CC BY
203
Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание
С.Г. Псахье, Г.П. Остермайер1, А.И. Дмитриев, Е.В. Шилько, А.Ю. Смолин, С.Ю. Коростелев
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Технический университет Берлина, Институт механики, Берлин, D-10623, Германия
Подробно изложены математические основы нового метода дискретной вычислительной механики — метода подвижных клеточных автоматов. Рассмотрены два подхода к заданию взаимодействия подвижных автоматов: приближение многочастичного взаимодействия и приближение типа погруженной частицы. Отдельно рассмотрена проблема описания взаимодействия контактирующих поверхностей в рамках метода частиц. Предложен новый способ задания реального профиля поверхности на мезо- и макромасштабных уровнях. Описана модель, позволяющая эффективно учитывать характеристики шероховатости поверхности на микромасштабном уровне. Предлагаемый метод МСА не является закрытым и позволяет применять различные подходы и модели для описания моделируемых сред.
1. Введение
Механика — это наука о движении в самом общем смысле этого понятия. Объект описания может быть представлен либо как некий континуум, либо как множество взаимодействующих частиц (выделенных элементов среды). Эти подходы были предложены соответственно Коши и Навье еще в начале 1800-х годов. Возможность аналитического описания определила преимущественное развитие континуального подхода на протяжении последующих более чем ста лет.
Важный этап развития механики — разработка и создание численных методов — был связан с появлением вычислительной техники. Вычислительную механику можно смело рассматривать как самостоятельный раздел механики, дополняющий теоретические и экспериментальные исследования. Для нее характерны как теоретический, так и экспериментальный аспекты. По этой причине компьютерное моделирование часто называют компьютерным экспериментом.
Поскольку специфика численного решения уравнений требует дискретизации изучаемого объекта, то уравнения механики сплошных сред с необходимостью были адаптированы. Успехи континуальной вычислительной механики трудно переоценить. Ее инженерные приложения совершили своеобразную революцию в технических науках и проектировании.
Дискретная вычислительная механика в эти годы развивалась главным образом на атомном уровне как молекулярная динамика. Необходимо отметить, что хотя молекулярная динамика и получила исключительно широкое развитие во многих областях современной науки, начиная от физики и заканчивая биологией, она, безусловно, не исчерпывает всех возможностей дискретного подхода. В последние 15-20 лет появились работы, в которых метод частиц использовался для описания различных сред, в том числе гранулированных и сыпучих. Это, в первую очередь, работы Кундэла, Хермана, Вэлтона, Лудинга, Пошела, Гринспана, Ос-термайера и др. [1-11]. Фактически все эти работы были основаны на методе и уравнениях движения молекулярной динамики, с той лишь разницей, что добавлялись уравнения для моментов, т. е. использовались классические уравнения движения Ньютона-Эйлера. В рамках этого подхода информация о взаимодействии частиц (в том числе атомов) передается в радиусе ближайших соседей за один шаг интегрирования уравнений движения (т. е. практически мгновенно) [12, 13]. Если для описания поведения систем на атомном уровне это обосновано в рамках адиабатического приближения, то для частиц на мезо- и макроуровнях это является приближением и влечет за собой использование искусственных приемов при интегрировании уравне-
© Псахье С.Г., Остермайер Г.П., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю., 2000
ний движения. Таким образом, подходы, основанные на классических уравнениях движения Ньютона-Эйлера, хотя и включают в себя уравнения для моментов, фактически описывают поведение точечных масс.
Новый вид уравнений движения, позволяющий преодолеть данное противоречие, был получен в рамках метода подвижных клеточных автоматов [14, 15].
2. Описание моделируемой системы
В рамках метода подвижных клеточных автоматов (МСА) моделируемая система представляет собой ансамбль взаимодействующих автоматов (элементов), имеющих конечный размер [16]. Концепция метода МСА основана на введении нового типа состояний в подходе классических клеточных автоматов — состояния пары автоматов. Это позволило сделать принципиально важный шаг — перейти к использованию пространственной переменной как параметра переключения. В качестве такого параметра было выбрано перекрытие пары автоматов (рис. 1):
кі] = г1] - г0.
