Переупаковка структуры и возникновение подъемной силы при динамическом нагружении сыпучих грунтов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Переупаковка структуры и возникновение подъемной силы при динамическом нагружении сыпучих грунтов

С.В. Гольдин, С.Г. Псахье1, А.И. Дмитриев1, В.И. Юшин

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В настоящей работе в рамках метода подвижных клеточных автоматов выполнено компьютерное исследование поведения слабосвязанных гранулированных сред при динамическом воздействии. Моделировалось поведение грунта в зоне 40-тонного вибратора, применяемого для генерации акустических волн в геологической среде. Показано, что при наличии градиента скорости в слабосвязанной гранулированной среде возникает аналог “подъемной” силы, которая приводит к локальному разуплотнению среды. Обнаруженный эффект согласуется с результатами, полученными при просвечивании изучаемого массива высокочастотными сейсмическими волнами. В работе проведены предварительные оценки характера зависимости величины “подъемной” силы от таких факторов, как плотность среды и градиент скорости.

Важность обнаруженных динамических явлений, сопровождающих процесс разуплотнения, по-видимому, много шире первоначально поставленных целей исследования, поскольку это непосредственно связано с вопросами безопасности жизнедеятельности человека.

1. Введение

Изучение поведения сыпучих и гранулированных сред является задачей, имеющей как фундаментальное, так и прикладное значение. Решение данного класса проблем в значительной степени относится к такому важному разделу механики, как механика грунтов. К числу наиболее актуальных проблем относятся изучение механизмов массопереноса, в частности при проскальзывании, реализуемом в грунтах при формировании оползней, а также изучение реакции грунтов на сильные динамические нагрузки, которые возникают в эпицентрах землетрясений. Естественным способом диагностики различного состояния грунтов является просвечивание изучаемых массивов высокочастотными сейсмическими волнами, параметры которых непосредственно связаны с механическими характеристиками грунтов.

Данная работа была инициирована экспериментом по распространению высокочастотных (несколько кГц) продольных (акустических) волн под мощным вибратором, излучающим сейсмические волны в низкочастотном (около 6 Гц) диапазоне [1]. Волны распространя-

лись в сухом суглинке со значительным содержанием мелкозернистого песка. Описание эксперимента можно найти в цитируемой статье. Основной результат данного эксперимента состоит в том, что с увеличением амплитуды колебаний платформы вибратора скорость распространения и амплитуда акустических волн заметно уменьшаются. Вместе с тем, при фиксированной амплитуде колебаний осредненное изменение скорости и амплитуды акустических сигналов происходит в согласии с изменением сжимающих напряжений, т.е. скорость и амплитуда достигают максимальных значений вблизи фазы максимального сжатия грунта, а минимальных — вблизи фазы максимального разрежения. Во всех случаях локальные максимумы амплитуды и скорости меньше начальных значений примерно на 10-15 %. Отклонения в пределах каждого цикла составляют 15% для значений амплитуды и 5% для значений скорости (все эти величины намного больше погрешности эксперимента). Другим важным результатом является то, что после выключения вибратора параметры акустических волн практически восстанавливаются по истечении двух-трех часов.

© Гольдин С.В., Псахье С.Г, Дмитриев А.И., Юшин В.И., 2001

Объяснение полученных в [1] результатов следует искать в явлении переупаковки зернистой структуры грунта под воздействием сложного динамического нагружения. Возможность “обратимых” переупаковок сыпучих грунтов в квазистатических экспериментах по ди-латансионному разуплотнению (при чисто сдвиговом нагружении) была показана А.Ф. Ревуженко [2]. Однако остается неясным, как проявляется дилатансия в условиях динамического нагружения с преобладанием сжимающих напряжений.

Количественное исследование подобных явлений как аналитическими, так и численными методами современной механики, основанными на континуальных представлениях, встречается с вполне понятными ограничениями, обусловленными интенсивным процессом формирования несплошностей. Стремительное развитие вычислительной техники позволило добиться определенных успехов в применении дискретных численных методов для описания гранулированных и сыпучих сред [3-8]. При этом в большинстве работ используются уравнения движения, характерные для метода частиц [8]. Межчастичные силы взаимодействия при этом вычисляются в рамках моделей жестких или мягких сфер. Несмотря на достигнутый прогресс необходимо отметить, что дискретные подходы, основанные на концепции динамики твердых частиц (rigid body dynamics), по своей природе ориентированы на моделирование сыпучих материалов. Формализм таких методов, как правило, не позволяет достаточно корректно описывать поведение таких “слабо связанных” гранулированных систем, как грунты, для которых необходимо учитывать и “сплошность” среды, и возможность ее дробления с последующим перемешиванием частиц и разуплотнением (дилатансией). Свободным от данного недостатка является численный метод, активно развиваемый в последние годы — метод подвижных клеточных автома-

