МОДИФИКАЦИЯ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА МОДЕЛИРОВАНИЯ И ДУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Информатика, вычислительная техника и управление

DOI 10.25987^Ти.2020.16.3.001 УДК 519.711.3

МОДИФИКАЦИЯ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА МОДЕЛИРОВАНИЯ И ДУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В УСЛОВИЯХ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий,

г. Красноярск, Рoccия

Аннотация: решается задача синтеза систем управления многомерными процессами с несколькими управляемыми и неуправляемыми входными переменными. Рассматривается ситуация непараметрической неопределенности, когда математическое описание объекта неизвестно. Определена схема непараметрического дуального управления для двух случаев. В первом случае обучающая выборка формируется с первых тактов работы системы, во втором - имеются исторические данные, накопленные в ходе пассивного эксперимента. В схему управления включен блок интеллектуального анализа данных. В блоке реализован алгоритм по определению значимых факторов при вычислении управляющих воздействий. Разработана модификация непараметрического алгоритма дуального управления многомерными объектами в условиях неполноты данных. Алгоритм содержит две составляющие: непараметрическую оценку, позволяющую учитывать всю накопленную информацию, и поисковый шаг для изучения объекта. Получены выражения для последовательного вычисления значений управляющих воздействий. Исследование алгоритмов в соответствии с предложенной схемой управления было проведено с помощью средств компьютерного моделирования на ряде тестовых объектов при различных вариантах задающих воздействий. Рассматривались многомерные безынерционные объекты с запаздыванием линейной и нелинейной структуры. Результаты вычислительных экспериментов показали высокую эффективность предложенного подхода

Ключевые слова: дуальное управление, система, многомерный процесс, непараметрические методы, управляющее воздействие

Благодарности: исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых МК-763.2020.9

Е.А. Чжан, Д.А. Кемпф

Актуальной на сегодняшний день является задача синтеза систем управления стохастическими многомерными процессами [1, 2]. На практике широко распространена ситуация, когда исследователь не обладает информацией о математической структуре процесса управления. Тогда целесообразно использовать непараметрические методы [3, 4] или методы, основанные на данных (data-based, data-driven approach) [5]. Обучение непараметрических алгоритмов в большинстве случаев происходит на основе исторически накопленных данных, полученных в ходе пассивного эксперимента при измерении входных и выходных переменных процесса, поэтому к данным предъявляются высокие требования. Если же априорной информации недостаточно, то применять такие методы не всегда представляется возможным. Одним из путей решения возник-

Введение

шей проблемы является использование алгоритмов дуального управления, которые впервые были предложены А.А. Фельдбаумом [6, 7]. Особенность таких алгоритмов состоит в том, что они позволяют совмещать две конкурирующие цели - изучение и управление объектом. В работах [8, 9] исследуются алгоритмы дуального управления для случая, когда параметрическая структура объекта известна. В данной статье рассматривается случай дуального управления многомерными объектами при непараметрической неопределенности.

Постановка задачи дуального управления

Теория дуального управления в представлении А.А. Фельдбаума требует большого количества априорной информации о рассматриваемом объекте, его внутренних связях и внешних стохастических воздействиях. Рассмотрим постановку задачи, когда правило, по которому преобразуется входное воздействие в

© Чжан Е.А., Кемпф Д.А., 2020

выходное, неизвестно. Тогда схема дуального управления для случая непараметрической неопределенности может иметь вид, представленный на рис. 1.

УУ

Рис. 1. Схема дуального управления

На объект управления поступают входные измеряемые, но неконтролируемые переменные ). Управляющее устройство (УУ) состоит из двух блоков: непараметрической

*

оценки управляющего воздействия и и поискового шага Ди . Эти значения суммируются и формируют управляющее воздействие и(1) . В многомерном случае измеряемые управляемые и неуправляемые входные переменные, а также выходные можно представить в виде векторов: и = (и1,и2,...,ит) е Rm,

Ц = М"2 Ц* )е ^ и Х = (X1, X2,..., Хп )е ^ , где т - число входных управляющих воздействий, к - число входных неуправляемых переменных, п - число выходных переменных. В каналах измерения действуют случайные помехи с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. На схеме они опущены из соображения простоты изложения.

