишется в виде:

V =■

1 тт (V - У')Я

4пВС

Я3

(10)

Таким образом, движущиеся материальные точки в среде с дефектами взаимодействуют с силой, зависящей от импульса частиц, расстояния между частицами и свойств среды, определяемых константами ВС = 4 £В. Сила взаимодействия движущихся частиц функционально подобна закону Кулона и силе гравитационного взаимодействия. Из соотношения (10) также следует, что две параллельно движущиеся материальные точки должны отталкиваться, если скорости направлены одинаково, и притягиваться, в случае противоположно направленных скоростей. Этот факт притяжения и отталкивания параллельно движущихся материальных точек установлен на основе компьютерного моделирования поведения неидеальных сред.

4. Выводы

Компьютерное моделирование на основе метода подвижных клеточных автоматов показало устойчивость эффекта взаимодействия движущихся масс в дискретных неидеальных средах. Аналитическое рассмотрение этого эффекта в рамках полевой теории дефектов

позволило получить соотношение, описывающее закон взаимодействия движущихся частиц. Данное соотношение качественно согласуется с результатами моделирования. Полученные результаты могут быть использованы при анализе явлений, протекающих в сложных геологических средах, таких как поднятие и расщепление мантийных струй (плюмов), движущихся из глубин мантии к поверхности [18], а также при изучении процессов массопереноса в сыпучих и слабосвязанных грунтах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Российской Федерации (грант № PD02-1.5-425 и Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№02-01-01188, 00-1596174).

Литература

1. Добрецов Н.Л. Периодичность геологических процессов и глубинная геодинамика // Геология и геофизика. - 1994. - № 5. -С. 5-19.

2. Robertson P.K., Woeller D.J., Finn W.D.L. Seismic cone penetration test for evaluating liquefaction under seismic loading // Canadian Geo-technical Journal. - 1992. - V. 29. - P. 686-695.

3. Kokusho T. Water film in liquefied sand and its effect on lateral spread // Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering. -1999. - V. 125(10). - P. 817-826.

4. Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. Стохастические модели в задачах локализованного деформирования сыпучих сред в радиальных каналах // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2000. - № 1. - С. 9-15.

5. Herrmann H.J., Luding S. Modeling granular media on the computer // Continuum Mech. Thermodyn. - 1998. - No. 10. - P. 189-231.

6. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. - 1979. - No. 29. - V. 1. - P. 47-65.

7. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. -

М.: Мир, 1987. - 640 с.

8. Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 11. -С. 58-69.

9. Псахье С.Г., Остермайер Г.П., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 2. -С. 5-13.

10. Psakhie S.G., Smolin A.Yu., Shilko E.V., Korostelev S.Yu., Dmitriev A.I., Alekseev S.V. About the features of transient to steady state deformation of solids // Journal of Materials Science & Technology. -1997. - V. 13. - No. 1. - P. 69-72.

11. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. -№3. - С. 93-96.

12. Гольдин С.В., Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Юшин В.И. Переупаковка структуры и возникновение подъемной силы при динамическом нагружении сыпучих грунтов // Физ. мезомех. - 2001. -Т.4. - № 3. - С. 97-103.

13. Дмитриев А.И., Зольников К.П., Псахье С.Г., Гольдин С.В., Ляхов Н.З., Фомин В.М., Панин В.Е. Физическая мезомеханика фрагментации и массопереноса при высокоэнергетическом контактном взаимодействии // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 6. -С. 57-66.

14. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. -Наука, 1968. - 223 с.

15. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть I. // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

16. Малышев М.В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений. - М.: Стройиздат, 1994. - 228 с.

17. Sang Rak Kim. A simulational study of granular boundary flows in two dimension // Computational Materials Science. - 1995. - V. 4. -P. 125-132.

18. Летников Ф.А. Сверхглубинные флюидные системы Земли и проблемы рудогенеза // Геология рудных месторождений. - 2001. -Т. 43. - № 4. - С. 291-307.