тов [9-13] (английская аббревиатура—МСА от movable cellular automata method). Данный метод основан на дискретном подходе. Однако в его основе лежат новые уравнения движения, отличные от классических, используемых в методе частиц. Кроме того, в [13] показано, что при стремлении характерного размера автомата к нулю формализм метода МСА позволяет перейти к классическим соотношениям механики сплошной среды. Основным достоинством данного метода является возможность явным образом моделировать как формирование несплошностей различного типа (от генерации отдельных повреждений до распространения магистральных трещин), так и эффекты перемешивания масс. Это делает его уникальным инструментом для изучения отклика геологических сред, и в частности грунтов, где при динамических воздействиях подобные процессы протекают крайне интенсивно.

В настоящей работе метод МСА применен для описания явления разуплотнения (дилатансии) и проскальзывания в слабо связанных гранулированных средах. При этом были получены настолько интересные динамические явления, сопровождающие процесс разуплотнения, что их значение, по-видимому, много шире первоначально поставленных целей исследования.

2. Описание компьютерного эксперимента

Характерная схема моделируемой системы приведена на рис. 1, а. Параметры автоматов соответствовали усредненным механическим свойствам песка, состоящего из частичек кварцевого стекла [14]. В регулярную упаковку сферических зерен (автоматов) вводились “дефекты” для моделирования как неоднородностей, так и ослабленных зон реальной среды. Вдоль оси OX использовались периодические граничные условия, имитирующие многократное повторение моделируемого

Время, уел. ед.

Рис. 1. Структура моделируемого фрагмента в начальный момент времени (а): 1 — верхний (нагружаемый) слой, 2 — нижний (неподвижный) слой; профиль прикладываемой нагрузки (один цикл) (б)

фрагмента, что позволило избежать влияния краевых эффектов. Размер автоматов соответствовал 5 • 10-4 м. Нижний слой (слой 2) имитировал неподвижную подложку. В работе проводилось моделирование двух типов нагружения.

В первом случае мы стремились более или менее воспроизвести условия реального эксперимента [1]. Несмотря на то, что в данном эксперименте использовалась вертикально осциллирующая платформа вибратора, сам эффект разуплотнения несомненно связан с возникающими в среде сдвиговыми напряжениями. Они возникают по следующим причинам. Во-первых, вследствие естественной неоднородности среды возникает неоднородное поле напряжений, в котором главные напряжения неодинаковы. Во-вторых, конечные размеры вибратора обуславливают появление концентраторов сдвиговых напряжений (например вблизи угловых точек вибратора). Причем и сдвиговые, и сжимающие напряжения действуют в фазе. Поэтому при данном способе нагружения моделировалась прикладываемая к верхней границе модели (слой 1) переменная, циклически изменяющаяся сила, которая имела как нормальную, так и тангенциальную компоненты.

Во втором случае, для детального анализа и изучения особенностей поведения моделируемой системы, движение верхнего слоя задавалось с постоянной тангенциальной скоростью и под действием постоянного же нормального давления.

Основные стадии первого типа нагружения показаны на рис. 1, б. На стадии I действует только нормальная сила, имитирующая некоторый постоянный груз. Давление, оказываемое таким грузом, соответствовало нагрузке 0.03 МПа. На стадии II действовала нагрузка, возрастающая по линейному закону. Стадия III соответствует разгрузке. Максимальное значение нагрузки при этом достигало величины 0.21 МПа (рис. 1, б).

3. Возникновение подъемной силы

Проведенные расчеты показали, что во всех случаях наблюдается формирование разреженного слоя, по которому осуществляется проскальзывание частей моделируемой системы. В области разреженного слоя нарушается связанность моделируемой среды и происходит ее разуплотнение (дилатансия/ Данный эффект явно виден на рис. 2, а, б, где приведена структура моделируемой системы в различные моменты времени.

При увеличении скорости движения верхнего блока толщина разреженного слоя увеличивается. При этом, несмотря на приложенную нормальную нагрузку, верхний блок “поднимается”, что свидетельствует о возникновении некоторой “подъемной силы”. На рис. 2, в приведена зависимость изменения Y — координаты верхнего блока — от времени. Хорошо видно, что с каждым циклом нагрузки координата верхнего блока возрастает.