(1)
В простейшем случае существует два состояния пар: связанное Ну < Н^, (2а)
несвязанное Н > Н^. (2б)
В этом случае связанное состояние означает наличие химических связей между элементами, а несвязанное — отсутствие каких-либо химических связей. Следует подчеркнуть, что данный параметр имеет пространственную размерность. Это приводит к качественно новому свойству автоматов — способности изменять пространственное расположение и, как результат, изменять пространственную конфигурацию всей системы. Таким образом, изменения состояния пар автоматов определяется (управляется) относительными смещениями автоматов, образующих пару. Вследствие соотношений (2а) и (2б) данная среда, образуемая парами автоматов, может рассматриваться как бистабильная.
Рассмотрим пару автоматов у. Состояние данной пары однозначно определяется двумя типами полей Нав ^). Первый тип связан с состоянием самой пары
Рис. 1. Н1'1 — параметр перекрытия; гу — расстояние между цент-
рами элементов; г^ автомата
= (^ + dJ )/2, где d^ характеризует размер
Рис. 2. Параметры перекрытия пар элементов у, ik и у
у — Н ^), второй — с состояниями “пересекающихся” пар, а именно: пар ^к} — Нк и {//} — Ну. Следует отметить, что эти поля, по существу, определяют локальные деформации (деформации элементов среды) и, следовательно, определяют распределение и потоки упругой энергии в моделируемой среде.
Производная Н ^) по времени может быть определена подобно тому, как это делается в модели Винера-Розенблюта [17]. В этом случае рассматриваемая система может быть описана на основе соотношения
Ак]
. = /(к]) + X С( у, ік)І{к1 ) +
А? kФ]
+ Х С ( і], у) I (к1),
І Фі
(3)
где функция f Н ) имеет смысл относительной скорости автоматов i и у (Уу ); С ( у, Iк (]1)) — коэффициент, связанный с переносом параметра к от пары ik (илиу!) к паре у; I(Нк(у)) — явная функция от Нк(у), которая определяет перераспределение параметров Нк и Ну между парами у, ik и у! (рис. 2).
В рамках линейного подхода функция I(Нк(у)) может быть представлена как:
I (Нк у)) = ¥(а у )У(к )(у( 1)), (4)
В общем случае множитель у( а у, к (у)) определяется взаимным расположением автоматов у, ik и у! и является комбинацией тригонометрических функций, а
ау, гк (ц) — набор значений соответствующих углов, определяемых относительной упаковкой.
Таким образом, изменение параметра перекрытия Н автоматов у определяется следующими факторами:
1) относительной скоростью между автоматами i и у
(Уу);
2) изменением перекрытий (ДН1к) г-го автомата с его соседями;
3) изменением перекрытий (ДНу/) у-го автомата с его соседями.
3. Уравнения движения подвижных клеточных автоматов
Как следует из соотношения (1), система, состоящая из подвижных клеточных автоматов, будет описываться уравнениями движения для трансляционного поведения:
d 2Н
dt2
т
1
+ Е с(гу, гк)\у(ау л)—р +
к ф у т
(5)
+ Е с(и’ у'1М«у, }1 )—уу р
т
В уравнении (5) вклад —У1 (у)к(1) был представлен dt
как —- р1 (у)к(1), где р1 (у)к(1) — сила межэлементного т
взаимодействия. Коэффициент С (у, 1к( у1)), как и в соотношении (3), связан с переносом параметра к от пары ik (илиу!) к паре у. Член ^(«у,к) определяется коэффициентом Пуассона и соответственно связан со взаимным расположением пар элементов у и ik.
Уравнения движения для поворотов могут быть записаны в виде:
— 0у
dt2
+ V + Е Б(у, 1к) ^ Тк +
J1 J1 "
к ф у
Jl
у
(6)
IФ1
Здесь 01 — угол относительного разворота элементов (это тоже параметр переключения, подобный Н1);
д
- расстояние от центра автомата I до точки контакта
с автоматом у; т1 — парное тангенциальное взаимодействие. Коэффициент 5 ( у, 1к (у1)) связан с переносом параметра 0 от пары ik (илиу!) к паре у.
Хорошо видно, что если положить С( у, 1к (у1)) = 1 и 5 ( у, 1к (у1)) = 1, то уравнения (5) и (6) полностью эквивалентны уравнениям Ньютона-Эйлера для многочастичного взаимодействия.