Согласно вышеописанной схеме, формирование обучающей выборки происходит с момента начала работы системы управления, поэтому понадобится некоторое время для ее настройки. Это время может быть различно в зависимости от вида объекта управления.

В случае если существуют исторически накопленные данные {и.,ц .,х1},. = 1,5 , то выборка сразу вводится в систему, а затем пополняется новыми наблюдениями (рис. 2).

Рис. 2. Схема дуального управления при использовании исторических данных

Здесь в схему управления включен блок интеллектуального анализа данных (Блок ИАД). В этом блоке реализованы алгоритмы как для повышения качества исторических данных {и.., ц . , х1} , направленные на заполнение пропусков, устранение разреженностей [10], так и алгоритмы, позволяющие выявить значимые переменные. После преобразования исходной выборки {и.., ц . , х1} на выходе имеем

обучающую выборку {и.,Ц.,X 1}. Эта выборка

будет использоваться для настройки работы управляющего устройства.

Задача состоит в выявлении значимых факторов, которые необходимо учитывать при вычислении управляющих воздействий и(1) , а также в формировании таких управляющих воздействий, чтобы невязка между выходом

объекта х(£) и желаемым значением X (/) была минимальна.

Выделение существенных переменных при вычислении управляющего воздействия

Для вычисления значений компонент управляющего воздействия и*,и2,...,и*т может быть использована непараметрическая оценка, построенная на основе всех входных и выходных переменных [11]. Однако некоторые переменные могут не оказывать существенного влияния, и использование их при формировании управляющих воздействий может негативно сказаться на точности управления в целом. Для каждой выходной переменной х1,х2,...,хп предлагается определить значимые управляющие воздействия с целью обеспечения эффективности управления в соответствии с заданным критерием согласно следующему алгоритму.

1. Для каждой компоненты вектора х1, I = 1, п вычислить непараметрическую оценку Надарая-Ватсона функции регрессии по наблюдениям [4]:

I ПФ

* Пф

I ц=1

(1)

1ПФ

ПФ

ц=1

Ац,д - Ац,, „А

где Ф() - ядерная колоколообразная функция. Оптимальные значения коэффициентов размытости ядра с, V = 1, т и С', ц = 1, k определить по обучающей выборке в режиме кросс-валидации путем минимизации квадратичного критерия:

I(с"1,...,с'- ,СА ,...,САк ) =

= 1I (К] ("], А7 )- хи )2 =

Л ]=,

min

с"1.....с"- ,сА1.....СА

, ] * ,,

(2)

2. Вычислить величину ошибки моделирования:

Ж =11(Хи - хи )2.

5 ,=1

(3)

3. Среди всех найденных коэффициентов выбрать максимальное значение. Этому коэффициенту соответствует наименее значимая компонента " или ц.

4. Вычислить оценку (1), исключив множитель Ф(), для которого оптимальное значение параметра размытости максимально.

5. Вычислить величину ошибки моделирования (3). Если найденное значение меньше, чем на шаге 2, то вернуться к шагу 1. Если больше, то не исключать последнюю выбранную переменную и завершить выполнение алгоритма.

Для каждой выходной переменной х1, I = 1, п будет найден свой набор значимых факторов. Таким образом, при вычислении управляющих воздействий ", V = 1, — необходимо учитывать только те выходные переменные х1, I = 1, «, для которых данная управляющая переменная будет значима.

Модификация непараметрического алгоритма дуального управления

Для вычисления управляющего воздействия предлагается использовать следующее правило [11]:

+1 = "V,.+1 + Л"^У = 1 — (4)

здесь "V 5+1 - непараметрическая оценка управляющего воздействия, Л"+( - шаг поиска.