Next Prev Interval PointNo StoreGIF Exit File No=120

nflMI

Next Prev Interval PointNo StoreGIF Exit File No=164

яЩ HRBHM

ШШШтшшр

Время, цикл

Рис. 2. Структура моделируемого фрагмента в различные моменты времени (а, б); изменение координаты верхнего слоя (^ — диаметр автомата) (в)

Максимальная толщина разреженного слоя будет определяться равенством “подъемной” силы и силы нормального давления.

В гидродинамическом пределе движущаяся среда может быть описана на основе уравнений движения Эйлера в форме Громеки-Лемба [15]:

— + У— + 2ш х V = --У» + F, (1)

дt 2 р

Скорость, м/с

Рис. 3. Поле скоростей (скобкой отмечен разреженный слой) (а); зависимость давления, определяемого подъемной силой, от скорости (б)

где V — скорость; ю — угловая скорость; р — плотность; р — давление; F — внешняя массовая сила. Для ламинарного и установившегося движения, а также при отсутствии внешних массовых сил соотношение (1) можно записать в виде:

Ур = -арУ

V

(2)

где а — некоторый структурно-чувствительный коэффициент, который эффективно отображает гетерогенность среды.

Соотношение (2) может быть использовано для оценки перепада давления в движущейся гранулированной среде. В приближении линейности градиента скоростей по оси Y (характерное распределение скоростей показано на рис. 3, а) оно может быть записано в следующем виде:

р=а£г-^т- (3)

V )

где V0 и v1 — скорости автоматов в разных слоях. Подобное выражение обычно применяется для расчета динамического давления при оценке подъемной силы. В рассматриваемом случае, как хорошо видно на рис. 3, а, можно положить V о = 0, тогда

а

Р VI

(4)

где v1 — скорость автоматов слоя 1.

Для сравнения результатов МСА-моделирования и соотношений (3), (4) проведена серия расчетов по оценке подъемной силы при различных значениях скорости движения верхнего слоя. Значение скорости менялось от 0.5 до 10 м/с. Плотность р при этом фиксировалась, для чего нормальная внешняя сила подбиралась таким образом, чтобы уровень верхнего слоя оставался одним и тем же для различных значений тангенциальной ско-

рости. Полученная таким образом зависимость подъемной силы от скорости приведена на рис. 3, б (кривая 1). Отметим, что для повышения точности вычислений, размер автомата был уменьшен до 3.3 • 10-4 м при сохранении размеров моделируемого фрагмента.

Приведенная на рис. 3, б кривая 2 была построена на основе соотношения (4) при а = 38.4. Видно, что результаты моделирования практически совпадают с оценками из соотношения (4). Необходимо отметить, что при увеличении скорости движения верхнего слоя наблюдается тенденция к расхождению кривых 1 и 2. Это, по-видимому, связано с тем, что в соотношении (4) не учитывается влияние упругих модулей элементов среды.

4. Особенности динамической переупаковки зерен и качественная интерпретация результатов виброакустического эксперимента

Как уже отмечено выше, численные эксперименты по методу МСА действительно подтвердили, что среда с плотно упакованными зернами под воздействием сложного динамического нагружения с течением времени разуплотняется, при этом изменение (двумерной) пористости достигает значения 0.28 непосредственно в разрыхляемом слое, состоящем из 8 рядов автоматов. Среднее изменение пористости во всем объеме среды составляет 0.1. Отметим, что исходная двумерная пористость оценивается величиной 1 -п/(2л/3) ~ 0.09.

График на рис. 2, в фактически можно интерпретировать как график изменения средней пористости. Более детальное рассмотрение рис. 2, а, б показывает, что разуплотнение состоит не просто в увеличении расстояний между зернами, но и в изменении конфигурации (геометрии) упаковки зерен. На рис. 4, где в большем масштабе показана часть разуплотненного слоя, видны участки с явным преобладанием простой кубической

Рис. 4. Структура разуплотненного слоя

упаковки зерен, являющейся наименее плотной регулярной упаковкой. При этом существенно растет и число “дефектов” (отсутствие зерен). Двумерная пористость простой кубической упаковки составляет 1 -п/4 ~ 0.22. Поскольку пористость в процессе изменения нагрузки в разрыхляемом слое достигает 0.09 + 0.28 = 0.37, разница между этими величинами и характеризует роль “дефектов” (нерегулярности упаковки) в динамически формируемой структуре.

