О задаче, возникающей при решении уравнений с вырождениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

О задаче, возникающей при решении уравнений с вырождениями

Д.С. Кац

Аннотация — Рассматривается проблема, возникающая при исследовании уравнений с вырождающимися коэффициентами — необходимость вычисления к-преобразований Лапласа-Бореля функций вида ехр ( а/г"). Показывается что такие задачи сводятся к решению уравнений с младшими вырождениями типа клюва в символе. Показывается, что они являются уравнениями, преобразованием Лапласа-Бореля сводящимися к уравнениям с коническим вырождением в символе. Строятся асимптотики решений таких уравнений и образов исследуемых функций.

Ключевые слова — асимптотика, вырождение, дифференциальные уравнения, ресургентный анализ, преобразование Лапласа, преобразование Бореля.

I. Введение

Рассматривается задача вычисления образов /с-преобразования Лапласа-Бореля функций вида ехр(а/ г"), где а 6 С, /с, и£М, 1 < п < /с. Необходимость вычисления образов таких функций возникает, например, при построении асимптотик решений вырождающихся неоднородных дифференциальных уравнений вида

ат =ЯГ),

¿=0

где в левой части находится дифференциальный оператор с голоморфными коэффициентами, а правая часть является ресургентной функцией (определение ресургентности дано ниже). В работе [1] показано, что такие уравнения с вырождениями в коэффициентах эквивалентны уравнениям с вырождениями в символе

X а* (г) и(г)=^(г),

=0

где функции ат(г) — голоморфные, и а„(0) Ф 0. В работах [2] и [3] асимптотические разложения решений таких уравнений были вычислены в случае, когда корни основного символа оператора, стоящего в левой части уравнения, т.е. многочлена

Но (Р) = X

=0

являются простыми, а правая часть может обладать особенностями вида

Статья получена 14 февраля 2017.

Д.С. Кац, аспирант., МГУ им. М.В. Ломоносова (e-mail: [email protected])

(/с—1 д го

=1 =0

такими, что числа Я не совпадают с корнями Я0(р ). В работе [4] рассмотрен т.н. случай резонанса, т.е. совпадения чисел Я с корнями основного символа, для уравнений с младшими (/с = 1) вырождениями. Отметим, что с точностью до замены г = 1/г таким видом обладают уравнения с коэффициентами, голоморфными в некоторой окрестности бесконечности, задача построения асимптотических разложений решений которых рассматривалась, например, в книге [5], где были разобраны уравнения второго порядка с единичным старшим коэффициентом. Необходимость вычисления -преобразований Лапласа-Бореля рассматриваемых в работе функций является одной из проблем, возникающих при исследовании неоднородных уравнений со старшими вырождениями. Дело в том, что при решении таких уравнений возникает потребность в заменах вида и (г) = ехр(^^:—1 а¿/ г')гст г?(г), но, после коммутации умножения на ехр(Ц£;—1 «¿/г с дифференцированием и

домножения уравнения на ехр(- 1 «¿/г ')г—, рассматриваемые в статье функции начинают фигурировать в правой части и требуется вычислять их /с-преобразования Лапласа-Бореля. Аналогичная проблема возникает при исследовании уравнений, имеющих кратные корни основного символа, методом повторного квантования, описанного в работе [6], т.к. уравнение, получаемое после первого применения преобразования Лапласа-Бореля к исходному всегда будет неоднородным.

В данной работе для вычисления /с-преобразований Лапласа-Бореля функций вида ехр(а/ги), исследуются системы уравнений для образов функций / , = 0, - 1, возникающие в следствие известных свойств -преобразования Лапласа-Бореля. Показано, что задача вычисления искомых образов сводится к решению уравнений с младшими вырождениями вида

Хс' '(- с2 ш) ^ с) +Хс^—'(- с2 £) ^ с) +

¿=1 ¿=1

+ а0^' = й (С1^), где у, 5, ], С; и с ¿' — константы, зависящие от /с, пи а. В случаях = 0 и = 1 получаются уравнения, исследованные соответственно в работах [3] и [4]. При 5 > 2 данные уравнения имеют кратный корень в основном символе, однако, они являются уравнениями вида

П+М {

Е (гк) (-1 гк+1

1=п+1

п ^

+ ^г(п-1)кк, (гк) ( гк+1 ) и(г) = д(г)_

1=1

где (гк) — полиномы, причем кп(0) ^ 0, Ь.п+М(0) ^ 0, а д(г) — ^-ресургентная функция, которая имеет асимптотическое разложение вида

^ га> ^ Ы1г ^ А\]Г1, а] Е Е. ] 1=0 1=0 Такие уравнения также являются предметом исследования в данной работе, в частности, строятся асимптотичесческие разложения их решений, что позволяет найти вид &-преобразования Лапласа-Бореля функций вида вхд(а/гп) в общем случае.