Вычислять непараметрическую оценку "*+1 будем последовательно. Для компоненты +1 формула имеет следующий вид:

I "и 1ПФ

I ц=1

^+1 I-1

(5)

1ПФ| |ПФ

I ц=1

Ац,J+1 Ац,,

где «1 - число значимых переменных, наиденных с помощью вышеописанного алгоритма, , А,, х1 - элементы обучающей выборки.

Значения управляющего воздействия ", V = 2, — вычисляются в соответствии с формулой:

и =

V, 5

IПФ

,=1 И=1

И,5 + 1 "*,1

Пф|

(

ПФ

ц=1

<17 Ф^

Ац, Ац,1

г

X

I

к ( П Ф

ц=1

1ПФ

"И,5 + 1 "и,,

(6)

Ац, 5+1 Ац,^ ^

V

V = 2,—.

Ядерная функция и коэффициенты размытости удовлетворяют условиям сходимости [11]. В качестве ядерной функции может быть использована оценка В.А. Епанечникова [12], которая для выходной переменной хг ^) принимает вид:

' 3 3г2 11/7

—---, если Ы 5,

Ф(г) = ] 4л/5 20^5 1 1 (7)

0 ,если Ы > л/5;

где ы = ——-—-.

сХ

Величина поискового шага Л"„ х+1 определяется следующей формулой:

Л"^+1 =& (Х*^ - )

(8)

г=1

где у г - настраиваемые коэффициенты.

При вычислении поискового шага для каждой компоненты также учитываются только значимые выходные переменные.

Таким образом, формула (4) содержит в себе два слагаемых: компонента "У!1.+1 представляет собой непараметрическую оценку,

г ,5

" ... =

1,5+1

с

""

V,,

А

с

с

5

, = 1 V = 1

5+1 г,,

X

с

с

5

5

X

И

с

с

I

с

с

которая позволяет учитывать всю накопленную информацию об объекте в виде обучающей выборки, а компонента Auv s+1 отвечает за

«изучение» объекта, приведение его к цели управления.

Вычислительные эксперименты по дуальному управлению многомерным объектом

Проведем серию вычислительных экспериментов в соответствии со схемой, предложенной на рис. 1. В работе рассматриваются многомерные дискретно-непрерывные объекты. Объекты являются динамическими, но в силу большой дискретности контроля, которая превышает время переходного процесса, мы вынуждены их рассматривать как безынерционные с запаздыванием. В этом случае математическое описание объектов может быть представлено не в виде дифференциальных уравнений, а в виде различных функций выходной переменной от входных воздействий. Зададим уравнение, описывающее процесс: fx(t) = 2u1 (t) - 5u2(t) + 3u3(t) + |(t), [|(t) = sin(0.018t).

Система (9) используется для генерации выборки и выходных воздействий объекта, при формировании управляющего воздействия считаем, что вид зависимости нам неизвестен.

Задающее воздействие или цель управления x'(t) на практике выбирается ЛПР. В зависимости от вида x (t) в работе [13] были выделены следующие режимы: поддержка постоянной управляемой величины x (t) = const и изменение управляемой величины по заранее заданному закону, т.е. задание представляет

(9)

собой функцию времени. В рамках эксперимента реализуем данные режимы. Пусть задающее воздействие х (Г) описывается следующей системой уравнений:

х*(Г) = 6, если 0 < Г < 20;

х*(Г) = 2, если 20 < Г < 40;

•х*(Г) = 8.5 + 2.5^(0.5Г), если 40 < Г < 70; (10) х*(Г) = а, если 70 < Г < 90;

х'(Г) = 11 + 1^т(0.25Г), если 90 < Г < 120;

где о - случайная величина, равномерно распределенная в интервале [6; 10].