Как отмечалось выше, член С( у, 1к(у1)) определяет перенос параметра к от пары ik (илиу!) к паре у. Термин “упругая информация” означает информацию об относительных смещениях элементов, передаваемую упругими полями. Таким образом, уравнения движения (5) и (6) позволяют учитывать “запаздывание” 8^') е &у‘(11) и влияние параметров перекрытия пар ^к}, {]!} на взаимодействие пары элементов у (рис. 2).
Время “запаздывания” определяется размерами автоматов, продольной и поперечной скоростью звука, а также взаимным расположением пар у и iк (или у!). Очевидно, что эффекты, связанные с генерацией и распространением ударных волн, требуют специального рассмотрения.
4. Явный учет отклика, обусловленного объемными изменениями
В рамках подхода типа погруженной частицы уравнения (5) и (6) могут быть записаны как
J
* — ~—ё
1 — 20 dt2
= F¿ + Е Fй
(7)
где — объемно-зависящая сила, действующая на автомат i и обусловленная давлением со стороны окружающих автоматов, Е1 = ру + ту; ру — центральная составляющая парной силы взаимодействия; ту — тангенциальная составляющая этой силы; Ку = = qIJ (пу хту); единичный вектор пу определяется как пу = ^у - R1' )/(ду + ду ).
Объемно-зависящая сила , действующая на автомат и обусловленная давлением со стороны окружения, может быть представлена, в рамках подхода модели “погруженной частицы”, аналогичной модели погруженного атома в молекулярной динамике [18], как
(8)
где индекс у (у = 1 к N) нумерует автоматы, находящиеся в связанном состоянии или в состоянии контакта с автоматом !; Ру — давление у-ого соседнего автомата; Б1 — площадь контакта 1-ого автомата с у-ым, а п у — единичный вектор нормали к площади контакта, направленный в сторонуу-ого соседа. Давление автомата определяется изменением его объема. В простейшем (линейном) случае эта зависимость имеет вид:
Ру = Ку аJ -а
(9)
г і] =
я*
Рис. 3. Соотношение для определения относительной деформации автоматов
где а у — начальный (равновесный) объем автомата; а] — текущий объем автомата; К — модуль всестороннего сжатия материала этого автомата. Изменение объема автомата за время Д1 в простейшем приближении можно определить исходя из соответствующих изменений расстояний от центра этого автомата до точек его контакта с соседями Дд;к из соотношения
. NJ „ К NJ
АО,] = 0] ^Ад]
k=0 І
X ч1к
k=0 I
(10)
где М; — число соседей автомата j.
5. Функция отклика подвижного клеточного автомата
Для каждого автомата вводится понятие относительной деформации гу. Соотношение для определения
этой величины приведено на рис. 3. Параметр д1у имеет смысл расстояния до точки контакта автомата i с автоматом у.
Можно выделить четыре основных типа функции отклика автоматов (рис. 4). В простейшем случае межав-томатное взаимодействие полагается упругим и линейным. В этом случае функция отклика является линейной функцией параметра перекрытия. Вид такой функции показан на рис. 4, а. Следует отметить, что в этом случае нагрузка и разгрузка идут по одной и той же линии. Переключение пары автоматов из связанного состояния в несвязанное состояние происходит, когда их перекрытие достигает значения, соответствующего нагрузке а с.
Для того чтобы учесть генерацию повреждений на масштабном уровне, меньшем чем размер автомата, линейная функция оклика должна быть модифицирована. Простейшая модификация показана на рис. 4, б, где приведен вид функции отклика, типичной для бетонов. Хорошо известно, что для материалов типа бетонов, начиная с некоторой нагрузки (выше точки деградации а Д эффективный модуль Юнга понижается в результате деградации, обусловленной генерацией повреждений. Это означает, что линейный отклик имеет место при нагрузке в диапазоне < 0 - ай >, в диапазоне же < а а - а с > генерируются повреждения и функция отклика ведет себя нелинейно. Кроме того, по этой же причине разгрузка определяется новым модулем Юнга
Рис. 4. Примеры функций отклика: а ^ — предел упругого поведения (точка деградации); а с — прочность
(см. пунктирные линии на рис. 4, б). Из рис. 4, б хорошо видно, что каждой точке функции отклика (например точкам 1 и 2) из диапазона < ай - ас > соответствует свой модуль Юнга, который и будет определять поведение материала при разгрузке.
Функции отклика, показанные на рис. 4, а и б, могут быть использованы для моделирования разрушения хрупких материалов типа керамики, бетона и т. п., а также для структур и конструкций, созданных на основе подобных материалов.