II. Основные определения

Здесь будут даны определения некоторых понятий ресургентного анализа, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Обозначим через 5Яе сектор 5Яе = [—£ < ащг < е, \г\ < И}. Будем говорить, что аналитическая на е функция f имеет не более, чем &-экспоненциальный рост в нуле, если существуют такие неотрицательные константы С и а, что в секторе выполнено

неравенство

\Ц< Сеа/1г\к

Обозначим через е(пКе) пространство функций экспоненциального роста на бесконечности, голоморфных в области Пй £ = [г: \ащг\ < п/2 + е, \г\ > И}, а через Е(С) — пространство целых функций экспоненциального роста на бесконечности. Через Ек ) обозначим пространство функций, голоморфных в 5й£, &-экспоненциально растущих в нуле.

^-преобразованием Лапласа-Бореля функции [(г) Е Ек (5и Е) называется

Bkf

[Го =11

, к dr -р/гу(г)

к + 1'

Основы теории преобразований Лапласа-Бореля и ресургентного анализа можно найти в книге [7].

III. Построение системы уравнений

Рассмотрим задачу вычисления Вкеа/гП, где к, и£М, 1 < 1 < к. Обозначим

1т (р) = вкгтеа/гП, т = 0, к- 1. 1т, здесь, — элементы пространства E(CLRe)/E(C). Нашей задачей является вычисление 10. Для начала, отметим следующее соотношение, вытекающее из свойств fc-преобразования Лапласа-Бореля:

Pia(р) = Вк (-1 rk+1 ^еа/гП) = Вк (^гк-пеа/гП) =

па. = — I,

к—п

(Р)'

к—п-

Известно, что Вк: Ек(БЯ е) ^ Е(ПЯе)/Е(С). Обратное преобразование Лапласа-Бореля определяется следующим образом:

В-1! = ер/гк [(р)_р,

где контур у — граница области Пй,£ (его изображение можно найти, например, на рис. 2 работы [2]). Отметим, что верна формула

Вк°(-_ гк+1-^)Г(г) = рВк/.

Определение 1. Функция f называется бесконечно-продолжимой, если для любого числа И существует такое дискретное множество точек с С, что функция [ аналитически продолжима из первоначальной области определения вдоль любого пути длины меньшей, чем Д, не проходящего через

Определение 2. Элемент [ пространства Ек (5Ке) называется ^-ресургентной функцией, если его к-преобразование Лапласа-Бореля бесконечно продолжимо.

Получили уравнение, связывающее 10 и ^ Аналогично, для т = 1, к — 1 имеем

р1т(р) = Вк (—_гк+1 __;Гтеа/гП) =

= ^Вк(гк+т~пеа/гП)—^Вк(гк+теа/гП). (1) К К

В работе [8] доказано следующее соотношение:

вкгкв^1Г(р) = — _ 1Р/(р')_р'.

С его помощью второе слагаемое в правой части

равенства (1) можно представить следующим образом:

т . , , , Пч т [р _ — — Вк(г еа/Г ) = 1т(р')_р'.

Первое же слагаемое при < имеет вид па , , , , пл па_

ТВк(гк+т~пе) =Т 1к+т_п(р),

а при т>п

па , , , , пл па Гр _

ТВк(гк+т~пе) = —~1 1т-п(V')_Р'.

С учетом всего вышесказанного можно выписать

следующую систему уравнений: ' _ па _ РЪ (Р) = -у1 k-n(P),

па„ 1 [Р..

РкЬ) = —1к+1-п (Р) + ] Ь(Р')_Р',

па _ п- 1 Гр „

pln—i(p) = —Ik—i(p) J In—i(p')dp',

па fp„ , , п Гр„

PL(Р) = J 'о(Р W + J 'п(Р W,

па Гр _

Plk—i (Р) = - ¿I J h—i—nVPJdp' + fk—i(p'W'

(2)

+

к- 1 Гр.

к2

Интересующую нас величину мы обозначили как 10. Таким образом из всех неизвестных системы нас интересует только эта.

Данную систему рассмотрим сначала для модельного случая к = 6, п = 4, а затем опишем, что будет происходить в случае общем.

IV. МОДЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР

Чтобы вычислить £6еа/г4 достаточно найти /0 в следующей системе уравнений: ( ~ 2а _ Р70(Р ) = "3 МР )-

2а _ 1 , ,

Р /х (Р )=Т 7з(Р )+36 | 71 (р ''

2 1 Р /2(Р )=— /4(Р ) +18 | ^(Р ')ЙР',

2а „ 1 Гр~ , ,

р/э(р) = т 75(р) + 12 | 7з(Р')ЙР'-

1а Гр 1 Гр

р/4(р) = --9 I /о(р'Ж + - I /4(р')ар',

р/5(р) = - -у I А(рЖ + 36 | /5(р'Ж.