Воспользуемся известной теорией распространения упругих волн в периодических упаковках сферических зерен для оценки возможного изменения скорости продольных волн для различных упаковок. Согласно результатам Даффи и Миндлина [16] в наиболее плотной трехмерной упаковке зерен (12 контактов на каждое зерно) скорость продольных волн (при условии изотропного предварительного начального напряжения) определяется следующей формулой

^ ^ Р1 2-V

3^2 а о 2(1 -V )2

1/3

Пр0

(5)

где ц — модуль сдвига для материала зерен; V — коэффициент Пуассона; р 0 — плотность материала; а 0 — начальное напряжение. Для простой кубической трехмерной упаковки (шесть контактов) нами было получено следующее выражение:

Р2

3^2 а о 2(1 -V )2

1/3

про

(6)

Отношение скоростей П = VI/У2 определяется сле дующим выражением:

4 - 3v ^2

п

2-V 6

(7)

Видно, что значение п зависит (и притом весьма слабо) только от коэффициента Пуассона. В частности, оно не зависит от величины начального напряжения (но, напомним, определяется его изотропностью и инкремен-

тальностью (малостью) напряжений в акустической волне). В диапазоне 0< V <0.5 оно изменяется от 1.36 до 1.24. При переходе от самой плотной упаковки к самой неплотной (кубической) пористость изменяется на 22 % и скорость (применительно к зернам кварца) изменяется на 30 %. В реальном эксперименте скорость изменяется на 5 %, что отвечает изменению пористости порядка 4 %. Это вполне реальная цифра. Можно считать, что в просвечиваемом акустическими волнами объеме среды примерно пятая часть среды изменила плотную упаковку на неплотную.

Вернемся к анализу численного эксперимента. Как хорошо видно на рис. 2, в, пористость на фоне сильного тренда изменяется квазициклически. Это находится в общем соответствии с отмеченными в начале статьи особенностями эксперимента с мощным вибратором. Однако некоторые детали весьма различны. Они хорошо видны уже по характеру графика на рис. 2, в в первом цикле. В силу того, что используется плотнейшая упаковка несжимаемых сфер, ее сжатие (в пределах цикла) не приводит к уменьшению пористости, но уже на этапе разгрузки действие горизонтальной силы (благодаря введенным в структуру среды дефектам) приводит к небольшому нарушению упаковки и, как следствие, к слабому увеличению пористости. После этого — на стадии покоя — упаковка “почти” возвращается в исходное состояние. Это “почти” играет важную роль, поскольку следующий цикл начинается в условиях значительно большего числа дефектов, поэтому влияние тангенциального напряжения (даже в условиях сильного сжатия) проявляется много раньше. При этом локальный пик пористости во втором (как и в последующих) циклах наблюдается уже практически на этапе разгрузки. Поскольку в реальном эксперименте разуплотнению отвечает уменьшение скорости и амплитуды акустического сигнала, а локальные минимумы этих параметров наблюдались на временах достижения максимальных растягивающих напряжений, то смещение максимумов пористости в сторону этапа разгрузки находится в общем соответствии с экспериментальными данными. Большего соответствия, учитывая разницу в условиях нагружения, по-видимому, нельзя было и ожидать. Дело не только в том, что условия нагружения в модели и в эксперименте схожи только в общих чертах. Дело еще и в том, что акустические параметры реагируют не только на изменение упаковки среды, которая лишь в статистическом смысле отражается пористостью. Упругие свойства среды зависят еще и от сжимаемости упаковок, определяемой сжимаемостью при-контактных зон. Сжимаемость же приконтактных зон определяется давлением на зерна. С ростом давления инкрементальная сжимаемость падает. Давление возрастает в фазе сжатия и уменьшается в фазе растяжения. Именно поэтому наблюдается близкое к синхронному

40

-20 -10 0 10 20 Переменная составляющая деформации, уел. ед.

Рис. 5. Зависимость вариации амплитуды акустической волны в грунте от циклического сжатия массива низкочастотным (6 Гц) вибратором

циклическое поведение скорости и амплитуды акустических волн при циклическом изменении вертикальной нагрузки.