Для работы алгоритма управления необходимо задать начальные значения входных воздействий: и = и02 = и03 = 2. Коэффициент поискового шага (8) был определен экспериментальным путем: у = 0.2.

В вычислительных экспериментах точность работы алгоритма управления оценивалась согласно двум следующим показателям: 1) относительная ошибка управления:

1 N

W = - у

У N

x, - x,.

(11)

где N - количество тактов управления;

2) время регулирования Гр - минимальное время с начала управления до момента, когда выходная переменная х(Г) отклоняется от задания X (Г) на величину, не превышающую некоторую постоянную величину в = 0.05х*. Время регулирования может быть оценено для каждого временного интервала при смене вида задания.

Результаты работы алгоритма представлены на рис. 3. На графике по оси Ох отложен такт времени Г, по оси Оу: х(Г) - выход объекта (9), ) - измеряемое неуправляемое воздействие (9), х"(Г) - задающее воздействие (10).

x

Рис. 3. Результаты работы алгоритма управления многомерным линейным объектом (9)

С течением времени объем выборки увеличивается, и точность управления повышается. Ошибка управления (11) составила Wy= 0.041. По мере накопления информации время регулирования значительно сокращается (гр = 8 при г е[0;20], гр = 3 г е[0;20]), что

говорит о повышении быстродействия системы. С теоретической точки зрения интерес представляет вариант случайного задания -

Результаты работы

алгоритм успевает настраиваться с каждым тактом.

Результаты аналогичных экспериментов для безынерционных объектов с запаздыванием, описываемых линейными и нелинейными (алгебраическими и трансцендентными) уравнениями, представлены в табл. 1, где приняты следующие обозначения у - коэффициент поискового шага (8), и0 - начальные значения входных переменных объекта, Шу - ошибка управления (11).

Таблица 1

алгоритма управления

№ Уравнение объекта т и0 Жу

1. х(г) = (4и1 (г) - 3) + (2и2(г) +1) - (3и3(г) - 7) + ц(г) у = 0.4 и0 = 2 и02 = 2 и0 = 2 0.078

2. х(г) = и12(г) + д/и2 (г) - 7и3(г) + ц(г) у = 0.2 0.054

3. х(г) = е-(г) -у) и3(г) иъ(г) +ц(г) у = 0.2 0.072

Неуправляемая переменная: ц(г) = sin(0.018г)

(12)

Как видно из таблицы, точность управления предложенного алгоритма весьма высока. Ошибка управления не превышает 8%.

Следующий эксперимент проведем для случая, показанного на рис. 2, когда в систему управления поступают исторически накопленные данные |и1., и2,, хи, х2,, }, , = 1,5 . Пусть

многомерный объект описывается следующей системой уравнений:

Х(Г) = 0.7е"1(') + 6и2(Г) + |(г), • х2(г) = 2и1(г) + |(Г), |(Г) = 0.5cos(0.07f), а задающее воздействие имеет вид: х*(г) = 7,если 5 < г < 5 +100, х'(г) = 3,если 5 < г < 5 +100, х* (г) = 11,если 5 +100 < г < 5 + 200, х\(г) = 5,если 5 +100 < г < 5 + 200. На первоначальном этапе с помощью предложенного алгоритма для переменных х1, х2 были выделены существенные признаки:

х1 = /(и1,и2,|), х2 = Т(и1,|), где Т - непараметрическая оценка вида (1). Объем обучающей выборки составил 200 наблюдений. В табл. 2 приведены результаты управления. Ошибка управления (11) оценивалась для выходных переменных хь х2 для двух случаев: с использованием алгоритма по выделению существенных признаков - Шу1

(13)

Шу2 и без -

Ш Ш

Пу,1' у,2 .

Таблица 2 Результаты управления объектом (12)

Шу,1 Ш Шу,1 Ш

0.14 0.17 0.05 0.08

В рамках вышеописанного эксперимента использование алгоритма для выявления значимых переменных позволило повысить точность управления практически в два раза.