(3)

Л(р)

2а 1 Гр

+ p/i (Р) = у /э (Р) +36 J 7i (Р Ж -

/2(р) + р/2(р) = ^/4(р) +l8 J/2(p')dp',

2а

Y

/3 (Р) + Р'э (Р) = /5 (Р)+ 112 /" 7э (Р' W -

/4(р) + р/4(р) = -9 I Wp'Ж +1 I Up'Ж,

5

/5(Р) + р/5(р) = -91 А (р'Ж' + 361 ^ж'

где /т(р) — некоторые голоморфные функции. В последней системе каждое уравнение (кроме первого) продифференцируем, а затем разрешим относительно неизвестной функции (или ее производной), входящей в первое слагаемое правой части. Получим

Up) = èp/° (р) - ¿/о(р)- (4)

/3 (р) 35 3 = 2^7i(p) + 2äp/1 (р) (5)

'4 (р) ^^р'2 (р) (6)

/5 (р) = 118/э(р) + ;1р/э (р) - "è /э'(р)- (7)

/с(р) = 74(р) -9 р'4 (р) - (8)

/i(p) 31 9 = - 4а 75(р) ^ (р)" -9 /5'(Р). (9)

В полученном уравнении выражаем /4(р) через /2(р) с помощью уравнения (6):

172 207 27 ,

70(Р) = -^772(р) -7т7р72(р) -^-7р272'(р) -

12а2 2VFy 4а2' -Й2(Р),

2а2

Так как /т — это элементы пространства Я(ПЙ£ )/Я(С), т.е. классы функций, то работу с системой (3) начнем с того, что зафиксируем в каждом из классов /т (р) по элементу /т(р). При этом равенства из системы (3) при переходе от классов /т (р) к их фиксированным членам /т(р) сохранятся с точностью до голоморфных функций, т.е. будет иметь место система 2а

/о(Р) + Р'о(Р)=^Т72 (Р)'

где Й2(р) = -292/2'(Р) - 2^/2"(р) + 9/4"(Р) — голоморфная функция. Наконец, выражаем /2(р) через /0(р) с помощью уравнения (4):

81 / 945 , \

- 4^3/0^ + (-1)70(^) - (10)

455 (10)

- 4^3Р/0(Р) = Й0(Р),

где й0(р) — некоторая голоморфная функция, выражающаяся через /0(р), /2(р), /4(р) и а. Получили линейное дифференциальное уравнение с голоморфнымми коэффициентами относительно /0 (р). Отметим, что уравнения (5), (7) и (9) при этом остались незадействованными. В работе [1] было показано, что уравнения с голоморфными коэффициентами представимы в виде уравнений с вырождениями типа клюва в символе, в частности, уравнение (10) можно переписать в виде

--(-1 рэ -

аЛ Г dp

) /с(р)

+

/459 2 w 1 э d \

+ Ь^ + 2)(-1^ (р)

455 4 3~

- 4аЗр4/0(р) = Р3^0(Р). Данное уравнение можно свести к уравнению с младшими вырождениями заменой р2 = /0(р) = w(t): 81/ , ^2 /459 \ /

455

4аз ^(0 = ^3/2Й0(^1/2).

Это — уравнение с основным символом 81 2

а3

не имеющим кратных корней, и слабым резонансом в нуле, подобное уравнениям, рассматривавшимся в работе [4]. Построив асимптотику его решения и вернувшись к исходным переменным получим

ßeexp (£) = ^ Сгрг +

¿=э

+ exp (82^2)Р-51/18с(1 +

œ ï \

+ X p2ï П (36s2 - 783s + 1820) I,

Получить уравнение, содержащее из всех неизвестных только интересующее нас (/0(р)), можно следующим образом: дифференцируем уравнение (8):

/0 (р) = -17 /4 (р) - 9 р/4'(р) - 9 /4"(р).

¿=1 5=1

где С;, С — некоторые постоянные.

V. Общий случай

В общем случае задача вычисления Влеа/г" сводится к поиску неизвестного /0 в системе (2). Аналогично модельному примеру, зафиксируем в каждом из классов /т (р) по элементу /т(р), а каждое уравнение полученной системы (кроме первого)

продифференцируем. Получим систему

l'k + i—n (P) =

к к

Ik—n(P) =— PI0(P) -—fo(P)> na na

l^T11 + ^ (p) --

'U(p) = k п1+1 In—i(p) + ^piu

kna

na

-~f^—i(P),

]{2 —n y!

