О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.876.2

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Д.И. Ликсонова, А.В. Медведев

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Академика Киренского 26/1

E-mail: LiksonovaDI@yandex.ru

В работе рассматривается многомерная система с запаздыванием, характеризующаяся стохастической зависимостью входных и выходных переменных. Исследуется задача идентификации и управления системой в условиях непараметрической неопределенности.

Ключевые слова: многомерная система, идентификация, управление, составной вектор, запаздывание, непараметрические алгоритмы

ON THE PROBLEM OF CONTROL OF A MULTIDIMENSIONAL DELAY SYSTEM

D.I. Liksonova, A.V. Medvedev

Siberian Federal University 26/1, Academician Kirensky St., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: LiksonovaDI@yandex.ru

The paper considers a multidimensional system with delay, characterized by a stochastic dependence of the input and output variables. The problem of system identification and control under conditions of nonparametric uncertainty is studied.

Keywords: multidimensional system, identification, control, composite vector, delay, nonparametric algorithms

Введение. Задачи идентификации и управления многомерными дискретно-непрерывными системами (процессами) с запаздыванием остаются весьма актуальными [1]. В реальных задачах производства или переработки продукции технолог всегда имеет дело с многомерными системами, в том числе и в ракетно-космических отраслях, а также в технологических процессах производства космической техники. Еще одной отличительной характеристикой является то, что рассматриваемые многомерные системы могут содержать неизвестную стохастическую зависимость компонент вектора входных и выходных переменных. При рассмотрении задач моделирования и управления подобными системами весьма важно учитывать такую информацию [2], т.к. в противном случае может получиться не точная к применению модель и, соответственно, некачественное управление. Особое влияние оказывает и априорная информация по разным каналам многомерной системы.

Задача идентификации. Для рассмотрения понятия многомерной системы воспользуемся

рисунком 1, где u(t) = (u1 ((),...uk((),...,um(t)), uk e0(uk), k = 1,m - m-мерный вектор входных

переменных; x(t) = (((t),...,xj(t),...,xn(t)), xj eQ(ij) j = 1,n - n-мерный вектор выходных

переменных; d;(t) - случайные помехи. Вертикальные стрелки означают зависимость входных и выходных переменных между собой, стрелки внутри объекта показывают различные каналы взаимодействия входных и выходных переменных.

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2022. Том 2

Рис. 1. Схема многомерной системы

По многочисленным каналам системы, из рисунка 1, зависимость выходной компоненты ху может быть представлена в виде некоторой зависимости от входных компонент ик :

х<у> = {и<;>), ] = 1, п , где х<'> - составной вектор. Выходная переменная ху может зависеть как от всех входных ик, так и от некоторых. Также можно наблюдать зависимости и

входных компонент от выходных. При построении моделей реальных производственных процессов чаще всего векторы входных и и выходных х представляются в виде тех или иных составных векторов [3]. Запишем математическое описание системы в виде:

^ {), х<^ + т),^)) = 0, = М, (1)

где функции {•) - неизвестны, и<]>, х<> - составные векторы, т - известное запаздывание

по различным каналам системы, причем его следует рассматривать как природное свойство объекта (например, это может быть длительность процесса измельчения или переработки). Систему моделей исследуемой системы представим в следующем виде:

Р} {и<»({) х+ т), х,,us,£{0)= 0, у = 1~п, (2)

где х$, и$ - временные векторы (набор данных, поступивший к Б-му моменту времени), функции {), у = 1, п также неизвестны. Поэтому для последующего моделирования и

управления системой можно воспользоваться методами непараметрической статистики или нейронными сетями и др. [2, 4]. Моделирование рассматриваемой системы сводится к

нахождению прогнозируемых значений выходных переменных х, у = 1, п. В этом случае воспользуемся следующим непараметрическим алгоритмом:

$ т (.. _ Л п ( 8' Л $ т ( ' Л п ( 8' ^

х=1,х) п ф\и)п ф7-\1, п п , (3)

г=1 к=1 V $и ) 1=1 V$8 )/ г=1 к=1 V $и ) 1=1 V$8 )

где колоколообразные функции Ф{-) удовлетворяют условиям сходимости, а е1. - это разность между исходными значениями компонент выхода системы х' и их оценками.

Задача управления. В задаче управления многомерной системой необходимо учитывать неизвестные зависимости входных и выходных переменных. Рассмотрим схему управления (рис. 2).

Рис. 2. Схема управления

На рисунке 2 представлены: и(() - входные управляемые переменные объекта; ¡(^) -входные неуправляемые, но контролируемые переменные; х(/) - выходные переменные; <^(() - случайные помехи; х* (() - исходные значения задающих воздействий; х**(/) -задающие воздействия, которые необходимо найти из системы уравнений:

Е (>(), ¡<>>(г), х*<'>(г + т),^)) = 0, ] = й, (4)

где функции Е (•) не известны, а и< >, ¡л'1,

, х

*< г>

______________,___ ^ составные вектора.

Учитывая стохастические зависимости входных и выходных переменных, задающие воздействия, как это принято в теории автоматического управления, нельзя выбирать произвольно, а необходимо их определять некоторым сбалансированным образом. Это

значит, что если х* (() е о(ху), то выбирать только те, где I о(х;.) ^ 0 . Поэтому для

1=1

задающего воздействия х** берем произвольные значения только из области

1—г- ** »_» ».» ** **

Переменную х2 определяем с учетом выбранной переменной х1 , переменную х3 определяем с учетом х** и х** и т.д. В общем виде алгоритм принимает следующий вид:

х]

..-1 1-1 I 4 П г=1 1=1 (х7- х Л<т> П Ф ) к=1 ( г ик - ик Л< р> п )у=1 ( г Л Лу -Лу

у % с У ик У с,л

.1-1 1-1 ( IП г=1 1=1 У ** г Л х - х Х1 Х1 <т> ( П ф к=1 У г Л ик - ик <р> ( П у=1 У ¡у-лУ ^

сх х1 У с ик У с,л У

(5)

Теперь в общем виде запишем алгоритм управления для многомерной системы:

к

и, =

, к-1 ( I ик П ф

г=1 к=1 у

П Ф

ик

1=1

х1 - х1

у

П Ф

_У

( г \

Лу -л

V ^¡¡у

, к-1 ( I П Ф

г=1 к=1

ик у

Л П

П Ф

1=1

(

х.1 - х1

г

П ф

х1 У

у=1

г

Лу-Л сл У

к = 1, т

(6)

Представленные непараметрические алгоритмы идентификации (3) и управления (5) и (6) могут быть использованы для моделирования многомерной системы и для расчета сбалансированных задающих и управляющих воздействий.

Заключение. В работе были рассмотрены непараметрические алгоритмы моделирования и управления многомерной системой, учитывающие стохастические зависимости входных и выходных переменных. При этом особое внимание следует уделить компонентам вектора задающих воздействий х **((), которые требуют специального определения.

Библиографические ссылки

1. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. Пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.

2. Васильев В.А., Добровидов А.В., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М.: Наука, 2004. 508 с.

3. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 553 с.

4. Лекун Я. Как учится машина. Революция в области нейронных сетей и глубокого обучения. М.: Альпина, 2021. 336 с.

© Ликсонова Д.И., Медведев А.В, 2022

с

ик ик