Чтобы лучше понять, что происходит в среде под мощным вибратором, нами была построена диаграмма, связывающая в среднем (за все время эксперимента с фиксированной амплитудой вибратора) деформацию приповерхностного слоя с амплитудой акустических волн в пределах “осредненного” цикла. Фактически приповерхностная деформация прямо связана с движением платформы и, следовательно, с изменением давления на среду. Что касается амплитуды сейсмического сигнала, то для нее естественно принять, что при неизменной упаковке амплитуда сигнала с увеличением давления возрастает (вследствие увеличения потока упругой энергии через контакты), а при уменьшении числа контактов амплитуда падает. Как видно из рис. 5, диаграмма имеет четкий гистерезисный характер. На стадии нагрузки на ней выделяются три этапа. Первый этап — этап квазиупругого нагружения, на котором амплитуда акустической волны определяется увеличением давления на контактах при постоянной упаковке. На втором этапе (интервал деформаций от -25 до +25) происходит течение грунта, смысл которого состоит в переупаковке материала. На поздней стадии этого этапа наблюдается даже некоторое понижение скорости акустических волн. На третьем этапе изменение скорости акустических волн опять определяется только увеличением давления. На этапе разгрузки имеем квазиупругий режим. Интервал приповерхностной деформации (-25, 0) характеризует остаточную деформацию, определяемую переупаковкой грунта, полученной на втором этапе нагружения. Еще раз напомним, что эти закономерности характеризуют некоторое осредненное поведение грун-

та в процессе вибрационного эксперимента с фиксированной амплитудой колебаний. Если бы мы рассматривали не осредненный цикл, а фактическую последовательность циклов, то естественно было бы ожидать, что влияние полученной “остаточной” переупаковки возрастает, накапливаясь от цикла к циклу, и что роль квазиупругого нагружения в каждом цикле является более значительной.

Возникает вопрос: почему на данной диаграмме не отражено уменьшение амплитуды акустической волны в результате переупаковки зерен? Прежде, чем ответить, нужно вспомнить, что такое изменение было получено в ряде экспериментов с разной амплитудой колебаний вибратора. Данная же диаграмма построена по эксперименту с фиксированной амплитудой осцилляций. Чтобы согласовать и те, и другие данные, нужно предположить, что амплитуда акустического сигнала, характеризующая второй этап нагружения (то есть собственно процесс переупаковки) в цикле с определенной амплитудой колебаний платформы, должна уменьшаться при переходе к циклу с увеличенной амплитудой колебаний вибратора. Тогда уменьшится и максимальная амплитуда сигнала, наблюдаемая в конце третьего этапа нагружения.

Важной особенностью численного эксперимента является локализация зоны разуплотнения примерно в среднем (по глубине) слое среды. Это отражает фундаментальное свойство среды — локализацию зон деформации и разрушения. Положение зоны разуплотнения в численном эксперименте в значительной мере определяется условием неподвижности жесткой подложки. Если обратиться к эксперименту с мощным вибратором [1], то под суглинком на глубине примерно 25 м находятся выветрелые граниты, характеризующиеся скоростью распространения продольных волн порядка 4000 м/с. Скорость продольных волн в суглинке — порядка 200300 м/с. Разница в жесткости очень значительна. Поэтому подстилающие суглинок граниты в принципе могут играть роль абсолютно жесткой подложки. Если бы во

400

о

^ 300

-О

у

§-200

О

100

о 1 2 3 4 5

Глубина, м

Рис. 6. Зависимости скорости Р-волн от глубины под вибратором (скважины 1 и 2) и вдали от него

I I I I

-Ф- По скважине 1 п По скважине 2

Под свободной поверхностью

всех остальных отношениях условия нагружения в численном и натурном экспериментах совпадали, то максимальное разуплотнение наблюдалось бы на глубинах порядка 8-16 м. Однако в натурном эксперименте есть факторы, которые “сдвигают” этот слой значительно выше. Дело в том, что в численно моделируемой системе нагрузка распределяется достаточно равномерно. Между тем, вибратор имеет размеры значительно меньшие, чем глубина до гранитов, и, вследствие геометрической расходимости, поток энергии падает. Это должно привести к смещению зоны максимального разуплотнения вверх и даже к тому, что разрыхляемый слой окажется в верхней части среды. Эти соображения подтверждаются кривыми зависимости скорости продольных волн от глубины (рис. 6 любезно предоставлен Г.В. Егоровым), полученные по данным скважинных измерений под вибратором (в состоянии покоя) и вдали от него. Значения скорости при неработающем вибраторе отражают степень уплотнения среды в результате многолетних экспериментов с вибраторами. Поэтому там, где наблюдается расхождение между обоими кривыми, именно на этих глубинах происходит наибольшее разрыхление грунта, который в результате релаксации возвращается к более плотной упаковке, благодаря постоянно действующему весу вибратора (что находится в согласии с данными А.Ф. Ревуженко [2]). На глубине в 1 метр (с этой глубины проводились измерения) уже имеется заметное расхождение (порядка 100 м/с). Далее расхождение увеличивается, достигая максимального значения 125 м/с на глубине 2.5 м. Затем расхождение постепенно уменьшается. На глубине 5.5 м расхождение не превышает 25 м/с. Судя по всему, слой в диапазоне 0-4 м наиболее разрыхляется в процессе работы вибратора и возвращается в более уплотненное состояние (в результате процесса релаксации) после выключения вибратора. В стороне от вибратора график скорости максимума не имеет.