1 o(P) =--(P) ^(P) -

na na

k2

¡i(p) =--

(11)

n ■

1 k2

—-¡n+i(P) -—P!'+i

na na

i=s+i

1 c*ru—l) (v dP;

s

+ I (Cipy(j—i) + c''pY(s—i)) X i=i

( 1 , d V

(12)

- ï d

+ a0p rtl0(p ) = p vi—ih (p ),

где

- 1,5 =

НОД(п, к)

Y + 1 =

НОД( , )

- 1,

(13)

-

l(s)(p) = h (p ) + I aipi+il^)(p ), i=0

(14)

'(k^n(P)= —i)(P) + F(p) -

na na (15)

-™%S)(p)' ПРИ 5- 0;

j(s) ( = - (s + 1)k2 - (n + m) j(s)

im (r) ^

лт+п (p ) -

2

na

к (s+i)r л к ¿(s) , -, (16)

l(n\p ) =

ngPtâ+n (PÏ na fm+n (P), при m = 0,k - n - 1,s > 0 sk2 + к - n- m

kna

-I,

(s—i) (v) + к

+_r,J(s)__f(s) (n)

паР'т—к+п na УP),

(17)

- ^П+Ш

к2 — к + 1 1к-п-1(Р) =--—-¡к-1(Р) —

Процесс получения из системы (11) единственного уравнения, содержащего только одну неизвестную функцию — 10 (р) — аналогичен такому же процессу для модельного примера: имеет место Теорема 1. Один из представителей 10 (р) класса функций 10(р), являющегося &-преобразованием Лапласа-Бореля функции вхр(а/гп), удовлетворяет уравнению

' ' 1 ¡V

10 (Р) +

С1 и с[ — некоторые числовые коэффициенты, И (р) — некоторая голоморфная функция.

Доказательство. Сначала докажем, что 10 (р) удовлетворяет уравнению вида

1

где И (р) — некоторая голоморфная функция, а а; — числовые коэффициенты. Для этого дифферецируюя соответствующее число раз различные уравнения системы (11) получим следующие соотношения:

при т = к + 1 — п,к — 1, б >0. Процесс построения с их помощью уравнения относительно 10(р) выглядит следующим образом: на первом шаге мы берем уравнение системы (11), в левой части которого находится функция 10 (р):

10(Р) = (Р) (Р). (18)

па па па

Второй шаг заключается в следующем: если п = к — п, то выразив в уравнении (18) 1п(р) и (р) через 10(р) и ¡0(р) по формуле (15) сразу получим уравнение вида (14). Если п < к — п, то аналогично с помощью

формулы (16) получим уравнение вида

2

10(Р) = Ыр) + £ а2рЧ%(р),

1=0

где И2(р) — голоморфная функция, а2 — числовые коэффициенты. Если п > к — п, то мы не можем выразить функцию 1п (р) через производные другой неизвестной функции — только производные 1п (р), начиная с первой. Аналогично тому, как это было сделано в модельном примере, это затруднение можно преодолеть, продифференцировав обе части уравнения (18), после чего правая часть полученного уравнения будет содержать только производные функции 1п (р), но не ее саму, что позволит, заменив их по формуле (17), получить уравнение вида

2

10(Р) = К(р) + £ а2р11(1-к(р).

1=0

Далее, на каждом шаге нашего процесса в правой части уравнения будет находится некоторый дифференциальный оператор, примененный к некоторой неизвестной функции 1т (р). Следующий шаг процесса зависит от т:

Если т = 0, то процесс завершен, мы получили требуемое уравнение.

Если т = к — п, то нам остается сделать последний шаг, заменив функцию 1т (р) и все ее производные по формуле (15).

Если т < к — п, то чтобы произвести очередной шаг процесса мы заменим функцию 1т (р) и все ее производные по формуле (16).

Если же т > к — п, то продифференцируем обе части уравнения, полученного на предыдущем шаге, после чего заменим производные функции 1т(р) по формуле (17).

Так как каждая неизвестная функция входит ровно в два уравнения системы (11), то данный процесс определен однозначно и конечен (т.к. на однажды встреченную, а затем выраженную из другого уравнения неизвестную

функцию мы больше никогда не натолкнемся, а число неизвестных функций конечно). По индукции легко доказать, что уравнение, получаемое после шагов процесса при условии того, что т-й шаг не являлся последним, имеет вид

(19)

Ут+1

(20)

I

¿=0

ai (Р )dpTU(P ) = ^(Р )-

где a, (р )=р 4iCj (р ), причем функции с, (р ) голоморфные и с, (0) Ф 0, представимы в виде

I а,(р ) (-V+1 ¿) и(р) = р чп/(р)

=0

/¿S m)(P ) = йт (Р )+ ¿аГр^«(р),

¿=о

где /Jm (р ) — неизвестная функция, содержащаяся в правой части уравнения, с помощью которого осуществлялась замена на m-м шаге, йт (р ) — некоторая голоморфная функция, а™ — числовые коэффициенты, а sm — количество уравнений системы (11), в левых частях которых фигурировали производные неизвестной функции, которые были задействованы в первых т шагах процесса. Тогда на предпоследнем шаге мы получим уравнение

/О* 7°(Р ) = ¥Р )+ £ а/У/£„(р ).