Примеры функций отклика для необратимого поведения материала приведены на рис. 4, в и г. Случай, показанный на рис. 4, в, соответствует пластической деформации, а функция отклика, приведенная на рис. 4, г, — комбинации пластического течения и процессов деградации материала (генерации повреждений). Следует подчеркнуть, что примеры, показанные на рис. 4, в и г, носят иллюстративный характер. Определение функции отклика для описания необратимого поведения, особенно пластической деформации, является сложной задачей и подразумевает достаточно глубокие знания о закономерностях инициирования и развития пластического течения [19, 20].
Тем не менее, при наличии детальной информации о поведении того или иного материала в пластической области метод подвижных клеточных автоматов, также как и другие методы (в том числе и континуальные), может быть использован для моделирования поведения образцов и конструкций. Основным требованием является достаточность информации для построения функций отклика, подобных показанным на рис. 4, в и г, причем поведение этих функций в диапазоне < ай - ас > может быть и более сложным.
Таким образом, для моделирования поведения образцов, структур, конструкций (или их частей) в рамках метода подвижных клеточных автоматов необходимо знание конкретных функций отклика, примеры которых показаны на рис. 4. В случае композитных систем необходимо знание функций отклика для всех составляющих компонент. Подобная информация может быть получена как экспериментальным путем, так и на основе теоретического рассмотрения.
В зависимости от типа функции отклика подвижных автоматов метод МСА позволяет моделировать процессы упругопластического деформирования и деградации на мезо- и микромасштабном уровнях [14-16, 21].
6. Метод отрезков и описание взаимодействия поверхностей
При моделировании взаимодействия поверхностей в рамках метода частиц возникает серьезная проблема, связанная с корректным заданием их структуры и взаимодействия. Очевидно, что при рассмотрении тела как
набора частиц все поверхности являются искусственно грубыми (шероховатыми) и регулярными. Характеристики шероховатости, как можно видеть из рис. 5, связаны с размерами элементов.
В общем случае при описании реальной поверхности можно выделить три масштабных уровня: макро (масштаб моделируемого тела как целого), микро (масштаб отдельных “бугорков”, “впадин”, повреждений и небольших трещин) и мезо (промежуточный уровень, сочетающий особенности макро- и микромасштабных уровней) [22, 23].
Следовательно, существуют два способа для моделирования поверхности контакта:
1. Задать размеры автоматов настолько малыми, чтобы непосредственно (топологически) описать реальный рельеф поверхности. Это позволяет непосредственно исследовать процессы на всех трех перечисленных масштабных уровнях. В этом случае поверхностная шероховатость, неоднородность материала, другие структурные дефекты типа повреждений, трещин и прочих задаются явным образом через топологию поверхностного слоя.
2. Задать размеры автоматов достаточно большими для того, чтобы рассматривать контактирующие поверхности как плоские с косвенным заданием шероховатости через шероховатость меньшего масштабного уровня. Такое приближение позволяет охватить макро- и мезо-масштабные уровни. В этом случае, взаимодействие двух контактирующих поверхностей можно описать путем введения сил, зависящих от микропараметров поверхностей.
Даже с учетом мощностей современных компьютеров первый способ позволяет исследовать только малые области контактирующих поверхностей (см. рис. 6, а), поскольку огромное число элементов необходимо для описания реальных материалов. Следовательно, такое приближение может быть использовано для изучения механизмов очень сложных процессов в поверхностном слое материала, например возникновение и накопление повреждений, распространение трещин, изменение поверхностного профиля, структуры и состава материала возле поверхности и другие. Результаты подобных ис-
Рис. 5. Искусственная структура поверхностей двух соприкасающихся тел, рассматриваемых как набор частиц
30 мкм
Рис. 6. Два способа описания контактирующих поверхностей: на микромасштабном уровне шероховатость поверхности задается явным образом (а); опосредованное (мезомасштабное) описание шероховатости на основе приближения отрезков в методе МСА (б)
следований могут быть очень полезными для понимания причин и тенденций явлений на мезомасштабном уровне, поскольку характерные размеры моделируемой системы соответствуют данному масштабному уровню. Но этого недостаточно для анализа и описания взаимодействия между двумя поверхностями для реального (макро-) масштабного уровня.