Следует ожидать, что с повышением размерности объекта время регулирования возрастет, т.к. потребуется больше данных для обучения системы управления.

Заключение

Рассмотрена схема дуального управления многомерным процессом в условиях непараметрической неопределенности. В данную систему включен блок по анализу данных. Предложен непараметрический алгоритм вычисления управляющих воздействий в многомерном варианте, когда объект описывается несколькими входными и выходными переменными. Алгоритм носит универсальный характер: может быть применен для различных безынерционных объектов с запаздыванием. Разработан алгоритм определения значимых переменных при вычислении управляющих воздействий.

Проведены компьютерные исследования разработанного подхода для объектов как линейной, так и нелинейной структуры. Ошибка управления в экспериментах не превысила 10%, что говорит об удовлетворительной работе разработанных алгоритмов.

Литература

1. Идентификация систем и задачи управления: на пути к современным системным методологиям / И.В. Прангишвили, В.А. Потоцкий, К.С. Гинсберг, В.В. Смо-лянинов // Проблемы управления. 2004. №. 4. С. 2-14.

2. Многометодный подход к управлению сложными объектами на основе комплексирования процедур численной оптимизации методами компьютерного моделирования / Б.Н. Тишуков, Я.Е. Львович, Д.В. Иванов, Э.И. Воробьев, А.В. Мандрыкин // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2020. Т. 16. № 1. С. 33-38.

3. Горяинов В.Б., Горяинова Е.Р. Непараметрическая идентификация пространственной модели авторегрессии в условиях априорной стохастической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 2010. №. 2. С. 31-41.

4. Медведев А.В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. ак. М.Ф. Решетнёва. 2010. №. 4. С. 4-9.

5. Solomatine D.P., Ostfeld A. Data-driven modelling: some past experiences and new approaches // Journal of Hy-droinformatics. 2008. Vol. 10. No. 1. P. 3-22.

6. Фельдбаум А.А. Теория дуального управления. Ч. 1 // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. № 9. С. 1240-1249.

7. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

8. Wittenmark B. Adaptive dual control methods: An overview // Adaptive Systems in Control and Signal Processing. 1995. P. 67-72.

9. Filatov N.M., Unbehauen H. Survey of adaptive dual control methods // IEE Proceedings Control Theory and Applications. 2000. Vol. 147. No. 1. P. 118-128.

10. Medvedev A.V., Chzhan E.A. On nonparametric modelling of multidimensional noninertial systems with delay // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2017. № 2. С. 124 -136.

11. Медведев А.В. Основы теории адаптивных систем: монография. Красноярск: Изд-во Сиб. гос. аэро-космич. ун-та, 2015. 526 с.

12. Епанечников В.А. Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности // Теория вероятностей и ее применения. 1969. Т. 14. №. 1. С. 156-161.

13. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. 560 с.

Поступила 14.05.2020; принята к публикации 15.06.2020 Информация об авторах

Чжан Екатерина Анатольевна - канд. техн. наук, доцент базовой кафедры интеллектуальных систем управления, Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий (660074, Россия, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, д. 26), e-mail: ekach@list.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1059-7272

Кемпф Дмитрий Александрович - магистрант, Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий (660074, Россия, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, д. 26), e-mail: kempf47@mail.ru

MODIFICATION OF A NONPARAMETRIC ALGORITHM OF MODELING AND DUAL-MODE CONTROL OF MULTIDIMENSIONAL PROCESSES IN CONDITIONS OF UNCERTAINTY