=о

Здесь у — порядковый номер предпоследнего шага. Совершив с помощью формулы (15) последний шаг, получим уравнение вида (14). Ясно, что значения коэффициентов этого уравнения, равно как и чисел и , зависят от того, сколько и каких уранений из системы (11) было задействовано в описанном процессе. При этом, как показывает модельный пример, таковыми оказываются, вообще говоря, не все уравнения исходной системы.

Покажем, что числа и действительно задаются формулой (13). Для этого выясним, какие уравнения системы (11) использовались при получении уравнения (14). Заметим, что формулы (15)—(17) дают следующее рекуррентное соотношение для индексов ут неизвестных функций /,т (р ) уравнений (19)

для всех у таких, что 7 + 1 >

> max ( <?„ - <7„_1

d

Чп Чп-2 <?п Чп-3

^n - qo 1 - п J

(21)

причем fSo(p) = p^(r+1)-4nao(p),

Si(Р) = TT (p(^'-j)(^+1)-4nam(р) -

(р )ь/р^- j) —• - âi+1(p)bi+V),i = 07,

где числа Ь/ (/, i £ M, i < у) определяются рекуррентными соотношениями

ч = -1,

=-1 tfi=(-1)',

bi = -- СкС/ - 1) + 1)ь.

7-1

У 1

;> 2, ;> 2,

ь/ = --((К/-1) + оь/-1 + ь/-!1)' У > 2'I = 2'у -1.

Это значит, что если мы выберем

у +1 к у + 1 = -— = г—'

у - 5 к - п

то, воспользовавшись формулами (21), мы легко сможем показать, что рассматриваемое уравнение можно представить в виде (12). ■

= От + И' ;т < к - п - 1'

1/т + п - ^ - п < Ут < ^ - 1

Так как = п, то все индексы ут представимы в виде ут = хп - у^, где X' у 6 2. Отсюда вытекает, что НОД(П' &) является делителем ут для всех т. Так как процесс построения уравнения (14) завершается когда индекс неизвестной функции в правой части уравнения становится равным нулю, то ясно, что в нем будут задействованы все уравнения индексы неизвестных функций в правых частях которых делятся на НОД (П' &). Всего таких уравнений ^/НОД(П' из них п/ НОД(П' &) содержат знак производной в левой части. Таким образом, если ввести обозначение I = НОД(П' то числа 5 и у выражаются следующим образом п к

5 = у-1; ^ = 7-1'

причем, по условию, п < а, следовательно, и 5 < у. Таким образом мы получили относительно /0 (р) следующее линейное дифференциальное уравнение: а/р/+1/0/)(р) + ••• + ах+1рх+2/0х+1)(р) + (а5р*+1 -- 1)/0х)(р) + а5-1рх/0х-1)(р) + ••• + + ^хр2/'0(р) + а0р/0 (р) = -й (р). Такие уравнения рассматривались в работе [1], где было показано, что уравнения вида

7

Сделав в (12) замену t = р7, w(t) = /0(р), получим d\j

уравнение

7

1 dt) W(t) +

S 1

i=s+1

+

(22)

i=1 ^ i

+ Cj'ts-i) (-t2 -) W(t) +

+ a0fw(t) = ^'-1/7й (t1/7 ) Это уравнение с младшими вырождениями. Его символ

7

H(t, <?) = I +

i=s+1

(23)

+ I (Cjt^-i + c't^V + ao

a0tJ.

¿=1

Его основной символ

Й0(9)= ^(0' д) = с/У-с^5 (24)

имеет корень 0 кратности 5 и у - 5 корней кратности 1 — всевозможные значения

n

Если 5 > 2, то основной символ имеет кратный корень. Если 5 < 1, то все корни основного символа являются простыми, причем при 5 = 1 один из корней является нулевым, что порождает резонанс с правой частью, а при 5 = 0 нулевого корня и, как следствие, резонанса

нет. Асимптотики решений уравнений с младшими вырождениями, основной символ которых свободен от кратных корней, в нерезонансном случае были получены в работе [2], а в резонансном — в работе [4]. В частности верны следующие две теоремы. Теорема 2. Если натуральное число п является делителем числа к, то ^-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение

к/п-1 ж ж

ехр(д1 /рк-п)рк-п £ Б11рк-п + £ Б^р1,

l = i

где

(k-n)fn

4i =

ак/пп(к - П)(к—п)/п

fc(2k—n)/n

а =

(Па)(к—п)/п 1

(к(к - 2п)

к-п

2п2 п

(к—п)/п

к2 - п

кк/п

I ikl—i),

i=i /

а, = а =

Ч—i Jci '

Π=

(25)

i=i

i=0

i=o

где

4i

2(k-n)/n

M

fc2(2k—n)/n

a, s[, Si — числовые коэффициенты.