В рамках второго способа описания контактирующие поверхности рассматриваются как совокупность отрезков в двумерном случае и площадок в трехмерном. В двумерном случае для описания взаимодействия между автоматами контактирующих поверхностей разработан новый подход, называемый методом отрезков. Схема данного подхода приведена на рис. 6, б. На рис. 6, б автоматы i и у соответствуют нижней контактирующей поверхности, к-автомат соответствует верхней поверхности. Пара рассматривается как отрезок, взаимодействующий с автоматом к.
Вводятся два типа взаимодействия между автоматом и отрезком: нормальное (действующее по нормали к отрезку) потенциальное взаимодействие и тангенциальная сила трения.
Нормальное взаимодействие определяется высотой к между автоматом к и отрезком !-/. Нормальная сила прикладывается к каждому автомату в треугольнике к—-у в следующем соотношении:
рк(у) — сила, действующая на автомат к со стороны отрезка !-/:
7к (у )
= Е
(11а)
— сила, действующая со стороны автомата к
на автомат I как часть отрезка !-/:
р ©) к (нк (у') )=
Е1]
нк(У) - нк(1)
(иб)
7( у1 )к
— сила, действующая со стороны автомата к
на автомат у как часть отрезка !-у:
р(у1 )к ( (1) )=Е-
Нк(у) - н0к(у-)
нк(1)
(11в)
Равновесное расстояние (высота) Н0 для взаимодействия “отрезок - автомат” определяется как Н0 = л/з^,
где Я — радиус автомата. Можно видеть, что Fk( у) =
= р (у)к + р (л )к
Тангенциальное взаимодействие двух контактирующих поверхностей описывается диссипативной силой трения. В рамках предложенного подхода мезофрагмен-ты соприкасающихся поверхностей рассматриваются как плоские. Тогда тангенциальное взаимодействие “отрезок - элемент” можно записать следующим образом (по аналогии с (11а)-(11в)):
рі(] ^ ) = р}
я,
рі] )к (п)=
ріт (п)=
РъГ
(12а)
(12б)
(12в)
где Ря — локальная сила трения.
Сопротивление относительному тангенциальному смещению определяется характеристиками шероховатости поверхностей на микромасштабном уровне. В представляемой работе общее выражение для локальной силы трения на мезомасштабном уровне имеет вид:
Рі = ^ + /(.1, К., стк, Сто, V),
(13)
где первое слагаемое в правой части описывает вязкое трение, а второе — трение как результат взаимодействия контактирующих областей поверхностей. Здесь Vт — относительная тангенциальная скорость; ц0 — коэффициент вязкого трения; f — некоторая функция; ц1 — коэффициент трения при контакте сухих поверхностей; а к — локальное значение силы нормального сжатия; а0 — предел упругости; К — специальная переменная, эффективно отражающая локальное сопротивление тангенциальному смещению контактирующих поверхностей благодаря их зацеплению на микроуровне.
В общем случае параметры ц0, ц1, ак и К являются сложными функциями различных факторов микроуровня, таких как локальный профиль контакта поверхностей локальное состояние поверхностей и история их взаимодействия L, относительная тангенциальная скорость ¥т, локальное значение нормального сжимающего напряжения а^са1, локальная температура Т1оса1 и т. д. Переменная К также является функцией средней площади контакта 51.
Для учета зависимости перечисленных параметров уравнения (13) от микро- и мезоуровневых переменных могут быть использованы различные теоретические подходы и результаты экспериментов. Использование различных форм зависимости позволит описать и исследовать в деталях различные эффекты, возникающие в процессе трения, на мезо- и макромасштабном уровнях [24, 25].
Таким образом, предложенная модель дает возможность непосредственно изучать взаимодействие контактирующих плоскостей на двух последовательных масштабных уровнях: мезо и макро, а также непосредственно исследовать влияние параметров микроуровня.
Использование мезоскопических моделей трения и износа является очень важным для получения практически важной обобщенной информации об изменениях поверхности (например сглаживании рельефа) и характеристиках трения.
На практике часто используются макрохарактеристики трения, такие как коэффициент трения двух поверхностей:
Р<ь
(14)
N
где Р4 — сила сопротивления контактирующих тел относительному тангенциальному движению; Р1Ч — приложенная нормальная сила. В зависимости от мезомоде-ли трения можно получить различные формы зависимости от времени и частоты трения, пройденного пути, начальной температуры и состояния поверхностей, а также других используемых на практике характеристик.