E.A. Chzhan, D.A. Kempf

Siberian Federal University, School of Information and Space Technology,

Krasnoyarsk, Russia

Abstract: the article deals with the problem of the synthesis of control systems of multidimensional processes with several controlled and uncontrolled input variables. The situation of nonparametric uncertainty is considered when the description of the object is unknown. The scheme of nonparametric dual control is defined for two cases. In the first case, the training sample is formed from the first cycles of the system, in the second, there is historical data accumulated during the passive experiment. A data mining unit is included in the control circuit. The block implements an algorithm for determining significant factors in the calculation of control actions. A modification of the nonparametric algorithm for dual control of multidimensional objects under conditions of incomplete data is developed. Expressions are obtained for sequentially calculating the values of control actions. The study of the proposed algorithm was carried out using computer simulation tools. The results of computational experiments on the control of various multidimensional objects of linear and nonlinear structure showed the high efficiency of the proposed approach

Key words: dual control, system, multidimensional process, nonparametric methods, control action

Acknowledgments: the study was supported by the grant from the President of the Russian Federation for state support of young scientists MK-763.2020.9

References

1. Prangishvili I. V., Pototskiy V.A., Ginsberg K.S., Smolyaninov V.V. "System identification and control tasks: toward modern systemic methodologies", Control Problems (Problemy upravleniya), 2004, no. 4, pp. 2-14.

2. Tishukov B.N., L'vovich Ya.E., Ivanov D.V., Vorob'ev E.I., Mandrykin A.V. "A multi-method approach to complex objects control based on the integration of numerical optimization procedures using computer modeling", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2020, vol. 16, no. 1, pp. 33-38.

3. Goryainov V.B., Goryainova E.R. "Nonparametric identification of the spatial model of autoregression under a priori stochastic uncertainty", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 2010, no. 2, pp. 31-41.

4. Medvedev A.V. "Theory of nonparametric systems. Modelling", Bulletin of M.F. Reshetnev Siberian State Aerospace University (Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta im. akademika M.F. Reshetneva), 2010, vol. 4, pp. 49.

5. Solomatine D.P., Ostfeld A. "Data-driven modelling: some past experiences and new approaches", Journal of Hydroinfor-matics, 2008, vol. 10, no. 1, pp. 3-22.

6. Fel'dbaum A.A. "Theory of dual control. Part 1", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1960, vol. 21, no. 9, pp. 1240-1249.

7. Fel'dbaum A.A. "Fundamentals of the optimal automatic systems theory" ("Osnovy teorii optimal'nykh avtomaticheskikh sistem"), Moscow, Fizmatgiz, 1963, 552 p.

8. Wittenmark B. "Adaptive dual control methods. An overview", Adaptive Systems in Control and Signal Processing, 1995, pp. 67-72.

9. Filatov N.M., Unbehauen H. "Survey of adaptive dual control methods", IEE Proceedings-Control Theory and Applications, 2000, vol. 147, no. 1, pp. 118-128.

10. Medvedev A.V., Chzhan E.A. "On nonparametric modelling of multidimensional noninertial systems with delay", Bulletin of South Ural State University (Vestnik YUUrGU),2017, no. 2, pp. 124-136.

11. Medvedev A.V. "Fundamentals of the theory of adaptive systems" ("Osnovy teorii adaptivnykh sistem"), monograph, Siberian Aerospace State University, Krasnoyarsk 2015, 526 p.

12. Epanechnikov V.A. "Nonparametric estimation of multidimensional probability density", Probability Theory and its Applications (Teoriya veroyatnostej i eye primeneniya), 1969, vol. 14, no. 1, pp. 156-161.

13. Tsypkin Ya.Z. "Fundamentals of the theory of automatic systems" (Osnovy teorii avtomaticheskih sistem), Moscow, Nau-ka, 1977, 560 p.

Submitted 14.05.2020; revised 15.06.2020 Information about the authors

Ekaterina A. Chzhan, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Siberian Federal University, School of Information and Space Technology (26 Akademika Kirenskogo st., Krasnoyarsk 660074, Russia), e-mail: ekach@list.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1059-7272

Dmitriy A. Kempf, MA, Siberian Federal University, School of Information and Space Technology (26 Akademika Kirenskogo st., Krasnoyarsk 660074, Russia), e-mail: kempf47@mail.ru