ß2k/n-fl2 Qç _fi)2(k—ri)/n

При 5 > 2, уравнение (22) имеет кратный корень в основном символе, однако, можно показать, что в таком случае оно является уравнением с коническим вырождением в р-представлении, исследованию которых посвящен следующий раздел.

VI. Уравнения с коническим вырождением в р-

ПРЕДСТАВЛЕНИИ Будем рассматривать уравнения вида

1 к , 1

I ht(rk) (--rk+i —) u(r) +

i=n+i

П

+ I r{n—i)kh,(rk) i-_

. л d\1 r —) u(r) = g(r),

(27)

к _г/

где (гк) — полиномы, Ип(0) Ф 0, Ип+М(0) Ф 0, а д(г) — ^-ресургентная функция, которая имеет асимптотическое разложение вида

5-, — числовые коэффициенты.

Доказательство. Как уже было сказано, вид асимптотики решения уравнения (22) для случая 5 = 0 найден в работе [2]:

] ж ж

ш(1) = £ ехр(Я1 /Ь)1°1£ + £ з^У,

1=1 1=0 1=0 где — различные комплексные корни у'-й степени числа 1/С], а

I r°i I \nlr I А\]Г1, aj Е R. i=0

ой символ этого уравн

п+М

Н0 (р) = I hi (0)р1

(28)

j i=o i=o Ясно, что основной символ этого уравнения

п+М

имеет нулевой корень кратности п. Будем предполагать, что все остальные его корни — простые. В таком случае имеет место

Теорема 4. Пусть функция и(г) является решением уравнения (27), тогда, при сделанных выше предположениях, она ^-ресургентна и представима в виде

Найти явное выражение коэффициентов су и с^-1 уравнения (22) через к, п и а можно, пользуясь доказательством теоремы 1: достаточно по индукции доказать, что при 5 = 0 в уравнениях (19) _к2\т па) '

7 2 т

к2 — п , V а™-1 = (—1)т 1—у^кГП-1£ *1-1. (26)

1=1

С помощью данных формул, а также формулы (15), можно найти явный вид коэффициентов а^ и а^-1 в уравнении (14), через которые с помощью формул (21) явно выражаются искомые коэффициенты су и с^-1. Вернувшись после этого к исходным переменным получим утверждение теоремы. ■

С использованием асимптотик, найденных в работе [4], полностью аналогично доказывается Теорема 3. Если натуральное число п = 2НОД(п, к) (т.е. б = 1), то ^-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение

2(к-п)/п ж ж

^п ап 1п ,

ехр(Я1 /рк-п)рк-п £ Б,1рк-п + £ Б^р1,

l(r) = I ui(r)

где сумма берется по объединению р^ корней полинома Н0 (р), а функции и] (г) являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках р^, и имеют асимптотические разложения

( к-1 ] \ ж

^ (г) = ехр +

V 1=1 ' 1 =0

при Р] Ф 0. Компонент и0(г), соответствующий нулевому корню полинома Н0(р) имеет асимптотическое разложение

т ж ти

0(r) = I rk(—xi+i) I I А?г1\Пг.

(29)

i=o j=o Вычисление

1=0

Доказательство. Вычисление компонентов

асимптотики решения, соответствующих простым корням основного символа произведено в работе [8], поэтому здесь построим только асимптотику, соответствующую единственному кратному (нулевому) корню. Делать это мы будем по следующему плану: применим ^-преобразование Лапласа-Бореля, сведем полученное уравнение к уравнению с коническим вырождением и функцией, представимой в виде конормальной асимптотики в правой части. Решение этого уравнения, как показано, например, в [9], также будет представляться конормальной асимптотикой, что позволит нам вычислить соответствующий компонент

асимптотики решения исходного уравнения, взяв ее обратное fc-преобразование Лапласа-Бореля. Сначала выберем достаточно большое натуральное число N, такое что все полиномы й,(rfc) будут представимы в виде

min(i+W,n+W)

й(г* ) = I й/г^.

7=0

Теперь мы можем переписать уравнение (27) в виде

1d

" ' ' +

г (n+w)fcHn+w(-1 rfc+1

+ (-1 rk+1 dL) U(r) + - +

+ rfcH1(-1 rk+1 -^-Wr) + V к dry

+МЧrk+1 d^)u(r)=^(r).

(30)

ßfc [rfcu

(r)](p) = J

œ

ü (p')dp'.