7. Эффективный учет микрошероховатости поверхности
Для переменной К, описывающей микрошероховатость, очень сложная реальная зависимость КД^) (рис. 7, а) аппроксимируется суперпозицией двух кусочно-периодических функций (рис. 7, б). Периодические фрагменты аппроксимирующей функции описываются фрагментами синусоид:
—
Кп = —-Б1П|
п А
(
хП = хП-1 + УПАІ,
хП = хП-1 + КпА(.
(15)
Здесь п — номер временного шага; А^) и 11(2) — амплитуда и полупериод синусоиды соответственно; х — текущее значение координаты на оси, направленной вдоль линии контакта поверхностей (тангенциальное направление), индексы 1 и 2 отмечают номер синусоиды; А — размер представительного мезообъема.
Первая из синусоид (номер 1) в выражении (5) рассматривается как первое (грубое) приближение реальной зависимости К (^). Вторая синусоида позволяет получать более точное (тонкое) приближение к реальному профилю (рис. 7, б).
Каждая синусоидальная компонента сложной кривой К^(^) имеет свое собственное значение амплитуды А, которое коррелирует с заданными средними значениями амплитуд первой и второй синусоид 4(2) (рис. 7, в).
Для оценки характерной длины регулярного (периодического) участка кривой КД^) были введены параметры регулярности d1 и d1 (рис. 7, в). Каждый периодический (синусоидальный) участок кривой име-
п
п
Рис. 7. Действительная (а) и аппроксимирующая (б, в) зависимости мезокоэффициента К от характеристик зацепления поверхностей на микроуровне (рельефа контакта)
ет свою собственную длину, которая коррелирует со средним заданным значением d1(2).
Очевидно, что значения параметров d1(2), как и
и 11
*1(2) и 11(2), могут быть получены из экспериментов или теоретических оценок на основе других моделей [22, 23, 25].
В общем случае кривая К (х) колеблется около некоторой средней величины К™, большей нуля. Эта величина не зависит от и определяется только профилем контакта самих поверхностей. Вообще говоря, условие К*у > 0 определяется тем, что на мезоуровне на характерной длине Я укладывается множество элементарных единиц поверхности (“бугров”, “впадин” и т. д.). Так на микроуровне при рассмотрении взаимодействия двух сцепленных “бугров” неизбежно реализуется механизм эффекта “сцепление - срыв” и, следовательно, здесь К^у = 0. При взаимодействии двух клеточных автоматов на мезоуровне вне зависимости от взаимодействия элементарных единиц всегда будет существовать некоторое зацепление поверхностей (тем большее, чем больше отношение Я к характерному размеру элементарной единицы поверхности) и, следовательно, К- > 0. Также заметим, что при увеличении Я относительное значение амплитуды колебаний К (по отношению к К^у ) будет уменьшаться до нуля.
Таким образом, при увеличении отношения размера клеточного автомата Я к характерному размеру элементарных единиц поверхности величина К^ будет расти и достигнет некоторого максимального значения при выходе Я на макромасштабный уровень. Относительное значение амплитуды колебаний при этом должно спадать до нуля.
8. Заключение
В настоящей работе изложены основы метода подвижных клеточных автоматов. Следует отметить, что данный метод не является закрытым и позволяет применять различные подходы и модели для описания моделируемых сред. Так, в зависимости от функции отклика клеточного автомата существует возможность описания процессов в твердом теле как на мезомасштабном уровне (с явным учетом анизотропии представительных объемов), так и на макроуровне (в приближении изотропности отклика автоматов).
Как отмечалось выше, важным преимуществом метода МСА в сравнении с методами механики сплошной среды является возможность прямого моделирования процессов разрушения. Такая возможность напрямую вытекает из постулатов метода, поэтому не нуждается в искусственных построениях.
К сожалению, в рамках одной статьи невозможно охватить все составляющие метода MCA. В частности, не было рассмотрено описание химических реакций и фазовых переходов. Изложение этого формализма является предметом нескольких отдельных публикаций. Здесь лишь можно отметить, что в настоящее время созданы и апробированы две основные модели. Первая из них базируется на классических теориях фазовых переходов и жидкофазного спекания и применена для моделирования синтеза интерметаллидов методом CBC. Другая позволяет описывать химические реакции синтеза в ударных волнах при взрывном компактировании порошковых смесей.