В исследованном интервале глубин четкой границы между разрыхляемым и неразрыхляемым слоями не устанавливается. Однако в некоторых точках наблюдаются достаточно четкие изломы графика скорости, что указывает на возможную стратификацию характера разуплотнения в процессе работы вибратора. В цитируемой работе [1] и др. имеется косвенное указание на то, что в процессе разрыхления границы становятся более резкими. В течение работы вибратора появляется волна, которую можно интерпретировать как отраженную от некоторой границы в суглинках.

В заключение необходимо отметить, что формирование разреженного слоя, по которому происходит проскальзывание и движение частиц среды, вследствие ква-зициклического динамического нагружения, имеет непосредственное отношение к формированию оползней в сейсмоактивных регионах. Связь оползневых процес-

сов с сейсмической активностью в таких районах доказана. Например, большой Суусамырский оползень, сошедший в августе 1992 года недалеко от Бишкека, был непосредственно инициирован землетрясением с магнитудой 7 баллов. Проведенные расчеты показывают, что землетрясение может быть не только триггером самого акта схождения оползня, но и механизмом, способствующим формированию слоя проскальзывания. Помимо сейсмических воздействий, подобный механизм может осуществляться и в условиях длительных техногенных воздействий. Разумеется, в реальных условиях в формировании слоя проскальзывания большую роль играют подземные воды, но сама возможность появления такого слоя в “сухих” условиях имеет принципиальное значение.

Литература

1. Геза Н.И., Егоров Г.В., Мкртумян Ю.В., Юшин В.И. Эксперименталь-

ное исследование мгновенных вариаций скорости и затухания сейсмических волн в рыхлой среде in situ, подвергаемой пульсирующей динамической нагрузке // Геология и геофизика. - 2001. - Т. 42. -№7. - С. 1135-1144.

2. Ревуженко А.Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 2000. - 426 с.

3. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular

assemblies // Geotechnique. - 1979. - V. 1. - 29. - P. 47-65.

4. Herrmann H.J. Simulating granular media on the computer // 3rd Granada

Lectures in Computational Physics / Ed. by P.L. Garrido, J. Marro. - Heidelberg: Springer. - 1995. - P. 67-114.

5. LudingS. Granular materials under vibration: Simulation of rotating spheres

// Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - No. 4. - P. 4442^445.

6. Poschel T. Granular material flowing down an inclined chute: A molecular

dynamics simulation // J. Phys. II. - 1993. - No. 3. - P. 27.

7. Walton O.R. Numerical simulation of inclined chute flows of monodis-perse, inelastic, frictional spheres // Mechanics of Materials. -1993. -No. 16. - P. 239-247.

8. Herrmann H.J., Luding S. Modeling granular media on the computer // Continuum Mech. Thermodyn. - 1998. - No. 10. - P. 189-231.

9. Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю.,ДмитриевА.И.,

Шилько Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеха-ники // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 11. - С. 58-69.

10. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., МоисеенкоДД., Татаринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеха-ники материалов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 1. - С. 95-108.

11. PsakhieS.G., SmolinA.Yu., ShilkoE.V, KorostelevS.Yu., DmitrievA.I., Alekseev S.V About the features of transient to steady state deformation of solids // Journal of Materials Science & Technology. - 1997. - V. 13. -No. 1. - P. 69-72.

12. Псахье С.Г., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание. // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3.- № 2. - С. 5-15.

13. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 3. - С. 9396.

14. Физические величины: Справочник / И.С. Григорьев и Е.З. Мейли-хов. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - С. 63.

15. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Т. II. - М.: Наука, 1976. -576 с.

16. Daffy J., Mindlin R.D. Stress-strain-relations and vibrations of a granular medium // Journal of Applied Mechanics. - 1957. - No. 3. - P. 558-593.