Пользуясь ей, применим ^-преобразование Лапласа-Бореля к обеим частям (30):

ГР rPl ГРп+N-l

I I - I tfn+W (Pn+W^(Pn+W)dPn+W -dP1 +

œ œ œ

fP fPl fPn+N-2

+ I I — I ^n+W-1(Pn+W-1) X

œ œ œ

X ü(Pn+w-1)dPn+w-1 - dP1 + - +

+ I (Р1)й (P1 )dp1 + H0(p)iï (p) =

œ

= 5(P).

Продифференцируем n + N раз: d

tfn+w (P)" (P) + d^Hn+w-1(P)îi (P) + - +

dn+W-1

dn+w dn+w

+ (P)û (P) = d^^P).

Покоммутируем дифференцирования с домножениями на многочлены:

1 i (p)û (p) +1 с1яп+-;- 1(p)ddj7û (p) + - +

I ^

+ ^ СА+и-1я1п+и-1-')(р)^--й (р) + ¿=0

+ ^ С,ия0П+'¥-1)(Р)т^й(р) = т^^ ¿=0

Здесь С/ — биномиальные коэффициенты. Сгруппируем слагаемые при производных одинаковых порядков:

di

cn+iv#0 (Р)

dpn

(Р) + + («-^(р) +

+ С^-1Я0 (P))"dpn+w-1 + - +

+ №n+w (p) + c1X+w_1(p) + + - + Crf+^p)^ (p) =

^n + W

■¿kp).

û-T^^ (p) +

Здесь

Яг (Р) = Йи+мРИ+М + Й5г+М-1РИ+М-1 + • + Й5гРИ +

I 1,1-^п-1 I I г,тш{0'1-п} ™ max{0,n-i} -I- й„_1Р -I I- Йтах{0.п-1}Р

В работе [10] получена формула коммутации оператора

В/с и оператора домножения на :

dpn+w'

Полиномы Я; (р) представляются в виде Я;(р) = ртах{0,п-1}р0(р), где рР(р) — полиномы. Значит, для их производных верно, что

= ртах{0.п-1-/}р^'

где Р/ (р) — также некоторые полиномы. Воспользовавшись этим, а также домножив обе части уравнения (31) на ри, окончательно перепишем уравнение в виде

dn+w

Рп+ИС+мР00(р)ф^й (р) + + рп+и-1(СЖР10(р) +

dn+W-1

+ С+ТЧ1 (р^^;^* (р) + ••• +

+ р" (С^Р„0(р) + СМ-^р) + ••• +

+ С^" (Р))й (Р) + • +

+ р" №п0+* (Р) + С10Р„1+И-1(Р) + ••• +

(32)

+ С+Л^ (P))û (P) = PW-

ri?(P).

dpn+wс

Полностью аналогично лемме 1 из работы [1]

доказывается

Лемма 1. Оператор

/ ^ V dm

'га = (г)^'

X

такой, что его коэффициенты ат (г) имеют вид ат (г) = ст(г), где функции ст (г) — голоморфные, и

гЧт

ст (0) Ф 0 представим в виде

Я = I«m(r) (-Г^ :

где функции ат(г) — голоморфные, и а„(0) Ф 0, тогда и только тогда, когда для степеней вырождения коэффициентов ат (г) оператора X выполнены условия = п; > Ш' Ут = 0' ?! — 1.

Легко заметить, что для оператора в левой части уравнения (32) условие леммы 1 эквивалентно требованию Р° (0) Ф 0, что выполнено, так как Р^ (0) = йп = й„ (0) Ф 0 по условию теоремы. Таким образом, уравнение (32) есть уравнение с коническим вырождением. Покажем теперь, что правая часть этого уравнения представима в виде конормальной асимптотики. Для этого нам потребуется Лемма 2. ^-преобразования Лапласа-Бореля функций г°7п"г, при а 6 Е, ибМ имеют вид

ßfc [rff lnnr] =

f-1I c^ lnjp,

¿=0 n

?-1I c^ lni+1/

а к

а

— £ M;

к

(33)

обратные fc-преобразования Лапласа-Бореля функций ра\ппр, при aEl, п Е M имеют вид

B—i[pa\ппр] = rk(a+i) I \п1г.

(34)

Здесь с^ и с1^ — некоторые постоянные, причем Ск 'а = 0 тогда и только тогда, когда а Е M0, но в таком случае, верно, что ck—i'n Ф 0.

Доказательство. Докажем сначала формулу (34). Пользуясь известными свойствами fc-преобразования Лапласа-Бореля получаем

В?

— (ра+Чпр) ар

= -^В—Чро+Чпр] =

= -hi-1 rk+i dh)B-i[pa \пр] =

С другой стороны. d

= Bki[p a\npl

B——i

-^-(p a+i\np ) dp

= B—i[(a + 1)pa \пр + pa].