Необходимо отметить, что перспективы развития метода MCA являются достаточно широкими. Так, ведется работа по явному учету формоизменения клеточных автоматов, что критически важно для моделирования пластической деформации. Создается формализм метода MCA для трехмерного случая. Планируются исследования в области моделирования жидкостей.
Таким образом, благодаря своим преимуществам метод MCA открывает новые возможности для непосредственного моделирования таких сложных процессов, как перемешивание масс, эффекты проникания, возникновение повреждений, накопление повреждений, локальное разрушение, распространение трещин, фазовые переходы, распространение химических реакций и т. д.
Литература
1. Cundall PA., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. - 1979. - V. 29. - No. 1. - P. 47-65.
2. Cundall P.A. A computer simulations of dense sphere assembles // Micromechanics of granular materials / Eds. by M. Satake and J.T. Jenkins. - Amsterdam: Elsever Sci. Publ., 1988. - P. 113-123.
3. Herrmann H.J. Simulating granular media on the computer // 3rd Grana-
da lectures in computational physics / Eds. by P.L. Garrido and J. Marro. - Heidelberg: Springer, 1995. - P. 67-114.
4. Hemmingsson J., Herrmann H.J., Roux S. On stress networks in granu-
lar media // J. Phys. I. - 1997. - V. 7. - P. 291-302.
5. Walton O.R. Numerical simulation of inclined chute flows of monodisperse, inelastic, frictional spheres // Mechanics of Materials. - 1993. -V. 16. - P. 239-247.
6. Walton O.R. Numerical simulation of inelastic, frictional particle-particle interaction // Particulate two-phase flow / Ed. by M.C. Roco. - Boston: Butterworth-Heinemann, 1993. - P. 884.
7. Luding S. Granular materials under vibration: Simulations of rotating spheres // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - No. 4. - P. 4442.
8. Poschel T. Granular material flowing down an inclined chute: A molecu-
lar dynamic simulation // J. Phys. II. - 1993. - V. 3. - P. 27.
9. Greenspan D. Particle modeling in science and technology // Coll. Math. Societatis Janos Bolyai. - 1988. - No. 50. - P. 51.
10. Ostermeyer G.P Many particle systems // German-Polish Workshop
1995. - Warszawa: Polska Akad. Nauk, Ins. Podst. Prob. Techniki,
1996.
11. Остермайер Г.П. Метод мезоскопических частиц для описания термомеханических и фрикционных процессов // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 6. - С. 25-32.
12. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. - М.: Мир, 1987. - 640 с.
13. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. - М.: Мир, 1975. -218 с.
14. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. -№ 1. - С. 95-108.
15. Дмитриев А.И., Коростелев С.Ю., Остермайер Г.П., Псахье С.Г., Смолин А.Ю., Шилько Е.В. Метод подвижных клеточных автоматов, как инструмент для моделирования на мезоуровне // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1999. - № 6. - С. 87-94.
16. Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. вузов. Физика. - 1995. - № 11. - С. 58-69.
17. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. - М.: Наука, 1987. - 268 с.
18. Foiles S.M., Baskes M.I., Daw M.S. Embeded-atom-method functions for the f.c.c. metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt and their alloys // Physical Review B. - 1986. - V. 33. - No. 12. - P. 7983-7991.
19. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
20. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - 298 с. и 320 с.
21. Psakhie S.G., Moiseyenko D.D., Smolin A.Yu., Shilko E.V., Dmitri-evA.I., Korostelev S.Yu., Tatarintsev E.M. The features of fracture of heterogeneous materials and frame structures. Potentialities of MCA design // Computational Materials Science. - 1999. - V. 16. - P. 333343.
22. Крагельский И.В. Трение и износ. - М.: Машгиз., 1962. - 384 с.
23. Tworzydlo WW, Cecot W., Oden J.T., Yew C.H. Computational micro-and macroscopic models of contact and friction: formulation, approach and applications // Elsevier. Wear 220, 1999. - P.113-140.
24. Rozman M.G., Urbakh M., Klafter J. Stick-slip dynamics of interfacial friction // Physica A. - 1998. - 249. - P. 184-189.
25. Raharijaona F., RoizardX., Stebut J. Usage of 3D roughness parameters adapted to the experimental simulation of sheet-tool contact during a drawing operation // Elsevier. Tribology International. - 1999. -V. 32. - P. 59-67.