Теперь представимость правой части уравнения (32) в виде конормальной асимптотики доказывается тривиально, с учетом ограничений, наложенных на вид функции д(г). При этом, каждому слагаемому во внешней сумме ее асимптотики (28) в г-представлении будет соответствовать к слагаемых вида

Р к

I \nlrI В\;Г1,

1=0 i=0

б = 0, к — 1

1=0

в р-представлении.

Мы доказали, что уравнение (32) является уравнением с коническим вырождением и функцией, представимой в виде конормальной асимптотики в правой части. Значит, решение данного уравнения также представимо в виде конормальной асимптотики. Вычисляя с помощью леммы 2 ее прообраз тривиально получим формулу (29), что и завершит доказательство всей теоремы. ■

Вернемся теперь к задаче вычисления fc-преобразования Лапласа-Бореля функции exp(a/rn): в предыдущем разделе она была решена при s = 0 и s = 1. Что же касается всех остальных случаев, то несложно заметить, что при s > 2 уравнение (22) является частным случаем уравнения (27), а значит применением теоремы 4 и возвратом к переменной р легко доказывается Теорема 5. Если натуральное число п > 2НОД(п,к), то fc-преобразование Лапласа-Бореля функции exp(a/rn ) имеет асимптотическое разложение (к—п)/НОД(п,к) m

I exp [fyp™ I*lp* +

l=i i=0

M m nll

I p(i—Xl)y I piy I

+

Обозначив B/ci[pa\ппр] = I£a, мы можем выписать уравнение

1d

1Г d?Ik'a = (U + 1)Ik'a + B-i[pa ]. Пользуясь известными (см., например, [10]) формулами для вычисления Вк [га ], легко показать, что B—i[pa ] = cark(a+i\ где са = 0 тогда и только тогда, когда а Е M0. Имеем,

1d

1Г = (« + 1)4,а + cark(a+i).

Решив данное уравнение, получим

B—i[pa\пр] = c0°^rk(-a+i) + c1k^rk(a+i)\nr, где ска = кса. Таким образом, ска = 0 тогда и только тогда, когда а Е M0, но в таком случае ск^, Ф 0, так как функция ра\пр не является голофморфной, а значит ее обратное fc-преобразование Лапласа-Бореля не является нулевым.

Составляя аналогичные уравнения, формулу (34) по индукции легко доказать для произвольного натурального п. Формула (33) также легко доказывается индукцией по п и применением оператора Вк к левой и правой частям формулы (34). ■

^А^ \пт (Ру)

1=0 1=0 т=0

где qi — ненулевые корни полинома (24), у = п/(к n); at, Xi, s-, Aljn — числовые коэффициенты.

С учетом всего вышесказанного, также можно утверждать, что верна

Теорема 6. Пусть к, п£М, 1 < п < к, у = п/(к -п), тогда Ву[Вкexp(a/rn)\ представляется в виде суммы конормальных асимптотик.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность М.В. Коровиной за многочисленные обсуждения и помощь при написании данной работы.

Библиография

[1] Кац Д.С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиномиальными вырождениями коэффициентов. // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 12. С. 1612-1617.

[2] Коровина М.В., Шаталов В.Е. Дифференциальные уравнения с вырождением и ресургентный анализ. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 9. С. 1259-1277.

[3] Коровина М.В. Асимптотики решений неоднородных уравнений со старшими вырождениями. // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 2. С. 255-259.

[4] Волнухин М.М. Асимптотики решений дифференциальных уравнений с вырождениями в случае резонанса. // ДАН. 2013. Т. 449. № 3. С. 259-262.

[5] F.W.J. Olver. Asymptotics and Special Functions. Academic Press. 1974.

[6] Коровина М.В. Метод повторного квантования и его применения к построению асимптотик решений уравнений с вырождениями. // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 1. С. 60-77.

[7] Sternin B., Shatalov V. Borel-Laplace Transform and Asymptotic Theory. Introduction to Resurgent Analysis. CRC Press, 1996.

[8] Коровина М.В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями. // ДАН. 2011. Т. 437. № 3, С. 302-304.

[9] Коровина М.В. Теория функциональных пространств и дифференциальные уравнения. Москва, 2007.

[10] Коровина М.В. Существование ресургентного решения для уравнений с вырождением высших порядков. // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 349-357.

On a Problem Arising when Solving Equations

with Singularities

Dmitry Kats

Abstract — The article considers a problem that arises when solving equations with degenerating coefficients, specifically, the need to compute fc-Laplace-Borel transform of functions of the form exp(a/rn). The paper shows that such problems can be reduced to equations with lesser cusp-type singularities. With the help of Laplace-Borel transform these equations are reduced to equations with regular singularities. Asymptotics of solutions to the latter are built as well as asymptotics of fc-Laplace-Borel transforms of initially considered functions.

Keywords — asymptotic expansions, singularities, differential equations, resurgent analysis, Laplace transform, Borel transform.